Questão resolvida - Considere a função f(x) = e1_x . (a) Determine todas as assintotas de f. (b) Determine f (x) e f (x). (c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f. (d) Determine

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Considere a função .f x = e( )
1
x
 
a) Determine todas as assintotas de f.
 
Resolução:
 
Assintota vertical
Por conta da função , um dos candidatos a assintota vertical é 0, devemos, então, verificar 
1
x
os limites para x tendendo a zero pela direita e pela esquerda;
 elim
x→0
+
1
x
Substituindo; e = elim
x→0
+
1
x
1
0
 
 é a indeterminação, devemos testar valores pequenos de x próximos de zero :
1
0
 
x = 0, 01 f 0, 01 = e f 0, 01 = 2, 69 × 10→ ( )
1
0, 01 → ( ) 43
 
x = 0, 009 f 0, 009 = e f 0, 009 = 1, 80 × 10→ ( )
1
0, 009 → ( ) 46
Perceba que ao substituir valores pequenos positivos a função tende ao infinito e, assim, 0 é 
uma assintota vertical 
 
Assintota horizontal
 
 É preciso verificar o limite da função tendendo a ± , caso o valor do limite seja um ∞
número, teremos assintota horizontal;
 
, logo, é uma assintota horizontale = e = e = 1lim
x→±∞
1
x
1
±∞ 0 x = 1
 
b Determine f′ x e f′′ x .) ( ) ( )
 
 
 
Resolução:
 
f x = e f' x = e ⋅ -1 ⋅ x f' x = -( )
1
x → ( )
1
x ( ) -2 → ( )
e
x
1
x
2
 
f' x = - f'' x = - f'' x =( )
e
x
1
x
2
→ ( )
- ⋅ x - 2x ⋅ e
x
e
x
1
x
2
2
1
x
2
2
→ ( )
e + 2xe
x
1
x
1
x
4
 
c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f. 
 
Resolução:
 
Para encontrar os intervalos de crescimento e descrecimento igualamos a zero;f' x( )
- = 0 e = 0 não há solução em R
e
x
1
x
2
→
1
x →
Assim, não é possível determinar os intervalos de crecimento e decrescimento de , f x( )
porém, perceba que o valor daderivada é sempre negativo, assim, podemos concluir que 
 é sempres decrecente.f x( )
 
d) Determine os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima (CVC) e 
onde tem concavidade voltada para baixo (CVB).
 
Resolução:
 
Para encontrar os intervalos de concavidade para cima e para baixo de , igualamos f x( )
 a zero;f'' x( )
 
= 0 e + 2xe = 0 2xe = - e 2x = -1 x = -
e + 2xe
x
1
x
1
x
4
→
1
x
1
x →
1
x
1
x → →
1
2
 
Assim, é onde ocorre a inflexão de ; como há um único ponto, tudo abaixo de -
1
2
f x( ) -
1
2
tem um comportamento (concavidade para cima e para baixo) e tudo acima de tem outro -
1
2
 
 
comportamento, para saber em que intervalos a concavidade é para cima devemos seguir a 
seguinte regra:
f'' x > o concavidade para cima( ) →
 
f'' x < o concavidade para baixo( ) →
 
Então, vamos testar 2 pontos, um acima de e um abaixo de ;-
1
2
x = 1( ) -
1
2
x = -1( )
 
x = 1 f'' 1 = = = 3e > 0, com isso, se x > - a convavidade → ( )
e + 2 ⋅ 1 ⋅ e
1
1
1
1
1
( )4
e + 2e
1
1
2
da curva de f x é voltada para cima( )
 
 
x = -1 f'' -1 = = = - < 0, com isso, se x < - a → ( )
e + 2 ⋅- 1 ⋅ e
-1
1
-1
1
-1
( )4
-
1
1
e
2
e 1
e
1
2
convavidade da curva de f x é voltada para baixo( )
 
Conclusão: → concavidade para baixo-∞; -]
1
2
[
 → concavidade para cima- ; +∞]
1
2
[
 
e) Usando os itens (a)-(d), esboce o gráfico de f, indicando todos extremos locais e pontos 
de inflexão. 
 
Resolução:
O esboço do gráfico deve ficar similar ao visto abaixo: