AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (41)

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MA22 - Unidade 11 - Parte 2
Problemas de taxa de variação
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
10 de maio de 2013
Taxa de variação
Se x e y são duas grandezas sujeitas a uma relação funcional
y = y(x), então a taxa de variação de y em relação a x é a
derivada
dy
dx
.
Exemplos: velocidade e aceleração de um objeto:
v = lim
∆t→0
∆s
∆t
=
ds
dt
a = a(t) =
dv
dt
em que s = s(t) é a função posição do objeto, v = v(t) sua
velocidade e a = a(t) a aceleração.
Os problemas em que se deve calcular a taxa de variação de
um grandeza em relação a outra dada uma relação entre elas
são conhecidos como problemas de taxas relacionadas.
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Exemplo1
Um quadrado se expande de tal maneira que seu lado aumenta à
razão de 5 m/s. Calcule a taxa de variação da área no instante em
que a lado do quadrado mede 10 m.
l
l
ll A = l2
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Solução exemplo 1
Seja l = l(t) o lado do quadrado. O lado varia com o tempo,
sendo dldt = 5 m/s sua taxa de variação.
A área é dada por A(l) = l2. Vamos obter a taxa de variação
de A usando a regra da cadeia:
dA
dt
=
dA
dl
dl
dt
= 2l . 5 = 10l .
No instante em que l = 10, temos
dA
dt
= 10.10 = 100 m2/s.
A taxa de variação da área é 100 m2/s.
l
l
ll A = l2
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Exemplo2
Uma escada de 5 m está recostada em uma parede. A base da
escada escorrega, afastando-se da parede a uma velocidade de 6
cm/s. Com que velocidade o topo da escada cai no momento em
que a base da escada dista 3 m da parede?
escada
5
x
y
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Solução do exemplo 2
As grandezas x e y estão relacionadas pelo Teorema de
Pitagóras x2 + y 2 = 25.
Considerando x = x(t) e y = y(t) temos:
x2 + y 2 = 25 ⇒ x dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0 ⇒ y dy
dt
= −x dx
dt
Temos x = 3m = 300cm, dxdt = 6cm/s e
y 2 = 25− x2 = 25− 9 = 16m⇒ y = 4m = 400cm .
Substituindo os valores obtemos dydt :
400
dy
dt
= −300dx
dt
= −300·6 = −1800 =⇒ dy
dt
= −4,5 cm/s .
O resultado negativo indica que y diminui, ou seja, a escada
cai. Portanto, a velocidade de queda do topo da escada
quando x = 3 m é 4, 5 cm/s.
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Exemplo3
Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 20
m e raio de 4 m. A água está fluindo para dentro do tanque a uma
taxa de 2 m3/min. Quão rápido se eleva o ńıvel de água no tanque
quando a água estiver com 5 m de profundidade?
r
4
20
h
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Solução do exemplo 3
Conforme a água enche o tanque, a parte cheia forma um
cone de raio r e altura h. Por semelhança de triângulos, temos
r
4
=
h
20
=⇒ r = h
5
O volume de água na parte cheia é V = 13πr
2h, substituindo
r = h5 , obtemos:
V =
1
3
πr 2h =
1
3
π
(
h
5
)2
h =
πh3
75
Derivando esta última expressão em relação à variável t,
obtemos:
dV
dt
=
3πh2
75
.
dh
dt
=
πh2
25
dh
dt
=⇒ dh
dt
=
25
πh2
dV
dt
Quanto h = 5, temos
dh
dt
=
25
25π
2 =
2
π
m/min ≈ 0, 64 m/min.
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