Exercício de Algebra Linear (105)

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A5) Sejam a, b, c elementos de um grupo (G, ∗) com elemento neutro e. Determine
as soluções x ∈ G das seguintes equações:
a) c−1 ∗ x ∗ c = e b) b ∗ x ∗ b−1 = b
c) c ∗ x ∗ a ∗ c = b d) a ∗ b−1 ∗ x ∗ b ∗ a−1 = a ∗ b
Solução:
a) Multiplicando por c à esquerda e por c−1 à direita, obtemos: c−1 ∗ x ∗ c = e
⇒ c ∗ c−1︸ ︷︷ ︸
= e
∗x ∗ c ∗ c−1︸ ︷︷ ︸
= e
= c ∗ e ∗ c−1︸ ︷︷ ︸
= e
⇒ x = e. Neste caso, o uso de parênteses
pode ser eliminado porque a operação ∗ é associativa.
b) Multiplicando por b−1 à esquerda e por b à direita, obtemos: b ∗ x ∗ b−1 = b
⇒ b−1 ∗ b︸ ︷︷ ︸
= e
∗x ∗ b−1 ∗ b︸ ︷︷ ︸
= e
= b−1 ∗ b︸ ︷︷ ︸
= e
∗b⇒ x = b.
c) Multiplicando por c−1 à esquerda e à direita, obtemos: c ∗ x ∗ a ∗ c = b ⇒
c−1 ∗ c︸ ︷︷ ︸
= e
∗x ∗ a ∗ c ∗ c−1︸ ︷︷ ︸
= e
= c−1 ∗ b ∗ c−1⇒ x ∗ a = c−1 ∗ b ∗ c−1. Multiplicando por
a−1 à direita, obtemos x ∗ a ∗ a−1︸ ︷︷ ︸
= e
= c−1 ∗ b ∗ c−1 ∗ a−1⇒ x = c−1 ∗ b ∗ c−1 ∗ a−1
é a única solução da equação.
d) Multiplicando por a−1 à esquerda e por a à direita, obtemos: a∗b−1∗ x∗b∗a−1 =
a∗b⇒ a−1 ∗ a︸ ︷︷ ︸
= e
∗b−1∗x∗b∗a−1 ∗ a︸ ︷︷ ︸
= e
= a−1 ∗ a︸ ︷︷ ︸
= e
∗b∗a−1 ⇒ b−1∗x∗b = b∗a−1. Mul-
tiplicando por b à esquerda e por b−1 à direita, obtemos: b ∗ b−1︸ ︷︷ ︸
= e
∗x ∗ b ∗ b−1︸ ︷︷ ︸
= e
=
b ∗ b ∗ a−1 ∗ b−1 ⇒ x = b ∗ b ∗ a−1 ∗ b−1. Denotando b ∗ b por b2 temos que a
solução dessa equação também pode ser escrita na forma x = b2 ∗ a−1 ∗ b−1.
Observação. Não podemos mudar a ordem dos fatores em cada caso porque não
sabemos se a operação é comutativa. Dessa forma, não é correto escrever a solução
da última equação como sendo x = b ∗ a−1 depois do “cancelamento” errado de b2
com b−1.
A6) Determine x ∈ S 5 que seja solução da equação a2xb−1 = c, onde
a =
(
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
)
, b =
(
1 2 3 4 5
1 2 4 3 5
)
e c =
(
1 2 3 4 5
5 4 3 1 2
)
.
Solução: A equação dada é aaxb−1 = c. Multiplicando por a−1a−1 à esquerda
e por b à direita, obtemos: a−1 a−1a︸︷︷︸
= e
ax b−1b︸︷︷︸
= e
= a−1a−1cb ⇒ a−1a︸︷︷︸
= e
x = a−1a−1cb
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