Atividade A3 - Calculo aplicado uma variável

Prévia do material em texto

pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/05/2022 08:33:58
 
Atividade 3 
Davi de Oliveira linares 
 
 
 
O conceito de derivada está relacionada à taxa de variação instantânea de uma função, o qual 
está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de 
crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de 
redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos 
ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma 
função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. 
Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada 
de uma função em um ponto: 
 
Vejamos alguns exeplos: 
 
Exercício 1 
Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de compriment,o 9 ft de profundidade no lado mais 
fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a piscina 
está sendo enchida a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está 
subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft? 
 
 
 
Solução do Problema 1Solução do Problema 1Solução do Problema 1Solução do Problema 1Solução do Problema 1 
O volume de água na piscina em função de , a altura quando está próximo de 5 é h h
 
 
Como =20 simplificando obtemos l ft
 
 
isto é 
 
 
Derivando implicitamente obtemos: 
 
Como temos 
 
 
Isto é 
 
 
 
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2 
 Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 
10.000 cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa 
constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está 
subindo a uma taxa de 20 quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está cm/min
sendo bombeada para dentro. 
 
Solução do Problema 2Solução do Problema 2Solução do Problema 2Solução do Problema 2Solução do Problema 2 
 
 
A variação do volume de água é dada pela fórmula 
 
 
 
 
 
Por outro lado como o volume de um cone é e da figura sabemos 
que temos que e portanto 
 
 
 
 
que derivando implicitamente obtemos 
 
 
 
logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200cm era