AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (58)

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MA22 - Unidade 17 - Parte 1
O conceito de integral
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
30 de maio de 2013
Duas questões relacionadas
Há duas questões importantes que estão relacionadas:
Sob que condições podemos afirmar que uma dada função f : I −→
R, definida em um intervalo aberto I da reta, é a função derivada de
alguma função F : I −→ R? Ou seja, existe F : I −→ R tal que
F ′(x) = f (x), ∀x ∈ I ?
Como estender a noção clássica de área de figuras planas triangu-
larizáveis para figuras mais gerais? Quais figuras não triangularizáveis
poderão ser inclúıdas no processo?
Na primeira questão buscamos uma função enquanto que na
segunda esperamos obter números nas respostas.
A continuidade, como veremos, é condição suficiente para
respondermos positivamente a ambas as questões.
Há uma forte conexão entre as duas questões dada pelo
Teorema Fundamental do Cálculo.
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Exemplo 1
Vamos calcular a área da região compreendida pelo eixo Ox , a reta
o x = 1 e o trecho da parábola y = x2.
Estratégia: Dividir o intervalo [0, 1] em subintervalos de
comprimentos iguais, e considerar os retângulos com bases
nesses intervalos. Cada um desses retângulos terá altura igual
ao máximo valor da função restrita ao subintervalo base.
1
y = x
2
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Aumentando o número de divisões do intervalo
A união desses retângulos é uma região à qual podemos
atribuir área: a soma das áreas dos retângulos.
Tomando divisões com mais e mais subintervalos, obteremos
uma sequência de números reais.
Se essa sequência convergir, teremos um excelente candidato
à área da região original.
Isso é muito razoável pois a cada nova subdivisão do intervalo
[0, 1], a diferença entre a região original e a união de
retângulos é menor.
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Conclusão do exemplo
A divisão do intervalo [0, 1] será em n subintervalos,
delimitados pelos pontos
0 <
1
n
<
2
n
< · · · < i
n
< · · · < n − 1
n
< 1.
Assim, o subintervalo
[
i−1
n ,
i
n
]
será a base do i-ésimo
retângulo. A área deste retângulo é
A(i) = base× altura = 1
n
×
(
i
n
)2
.
Portanto, a área da união dos n retângulos é
S(n) =
n∑
i=1
A(i) =
n∑
i=1
i2
n3
=
1
n3
n∑
i=1
i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6n3
.
Tomando o limite, temos lim S(n) =
1
3
.
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Partições de um intervalo
Seja [a, b] um intervalo fechado e limitado da reta. Chamamos
uma partição P de [a, b] um conjunto finito de pontos
{x0, x1, . . . , xn−1, xn}, ordenado da seguinte forma:
a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.
Uma tal partição divide o intervalo [a, b] em n subintervalos
[xi−1, xi ]. Cada um destes subintervalos tem comprimento
∆xi = xi − xi−1 e a soma destes comprimentos é igual a
b − a, o comprimento do intervalo original:
n∑
i=1
∆xi = (x1−x0)+(x2−x1)+· · ·+(xn−xn−1) = xn−x0 = b−a.
Um exemplo gráfico para n = 5.
-
x2 x3x1
[
a = x0 x4
]
b = x5
[a, b] = [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ [x2, x3] ∪ [x3, x4] ∪ [x4, x5].
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Somas de Riemann
Seja f : [a, b] −→ R uma função definida no intervalo fechado e limi-
tado [a, b] e seja P uma partição de [a, b]. Para cada i = 1, 2, . . . , n,
escolhemos um ponto ci ∈ [xi−1, xi ]. Definimos a Soma de Riemann
de f , relativa à partição P e à escolha dos pontos ci por
S(f ,P) :=
n∑
i=1
f (ci ) ∆xi .
O número S(f ,P) depende da partição P e das escolhas dos
pontos ci .
No exemplo anterior, S(n) corresponde à Soma de Riemann
da função f (x) = x2, definida no intervalo [0, 1], com a
partição
[
i−1
n ,
i
n
]
de n subintervalos de mesmo comprimento
1
n e escolhas ci =
i
n
:
S(n) =
n∑
i=1
(
i
n
)2 1
n
=
n(n + 1)(2n + 1)
6n3
.
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Somas de Riemann
Se f é uma função positiva, S(f ,P) é a área da região
formada pela união dos retângulos de base [xi−1, xi ] e de
altura f (ci ).
x0 x1 x2 x3 x4 x5c1 c2 c3 c4 c5
x0 x1 x2 x3 x4c1
c2 c3
c4
Se f assume valores positivos e negativos, as somas de
Riemann serão uma soma de números positivos ou negativos,
dependendo dos valores f (ci ).
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