AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (55)

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MA22 - Unidade 16 - Parte 1
Regra de L’Hôpital
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
21 de maio de 2013
Formas indeterminadas
Dizemos que o limite limx→a
f (x)
g(x) para funções f (x) e g(x) tais
que limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0 é uma forma indetermi-
nada do tipo 00
Se limx→a
f (x)
g(x) é uma forma indeterminada do tipo
0
0 o limite
limx→a
f (x)
g(x) pode ser um valor real qualquer ou pode não
existir.
Há outras formas indeterminadas além de 00 :
00, 1∞, ∞−∞, ∞
∞
, 0 · ∞ e ∞0 .
A Regra de L’Hôpital é um método para solução de formas
indeterminadas do tipo 00 e
∞
∞ .
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Regra de L’Hôpital
Teorema (Regra de L’Hôpital)
Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I ,
exceto possivelmente em um ponto a ∈ I . Se
limx→a f (x) = 0, limx→a g(x) = 0, g
′(x) 6= 0 para x ∈ I \ {a}
e limx→a
f ′(x)
g ′(x) existe ou é ±∞, então
lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
.
O mesmo vale se a for substitúıdo por a+, a−, ∞ e −∞, ou
seja, o mesmo vale para limites laterais e limites no infinito.
No caso de limites no infinito o intervalo I deve ser do tipo
(b,∞) para x →∞ e do tipo (−∞, b) para x → −∞).
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Exemplo 1
Usando a Regra de L’Hôpital, calcule lim
x→0
sen x
x
.
Como limx→0 sen x = 0 e limx→0 x = 0, então o limite é uma
forma indeterminada 00 .
Usando a Regra de L’Hôpital:
lim
x→0
sen x
x
= lim
x→0
( sen x)′
(x)′
= lim
x→0
cos x
1
= cos 0 = 1 .
Apesar de parecer muito mais simples, este desenvolvimento
não serve para demonstrar o limite fundamental, uma vez que
para calcular a derivada de sen x é necessário utilizar este
limite.
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Exemplo 2
Calcule lim
x→1
x2 + x − 2
2x2 + x − 3
.
Como limx→1 x
2 + x − 2 = 0 e limx→1 2x2 + x − 3 = 0, o
limite pedido é do tipo 00 .
Aplicando a regra de L’Hôpital:
lim
x→1
x2 + x − 2
2x2 + x − 3
= lim
x→1
(
x2 + x − 2
)′
(2x2 + x − 3)′
= lim
x→1
2x + 1
4x + 1
=
3
5
.
Este limite poderia também ter sido calculado diretamente
fatorando numerador e denominador e cancelando o termo
comum.
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Exemplo 3
Calcule lim
x→0
x − sen x
x3
.
Como limx→0(x − sen x) = 0 e limx→0 x3 = 0, o limite é uma
forma indeterminada do tipo 00 .
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim
x→0
x − sen x
x3
= lim
x→0
(x − sen x)′
(x3)′
= lim
x→0
1− cos x
3x2
.
Mas limx→0(1− cos x) = 0 e limx→0 3x2 = 0, logo cáımos em
outra forma indeterminada 00 .
Aplicando a Regra de L’Hôpital uma segunda vez, resulta
lim
x→0
1− cos x
3x2
= lim
x→0
(1− cos x)′
(3x2)′
= lim
x→0
sen x
6x
=
1
6
,
em que usamos o limite lim
x→0
sen x
x
= 1.
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Teorema do valor médio de Cauchy
Para provar A Regra de L’Hôpital, precisaremos do seguinte
resultado, que estende o Teorema do valor médio.
Teorema (Teorema do valor médio de Cauchy)
Sejam f e g funções cont́ınuas em um intervalo [a, b] e
deriváveis em (a, b). Se g ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b) então
existe c ∈ (a, b) tal que
f (b)− f (a)
g(b)− g(a)
=
f ′(c)
g ′(c)
.
O Teorema estende o Teorema do valor médio porque se
fizermos g(x) = x , então g ′(x) = 1 e a conclusão do teorema
é exatamente a conclusão do Teorema do valor médio.
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Exemplo 4
Calcule lim
x→0
sen px
sen qx
, em que p, q ∈ R \ {0}.
Como limx→0 sen px = 0 e limx→0 sen qx = 0, o limite é uma
forma indeterminada do tipo 00 .
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim
x→0
sen px
sen qx
= lim
x→0
( sen px)′
( sen qx)′
= lim
x→0
p cos px
q cos qx
=
p
q
.
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Exemplo 5
Calcule lim
x→∞
sen
(p
x
)
sen
(q
x
) , em que p, q ∈ R \ {0}.
Se x →∞ então px → 0 e
q
x → 0. Por continuidade da função
seno, limx→∞ sen
(p
x
)
= 0 e limx→∞ sen
(q
x
)
= 0. Portanto,
temos uma forma indeterminada do tipo 00 .
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim
x→∞
sen
(p
x
)
sen
(q
x
) = lim
x→∞
(
sen
(p
x
))′(
sen
(q
x
))′ = limx→∞ cos
(p
x
) (
− p
x2
)
cos
(q
x
) (
− q
x2
)
= lim
x→∞
p cos
(p
x
)
q cos
(q
x
) = p
q
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Exemplo 6
Calcule o lim
x→0
3 sin x − sin 2x
x − sin x
.
O limite é uma forma indeterminada do tipo 00 .
Aplicando sucessivamente a Regra de L’Hôpital:
lim
x→0
3 sin x − sin 2x
x − sin x
= lim
x→0
3 cos x − 2 cos 2x
1− cos x
= lim
x→0
−3 sin x + 4 sin 2x
sin x
= lim
x→0
−3 cos x + 8 cos 2x
cos x
=
−3 + 8
1
= 5
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