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1. Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. m = n 2. Considere em Z a operação * definida por: * : Z x Z → Z (x,y) → x*y = x + y + xy Verifique a existência do elemento neutro. Existe elemento neutro e = 0 3. Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 15 * (-2) é: 1 4. O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é: Comutativa. 5. Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 16 * 4 é: 0 6. 1 7. Existe elemento neutro e = 0 8. O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 1. Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto Z11. 6 4 8 5 48 2. Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações: (I) e * x = x = x * e, para todo x. (II) a * x = a = x * a, para todo x. (III) x * x = e, para todo x diferente de a. (IV) b * d = c; (V) b, c, d são regulares. Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. c a e d b 3. Considere o conjunto (Z8, +). Marque a alternativa que indica a solução da equação x + 5 = 3. 0 6 -2 3 2 4. Calcule o produto (27).(45) considerando Z10. 3 35 10 7 5 5. Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯22¯ em Z3. e = ¯¯¯¯¯−1-1¯ e = ¯¯¯¯¯−2-2¯ e = ¯11¯ e = ¯22¯ e = ¯33¯ 6. A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G. x = f x = d x = c x = a x = b 7. Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy. 8. e = f1 1. Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de (Z6, +). H não é subgrupo de (Z6, +). H é subgrupo de (Z6, +). H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +). H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6. H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H. 2. Considere o grupo (Z*7, .) e a = 5. Determine a2 . 4 0 25 3 1 3. Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição. Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se é satisfeita a seguinte propriedade: ∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos h1h2 ∈∈H. Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade: Para todo h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H. Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: ∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos h1h2 ∈∈H e ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H. Então H é um subgrupo de G se é satisfeita a seguinte propriedade: ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H. Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade: Para todo h1,h2 ∈∈ H temos h1h2 ∈∈ H. 4. Considere o grupo (Z,+) e a = 4. Determine a2. 1 2 16 4 8 5. Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉∉ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈∈3Z Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈∈3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 6. Considere as seguintes afirmações: (I) 3Z é subgrupo de 6Z. (II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +). (III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +) (IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) Podemos concluir que As afirmações I e III são falsas A afirmação I é verdadeira As afirmações I e II são verdadeiras As afirmações II e III são verdadeiras As afirmações III e IV são falsas 7. Questão 6: Considere o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4. [4] = {2,4,8,0} [4] = {2,4,6,10} [4] = {2,4,6,8} [4] = {2,4,6,8,0} [4] = {4,6,8,0} 8. Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3. Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 1. 3 + H H H + H 2 + H 1 + H 2. O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H 3. Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). Determine o número de classes laterais. 3 2 1 6 4 4. Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G. G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} 5. Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: Grupos finitos não têm subgrupos. H é cíclico A ordem de G divide a ordem de H. A ordem de H dividea ordem de G. A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. 6. Considere o Teorema de Lagrange: Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H). Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 7. Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica as classes laterais G. {1, -1} , {i, - i} {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} {i, - i} {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} 8. Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: H∩J é um subgrupo normal de G. 1. Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f. N(f) = {1} N(f) = {4} N(f) = {0} N(f) = {3} N(f) = {2} 2. Marque a alternativa correta. Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel. Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel. Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel. Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel. 3. (12342413)(12342413) (12344213)(12344213) (12343241)(12343241) (12341432)(12341432) (12343124)(12343124) 4. (12342314)(12342314) (12343241)(12343241) (12343124)(12343124) (12341432)(12341432) (12344213)(12344213) 5. (12344213)(12344213) (12341432)(12341432) (12342413)(12342413) (12343124)(12343124) (12343241)(12343241) 6. Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo. N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + y = 0} N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x - 5y = 0} N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + 5y = 0} N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + y = 0} N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + 5y = 0} 7. Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(x + y) = f(x) + f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 8. N(f) = {1} 1. O conjunto das matrizes (Mn(A), +, .) é um anel. Considerando essa informação marque a alternativa que indica a existência do elemento simétrico para a adição. Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel . Então tomemos - X = [ xij] em (Mn(A)), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] = e. Logo, - X = -[ xij] é o simétrico de X = [xij]. Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0]. Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos - X = . Logo, - X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. Existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (+X) = [xij] + [xij] = [xij + xij] . Logo, X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos - X = [- xij] em (Mn(A), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] = e. Logo, - X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. 2. ∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2-x)∈ℤ ∀x∈Z,∃(−2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2+ x)∈ℤ ∀x∈Z,∃(1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(1-x)∈ℤ ∀x∈Z,∃(−1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-1-x)∈ℤ ∀x∈Z,∃(2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(2+ x)∈ℤ Gabarito Coment. 3. Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 . X= 2 e y=4 X= 5 e y=6 X= 3 e y=3 X= 2 e y=2 X= 2 e y=3 4. Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual: Zn Z Z_ nZ Q 5. O elemento neutro desse anel é e = -2 e = -1 e = 1 e = 2 e = 0 6. Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, ΔΔ) com as operações definidas por: a * b = a + b - 1 a ΔΔb = a + b - ab e = 5 e = 1 e = 2 e = 4 e = 3 7. e = -1 e = 2 e = 1 e = 0 e = -2 8. Com asoperações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual: nZ 1. Indique nas alternativas abaixo a unidade do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos dos inteiros. ¯33¯ ¯11¯ ¯44¯ ¯55¯ ¯22¯ Gabarito Coment. 2. A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ temos: m(a + b) = ma + mb Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora note que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. Por indução sobre m verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. Por indução sobre n verificamos que: Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. k(a + b) = ka + kb Vejamos que é válido para m = k + 1. (k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 3. A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x∈Ax∈A então - (-x) = x 4. Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que: M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma. M_2x2 (R) tem unidade. M_2x2 (R) tem divisores de zero M_2x2 (R) é um anel comutativo. Nenhuma das anteirores 5. A A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a∈Aa∈A e ∀∈Z∀∈ℤ temos: (m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. (m - k)a = ma - ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 6. Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade. (Q, +, .) não é um anel com unidade. (Z, +, .) não é um anel com unidade. O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2. (R, + , .) não é um anel com unidade. (C,+, .) não é um anel com unidade. 7. Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2 Q Z+ 2Z Z 8. A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. m(ka) = (mk)a Vejamos que é válido para n = k + 1. m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 1. Indique todos os divisores de zero do anel Z15. 2,3,6,8 e 10 3,5,9,10 e 12 3,5,9,10 e 15 5,9,10, e 15 3,5,6,10 e 15 2. Somente a I e II estão corretas. Somente a III está correta. Somente a I está correta. Somente a II e III estão corretas. Somente a II está correta. 3. No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. S = {0,1,10} S = {0,10} S = {0,2,12} S = {1,11} S = {0,1 } 4. Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. (Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.). O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z. Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.). O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈∈Z} O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6. 5. Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B: A=Z e B=2Z A=Q e B=Z3 A=3Z e B=2Z A=Q e B=Zn A=Z e B=Zn Gabarito Coment. 6. Considere as seguintes afirmações: (I) 35 é divisor de zero no anel Z54. (II) 36 é divisor de zero no anel Z54. (III) Seja B um subanel do anel A. Se o anel A não possui divisores de zero, então B é um anel também sem divisores de zero. (IV) No anel dos inteiros o número 2 é primo, pois seus divisores são: 1, -1, 2 e -2 Podemos afirmar que: Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. Somente a afirmativa I é verdadeira. Somente a afirmativa III é verdadeira. 7. De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma justificativa para essa proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente a justificativa desenvolvida pelo Carlos. Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: ∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 Usando a proposição de subanel, temos: x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: ∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 Usando a proposição de subanel, temos: x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um número par. Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: ∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 Usando a proposição de subanel, temos: x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par. Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. Dado o conjunto S = {2n / n∈Zn∈ℤ} veja que: ∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n e y = 2m Usando a proposição de subanel, temos: x - y = 2n - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par. Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. 8. Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade: Z14 Z x Z M2 (iR) (conjunto das matrizes de ordem 2) Z3 Q 1. Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) . U(Z4) = {1,2,3} U(Z4) = {2,3} U(Z4) = {0,1,2} U(Z4) = {0,1,3} U(Z4) = {1,3} 2. No anel Z4 determine Reg(Z4 ). Reg(Z4 ) = {1} Reg(Z4 ) = {1,3} Reg(Z4 ) = {0,3} Reg(Z4 ) = {0,1,3} Reg(Z4 ) = {3} 3. No anel Z4 determine Reg(Z4 ). Reg(Z4 ) = {0,1,3} Reg(Z4 ) = {1} Reg(Z4 ) = {0,3} Reg(Z4 ) = {3} Reg(Z4 ) = {1,3} 4. Marque a única afirmação correta. Todo anel comutativo é um corpo Todo anel de integridade é um corpo Todo subanel é um corpo Todo anel de integridade finito e um corpo o anel Zn é um corpo para todo n 5. Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 6. Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo. Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K não possuir inverso multiplicativo. Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. Um Corpo é um anel que tem apenas unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x = 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. Um Corpo é um anel comutativo que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. 7. Qual dos anéis abaixo não pode ser definido um corpo? Z Q IR Zp para p primo C 8. Determine U(Z12) em Z12. U(Z12) = {1,5,7,11} 1. Diga , em qual das opções , temos que (I, +,.) é um ideal de anel (A,+, .) : I=elementos de z não divisores de 100 , A=Z I=Z , A=Q I=3Z U 7Z , A=Z I=3Z , A=z I={f: IR -> IR/ f(1)+f(2)=0} , A= IRIR 2. Marque a alternativa correta. Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível de A, então I ≠ A. O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2. 2Z é um ideal no anel Z. Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .). Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel Q. Gabarito Coment. 3. Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis. Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 4. N(f) = {(0,4)} N(f) = {(0,0)} N(f) = {(0,1)} N(f) = {(0,3)} N(f) = {(0,2)} 5. Marque a alternativa correta. Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel. Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel. Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel. Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel.6. Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z. Z 2Z 6Z 3Z 5Z 7. Determine todos os ideais de Z8. {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 {0}, {0,2,4,6} e {0,4} {0}, {0,4} e Z8 {0} e {0,2,4,6} {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 8. Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(x + y) = f(x) + f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 1a Questão (Ref.:201803167328) Acerto: 1,0 / 1,0 Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. n = k m < n m = k m > n m = n Respondido em 22/10/2019 21:10:49 2a Questão (Ref.:201803167310) Acerto: 0,0 / 1,0 Considere em Z a operação * definida por: * : Z x Z → Z (x,y) → x*y = x + y - 2 Verifique a existência de elementos simétrizáveis. x-1 = 4 - x x-1 = 2 - x x-1 = 1 - x x-1 = 4 + x x-1 = x + 1 Respondido em 22/10/2019 21:09:42 Gabarito Coment. 3a Questão (Ref.:201803074191) Acerto: 0,0 / 1,0 Considere o conjunto (Z8, +). Marque a alternativa que indica a solução da equação x + 5 = 3. 6 2 -2 0 3 Respondido em 22/10/2019 21:09:59 4a Questão (Ref.:201803074199) Acerto: 0,0 / 1,0 Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo. De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 1, 2 ,3, 4 e 5 2, 3 e 5 1, 3 e 4 1, 2 e 5 2, 3, 4 e 5 Respondido em 22/10/2019 21:10:37 5a Questão (Ref.:201803151442) Acerto: 0,0 / 1,0 Questão 6: Considere o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4. [4] = {2,4,6,8} [4] = {4,6,8,0} [4] = {2,4,6,10} [4] = {2,4,8,0} [4] = {2,4,6,8,0} Respondido em 22/10/2019 21:11:22 6a Questão (Ref.:201803167324) Acerto: 1,0 / 1,0 Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈∈3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉∉ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈∈3Z Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Respondido em 22/10/2019 21:13:46 7a Questão (Ref.:201803214537) Acerto: 1,0 / 1,0 Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: H∩J é um subgrupo normal de G. H∩J não é um subgrupo de G. H∩J é um subgrupo cíclico de G. H∩J é um subgrupo abeliano de G. H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal. Respondido em 22/10/2019 21:11:45 8a Questão (Ref.:201803214538) Acerto: 0,0 / 1,0 Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: H é cíclico A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. A ordem de G divide a ordem de H. A ordem de H divide a ordem de G. Grupos finitos não têm subgrupos. Respondido em 22/10/2019 21:12:12 9a Questão (Ref.:201803074197) Acerto: 1,0 / 1,0 (12343241)(12343241) (12342413)(12342413) (12344213)(12344213) (12343124)(12343124) (12341432)(12341432) Respondido em 22/10/2019 21:12:27 10a Questão (Ref.:201803167302) Acerto: 0,0 / 1,0 Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. De acordo com a teoria do isomorfismos de Grupos podemos dizer que os grupos S3 e Z6 não são isomorfos. PORQUE S3 não é abeliano e Z6 é abeliano. As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira. 1a Questão (Ref.:201803167316) Acerto: 0,0 / 1,0 Considere em Z a operação * definida por: * : Z x Z → Z (x,y) → x*y = x + y - 2 Verifique a existência do elemento neutro. e = -2 e = 3 e = 2 e = 0 e = 1 Respondido em 23/10/2019 18:15:43 Gabarito Coment. 2a Questão (Ref.:201803167329) Acerto: 0,0 / 1,0 O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. Não, pois não existe elemento neutro. Não, pois não existe elemento simétrico. Respondido em 23/10/2019 18:15:56 3a Questão (Ref.:201803074195) Acerto: 0,0 / 1,0 Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. {(-3,7)} {(1,4)} {(2,3)} {(0,6)} {(-14/13;119/39)} Respondido em 23/10/2019 18:16:07 4a Questão (Ref.:201803503190) Acerto: 0,0 / 1,0 Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto Z11. 4 48 6 5 8 Respondido em 23/10/2019 18:16:20 5a Questão (Ref.:201803167308) Acerto: 0,0 / 1,0 Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3. Z10 = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Z10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}. Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Respondido em 23/10/2019 18:16:23 6a Questão (Ref.:201803167286) Acerto: 0,0 / 1,0 A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G. x = a x = b x = f x = d x = c Respondido em 23/10/2019 18:16:29 7a Questão (Ref.:201803167306) Acerto: 1,0 / 1,0 2 + H 3 + H H 1 + H H + H Respondido em 23/10/2019 18:16:32 8a Questão (Ref.:201803167348) Acerto: 0,0 / 1,0 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H éo H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H Respondido em 23/10/2019 18:16:37 9a Questão (Ref.:201803074188) Acerto: 0,0 / 1,0 (12342314)(12342314) (12344213)(12344213) (12343241)(12343241) (12343124)(12343124) (12341432)(12341432) Respondido em 23/10/2019 18:16:40 10a Questão (Ref.:201803167344) Acerto: 1,0 / 1,0 x é igual a 1 2 3 4 2 1 3 4 x é igual a 1 2 3 4 4 1 3 2 1a Questão (Ref.:201803167332) Acerto: 0,0 / 1,0 Existe elemento neutro e = -1 Existe elemento neutro e = 0 Existe elemento neutro e = 2 Não existe elemento neutro Existe elemento neutro e = 1 Respondido em 23/10/2019 18:20:33 2a Questão (Ref.:201803167333) Acerto: 0,0 / 1,0 O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? Não, pois não existe elemento neutro. Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. Não, pois não existe elemento simétrico. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. Respondido em 23/10/2019 18:17:32 3a Questão (Ref.:201803074200) Acerto: 0,0 / 1,0 Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações: (I) e * x = x = x * e, para todo x. (II) a * x = a = x * a, para todo x. (III) x * x = e, para todo x diferente de a. (IV) b * d = c; (V) b, c, d são regulares. Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. c b d a e Respondido em 23/10/2019 18:20:24 4a Questão (Ref.:201803502729) Acerto: 1,0 / 1,0 Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy. Respondido em 23/10/2019 18:20:20 5a Questão (Ref.:201803167337) Acerto: 0,0 / 1,0 Considere as seguintes afirmações: (I) 3Z é subgrupo de 6Z. (II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +). (III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +) (IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) Podemos concluir que As afirmações I e III são falsas As afirmações III e IV são falsas As afirmações I e II são verdadeiras A afirmação I é verdadeira As afirmações II e III são verdadeiras Respondido em 23/10/2019 18:20:16 6a Questão (Ref.:201803151442) Acerto: 0,0 / 1,0 Questão 6: Considere o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4. [4] = {2,4,6,8} [4] = {2,4,8,0} [4] = {4,6,8,0} [4] = {2,4,6,10} [4] = {2,4,6,8,0} Respondido em 23/10/2019 18:20:06 7a Questão (Ref.:201803214537) Acerto: 0,0 / 1,0 Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: H∩J não é um subgrupo de G. H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal. H∩J é um subgrupo abeliano de G. H∩J é um subgrupo cíclico de G. H∩J é um subgrupo normal de G. Respondido em 23/10/2019 18:20:00 8a Questão (Ref.:201803214538) Acerto: 0,0 / 1,0 Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: Grupos finitos não têm subgrupos. A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. H é cíclico A ordem de H divide a ordem de G. A ordem de G divide a ordem de H. Respondido em 23/10/2019 18:19:41 9a Questão (Ref.:201803151686) Acerto: 0,0 / 1,0 Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(x + y) = f(x) + f(y). Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). Respondido em 23/10/2019 18:19:35 10a Questão (Ref.:201803167312) Acerto: 0,0 / 1,0 N(f) = {1}. N(f) = {3} N(f) = {2}. N(f) = {4}. N(f) = {0}
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