AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (51)

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MA22 - Unidade 14 - Parte 3
Concavidade do gráfico de uma função
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
14 de maio de 2013
Concavidade
Iremos agora aprender a distinguir gráficos de funções côncavos
para cima de gráficos côncavos para baixo e aprender como a
concavidade está relacionada à segunda derivada da função.
bA
b
B
f
a b
concavidade para cima
b
b
a b
g
A
B
concavidade para baixo
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Definição de concavidade
Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I . Se o gráfico de
f se situa sempre acima das retas tangentes no intervalo I , dizemos
que o gráfico tem concavidade para cima em I . Se o gráfico de
f se situa sempre abaixo das retas tangentes no intervalo I , dizemos
que tem concavidade para baixo em I .
bA
b
B
f
a b
b
b
a b
g
A
B
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Teste da concavidade
Proposição (Teste da concavidade)
Seja f uma função duas vezes derivável no intervalo aberto I .
(i) Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I então o gráfico de f tem
concavidade para cima em I .
(ii) Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I então o gráfico de f tem
concavidade para baixo em I .
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Exemplo 1
Seja a função f : R \ {0} → R \ {0} dada por f (x) = 1x . Verifique
seus intervalos de crescimento e concavidade.
Derivando uma vez, obtemos f ′(x) = − 1
x2
. Como − 1
x2
< 0
para todo x 6= 0, a função é decrescente em todo seu doḿınio.
Derivando novamente, obtemos f ′′(x) =
(
− 1
x2
)′
= 2
x3
. Logo
x < 0⇒ f ′′(x) = 2
x3
< 0 e x > 0⇒ f ′′(x) = 2
x3
> 0.
Portanto, o gráfico de f tem concavidade para baixo no
intervalo (−∞, 0) e concavidade para cima no intervalo (0,∞).
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3
concavidade
para cima
concavidade
para baixo
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Ponto de inflexão
Um ponto P no gráfico de uma função f (x) é chamado ponto
de inflexão se f é cont́ınua em P e há uma mudança de con-
cavidade do gráfico de f no ponto P.
Exemplo: f (x) = x3.
A derivada primeira é f ′(x) = 3x2 > 0
para todo x 6= 0. Portanto, a função é
crescente para todo intervalo aberto que
não contenha x = 0.
Temos f ′′(x) =
(
3x2
)′
= 6x , logo
f ′′(x) > 0 para x > 0 e f ′′(x) < 0 para
x < 0.
O o gráfico tem concavidade voltada para
cima no intervalo (0,∞) e concavidade
voltada para baixo no intervalo (−∞, 0).
1
2
3
−1
−2
−3
1−1
b
f (x) = x3
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Exemplo 2
Mostre que tan x > x para x ∈
(
0, π2
)
.
Seja f (x) = tan x − x . Queremos mostrar que f (x) > 0 em(
0, π2
)
.
Temos que f (0) = tan 0− 0 = 0. Basta então mostrar que
f (x) é crescente em
(
0, π2
)
.
Mas
f ′(x) = (tan x − x)′ = sec2 x−1 = tan2 x > 0 para 0 < x < π
2
.
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Exemplo 3
Considere a função f (x) = (x + 1)
2
3 (x − 3)
1
3 . Determine os
intervalos de crescimento e decrescimento da função. Estude a
concavidade do gráfico da função e faça um esboço.
A derivada da função é f ′(x) =
x − 53
(x + 1)
1
3 (x − 3)
2
3
.
f ′
(
5
3
)
= 0 e f não é derivável em x = −1 e em x = 3.
Estudo dos sinais de f ′(x):
(x − 53) (x + 1)
1
3 (x − 3)
2
3 f ′(x)
x < −1 − − + +
−1 < x < 53 − + + −
5
3 < x < 3 + + + +
x > 3 + + + +
Conclúımos que f (x) é crescente em (−∞,−1) ∪ (53 ,∞) e
decrescente no intervalo (−1, 53).
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Exemplo 3 - continuação
A derivada segunda é f ′′(x) =
−32/9
(x + 1)
4
3 (x − 3)
5
3
.
O estudo dos sinais de f ′′(x) resulta em:
−329 (x + 1)
4
3 (x − 3)
5
3 f ′′(x)
x < −1 − + − +
−1 < x < 3 − + − +
x > 3 − + + −
Conclúımos que a concavidade é para cima para x < 3 e para
baixo para x > 3.
Os limites infinitos são
lim
x→−∞
(x + 1)
2
3 (x − 3)
1
3 = −∞ e lim
x→∞
(x + 1)
2
3 (x − 3)
1
3 =∞ .
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Exemplo 3 - gráfico
1
2
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
bA bB
bC
5
3
Gráfico da função f (x) = (x + 1)
2
3 (x − 3)
1
3
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