AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (70)

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MA22 - Unidade 22 - Parte 2
Aplicac¸o˜es da integral – Volumes
Luiz Manoel Figueiredo
Ma´rio Olivero
PROFMAT - SBM
21 de junho de 2013
Me´todo das sec¸o˜es transversais
Seja B um so´lido limitado por dois planos perpendiculares ao
eixo Ox , em x = a e x = b, e que para cada x ∈ [a, b], a a´rea
da sec¸a˜o transversal do so´lido com o plano perpendicular ao
eixo seja dada por A(x).
Se A(x) for uma func¸a˜o cont´ınua podemos usar as somas de
Riemann para definir volume de B.
Nestas condic¸o˜es, o volume do so´lido B e´ dado por
V =
∫ b
a
A(x) dx .
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Exemplo 1
Calcular o volume da intersec¸a˜o de dois cilindros de mesmo raio a,
cujos eixos de simetria sa˜o perpendiculares.
Suponhamos que um dos cilindros tem Ox como seu eixo de
simetria, e o outro cilindro, o eixo Oz .
Devido a` simetria, este volume e´ 8 vezes o volume da parte
que se encontra no primeiro octante, representada na figura a
seguir, a` esquerda.
A figura da direita mostra o so´lido com um corte
perpendicular ao eixo Ox .
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Exemplo 1 - continuac¸a˜o
Um corte perpendicular ao eixo Ox , na altura x , e´ um
quadrado de lado
√
a2 − x2.
A a´rea desse quadrado e´ A(x) = (a2 − x2).
O volume do oitavo do so´lido e´∫ a
0
(a2 − x2) dx = a2x − x
3
3
∣∣∣∣∣
a
0
= a3 − a
3
3
=
2a3
3
.
Portanto, a intersec¸a˜o dos dois cilindros tem volume
16 a3
3
unidades de volume.
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Me´todo das cascas cil´ındricas
Me´todo apropriado para calcular volumes de so´lidos de
revoluc¸a˜o cujo eixo de simetria e´ o eixo Oy .
Considere um retaˆngulo de altura h, sobre o intervalo
[xi−1, xi ], com 0 < xi−1 < xi .
O volume da casca cil´ındrica obtida pela rotac¸a˜o desse
retaˆngulo em torno do eixo Oy e´ o volume do cilindro maior
menos o volume do cilindro menor:
Vi = pi x
2
i h − pi x2i−1h = pih(x2i − x2i−1) =
= pih(xi + xi−1)(xi − xi−1).
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Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o cont´ınua, positiva, com
a ≥ 0 e seja R a regia˜o sob o gra´fico de f .
Queremos calcular o volume do so´lido de revoluc¸a˜o da regia˜o
R em torno do eixo Oy .
O me´todo que permite fazer isso e´ chamado de me´todo das
cascas cil´ındricas, pois usamos aproximac¸o˜es do so´lido por
cascas cil´ındricas obtidas da revoluc¸a˜o em torno do eixo Oy
de retaˆngulos que aproximam a a´rea R.
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Seja a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b uma partic¸a˜o do
intervalo [a, b] e escolha um ponto ξi ∈ [xi−1, xi ], para cada i .
O volume da casca cil´ındrica obtida da revoluc¸a˜o em torno do
eixo Oy do retaˆngulo de base [xi−1, xi ] e altura f (ξi ) e´
Vi = pi f (ξi ) (xi + xi−1) ∆xi .
A soma dos volumes das cascas cil´ındricas e´ uma soma de
Riemann:
n∑
i=1
Vi =
n∑
i=1
pi f (ξi ) (xi + xi−1) ∆xi =u 2pi
n∑
i=1
f (ξi ) xi ∆xi .
Definimos o volume do so´lido como o limite dessas somas de
Riemann:
V = 2pi
∫ b
a
x f (x) dx .
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Exemplo 1
Calcular o volume do cone de altura h, com o raio da base r .
Vamos considera´-lo como o so´lido de revoluc¸a˜o do triaˆngulo
de ve´rtices (0, 0), (r , 0) e (0, h), em torno do eixo Oy .
y = h
(
1− xr
)
e´ a equac¸a˜o da reta que passa por (r , 0) e
(0, h). Com f (x) = h
(
1− xr
)
, definida no intervalo [0, r ]:
V = 2pi
∫ r
0
x h
(
1− x
r
)
dx = 2pi
∫ r
0
(
hx − hx
2
r
)
dx =
= 2pi
(hx2
2
− hx
3
3r
)∣∣∣∣∣
r
0
= 2pi
(hr2
2
− hr
2
3
)
=
pihr2
3
.
O volume do cone de altura h e raio da base r e´ um terc¸o da
a´rea da base vezes a altura.
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