Matemática MGS (1)

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Apostila Digital
Matemática
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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AS QUATRO “OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS” 
 
 
 Cada uma das quatro operações tem mais de uma ideia ou mais de um uso na 
resolução de problemas. Para quem já está acostumado a lidar com situações-problema 
que envolvam essas operações, às vezes é difícil perceber as diferentes ideias implicadas 
em cada operação. Entretanto, para o aluno, essas diferenças constituem muitas vezes 
grandes obstáculos. Por isso, é muito importante, no trabalho com as quatro operações, 
que o professor explore conscientemente suas diferentes ações. A compreensão do 
significado das operações e seu uso na resolução de problemas são um dos objetivos mais 
importantes do bloco de conteúdos Números e Operações, definido nos Parâmetros 
Curriculares Nacionais (BRASIL. PCN, 1997) de Matemática. 
 
 
1. Os conceitos de adição e subtração 
 
 A conceituação da operação de adição serve de base para boa parte de 
aprendizagens futuras em Matemática. A criança deve passar por várias experiências 
concretas envolvendo o conceito da adição para que ela possa interiorizá-lo e transferi-lo 
para a aprendizagem do algoritmo, que vem a ser um mecanismo de cálculo. A 
conceituação da operação de subtração deve ser feita paralelamente, já que em atividades 
concretas a exploração dos dois tipos de conceitos é muito natural. Além disso, não 
podemos deixar escapar a oportunidade que o aluno tem de ver, na prática, que a 
subtração e a adição são operações inversas. Por exemplo, quando reúne objetos para 
desenvolver o significado da adição, a criança sente que pode também separá-los. Assim, 
ela vê que se 4 + 2 = 6, vale também que 6 – 2 = 4. 
 Quando desenvolve o conceito de número, a criança verifica, por exemplo, que 
pode arrumar cinco palitos como “quatro e um” ou “três e dois”. Tais experiências devem 
ser enriquecidas, para que a criança possa registrá-las mais tarde, em linguagem 
matemática como: 4 + 1 = 5 e 3 + 2 = 5. A professora ou o professor terá de oferecer 
inúmeras oportunidades concretas para que a criança comece a exprimir experiências em 
linguagem matemática. Assim, quando ela escreve 4 + 3 = 7, esta ação deve refletir uma 
experiência e não uma simples informação transmitida pela professora ou pelo professor. 
 
 
1.1 Ações associadas às operações de adição e subtração 
 
 A adição corresponde sempre a dois tipos básicos de ação: juntar (ou reunir) ou 
então acrescentar, enquanto a subtração corresponde às ações de: retirar, comparar ou 
completar. É muito importante que as crianças vivenciem experiências envolvendo todos 
estes tipos de ação. A dificuldade que os alunos sentem na resolução de problemas, 
expressada muitas vezes pela pergunta “que conta devo fazer?”, é causada, 
principalmente, pela falta de experiências concretas variadas. 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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Atividades que envolvem a ação de juntar 
 
1) Utilize materiais concretos como chapinhas palitos, botões, grãos e pedrinhas e uma 
folha de papel para cada aluno, na qual estão desenhados três círculos de cores diferentes 
(azul, vermelho e verde, por exemplo). Peça às crianças que coloquem 3 lápis no círculo 
vermelho e 2 no círculo azul. Feito isto, peça que juntem todos os lápis no círculo verde e 
pergunte: “quantos lápis estão reunidos no círculo verde?”. 
 
2) Explore atividades lúdicas, como por exemplo, o “jogo de esconder”. Neste jogo, 
distribua um certo número de objetos do mesmo tipo para cada dupla de alunos (podem 
ser 9 no primeiro momento, e mais tarde uma quantidade maior). Diga às crianças que o 
jogo tem as seguintes regras: 
 
a) Um aluno apresenta ao seu colega certa quantidade de fichas (ou do objeto que estiver 
sendo utilizando) arrumadas em dois grupos – as fichas não utilizadas permanecem 
escondidas da vista do outro jogador. 
b) Depois que o colega observar, junta as fichas e cobre-as com uma folha de papel. 
c) O outro aluno que joga deve dizer o total de fichas que ficou embaixo da folha. 
d) Em seguida, os dois alunos levantam a folha e conferem o resultado. Para cada 
resultado correto será marcado um ponto para o jogador. 
e) A turma faz 10 jogadas, revezando sempre o aluno jogador. Depois os pontos são 
contados para se determinar o vencedor da partida. 
 
Atividade que envolve a ação de acrescentar 
 
1) Uma forma interessante de se trabalhar é contar histórias, usando, por exemplo, 
flanelogravuras. Por exemplo: “Havia 5 patinhos no lago”. Peça que um aluno venha à 
frente e prenda cinco patinhos no flanelógrafo, de forma que as outras crianças 
acompanhem a tarefa. Continue contando: “Chegaram mais dois patinhos”. Outro aluno 
deve fazer a ação de acrescentar os novos patinhos ao flanelógrafo. Pergunte então, no 
final: “quantos patinhos estão agora no lago?”. 
 
Ações de acrescentar são também bastante comuns em situações que ocorrem no cotidiano 
da sala de aula. A professora ou o professor atento pode registrar estas ocorrências e fazer 
perguntas. 
 
 
Atividades que envolvem a ação de retirar 
 
1) Usando o mesmo tipo de material adotado em atividades anteriores, proponha que um 
aluno “coloque 5 borrachas dentro da caixa”. Depois, peça que ele “retire 3” e que, ao 
final, “verifique quantas ficaram na caixa”. 
 
2) Forme, na frente da turma, uma fila de crianças (até 9). Peça a uma criança, que não 
esteja na fila, que observe a quantidade de crianças na fila e depois vire de costas. Sem 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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falar, retire alguns alunos da fila e diga à criança de costas que se vire. Em seguida, 
pergunte: 
 
- “Quantos alunos havia na fila?” 
- “Quantos alunos ainda ficaram?” 
- “Quantos saíram?” 
 
Repita a atividade com outros alunos, sempre mudando o número de alunos da fila. 
 
 
Atividades que envolvem a ação de comparar 
 
 A ação de comparar não é do mesmo tipo que a ação de retirar. Considerando o 
grupo original dado, na ação de retirar uma parte era subtraída para se encontrar o resto. 
No entanto, numa ação comparativa como “Marcos tem 5 lápis e 2 canetas. Quantos lápis ele 
tem a mais do que canetas?”, as duas canetas não podem ser retiradas do conjunto de 5 lápis. 
 
 
 
 
 
 
 
 A forma de criar situações para que a criança perceba que a operação de subtração é 
a que deve ser associada à comparação é o emparelhamento de objetos. Colocando os 
elementos dos dois conjuntos, lado a lado, até que todos os elementos de um dos 
conjuntos tenham sido utilizados, a criança verá que a resposta (quantos a mais) é a 
quantidade de elementos que ficaram sem par. A ação concreta necessária para encontrar 
esta resposta é separar ou retirar os elementos do conjunto maior, que tiveram elementos 
correspondentes no conjunto menor. Assim, ele estará determinando o número de 
elementos do resto, e esta ação corresponde à determinação de quantos elementos a mais 
existem. 
 Dessa forma, estaremos sempre subtraindo elementos de um mesmo conjunto. Do 
total de 3 lápis (conjunto maior), retiramos 2 deles, que foram emparelhados com as 2 
borrachas. Sobra 1 lápis. Este resultado diz “quantos a mais” há no conjunto maior. 
 Utilize materiais diferenciados e proporcione muitas atividades de emparelhar 
objetos. Somente quando você perceber que a relação da ação de comparação com a 
subtração foi compreendida e está sendo corretamente utilizada, é quevocê poderá partir 
para generalizações, trabalhando com comparações nas quais os alunos não possam dispor 
os elementos dos dois conjuntos lado a lado. 
 
 
Atividades que envolvem a ação de completar 
 
 Para a criança, a utilização da subtração em situações de completar é ainda mais 
difícil. Quando precisamos descobrir quantos elementos faltam para completar um 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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conjunto de objetos, a ação de completar está intimamente relacionada à ação de 
acrescentar. No entanto, a operação realizada é a subtração, e as crianças devem ser 
ajudadas a compreender POR QUE se usa a subtração para resolver esse tipo de situação, 
à qual uma idéia aditiva está associada. 
 Aqui, para compreender que a subtração resolve esse tipo de situação-problema, o 
aluno deve ser levado a visualizar a quantidade total necessária e a retirada do que já tem 
deste total. Separando o conjunto de objetos disponíveis do total necessário, o aluno verá 
porque subtrai para encontrar a resposta. 
 Coloque no flanelógrafo (ou sobre uma mesa, ou em um mural) 2 agrupamentos de 
figuras, sendo que em um dos conjuntos faltam algumas figuras que estão no outro. 
Peça a um aluno que complete o segundo grupo, levando-o a responder à seguinte 
questão: “Quantas figuras você precisou colocar para que as quantidades ficassem 
iguais?”. 
 A ação de completar pode ser explorada em atividades nas quais os alunos tenham 
de completar uma tarefa já iniciada. Podemos utilizar folhas com desenhos para colorir ou 
completar: Veja: 
 
 Maria tem 4 vasos. 
- “Quantos estão com plantas?” 
- “Quantos estão vazios?” 
- “Complete o trabalho de Maria, desenhando flores nos 
vasos vazios”. 
 
 
 
1.2 O Algoritmo da Adição 
 
 Você já teve a oportunidade de analisar atividades que preparam o aluno para 
adicionar corretamente, incluindo aquelas voltadas para a compreensão do sistema de 
numeração – ou seja, estamos propondo adiar um pouco a introdução do algoritmo. 
Agora, vamos discutir brevemente nossos motivos para propor que você considere esta 
forma de trabalhar. 
 Em primeiro lugar, a habilidade de utilizar o algoritmo corretamente não se adquire 
de uma só vez, pois requer tempo e prática. Por isso, o algoritmo da adição só deve ser 
apresentado às crianças quando elas já dominarem, com certa segurança, o conceito da 
operação, os fatos básicos e o sistema de numeração. 
 É importante ainda ficar claro que não estamos fazendo um bom uso do algoritmo 
quando solicitamos a uma criança, um “arme e efetue” em adições como “5+2=” ou 
“8+7=”. Os resultados destas adições são fatos básicos e o algoritmo da adição não ajuda a 
criança a efetuar a operação. Nesses casos, é mais adequada a resolução por meio do 
cálculo mental (iniciando o processo de memorização com o auxílio de materiais de 
contagem). Na verdade, para que a criança utilize bem o algoritmo quando for operar com 
as representações dos números dispostas em colunas, ela precisará de boas estratégias 
mentais para determinar os resultados das adições de números de um algarismo. 
 Finalmente, consideramos que no processo de construção do algoritmo da adição, é 
recomendável que os primeiros exemplos já envolvam adições com “reservas”, ou seja, 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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aquelas em que a soma das unidades isoladas é maior que nove, sendo necessário fazer 
um agrupamento para a casa das dezenas. Trabalhando com “reserva” desde o início, o 
aluno compreende porque é necessário começar a operar pelas unidades, isto é, da direita 
para a esquerda, o que contraria seus hábitos de leitura. Por outro lado, ao trabalharmos 
os primeiros exemplos sem reservas, o resultado da operação será o mesmo se operarmos 
da esquerda para direita ou vice-versa. Tal estratégia não permite ao aluno perceber que, 
na utilização do algoritmo, há uma nítida vantagem em se iniciar o processo pela ordem 
das unidades. 
 
A figura ao lado mostra a utilização de materiais 
concretos e do QVL para registro do algoritmo da adição. 
 
(a) Discutam e escrevam um roteiro explicativo das 
três etapas realizadas com os palitos. 
(b) Descrevam a relação das etapas realizadas com o 
material concreto e o registro do algoritmo formal. 
 
 
 
A figura abaixo mostra o material dourado e o QVL, 
usados de forma integrada, para adicionar 87 a 161. 
 
(a) Discutam e descrevam o que está sendo 
representado em cada uma das quatro linhas do 
quadro. 
(b) Que dificuldade da compreensão do algoritmo 
este tipo de trabalho pode ajudar a superar? Por 
quê? 
 
 
1.3 Introduzindo o Algoritmo da Subtração 
 
 O algoritmo da subtração tem finalidade similar ao da adição, ou seja, sistematizar e 
facilitar o processo de cálculo. Ele deve ser apresentado quando as crianças já dominarem, 
com certa segurança, os conceitos associados à subtração, o sistema de numeração, os fatos 
básicos da subtração e o algoritmo da adição. Novamente chamamos sua atenção para o 
fato de que a habilidade de utilizar o algoritmo corretamente requer tempo e prática, 
sendo necessárias diversas experiências preparatórias, variando-se bastante os valores 
numéricos. 
 
 Para facilitar a discussão das sugestões de 
atividades, vamos apresentar desde já a 
nomenclatura associada ao algoritmo da 
subtração, lembrando que não há sentido em 
pedir aos alunos que memorizem estes termos. 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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 De um modo geral, o uso correto da linguagem matemática não deve ser o foco 
principal. Os alunos precisam compreender que os termos desta linguagem nos ajudam a 
conversar, comunicar e defender nossos pensamentos e nossa forma de resolver 
problemas e cálculos. No entanto, você, professora ou professor, deve utilizar a linguagem 
matemática corretamente. Deve ainda estimular o debate e o registro, pois essas atitudes 
farão com que os alunos assimilem, aos poucos, o vocabulário que for relevante a cada 
momento de sua aprendizagem. 
 
1.3.1 O algoritmo da subtração e a ação de retirar 
 
 Ao iniciarmos o algoritmo da subtração, devemos usar, como na adição, materiais 
de contagem e o QVL. Lembramos que, dentre as ações associadas à subtração, a mais 
natural para a criança é a de retirar e, por isso, vale a pena iniciar o estudo do algoritmo da 
subtração usando esta idéia. 
 Para representar com material concreto a idéia de retirar, a criança deve separar, de 
seu material de contagem, apenas a quantidade que representa o minuendo. A seguir, ela 
deve retirar deste grupo de objetos a quantidade que corresponde ao subtraendo. A ação 
de retirar, da coleção de objetos que representa o minuendo, uma quantidade 
correspondente ao valor do subtraendo só faz sentido quando trabalhamos com apenas 
uma mesma coleção de objetos. Retiramos algo daquilo que temos! 
 Por meio de exemplos, vamos estudar como atividades que exploram a ação de 
retirar podem ser desenvolvidas concretamente. 
 
Exemplo 1: 
Enuncie, oralmente, uma situação–problema 
envolvendo a ação de retirar. Como exemplo 
vamos retirar 13 de 25. 
 
Peça aos alunos que arrumem 25 palitos em 
um QVL, como na figura ao lado. Você pode 
construir em papel pardo, por exemplo, 
quadros com apenas duas linhas para que os 
alunos, ou grupos de alunos, trabalhem 
independentemente. 
 
Diga aos alunos: 
- “Agora vamos resolver o nosso problema, ou seja, tirar 13 palitos dos 25 palitos”.- “Mude para a linha debaixo os palitos que representam a quantidade que você precisa tirar”. 
- “Quantos palitos permaneceram na primeira linha?” 
- “Na primeira linha fica a quantidade de palitos que sobrou de 25 depois de tirarmos 13 (ou seja, o 
resto!)”. 
 
 
 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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Por meio de conversas como a que exemplificamos, 
mostre às crianças que a quantidade de palitos da 
segunda linha representa o que foi retirado 
(subtraendo), e que a quantidade que sobrou na 
primeira linha é o resultado da operação. Logo: 25–
13=12. 
 
 
 
 Trabalhando com material concreto você pode propor diversas situações. Isto vai 
ajudar seu aluno a perceber a seqüência de ações que compõe o algoritmo. A 
representação, no caderno, dos passos realizados com material concreto também é 
importante para que o aluno, aos poucos, compreenda a relação entre estes passos e o 
registro formal do algoritmo. 
 Usando o exemplo anterior, veja como você pode estimular esta associação entre 
concreto e a representação escrita. 
 
Após a representação do minuendo: 
- “Vamos representar este número no caderno?” 
- “Façam um QVL e anotem esta quantidade de palitos” 
 
 
 
 
 
Após a retirada dos 13 palitos (o subtraendo): 
- “Vamos anotar agora, abaixo do número 25, a quantidade de palitos que foi 
retirada.” 
 
 
 
 
 
 
E para finalizar: 
- “Agora vamos fazer um traço para separar o resultado final e anotar quantos 
palitos sobraram depois da retirada.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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Exemplo 2: 
 
É possível usar estas idéias em uma subtração 
na qual é preciso desfazer as dezenas 
rearrumando o minuendo. Crie uma situação 
problema para os alunos subtraírem 5 de 32. 
Iniciamos por arrumar o minuendo na tabela. 
Explique aos alunos que eles só possuem 2 
unidades não agrupadas e por isso não podem retirar 5 unidades. No entanto, é 
importante que eles percebam que o número 32 possui trinta e duas unidades, e o que 
“atrapalha” a realização concreta da retirada é apenas a forma como os objetos estão 
organizados. 
 
Assim, os alunos devem concluir que será 
preciso desfazer uma das dezenas (que 
contém10 unidades). Após desamarrarem uma 
dezena e a passarem para a casa das unidades, 
os palitos ficarão com a seguinte disposição: 
 
 
 
Esse é um bom momento para ajudá-los a perceber que o número representado continua 
sendo o mesmo (32). A decomposição é que mudou: a forma inicial (3 dezenas e 2 
unidades) foi alterada para: 2 dezenas e doze unidades. 
 
Pergunte aos alunos: 
- “O número mudou?” (não) “Então, o que mudou?” (a forma de decompor) 
- “Quantas unidades estão agora registradas na primeira ordem?” (12) 
- “E agora, podemos tirar 5 unidades de 12 unidades?” (sim) 
- “Com quantas unidades ainda ficamos?” (7) 
- “Com quantas dezenas ainda ficamos?” (2) 
 
Bem, agora é possível retirar 5 palitos dos que ficaram na ordem das unidades e o material 
fica com a disposição mostrada no quadro abaixo. 
 
 
 
Observe que o registro escrito dos passos da 
operação pode ou não incluir a passagem na 
qual uma dezena foi desagrupada em 10 
unidades. 
 
Varie os materiais de contagem, pois isto ajuda o aluno a compreender o processo sem 
se fixar no material, o que possibilitará a necessária abstração. 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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 Para ilustrar o uso de um outro material, vamos subtrair 17 de 35. 
Faça você as etapas, utilizando o QVL e, por exemplo, o material dourado. 
 
 O uso de material concreto facilita bastante à compreensão dos algoritmos e ajuda a 
consolidar a aprendizagem das características de nosso sistema de numeração. Numa 
etapa seguinte, você pode propor exemplos nos quais o zero aparece na casa das dezenas, 
como tirar 25 de 208. 
 Você poderá verificar como o uso de material concreto ajuda em situações como 
esta que costuma ser considerada difícil na operação de subtração. 
 
 Faça você mesmo as etapas da subtração 208–25, usando o QVL e uma representação 
de material concreto. 
 
 Destacamos que a professora ou o professor deve, sempre que possível, conhecer e 
apresentar aos alunos mais de um procedimento. Possibilitar ao aluno a chance de 
experimentar diferentes ações é fundamental para que ele desenvolva o senso crítico e 
tenha o direito de escolher a estratégia com a qual mais se identifica, ou aquela que 
possibilita compreender melhor o que está fazendo. Muitas vezes, uma criança com 
dificuldade de compreender um procedimento ou conceito, resolve este obstáculo inicial 
quando é apresentada a outros caminhos ou formas de raciocinar. 
 Assim, sugerimos que você pesquise sobre como as ações de comparar e completar 
podem auxiliar o desenvolvimento de estratégias de cálculo para efetuar uma subtração. 
 
O olhar dos alunos 
 
 
 
Ao lado, apresentamos o registro de Bruno para efetuar a operação 920 – 
709 
 Expliquem o pensamento de Bruno. O que ele acerta? O que ele erra? 
A ORDEM DAS PARCELAS ALTERA O RESULTADO? 
 
Propriedade Comutativa 
Complete a tabela a seguir efetuando as operações de adição. 
 
 
 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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• que você pode observar de regularidade entre os resultados das 3ª e 4ª colunas? 
• Que conjectura você faria sobre essa observação? 
Nos Anos Iniciais, as propriedades devem ser abordadas por meio de seus diferentes 
usos. Quando uma criança tem que operar 8 + 21, e ela “guarda na cabeça” o 21 (vinte e 
um) e conta nos dedos, acrescentando o 8 (oito), fazendo 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, ela 
está fazendo uso da propriedade comutativa da adição. 
 
 Podemos entender propriedades de uma operação como verdades que se verificam 
com todos os elementos de um conjunto que no caso é o conjunto dos números naturais. 
 
A adição é comutativa, ou seja, para quaisquer dois números naturais a e b, temos: 
a + b = b + a 
 
Comutar significar trocar, por isso adicionar 7 e 5 pode ser feito de duas diferentes formas. 
 
 
 A seguir, temos uma tabela de dupla entrada (linha e colunas): 
 
 Faça as adições completando a tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Identifique regularidades na tabela. 
 
 
• Uma das regularidades que podemos observar é que alguns resultados se repetem. 
Por que isso acontece? 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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Faça a subtração entre a coluna e a linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Foi possível encontrar todos os resultados? 
 
 
• Existe algum resultado que se repete? 
 
 
 Pense na subtração e nos números 7 e 5. Considerando as duas idéias envolvidas na 
subtração, tirar e verificar quanto falta, se fizermos 7 – 5 = 2, faz sentido tirar 5 de 7, ou 
pensar em, quanto falta ao 5 para completar 7. Se trocarmos a ordem e fizermos 5 – 7, as 
duas idéias que envolvem a subtração no conjunto dos números naturais não fazem 
sentido, ou seja, não podemos tirar 7 de 5, nem verificar quanto falta ao 7 para completar 5. 
Assim,podemos verificar que a subtração não é comutativa. 
 
 O fato de 5 – 7 ser igual a –2, que não é um número natural, nos remete a outra 
propriedade, o fechamento. 
 
RELEMBRANDO O FECHAMENTO... 
Propriedade do Fechamento 
 O que é fechamento? As teorias matemáticas trazem afirmações que por vezes nos 
parecem evidentes, mas essas verdades são necessárias para a lógica interna das teorias. 
 Quando tomamos o conjunto dos números naturais e a operação adição, é sempre 
possível adicionar dois números, em qualquer ordem, e encontrarmos como resultado um 
número natural. Por isso, podemos afirmar que o conjunto dos números naturais é 
fechado em relação à operação adição. 
 
 A adição possui a propriedade do fechamento, ou seja, para quaisquer dois 
números naturais a e b, temos: 
 a + b é um número natural. 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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 O mesmo não acontece quando tomamos o conjunto dos números naturais e a 
operação subtração. Como vimos no item anterior, em relação ao fato de a subtração não 
ser comutativa (5 – 7 = –2), embora os números 5 e 7 sejam naturais, o resultado –2 não é 
um número natural, por isso, podemos afirmar que o conjunto dos números naturais não é 
fechado em relação à operação subtração. 
 
 
Propriedade Associativa 
 
 Complete a tabela a seguir associando as parcelas e resolvendo as operações 
conforme indicado na primeira linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se adicionarmos os números 7, 5 e 13, podemos fazer (7 + 5) + 13 ou 7 + (5 + 13), em 
ambos os casos o resultado é o mesmo, 25. Por isso, podemos afirmar que a adição é 
associativa. A propriedade associativa é usada em especial em cálculos mentais com 
muitas parcelas, em que procuramos associar valores mais fáceis de serem operados. 
Nesse exemplo, quando associamos 5 + 13 encontramos 18; adicionado ao 7 temos 25. 
 
 Enquanto na adição podemos associar quaisquer dois números e adicioná-los, 
quando se trata da operação subtração isso já não acontece. Vamos explorar uma tabela e 
verificar o que ocorre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe os resultados das 4a e 5a colunas, eles são diferentes, por isso, podemos afirmar 
que a subtração não é associativa. 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
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O ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO 
Propriedade do Elemento Neutro 
 Uma importante regularidade que pode ser observada é quando adicionamos 
qualquer número natural a zero. O resultado dessa adição será sempre o próprio número. 
Por isso dizemos que o zero (0) é o elemento neutro da adição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
BARBOSA, Andréia Carvalho Maciel; SILVA, Ana Lúcia Vaz da. Sistema de Numeração 
Decimal. In: Matemática na Educação 1, v.1. Rio de Janeiro: CECIERJ, 2010. 
 
BRASIL, Ministério da Educação. Pró-Letramento Matemática: Programa de formação 
continuada de professores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental: Matemática. 
– edição revista e ampliada, incluindo SAEB / Prova Brasil matriz de referência / 
Secretaria de Educação Básica. Brasília: Ministério da Educação/ Secretaria de Educação 
Básica, 2007. 
 
MOÇO, Anderson. Diagnóstico em Matemática: você sabe o que eles já sabem? Nova 
Escola. São Paulo, 2010. Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/ 
pratica-pedagogica/diagnostico-incial-o-que-eles-ja-sabem-528156.shtml?page=0> 
Acessado em: 20 ago. 2014. 
Critérios de Divisibilidade
Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual 
a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, 
necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade. 
Regras de Divisibilidade 
Divisibilidade por 1 
Todo número é divisível por 1. 
Divisibilidade por 2 
Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. 
12:2 = 6 
18:2 = 9 
102:2 = 51 
1024:2 = 512 
10256:2 = 5128 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. 
Exemplo: 
66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12 
60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6 
81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9 
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18 
Divisibilidade por 4 
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. 
Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número 
é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também 
são divisíveis por 4. 
288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par. 
144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par. 
100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0. 
Divisibilidade por 5 
Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. 
10:5 = 2 
25:5 = 5 
75:5 = 15 
200:5 = 40 
Divisibilidade por 6 
Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante. 
42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14 
54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18 
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44 
570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190 
Divisibilidade por 7 
Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o 
número é divisível por 7. Exemplo: 
203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14 
294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21 
840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84 
Divisibilidade por 8 
Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis 
por 8. Exemplo: 
1000 : 8 = 125, pois termina em 000 
1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8 
Divisibilidade por 9 
É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo: 
90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9 
1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9 
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 
Divisibilidade por 10 
Todo número terminado em 0 será divisível por 10 
100:10 = 10 
50:10 = 5 
10:10 = 1 
2000:10 = 200 
Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número 
formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, 
resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, 
etc.) são múltiplas de 11. 
1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11 
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22 
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66 
Divisibilidade por 12 
São os números divisíveis por 3 e 4. 
276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69 
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168 
Funções, Constante, 1º e 2 Grau 
Tipos particulares de funções 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3 
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . 
Veja o gráfico a seguir: 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos : 
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) 
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). 
Propriedades da função do 1º grau : 
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 
 
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim .
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) - excepcional 
matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamadocoeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 
Exercício resolvido: 
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. 
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b 
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a \ a = - 15 
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35. 
Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é 
igual a:
*a) 2 
b) -2 
c) 0 
d) 3 
e) -3 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) 
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical . 
 
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c : 
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: 
xv = - b/2a 
yv = - D /4a , onde D = b
2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da 
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )
8) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax
2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma 
fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2) 
Exercícios Resolvidos 
1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto 
(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25 
b) o seu valor mínimo é 1,25 
c) o seu valor máximo é 0,25 
d) o seu valor mínimo é 12,5 
*e) o seu valor máximo é 12,5. 
SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função. 
Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3) 
Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2 
A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
y = -2x2 + 6x - 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12 
Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D. 
Vamos então, calcular o valor máximo da função.
D = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E. 
2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
*a) 1/2 
b) 2 
c) 1 
d) 4 
e) -1/2 
SOLUÇÃO:
Seja x o número procurado.
O quadrado de x é x2 .
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 . 
Podemos escrever:
y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função). 
Assim,
xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra A . 
Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros 
gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado 
ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
 
J = P . i . n
 
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
 
 Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e 
devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 Montante = Principal + Juros
 Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
 
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
 
 Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
 SOLUÇÃO:
 M = P . ( 1 + (i.n) )
 M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 
dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
 Exercícios sobre juros simples:
 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
 0.13 / 6 = 0.02167
 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
 j = 1200 x 0.195 = 234
 
 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
 Temos: J = P.i.n
 A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular 
diretamente:
 J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
 
 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
 Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
 Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
 P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
 
 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado 
através de capitalização simples?
 Objetivo: M = 2.P
 Dados: i = 150/100 = 1,5
 Fórmula: M = P (1 + i.n)
 Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
Exercícios
1) O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a:
a) 500,00
b) 1.200,00
c) 1.000,00
d) 800,00
e) 600,00
2) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de juros é de 42% a.a. é de:
a) 720,00
b) 420,00
c) 756,00
d) 630,00
e) 1.200,00
3) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para que se 
obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
a) 320,00
b) 543,47
c) 238,09
d) 570,00
e) 757,58
4) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em:
a) 3 anos
b) 80 meses
c) 40 meses
d) 12 meses
e) 50meses
5) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período, um 
montante equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação de R$ 12.000,00 a 5% a.m. durante 1 ano. O 
prazo de aplicação do primeiro principal foi de:
a) 10 meses
b) 20 meses
c) 2 anos
d) 1,5 ano
e) 30 meses
6) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ 10.000,00 por um período de 10 meses, que gera um 
montante de R$ 15.000,00 é de:
a) 48% a.a.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 100% a.a.
e) 5% a.m.
7) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de 
R$ 2.760,00 após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de:
a) 30% a.a.
b) 1% a.d.
c) 3% a.m.
d) 360% a.a.
e) 12% a.a.
8) As taxas de juros ao ano, proporcionais às taxas 25% a.t.; 18% a.b.; 30% a.q. e 15% a.m., são, respectivamente:
a) 100%; 108%; 90%; 180%
b) 100%; 180%; 90%; 108%
c) 75%; 26%; 120%; 150%
d) 75%; 150%; 120%; 26%
e) 100%; 150%; 120%; 108%
9) As taxas de juros bimestrais equivalentes às taxas de 120% a.a.; 150% a.s.; 86% a.q. e 90% a.t. são 
respectivamente:
a) 40%;100%; 86%; 120%
b) 60%; 43%; 50%; 20%
c) 20%; 50%; 43%; 60%
d) 120%; 86%; 100%; 40%
e) 20%; 43%; 50%; 60%
10) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que 
taxa equivalente semestral recebeu?
a) 10%
b) 40%
c) 6,6%
d) 8,4%
e) 12%
11) Os juros simples comercial e exato das propostas abaixo relacionadas são, respectivamente:
• R$ 800,00 a 20% a.a., por 90 dias 
• R$ 1.100,00 a 27% a.a., por 135 dias 
• R$ 2.800,00 a 30% a.a., por 222 dias 
a) 111,38 e 109,85; 518,00 e 510,90; 40,00 e 39,45
b) 40,00 e 39,45; 111,38 e 109,85; 518,00 e 519,90
c) 39,45 e 40,00; 109,85 e 111,38; 510,90 e 518,00
d) 40,00 e 39,95; 109,85 e 111,38; 518,00 e 510,90
e) 40,00 e 111,38; 39,45 e 109,85; 510,90 e 518,00
12) O juro simples exato do capital de R$ 33.000,00, colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio 
do mesmo ano, foi de:
a) R$ 664,52
b) R$ 660,00
c) R$ 680,00
d) R$ 658,19
e) R$ 623,40
13) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a., pelo prazo de 100 dias. O juro dessa aplicação se 
for considerado juro comercial e juro exato, será, em R$, respectivamente:
a) 175,00 e 172,12
b) 172,12 e 175,00
c) 175,00 e 172,60
d) 172,60 e 175,00
e) 170,00 e 175,00
14) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 1996. Se o resgate for efetuado 
em 03 de maio de 1996, o juro comercial recebido pelo aplicador foi, em R$, de:
a) 138,89
b) 138,69
c) 140,26
d) 140,62
e) 142,60
15) Certa pessoa obteve um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois, 
tendo encontrado quem lhe emprestasse R$ 150.000,00 à taxa de juros simples de 11% a.a., liquidou a dívida inicial e, 
na mesma data, contraiu novo débito. Dezoito meses depois de ter contraído o primeiro empréstimo, saldou sua 
obrigação e verificou ter pago um total de R$ 22.500,00 de juros. Os prazos do primeiro e do segundo empréstimo são, 
respectivamente:
a) 12 meses e 6 meses
b) 18 meses e 6 meses
c) 6 meses e 12 meses
d) 6 meses e 18 meses
e) 12 meses e 18 meses
16) João fez um depósito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de R$ 112.000,00, foi 
reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros 15% superior à primeira. Sendo o montante de R$ 137.760,00 e o 
regime de capitalização juros simples, o capital inicial era, em R$:
a) 137.760,00
b) 156.800,00
c) 80.000,00
d) 96.000,00
e) 102.000,00
17) O prazo em que um capital colocado à taxa de 5% a.a., rende um juro comercial igual a 1/50 de seu valor é igual a:
a) 144 dias
b) 146 dias
c) 150 dias
d) 90 dias
e) 80 dias
18) Uma pessoa sacou R$ 24.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito no final de 3 meses e pagar ao 
todo R$ 24.360,00. A taxa de juro cobrada pelo uso daquele capital foi de:
a) 4,06% a.a.
b) 6% a.a.
c) 4,5% a.a.
d) 8% a.a.
e) 1% a.m.
19) Um agricultor, possuidor de um estoque de 5.000 sacas de café, na esperança de uma alta do produto, rejeita uma 
oferta de compra desse estoque ao preço de R$ 80,00 a saca. Dois meses mais tarde, forçado pelas circustâncias, 
vende o estoque ao preço de R$ 70,00 a saca. Sabendo-se que a taxa corrente de juro é de 6% a.a., o prejuízo real do 
agricultor, em R$, foi de:
a) 350.000,00
b) 50.000,00
c) 54.000,00
d) 38.000,00
e) 404.000,00
20) A taxa de juros anual a que de ser colocado um capital para que produza 1/60 de seu valor em 4 meses é de:
a) 7,2%
b) 8%
c) 4%
d) 6%
e) 5%
21) Um negociante obteve R$ 100.000,00 de empréstimo à taxa de 7% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado 
quem lhe oferecesse a mesma importância a 6% a.a., assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, 
liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que 
pagou, ao todo, R$ 6.250,00 de juros. O prazo do primeiro empréstimo foi de?
a) 9 meses
b) 6 meses
c) 11 meses
d) 3 meses
e) 7 meses
22) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3 meses (na época do encerramento das contas), se 
eleva, juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro à mesma taxa e na mesma 
conta, produz, no fim de 6 meses, outro montante de R$ 18.543,60. O capital inicial foi de, em R$:
a) 18.000,00
b) 16.000,00
c) 15.940,00
d) 17.820,00
e) 17.630,00
23) A taxa de juro do banco foi de:
a) 48% a.a.
b) 3% a.m.
c) 8% a.a.
d) 10% a.a.
e) 4% a.a.
24) O prazo para que o montante produzido por um capital de R$ 1.920,00, aplicado a 25% a.a., se iguale a um outro 
montante produzido por um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a., admitindo-se que os dois capitais sejam 
investidos na mesma data, é de:
a) 4 meses
b) 6 anos
c) 6 meses
d) 2 anos
e) 4 anos
25) Emprestei R$ 55.000,00, durante 120 dias, e recebi juros de R$ 550,00. A taxa mensal aplicada foi de:
a) 2,5% a.m.
b) 25,25% a.m.
c) 2,25% a.m.
d) 0,25% a.m.
e) 4% a.m.
26) Uma pessoa deposita R$ 30.000,00 num banco que paga 4% a.a. de juros, e receber, ao fim de certo tempo, juros 
iguais a 1/6 do capital. O prazo de aplicação desse dinheiro foi de:
a) 60 meses
b) 80 meses
c) 50 meses
d) 4 anos
e) 2100 dias
27) Uma pessoa emprestou certo capital a 6% a.a. Depois de um ano e meio retirou o capital e os juros e aplicou 
novamente o total, desta vez a 8% a.a. Sabendo que no fim de 2 anos e meio, após a segunda aplicação, veio a retirar 
o montante de R$ 26.160,00. O capital emprestado no início foi de, em R$:
a) 20.000,00
b) 21.800,00
c) 23.600,00
d) 19.000,00
e) 19.630,00
28) O capital que, aplicado a uma taxa de 3/4% a.m., produz R$ 10,80 de juros anuais é, em R$:
a) 144,00
b) 97,20
c) 110,00
d) 90,00
e) 120,00
29) Um capital aumentado de seus juros durante 15 meses se elevou a R$ 264,00. Esse mesmo capital diminuído de 
seus juros durante 10 meses ficou reduzido a R$ 224,00. A taxa empregada foi de:
a) 18% a.a.
b) 8% a.a.
c) 1% a.m.
d) 0,5% a.m.
e) 0,01% a.d.
30) Certa pessoa emprega metade de seu capital juros simples, durante 2 anos, à taxa de 5% a.a. e metade durante 3 
anos, à taxa de 8% a.a., obtendo, assim, o rendimento total de R$ 2.040,00. O seu capital é de, em R$:
a) 6.000,00
b) 12.000,00
c) 14.000,00
d) 7.000,00
e) 12.040,00
31) A taxa mensal de um capital igual R$ 4.200,00, aplicado por 480 dias e que rendeu R$ 1.232,00 de juros é de:
a) 2,08%
b) 8.08%
c) 1,83%
d) 3,68%
e) 2,44%
32) (TTN/89) Calcular os juros simples que um capital de 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. 
Os juros são de:
a) 700,00
b) 1.000,00
c) 1.600,00
d) 600,00
e) 900,00
33) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é 
de:
a) 1.100,00
b) 1.000,00
c) 1.392,00
d) 1.200,00
e) 1.399,68
34) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos 
por Cr$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) Cr$ 420.000,00
b) Cr$ 450.000,00
c) Cr$ 480.000,00
d) Cr$ 520.000,00
e) Cr$ 500.000,00
Gabarito:
1E – 2D – 3E – 4C – 5B – 6E – 7A – 8A – 9C – 10A – 11B – 12B – 13C – 14D – 15C -16C – 17A – 18B – 19C – 20E – 
21D – 22A – 23E – 24E – 25D – 26C – 27A – 28E – 29B – 30B – 31C – 32E – 33D – 34E
Porcentagem
* Definição
PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 
100 unidades.
É visto com freqüênciaas pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos 
preços de produtos ou serviços.
Alguns exemplos:
- O Leite teve um aumento de 25%
Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00
- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans
Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00
- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.
Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.
 
* Noção da porcentagem em números
Exemplos:
 
a)
 
60 de 150 dias de trabalho = 90 dias
100
 
O número 90 dias de trabalho representa : PORCENTAGEM
 
b)
 
70 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00
100
 
O valor de R$ 84,00 representa : PORCENTAGEM
 
* O que é taxa de porcentagem
É definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. 
Também pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como 
denominador o número 100.
 
* Como calcular porcentagem
 
Todo o cálculo de porcentagem, como informado, é baseado no número 100.
 
O cálculo de tantos por cento de uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é indicado 
pelo símbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporção simples.
 
Para que se possam fazer cálculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte:
 
1) A taxa está para porcentagem (acréscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 está para a quantia a 
ser encontrada.
 
Exemplificando:
 
Um título tem desconto 10%, sobre o valor total de R$ 100,00. Qual o valor do título?
 
30% : R$ 100,00
 
100% : X
 
X = R$ 30,00
 
2) O número que se efetua o cálculo de porcentagem é representado por 100.
 
Exemplificando:
 
Efetue o cálculo 10% de 50
 
100% : 50
 
10% : X
 
X = 5
 
Obs. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de cálculo de regra de três, já ensinados em 
tutoriais anteriores.
 
3) O capital informado tem sempre por igualdade ao 100.
 
Exemplificando:
 
Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtem-se um desconto de 20%
 
100% : R$ 150,00
 
20% : X
 
X = R$ 30,00
 
* Exemplos para fixação de definição
 
1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas de 
02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos.
 
10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25
 100 100
 
Portanto, do total de 250 pontos o jogador fez 25 pontos de 02 pontos.
 
2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual 
de lucro ?
 
Neste caso é procurado um valor de porcentagem no qual são somados os R$ 300,00 iniciais com a 
porcentagem aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340,00
 
300 + 300.X/100 = 340
 
3X = 340 – 300
 
X = 40/3
 
X = 13,333 (dízima periódica)
 
Assim, a taxa de lucro obtida com esta operação de revenda foi de 13,33%
 
* Fator Multiplicante
Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo 
no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor do 
produto/serviço pelo fator de multiplicação.
 
Veja:
 
Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de 
pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto ao invés 
de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1,20.
 
Observe esta pequena tabela:
 
Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 23,40
 
E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.
 
Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo valor, 
também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicação.
 
Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal)
 
Veja:
 
Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor 
do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o 
fator multiplicante é 0,80.
 
Observe esta pequena tabela:
Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$ 53,94
 
E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.
 
* Exercícios resolvidos de porcentagem
 
Os exercícios propostos estão resolvidos, em um passo-a-passo prático para que se possa acompanhar a 
solução de problemas envolvendo porcentagem e também para que se tenha uma melhor fixação sobre o 
conteúdo.
 
1) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%?
 
Solução:
 
100% : 555
17 X
 
X = 555x17 /100 = 9435/100
 
X = 94,35
 
Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35
 
Preço Final: R$ 649,35
 
Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35
 
2) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno 
pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ?
 
Solução:
 
100% : 30
30% : X
 
X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9
 
X = 9
 
Assim, o total de faltas que o aluno poderá ter são 9 faltas.
 
3) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. 
Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto?
 
100% : 15.250
0,7% : X
 
Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que é o valor do 
cheque é : R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00
 
Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do 
valor total representam a quantia de R$ 305,00.
 
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00
Razão e Proporção
RAZÃO
Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos 
representar das seguintes formas:
•
• 
As razões acima podem ser lidas como:
• razão de a para b 
• a está para b 
• a para b 
Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.
Razão inversa ou recíproca
Vejamos as seguintes razões:
 e 
Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.
Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.
Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o 
inverso multiplicativo da outra.
Agora vejamos as seguintes razões:
 e 
A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui 
o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo 
antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação 
a outra.
Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a 
fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:
A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.
Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.
Razão centesimal
Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 4. 75% 
nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de razão 
centesimal.
Exemplos
O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de um salário para outro?
Temos: Salário de Paulo : Salário de João.
Então:
A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o que 
equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do salário de João, ou seja, através da razão estamos fazendo uma 
comparação de grandezas, que neste caso são os salários de Paulo e João.
Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2.
Eu tenho uma estatura de 1,80m e meu filho tem apenas 80cm de altura. Qual é a razão de nossas alturas?
Como uma das medidas está em metros e a outra em centímetros, devemos colocá-las na mesma unidade. Sabemos 
que 1,80m é equivalente a 180cm. Temos então a razão de 180cm para 80cm:
2,25 é a razão de nossas alturas.
Proporção
A igualdade entre razões denomina-se proporção.
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b 
for igual à razão c : d.
Indicamos esta proporção por:
Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.
Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).
A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).
Podemos então afirma que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:
Lê-se a proporção acima da seguinte forma:
"10 está para 5, assim como 14 está para 7".
Propriedade fundamental das proporções
Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números 
a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao 
produto de b por c:
Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o 
segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. 
Então temos:
 ou 
Ou
 ou 
Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos 
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:
 ou 
Ou
 ou 
Quarta proporcional
Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a 
proporção:
Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à 
propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três 
simples.
Terceira proporcional
Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:
Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.
Exemplos
Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de 
compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?
Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.
Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou 
não uma proporção.
Temos então:
Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.
Poderíamos também ter analisado as duas razões:
Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.
Como uma das razões resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, concluímos que não se trata de uma proporção, já que 
15 difere de 12,5.
A proporção não ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preço do quilograma, 
o que deixaria as razões desproporcionais.
A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são 
estes números?
Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e 
o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:
Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes 
valores na proporção teremos:
Portanto:
Concluímos então que os dois números são 100 e 140.
Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?
Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:
 
O valor do número x é 20.
Exercícios 1
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
Resolução:
Vamos igualar as razões.
8 = 2
X 7
2x = 8 x 7
2x = 56
 
X = 56/2
 
X = 28
 
Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7
 
2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 
1:20, qual será o comprimento no desenho:
 
Resolução:
 
Escala: 1
 20
 
Sabendo que 1m = 100 cm.
 
Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.
 
O comprimento no desenho será:
 
500 x 1 = 500 / 20 =
 20
 
25 cm
 
Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm.
 
3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta 
turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?
 
Resolução:
 
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.
 
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
 
x + y = 45 (Soma total de alunos)
 
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
 x 5
 
45/x = 9/5
 
45 x 5 = 9x
 
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
 
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
 
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
 
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 
5 moças
 
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
 
EXERCÍCIOS 2
01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:
 
a) 20
b) 22
c) 24
d) 28
e) 32
 
 
02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais.
 
 
03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.
 
 
04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa 
das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 
3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.
 
 
05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. 
Então, o produto dos dois números é:
 
a) 90
b) 96
c) 180
d) 72
e) -124
 
06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:
 
a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
e) x = 8 e y = 12
 
 
07. Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual:
 
a) a sentença que relaciona y com x?
b) o gráfico da função f: [-2; 3] ® definida pela sentença anterior?ℝ
c) o valor de y quando x = 2?
 
 
08. São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um 
quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:
 
a) 1, 2 e 3
b) 1, 2 e 5
c) 1, 3 e 4
d) 1, 3 e 6
e) 1, 5 e 12
 
09. Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:
 
a) 35
b) 49
c) 56
d) 42
e) 28
 
 
10. Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 
30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja 
dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:
 
a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00
b) R$ 7.000,00;R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00
d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00
 
Resolução:
01. E
02. x = 3 e y = 6
03. As partes são: 32, 48 e 80.
04. A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00.
05. B
06. C
07. a) y = 2x
 
 c) y = 4
08. C
09. B
10. Cvg
REGRA DE TRES SIMPLES E COMPOSTA 
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos 
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar 
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a 
energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m²) Energia (Wh)
1,2--------400
1,5-------- x
Identificação do tipo de relação:
Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5---------- X↓
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5-----------x↓
1,2X = 400.1,5
x= 400.1,5 / 1,2
x= 500
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x
2) Identificação do tipo de relação:
velocidade----------tempo
400↓-----------------3↑
480↓---------------- x↑
Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e 
invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda 
coluna vai para cima
velocidade----------tempo
400↓-----------------X↓
480↓---------------- 3↓
480X = 400 . 3
x = 400 . 3 / 480
X = 2,5
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do 
mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas----preço (R$)
3------------- 120
5---------------x
3x=5.120
o três vai para o outro lado do igual dividindo
x = 5.120/3
x= 200
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o 
número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia-----Prazo para término (dias)
8↑------------------------20↓
5↑------------------------x ↓
invertemos os termos
Horas por dia-----Prazo para término (dias)
8↑-------------------------x↑
5↑------------------------20↑
5x = 8. 20
passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:
5x = 8. 2 / 5
x = 32
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
EXERCICIOS 
1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)
2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas 
para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)
3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para 
fazer a mesma parede? (R:16)
4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 
refrigerantes? (R: 8)
5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo 
armário? (R:8)
6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa 
casa? (R: 90)
7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para 
despejar 600 litros? (R: 4)
8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ 
seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)
9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar 
uma parede de 15 m²? (R: 6)
10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, 
aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)
11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo 
são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)
12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma 
casa? (R:10)
13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)
14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 
km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)
15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)
16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo 
produto? (R:43.200,00)
17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma 
casa? (R:20)
18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 
420)
19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, 
quantos homens serão necessários? (R:25)
20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se 
aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)
21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de 
páginas desse livro? (R:360) 
Regra de três composta
regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões.Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é 
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x 
com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↓
5↑------------------x↓----------------------125↓
20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos
simplificando fica
20/x = 4/5
4x = 20 . 5
4x = 100
x = 100 / 4
x = 25
Logo, serão necessários 25 caminhões
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão 
montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens----- carrinhos------ dias
8-----------------20--------------5
4-------------------x-------------16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o 
produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
20/x= 8/4 . 5/16
20 / x = 40 / 64
40x = 20 . 64
40 x = 1280
x = 1280 / 40
x = 32
Logo, serão montados 32 carrinhos 
Método mais prático de solução da regra de três composta 
Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for 
inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas. 
A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor 
que se procura. 
Veja: 
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são 
comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.
Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração
2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?
Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra) 
 
Assim: 22 metros custarão R$ 110,00 
3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 
320 tortas 
Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas) 
EXERCÍCIOS
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários 
para fabricar 28 kg de farinha? 
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 
200 kg de milho ? 
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se 
obterem 9 quilos de manteiga ? 
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o 
tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ? 
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma 
substância ? 
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para 
escavar esse túnel em um dia e meio ? 
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ? 
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 
bombons ? 
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a 
mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará 
para percorrer 120 km ? 
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um 
reservatório de 4m3 de volume? 
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ? 
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ? 
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 
10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada? 
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. 
Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ? 
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A 
tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que 
tem 2 m de profundidade? 
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, 
quantas voltas essa roda dará em 315 segundos? 
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece 
quantos gramas de gás carbônico? 
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos 
centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ? 
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas 
fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina 
que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros 
de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ? 
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota 
obtida por Cristina? 
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um 
prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ? 
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de 
um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ? 
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna 
sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de 
altura? 
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 
2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de 
outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de 
uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça 
quadrada ). 
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 
390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de 
área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na 
escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro 
Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius? 
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 
11 latas dessa tinta? 
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 
h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ? 
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ? 
34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é 
necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos 
recenseadores precisam ser contratados ?