FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

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=3;3
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(12343124)
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(12341432)
(12342413)
(12344213)
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(12344213)
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n∈N⋅
n∈N
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Δ
Δ
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Δ
a∈ℤ
Δ
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∀x∈ℤ,∃(2+ x)∈ℤ
∀x∈ℤ,∃(1-x)∈ℤ
∀x∈ℤ,∃(-2+ x)∈ℤ
∀x∈ℤ,∃(-2-x)∈ℤ
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x,y,z∈A
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x,y,z∈A
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n∈ℤ
∀x,y∈S
∀m,n∈S
n∈ℤ
∀x,y∈S
∀m,n∈S
n∈ℤ
∀x,y∈S
∀m,n∈S
n∈ℤ
∀x,y∈S
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n∈ℤ
∀x,y∈S
∀m,n∈S
n∈ℤ
∀x,y∈S
∀m,n∈S
n∈ℤ
∀x,y∈S
∀m,n∈S
n∈ℤ
∀x,y∈S
∀m,n∈S
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(12341432)
(12342413)
(12343124)
(12344213)
(12343241)
6a
Δ
Δ
7a
x∈A
8a
9a
10a
∈
∈
∈
	
	          Questão
	
	
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 3  é um grupo ?
	
	
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	Respondido em 12/06/2022 18:35:59
	
	 
	          Questão
	
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
	
	
	 
	e = 3
	
	e = 1
	
	e = 6
	
	e = -2
	
	e = 4
	Respondido em 12/06/2022 18:36:02
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 4  é um grupo ?
	
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	Respondido em 12/06/2022 19:03:53
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
 
 
	
	
	 
	b
	
	c
	
	d
	
	e
	
	a
	Respondido em 12/06/2022 19:04:56
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2.
	
	
	
	[2] = {2,4,6,0}
	
	[2] = {4,6,8,0}
	
	[2] = {2,4,8,0}
	 
	[2] = {2,4,6,8,0}
	
	[2] = {2,4,6,8}
	Respondido em 12/06/2022 19:05:54
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	Respondido em 12/06/2022 19:06:53
	
	          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	
	
	
	
	(1234
1432)
	
	(1234
2413)
	
	(1234
3124)
	 
	(1234
4213)
	 
	(1234
3241)
	Respondido em 12/06/2022 19:12:55
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas por:
 
a * b = a + b - 1
 
a Δb = a + b - ab
 
	
	
	
	e = 4
	
	e = 3
	
	e = 2
	
	e = 5
	 
	e = 1
	Respondido em 12/06/2022 19:13:31
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x∈A  então  - (-x) = x
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	Respondido em 12/06/2022 19:19:03
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Indique todos os divisores de zero do anel Z15.
	
	
	
	3,5,9,10 e 15
	
	2,3,6,8 e 10
	
	5,9,10, e 15
	 
	3,5,9,10 e 12
	
	3,5,6,10 e 15
	Respondido em 12/06/2022 19:19:43
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	 
	U(Z4) = {1,3}
	Respondido em 12/06/2022 19:20:04
	
	          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere a seguinte proposição:
Se I  e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A,
I ∩ J = {x ∈A, x ∈ I e x ∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z.
	
	
	
	3Z
	 
	6Z
	
	2Z
	
	5Z
	
	4Z
	 
	          Questão
	
	
	Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
	
	
	
	n = k
	 
	m = n
	
	m < n
	
	m = k
	
	m > n
	Respondido em 12/06/2022 18:36:06
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	Existe elemento neutro e = -1
	 
	Existe elemento neutro e = 0
	
	Existe elemento neutro e = 1
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Não existe elemento neutro
	Respondido em 12/06/2022 18:36:11
	
	 
	          Questão
	
	
	O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é:
	
	
	
	Associativa.
	
	Elemento inverso.
	
	Distributiva.
	
	Elemento neutro.
	 
	Comutativa.
	Respondido em 12/06/2022 18:36:16
	
	 
	          QuestãoO conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x ⋆ y=x+y2   é um grupo ?
	
	
	
	Sim, pois existe elemento simétrico
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	 
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Sim, pois existe elemento neutro e = 1
	Respondido em 12/06/2022 18:36:21
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y + xy
Verifique a existência do elemento neutro.
	
	
	 
	Existe elemento neutro e = 0
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	Não existe elemento neutro
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Existe elemento neutro e = 1
	Respondido em 12/06/2022 18:36:22
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
(I ) A operação  x⋆y=x+y2,  G = R sobre G é um grupo.
(II)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo.
(III)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4
Podemos concluir que
	
	
	
	A afirmação I é verdadeira
	 
	A afirmação III é verdadeira
	
	A afirmação II  é verdadeira
	
	A afirmação III é falsa
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	12
	
	5
	
	4
	 
	1
	
	3
	Respondido em 12/06/2022 18:42:45
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
	
	
	 
	m = n
	
	m > n
	
	n = k
	
	m = k
	
	m < n
	Respondido em 12/06/2022 18:42:35
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	Não existe elemento neutro
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	Existe elemento neutro e = 1
	 
	Existe elemento neutro e = 0
	Respondido em 12/06/2022 18:42:27
	
	 
	          Questão
	
	
	O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é:
	
	
	
	Elemento neutro.
	
	Associativa.
	
	Elemento inverso.
	
	Distributiva.
	 
	Comutativa.
	Respondido em 12/06/2022 18:42:22
	
	 
	          Questão
	
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x ⋆ y=x+y2   é um grupo ?
	
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Sim, pois existe elemento simétrico
	
	Sim, pois existe elemento neutro e = 1
	 
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	Respondido em 12/06/2022 18:42:11
	
	 
	          Questão
	
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
	
	
	
	e = 6
	
	e = 1
	
	e = 4
	 
	e = 3
	
	e = -2
	Respondido em 12/06/2022 18:42:03
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
	          Questão
	
	
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 3  é um grupo ?
	
	
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	Respondido em 12/06/2022 18:41:48
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
(I ) A operação  x⋆y=x+y2,  G = R sobre G é um grupo.
(II)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo.
(III)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4
Podemos concluir que
	
	
	
	A afirmação II  é verdadeira
	
	A afirmação III é falsa
	
	As afirmações I e III são falsas
	 
	A afirmação III é verdadeira
	
	A afirmação I é verdadeira
	
          Questão
	
	
	Considere o grupo < Z5, +> . Construa a tabela de operações e identifique quem são os elementos simétricos.
Tábua de operações
	+
	0
	1
	2
	3
	4
	0
	 
	 
	 
	 
	 
	1
	 
	 
	 
	 
	 
	2
	 
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	 
 
	
	
	
	0=3;1= 2; 2=4;3= 0; 4`= 2
	 
	0=0;1= 4; 2=3;3= 2; 4`= 1
	
	0=1;1= 2; 2=3;3= 1; 4`= 0
	
	0=2;1= 4; 2=0;3= 2; 4`= 1
	
	0=4;1= 0; 2=3;3= 2; 4`= 1
	Respondido em 12/06/2022 18:43:22
	
Explicação: Os elementos simétricos são aqueles que, operado com outro, resulte no elemento neutro do grupo.
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8.
	
	
	 
	1
	
	4
	
	2
	
	3
	
	- 5/3
	Respondido em 12/06/2022 18:43:27
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	Respondido em 12/06/2022 18:43:32
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯2  em Z3.
	
	
	
	e = ¯¯¯¯¯−1
	
	e = ¯¯¯¯¯−2
	
	e = ¯3
	 
	e = ¯1
	
	e = ¯2
	Respondido em 12/06/2022 18:43:39
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
	
	
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	2, 3 e 5
	
	1, 3 e 4
	 
	1, 2 e 5
	
	2, 3, 4 e 5
	Respondido em 12/06/2022 18:43:45
	
	 
	          Questão
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
	
	
	 
	x = f   
	
	x = a
 
	
	x = c
 
	
	x = d
 
	
	x = b
 
	Respondido em 12/06/2022 18:43:50
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto  Z11.
	
	
	 
	4
	
	6
	
	8
	
	48
	
	5
	Respondido em 12/06/2022 18:43:56
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas.
(I) 1 é o elemento neutro
(II) seja comutativa
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis
(IV) todos os elementos de G são regulares
(V) 2*3 = 1
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	Respondido em 12/06/2022 18:44:01
	
	
	          Questão
	
	
	Considere o grupo < Z5, +> . Construa a tabela de operações e identifique quem são os elementos simétricos.
Tábua de operações
	+
	0
	1
	2
	3
	4
	0
	 
	 
	 
	 
	 
	1
	 
	 
	 
	 
	 
	2
	 
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	 
 
	
	
	
	0=3;1= 2; 2=4;3= 0; 4`= 2
	 
	0=0;1= 4; 2=3;3= 2; 4`= 1
	
	0=1;1= 2; 2=3;3= 1; 4`= 0
	
	0=2;1= 4; 2=0;3= 2; 4`= 1
	
	0=4;1= 0; 2=3;3= 2; 4`= 1
	Respondido em 12/06/2022 18:43:22
	
Explicação: Os elementos simétricos são aqueles que, operado com outro, resulte no elemento neutro do grupo.
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8.
	
	
	 
	1
	
	4
	
	2
	
	3
	
	- 5/3
	Respondido em 12/06/2022 18:43:27
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	Respondido em 12/06/2022 18:43:32
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯2  em Z3.
	
	
	
	e = ¯¯¯¯¯−1
	
	e = ¯¯¯¯¯−2
	
	e = ¯3
	 
	e = ¯1
	
	e = ¯2
	Respondido em 12/06/2022 18:43:39Questão
	
	
	Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
	
	
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	2, 3 e 5
	
	1, 3 e 4
	 
	1, 2 e 5
	
	2, 3, 4 e 5
	Respondido em 12/06/2022 18:43:45
	
	 
	          Questão
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
	
	
	 
	x = f   
	
	x = a
 
	
	x = c
 
	
	x = d
 
	
	x = b
 
	Respondido em 12/06/2022 18:43:50
	
	 
	          Questão
	
	
	Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto  Z11.
	
	
	 
	4
	
	6
	
	8
	
	48
	
	5
	Respondido em 12/06/2022 18:43:56
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas.
(I) 1 é o elemento neutro
(II) seja comutativa
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis
(IV) todos os elementos de G são regulares
(V) 2*3 = 1
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	Respondido em 12/06/2022 18:44:01
	
	
	          Questão
	
	
	Considere o grupo (Z,+)  e  a = 4. Determine a2.
	
	
	
	4
	 
	8
	
	2
	
	1
	
	16
	Respondido em 12/06/2022 18:45:35
	
	 
	          Questão
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine a ordem do elemento d.
	
	
	
	o(d) = 5
	
	o(d) = 2
 
	
	o(d) = 4
 
	
	o(d) = 1
 
	 
	o(d) = 3 
 
	Respondido em 12/06/2022 18:45:42
	
	 
	          Questão
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
	
	
	
	x = d
 
	 
	x = c  
	
	x = f
	
	x = b
	
	x = a
	Respondido em 12/06/2022 18:45:59
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere o grupo (Z6 ,+)  e  a = 4. Determine a2 .
	
	
	
	8
	
	16
	 
	2
	
	4
	
	1
	Respondido em 12/06/2022 18:46:04
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z.   
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +).  
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +)  
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que
	
	
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	 
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	A afirmação I é verdadeira
	
	As afirmações III e IV são falsas
	Respondido em 12/06/2022 18:46:09
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja (Z6, +) um grupo. Verifique  se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de
(Z6, +).
	
	
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H.
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +).
	
	H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6.
	 
	H não é subgrupo de (Z6, +).
	
	H é subgrupo de (Z6, +).
	Respondido em 12/06/2022 18:46:14
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	Respondido em 12/06/2022 18:46:18
	
	 
	          Questão
	
	
	Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição.
	
	
	
	Então H é um subgrupo de G se é  satisfeita  a seguinte propriedade:   
 ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	 
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: 
∀ h1,h2 ∈H, temos  h1h2 ∈H   e
 ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se  é  satisfeita a seguinte propriedade:  ∀ h1,h2 ∈H, temos  h1h2 ∈H.  
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h1,h2 ∈ H  temos  h1h2 ∈ H.
 
	
	          Questão
	
	
	Considere o grupo (Z,+)  e  a = 4. Determine a2.
	
	
	
	4
	 
	8
	
	2
	
	1
	
	16
	Respondido em 12/06/2022 18:45:35
	
	 
	          Questão
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine a ordem do elemento d.
	
	
	
	o(d) = 5
	
	o(d) = 2
 
	
	o(d) = 4
 
	
	o(d) = 1
 
	 
	o(d) = 3 
 
	Respondido em 12/06/2022 18:45:42
	
	 
	          Questão
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
	
	
	
	x = d
 
	 
	x = c  
	
	x = f
	
	x = b
	
	x = a
	Respondido em 12/06/2022 18:45:59
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere o grupo (Z6 ,+)  e  a = 4. Determine a2 .
	
	
	
	8
	
	16
	 
	2
	
	4
	
	1
	Respondido em 12/06/2022 18:46:04
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z.   
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +).  
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +)  
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que
	
	
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	 
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	A afirmação I é verdadeira
	
	As afirmações III e IV são falsas
	Respondido em 12/06/2022 18:46:09
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja (Z6, +) um grupo. Verifique  se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de
(Z6, +).
	
	
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H.
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +).
	
	H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6.
	 
	H não é subgrupo de (Z6, +).
	
	H é subgrupo de (Z6, +).
	Respondido em 12/06/2022 18:46:14
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z
Portanto,  (3Z, *)é um subgrupo de (Z, *).
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	Respondido em 12/06/2022 18:46:18
	
	 
	          Questão
	
	
	Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição.
	
	
	
	Então H é um subgrupo de G se é  satisfeita  a seguinte propriedade:   
 ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	 
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: 
∀ h1,h2 ∈H, temos  h1h2 ∈H   e
 ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se  é  satisfeita a seguinte propriedade:  ∀ h1,h2 ∈H, temos  h1h2 ∈H.  
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h1,h2 ∈ H  temos  h1h2 ∈ H.
 
	
	          Questão
	
	
	Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	Respondido em 12/06/2022 18:47:51
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
	
	
	 
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	{i, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	Respondido em 12/06/2022 18:47:53
	
	 
	          Questão
	
	
	Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
	
	
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	
	H é cíclico
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	 
	A ordem de H divide a ordem de G.
	Respondido em 12/06/2022 18:47:57
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	Respondido em 12/06/2022 18:47:59
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
	
	
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	 
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	          Questão
	
	
	Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	Respondido em 12/06/2022 18:48:27
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
	
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	 
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	
	{i, - i}
	Respondido em 12/06/2022 18:48:30
	
	 
	          Questão
	
	
	Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
	
	
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	 
	A ordem de H divide a ordem de G.
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	H é cíclico
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	Respondido em 12/06/2022 18:48:32
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	Respondido em 12/06/2022 18:48:36
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
	
	
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	 
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	          Questão
	
	
	  
	
	
	
	(12343124)
	 
	(12343241)
	
	(12341432)
	
	(12342413)
	
	(12344213)
	Respondido em 12/06/202218:49:07
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	N(f) = {3}
	 
	N(f) = {0}
	
	N(f) = {1}.
	
	N(f) = {2}.
	
	N(f) = {4}.
	Respondido em 12/06/2022 18:49:13
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere dos conjuntos G e H. Marque a alternativa que explica corretamente como devemos mostrar que G é isomorfo a H.
	
	
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja bijetora.
 
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja sobrejetora.
	 
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função 
f: G → H que seja bijetora,  e verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja injetiva,  e verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
 
	Respondido em 12/06/2022 18:49:17
	
	 
	          Questão
	
	
	 
Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta.
 
(I)    Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+)  não são  isomorfos. 
(III)  Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+)   são isomorfos.                    
                  
	
	
	
	I e II , apenas
	
	I , apenas
	
	II e III , apenas
	 
	II , apenas
	
	III , apenas
	Respondido em 12/06/2022 18:49:21
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d).  f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo.
	
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + 5y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x - 5y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + y = 0}
	 
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + 5y = 0}
	Respondido em 12/06/2022 18:49:25
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	(12344213)
	
	(12341432)
	
	(12342413)
	 
	(12343124)
	
	(12343241)
	Respondido em 12/06/2022 18:49:29
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos.
 
	
	
	
	Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀ ∈ G1 onde  f é um homomorfismo de grupos.
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção.
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆).  se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀ ∈ G1  onde f é um homomorfismo de grupos.
	 
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆).  Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	Respondido em 12/06/2022 18:49:33
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
	
	
	
	N(f) = {3}
	
	N(f) = {4}
	
	N(f) = {1}
	
	N(f) = {2}
	 
	N(f) = {0}
	
	          Questão
	
	
	  
	
	
	
	(12343124)
	 
	(12343241)
	
	(12341432)
	
	(12342413)
	
	(12344213)
	Respondido em 12/06/2022 18:49:07
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	N(f) = {3}
	 
	N(f) = {0}
	
	N(f) = {1}.
	
	N(f) = {2}.
	
	N(f) = {4}.
	Respondido em 12/06/2022 18:49:13
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere dos conjuntos G e H. Marque a alternativa que explica corretamente como devemos mostrar que G é isomorfo a H.
	
	
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja bijetora.
 
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja sobrejetora.
	 
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função 
f: G → H que seja bijetora,  e verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função  f: G → H que seja injetiva,  e verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única  condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
 
	Respondido em 12/06/2022 18:49:17
	
	 
	          Questão
	
	
	 
Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta.
 
(I)    Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+)  não são  isomorfos. 
(III)  Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+)   são isomorfos.                    
                  
	
	
	
	I e II , apenas
	
	I , apenas
	
	II e III , apenas
	 
	II , apenas
	
	III , apenas
	Respondido em 12/06/2022 18:49:21
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d).  f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo.
	
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + 5y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x - 5y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + y = 0}
	 
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + 5y = 0}
	Respondido em 12/06/2022 18:49:25
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	(12344213)
	
	(12341432)
	
	(12342413)
	 
	(12343124)
	
	(12343241)
	Respondido em 12/06/2022 18:49:29
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos.
 
	
	
	
	Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀ ∈ G1 onde  f é um homomorfismo de grupos.
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção.
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆).  se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀ ∈ G1  onde f é um homomorfismo de grupos.
	 
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆).  Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	Respondido em 12/06/2022 18:49:33
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
	
	
	
	N(f) = {3}
	
	N(f) = {4}
	
	N(f) = {1}
	
	N(f) = {2}
	 
	N(f) = {0}
	
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	x' = - a
 
	
	x' = -2 + a
 
	
	x' = 2 + a
 
	
	x' = -2 - ax' = 2 - a
	Respondido em 12/06/2022 18:51:31
	
	 
	          Questão
	
	
	Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas.
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos.
(II) (Zn , +),  n∈N⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos.
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈N.
 
	
	
	
	As afirmativas I e II estão corretas
	
	Apenas a afirmativa II está correta
	
	As afirmativas I e III estão corretas
	 
	As afirmativas II e III estão corretas
	
	As afirmativas I, II e III estão corretas
	Respondido em 12/06/2022 18:51:35
	
	 
	          Questão
	
	
	Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual:
	
	
	 
	nZ
	
	Q
	
	Z_
	
	Zn
	
	Z
	Respondido em 12/06/2022 18:51:37
	
	 
	          Questão
	
	
	Indique a opção que representa uma solução para o sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no anel Z12:
	
	
	
	x=5 e y={3,8,9}
	 
	x= 3 e y= 5
	
	x= 3 e y= 4
	
	x= 1 e y= 5
	
	x= 3 e y= 8
	Respondido em 12/06/2022 18:51:40
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas por:
 
a * b = a + b - 1
 
a Δb = a + b - ab
 
	
	
	
	e = 5
	 
	e = 1
	
	e = 4
	
	e = 3
	
	e = 2
	Respondido em 12/06/2022 18:51:44
	
	 
	          Questão
	
	
	Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 .
	
	
	
	X= 2 e y=3
	
	X= 5 e y=6
	 
	X= 3 e y=3
	
	X= 2 e y=2
	
	X= 2 e y=4
	Respondido em 12/06/2022 18:51:48
	
	 
	          Questão
	
	
	Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução :
	
	
	
	x = 5
	
	x = 8
	 
	x = 1
	
	x = 10
	
	x = 3
	Respondido em 12/06/2022 18:51:52
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	a - c
 
	 
	d - c
	
	c - b
	
	b - c
	
	a - b
	
	          Questão
	
	
	O conjunto das matrizes (Mn(A), +, .) é um anel. Considerando essa informação marque a alternativa que indica a existência do elemento simétrico para a adição.
	
	
	 
	Seja  X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos  - X = [- xij] em (Mn(A), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] =  e. Logo, - X = [- xij]  é o simétrico de X = [xij].
	
	Seja  X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0.
Então tomemos  - X = .    Logo, - X = [- xij]  é o simétrico de X = [xij].
	
	Seja  X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel . Então tomemos  - X = [ xij] em (Mn(A)),
então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] =  e. Logo, - X = -[ xij]  é o simétrico
de X = [xij].
	
	Seja  X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então
 tomemos  - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0].
	
	Existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos  - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (+X) = [xij] + [xij] = [xij  + xij] .
Logo, X = [- xij]  é o simétrico de X = [xij].
	Respondido em 12/06/2022 18:52:27
	
	 
	          Questão
	
	
	As tábuas abaixo representam as operações de adição e multiplicação no anel
A = {a,b,c} com três elementos distintos. As tábuas estão incompletas. Marque a alternativa que apresenta os elementos que estão faltando nas tabelas da adição e multiplicação, respectivamente.
 
	
	
	
	b - a
	
	a - b
	
	a - c
 
	
	b - c
	 
	c - b
	Respondido em 12/06/2022 18:52:32
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere as operações x * y = x + y - 2  e  x Δ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Z. Para que valor de a, (Z, * , Δ) é um anel?
	
	
	
	a = 1
	
	a = 3
	
	a = 2
	 
	a = 6
	
	a = - 2
	Respondido em 12/06/2022 18:52:34
	
	 
	          Questão
	
	
	Um anel A é um conjunto não vazio, munidos de duas operações internas: (+) adição e a (.) multiplicação, que satisfazem as seguintes condições:
I  - Em relação a adição(+): associativa, existência do elemento neutro, existência do elemento simétrico, comutativa. Em relação a multiplicação (.), temos: associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro e a comutativa.
II - Em relação a adição(+): associativa, existência do elemento neutro, existência do elemento simétrico, comutativa.
III - Em relação a multiplicação (.), temos: associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro e a comutativa.
	
	
	
	Somente a I e a II são verdadeiras
	
	Somente a II e a III são verdadeiras.
	
	Somente a III é verdadeira
	 
	Somente a I é verdadeira
	
	Somente a II é verdadeira
	Respondido em 12/06/2022 18:52:39
	
Explicação:
Por definição:
Em relação a adição(+): associativa, existência do elemento neutro, existência do elemento simétrico, comutativa.
Em relação a multiplicação (.), temos: associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro e a comutativa.
	
	 
	          Questão
	
	
	Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual:
	
	
	
	Z_
	 
	nZ
	
	Z
	
	Q
	
	Zn
	Respondido em 12/06/2022 18:52:43
	
	 
	          Questão
	
	
	Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta.
 
(I)  (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z.
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III)  Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK  o conjunto de todas as funções de K em A.
 
	
	
	 
	I e III , apenas
	
	I e II , apenas
	
	III , apenas
	
	I , apenas
	
	II , apenas
	Respondido em 12/06/2022 18:52:47
	
	 
	          Questão
	
	
	
   O elemento neutro desse anel é
 
	
	
	 
	e = 0
 
	
	e = -1
 
	
	e = 2
 
	
	e = -2
	
	e = 1
 
	Respondido em 12/06/2022 18:52:52
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	∀x∈Z,∃(2+ x)∈Z
	
	∀x∈Z,∃(1−x)∈Z
	
	∀x∈Z,∃(−2+ x)∈Z
	 
	∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z
	
	∀x∈Z,∃(−1−x)∈Z
	
	          Questão
	
	
	A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição   sobre o assunto estudado:
          Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z,  m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
	
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
	 
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n  temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Porindução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
	Respondido em 12/06/2022 18:53:22
	
	 
	          Questão
	
	
	A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z∈A  então  (x - y)z = xz - yz.
 
	
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	 
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
         Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos:  xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	Respondido em 12/06/2022 18:53:26
	
	 
	          Questão
	
	
	A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição   sobre o assunto estudado:
          Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z,  m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
	
	
	 
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n  temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	Respondido em 12/06/2022 18:53:29
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que:
	
	
	 
	M_2x2 (R) é um anel comutativo.
	
	Nenhuma das anteirores
	
	M_2x2 (R) tem unidade.
	
	M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma.
	
	M_2x2 (R) tem divisores de zero
	Respondido em 12/06/2022 18:53:35
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade.
	
	
	
	(R, + , .) não é um anel com unidade.
 
	
	(Q, +, .) não é um anel com unidade.
 
	 
	O anel (Zm,+, .)  é um anel com unidade para m ≥ 2.
	
	(C,+, .) não é um anel com unidade.
 
	
	(Z, +, .) não é um anel com unidade.
 
	Respondido em 12/06/2022 18:53:39
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a única alternativa correta sobre os anéis comutativos.
 
	
	
	 
	(RR, +,.) é um anel comutativo.
	
	Os anéis das matrizes são anéis comutativos se n ≥ 2.
	
	(C,+,.) não é um anel comutativo.
	
	(Z,+,.) não é um anel comutativo.
	
	(Zm,+, .) não é um anel comutativo
	Respondido em 12/06/2022 18:53:41
	
	 
	          Questão
	
	
	A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z∈A  então  (x - y)z = xz - yz.
 
	
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos:  xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	 
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
         Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	Respondido em 12/06/2022 18:53:46
	
	 
	          Questão
	
	
	Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo.
	
	
	
	x(y + z) = x.y + x.z
	
	(x + y) + z = x + (y + z)
	
	x + y = y + x
	 
	x.y= y.x
	
	(x.y).z = x.(y.z)
	
	          Questão
	
	
	A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição   sobre o assunto estudado:
          Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z,  m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
	
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
	 
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n  temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
	Respondido em 12/06/2022 18:53:22
	
	 
	          Questão
	
	
	A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z∈A  então  (x - y)z = xz - yz.
 
	
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ )um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	 
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
         Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos:  xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	Respondido em 12/06/2022 18:53:26
	
	 
	          Questão
	
	
	A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição   sobre o assunto estudado:
          Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z,  m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
	
	
	 
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n  temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	Respondido em 12/06/2022 18:53:29
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que:
	
	
	 
	M_2x2 (R) é um anel comutativo.
	
	Nenhuma das anteirores
	
	M_2x2 (R) tem unidade.
	
	M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma.
	
	M_2x2 (R) tem divisores de zero
	Respondido em 12/06/2022 18:53:35
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade.
	
	
	
	(R, + , .) não é um anel com unidade.
 
	
	(Q, +, .) não é um anel com unidade.
 
	 
	O anel (Zm,+, .)  é um anel com unidade para m ≥ 2.
	
	(C,+, .) não é um anel com unidade.
 
	
	(Z, +, .) não é um anel com unidade.
 
	Respondido em 12/06/2022 18:53:39
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a única alternativa correta sobre os anéis comutativos.
 
	
	
	 
	(RR, +,.) é um anel comutativo.
	
	Os anéis das matrizes são anéis comutativos se n ≥ 2.
	
	(C,+,.) não é um anel comutativo.
	
	(Z,+,.) não é um anel comutativo.
	
	(Zm,+, .) não é um anel comutativo
	Respondido em 12/06/2022 18:53:41
	
	 
	          Questão
	
	
	A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z∈A  então  (x - y)z = xz - yz.
 
	
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos:  xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	 
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
         Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	Respondido em 12/06/2022 18:53:46
	
	 
	          Questão
	
	
	Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo.
	
	
	
	x(y + z) = x.y + x.z
	
	(x + y) + z = x + (y + z)
	
	x + y = y + x
	 
	x.y= y.x
	
	(x.y).z = x.(y.z)
	
	          Questão
	
	
	A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A,  com x ≠ 0 e  y ≠ 0. Se xy = 0A,  podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a alternativa correta.
	
	
	 
	2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6  
	
	o anel Z7  possui divisores próprios de zero. 
	
	O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
	
	3, 5, e 12  são os únicos divisores de Z15.
	
	2 e 4 não são divisores de zero em Z8.
	Respondido em 12/06/2022 18:55:17
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
	          Questão
	
	
	Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B:
	
	
	
	A=3Z e B=2Z
	
	A=Z e B=Zn
	
	A=Q e B=Z3
	 
	A=Z e B=2Z
	
	A=Q e B=Zn
	Respondido em 12/06/2022 18:55:21
	
	 
	          Questão
	
	
	O anel Z6  admite quantos divisores de zero?
	
	
	
	1
	
	4
	
	2
	 
	3
	
	5
	Respondido em 12/06/2022 18:55:24
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	Somente a II está correta.
 
	
	Somente a II e III estão corretas.
	 
	Somente a III está correta.
 
	
	Somente a I  e II estão corretas.
 
	
	Somente a I está correta.
 
	Respondido em 12/06/2022 18:55:29
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	 
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	Respondido em 12/06/2022 18:55:34
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
(I)                2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II)             O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III)          Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV)          O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
	
	
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	 
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	Respondido em 12/06/2022 18:55:38
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a única alternativa corretasobre os subanéis.
	
	
	
	(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.).  
	 
	O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈Z}
	
	O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6.
 
	
	O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z.
	
	Q,+,.)  não é um subanel de (R,+,.)  e (C,+,.).
 
	Respondido em 12/06/2022 18:55:43
	
	 
	          Questão
	
	
	De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.  Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma justificativa para essa proposição.  Marque a alternativa que apresenta corretamente a justificativa desenvolvida pelo Carlos.
	
	
	 
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Z} veja que:
 ∀x,y∈S  e ∀m,n∈S,  temos x = 2n + 1  e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S.  Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. 
 
	
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Z} veja que:
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	Dado o conjunto S = {2n / n∈Z} veja que:
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n  e y = 2m
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n  - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Z} veja que:
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	          Questão
	
	
	Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a intersecção de B e C é subanel de A.
	
	
	
	Sejam x e y pertencentes aos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo e x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x.y pertence a C (Subanel por hipótese) , logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	 
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x.y pertence a C (Subanel por hipótese) , logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B não é C é Subanel .
	
	Sejam x e y pertencentes ao subanel B e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	Respondido em 12/06/2022 18:56:12
	
	 
	          Questão
	
	
	De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.  Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma justificativa para essa proposição.  Marque a alternativa que apresenta corretamente a justificativa desenvolvida pelo Carlos.
	
	
	 
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Z} veja que:
 ∀x,y∈S  e ∀m,n∈S,  temos x = 2n + 1  e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S.  Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. 
 
	
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Z} veja que:
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	Dado o conjunto S = {2n / n∈Z} veja que:
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n  e y = 2m
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n  - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Z} veja que:
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	
	Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z.
	Respondido em 12/06/2022 18:56:15
	
	 
	          Questão
	
	
	Indique todos os divisores de zero do anel Z15.
	
	
	
	2,3,6,8 e 10
	
	5,9,10, e 15
	
	3,5,6,10 e 15
	
	3,5,9,10 e 15
	 
	3,5,9,10 e 12
	Respondido em 12/06/2022 18:56:20
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
(I)                2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II)             O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III)          Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV)          O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
	
	
	
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	 
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	Respondido em 12/06/2022 18:56:24
	
	 
	          Questão
	
	
	Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B:
	
	
	
	A=Q e B=Z3
	
	A=3Z e B=2Z
	 
	A=Z e B=2Z
	
	A=Z e B=Zn
	
	A=Q e B=Zn
	Respondido em 12/06/2022 18:56:26
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
	          Questão
	
	
	
	
	
	
	o elemento simétrico do anel é x' = 1 - x
	 
	não é um anel de integridade
	
	o anel possui unidade
	
	o elemento neutro do anel é e = 1
	
	não é um anel comutativo
	Respondido em 12/06/2022 18:56:30
	
	 
	          Questão
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
 (I)  2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero,
        se o mdc(x,m) = 1.
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
	
	
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	 
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	Respondido em 12/06/2022 18:56:35
	
	 
	          Questão
	
	
	Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel deintegridade:
	
	
	 
	Q
	
	Z3
	
	Z x Z
	
	Z14
	
	M2 (iR) (conjunto das matrizes de ordem 2)
	
	          Questão
	
	
	Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	 
	U(Z4) = {1,3}
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:05
	
	 
	          Questão
	
	
	No anel Z6  determine Idemp (Z6 ).
	
	
	
	Idemp (Z6 ) = {2,3,4}
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2}
	 
	Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2,3}
	
	Idemp (Z6 ) = {1}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:09
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a única afirmação correta.
	
	
	
	Todo subanel é um corpo
	
	o anel Zn é um corpo para todo n
	
	Todo anel comutativo é um corpo
	
	Todo anel de integridade é um corpo
	 
	Todo anel de integridade finito e um corpo
	Respondido em 12/06/2022 18:57:13
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine U(Z12)  em Z12.
	
	
	 
	U(Z12) = {1,5,7,11}
	
	U(Z12) = {7,11}
	
	U(Z12) = {1,5,11}
	
	U(Z12) = {5,7,11}
	
	U(Z12) = {1,7,11}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:15
	
	 
	          Questão
	
	
	No anel Z8, determine Nilp (Z8 ).
	
	
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4, 6}
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4}
	 
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6}
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2}
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:19
	
	 
	          Questão
	
	
	Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	 
	U(Z4) = {1,3}
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:23
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo.
	
	
	 
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
	
	Um Corpo é um anel que tem apenas  unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x = 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	Um Corpo é um anel  comutativo que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K não possuir inverso multiplicativo.
	Respondido em 12/06/2022 18:57:27
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta.
	
	
	
	A não tem divisores de zero  ⇔ B tem divisores de zero.
	 
	A é corpo  ⇔   B é corpo.
	
	A tem unidade ⇔ B não tem unidade.
	
	A é comutativo ⇔ B não é comutativo.
	
	A é domínio ⇔ B não é domínio.
	
	          Questão
	
	
	Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	 
	U(Z4) = {1,3}
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:05
	
	 
	          Questão
	
	
	No anel Z6  determine Idemp (Z6 ).
	
	
	
	Idemp (Z6 ) = {2,3,4}
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2}
	 
	Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2,3}
	
	Idemp (Z6 ) = {1}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:09
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a única afirmação correta.
	
	
	
	Todo subanel é um corpo
	
	o anel Zn é um corpo para todo n
	
	Todo anel comutativo é um corpo
	
	Todo anel de integridade é um corpo
	 
	Todo anel de integridade finito e um corpo
	Respondido em 12/06/2022 18:57:13
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine U(Z12)  em Z12.
	
	
	 
	U(Z12) = {1,5,7,11}
	
	U(Z12) = {7,11}
	
	U(Z12) = {1,5,11}
	
	U(Z12) = {5,7,11}
	
	U(Z12) = {1,7,11}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:15
	
	 
	          Questão
	
	
	No anel Z8, determine Nilp (Z8 ).
	
	
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4, 6}
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4}
	 
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6}
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2}
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:19
	
	 
	          Questão
	
	
	Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	 
	U(Z4) = {1,3}
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:23
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo.
	
	
	 
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
	
	Um Corpo é um anel que tem apenas  unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x = 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	Um Corpo é um anel  comutativo que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K não possuir inverso multiplicativo.
	Respondido em 12/06/2022 18:57:27
	
	 
	          Questão
	
	
	Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta.
	
	
	
	A não tem divisores de zero  ⇔ B tem divisores de zero.
	 
	A é corpo  ⇔   B é corpo.
	
	A tem unidade ⇔ B não tem unidade.
	
	A é comutativo ⇔ B não é comutativo.
	
	A é domínio ⇔ B não é domínio.
	
	          Questão
	
	
	Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	 
	U(Z4) = {1,3}
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:05
	
	 
	          Questão
	
	
	No anel Z6  determine Idemp (Z6 ).
	
	
	
	Idemp (Z6 ) = {2,3,4}
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2}
	 
	Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2,3}
	
	Idemp (Z6 ) = {1}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:09
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a única afirmação correta.
	
	
	
	Todo subanel é um corpo
	
	o anel Zn é um corpo para todo n
	
	Todo anel comutativo é um corpo
	
	Todo anel de integridade é um corpo
	 
	Todo anel de integridade finito e um corpo
	Respondido em 12/06/2022 18:57:13
	
	 
	          Questão
	
	
	Determine U(Z12)  em Z12.
	
	
	 
	U(Z12) = {1,5,7,11}
	
	U(Z12) = {7,11}
	
	U(Z12) = {1,5,11}
	
	U(Z12) = {5,7,11}
	
	U(Z12) = {1,7,11}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:15
	
	 
	          Questão
	
	
	No anel Z8, determine Nilp (Z8 ).
	
	
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4, 6}
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4}
	 
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6}
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2}
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:19
	
	 
	          Questão
	
	
	Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	 
	U(Z4) = {1,3}
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	Respondido em 12/06/2022 18:57:23
	
	 
	          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo.
	
	
	 
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-1 = 1.
	
	Um Corpo é um anel que tem apenas  unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo,