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20/06/2019 6º relatório experimental de física - Documentos Google
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 Relatório do Laboratório de Física Experimental I: 
 
 
 
Movimento 
Circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrantes: Alexandre Sued Silva Sena – 11821EBI001 
 Delcides Nunes Ferreiro Neto – 11821EBI007 
 Maria Vitória Garcia – 11821EBI013 
 Weber Andrade Pires Filho – 11821EBI023 
Curso: Engenharia Biomédica 
 
 
13 de junho de 2019. 
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Índice: 
 
● Resumo…………………………………………………………….......3 
● Introdução………………………………………………………….......3 
● Objetivos………………………………………………………………..4 
● Procedimento Experimental……………………………………….....4 
● Resultados……………………………………………………….…….11 
● Análise………………………………………………………….……...13 
● Discussão………………………………………………………….…..13 
● Conclusão…………………………………………………………......13 
● Bibliografia……………………………………………………………..14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumo 
 
O Movimento circular é a cinemática de um corpo que se desloca em torno de um 
eixo ao longo de uma trajetória circular de raio uniforme. Uma vez que não ocorre 
uma translação do centro de massa, as grandezas angulares passam a ter um 
comportamento similar às grandezas lineares, logo as fórmulas que descrevem os 
seus comportamentos também se assimilam. Portanto, o experimento desenvolvido 
em laboratório simula condições favoráveis que podem evidenciar essa relação 
entre ambas grandezas. A partir dos dados obtidos, pode-se concluir que a teoria é 
coerente com a prática pois os resultados estão condizentes, visto que função 
possui um comportamento descrito por uma potência “n” em que resultou em 
0,526+-0,067 e uma aceleração angular equivalente a 0,0866+-0,0012. 
 
 
Introdução 
 
Um corpo só descreve um Movimento Circular, se sua trajetória for descrita por um 
círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R. Na análise de movimentos 
circulares, torna-se obrigatório a introdução às novas grandezas, que são 
denominadas como grandezas angulares, medidas sempre em radianos . São elas: 
deslocamento/espaço angular: teta (teta), velocidade angular: ω (ômega) e a 
aceleração angular: α (alpha). Além do mais, caso toda a energia envolvida for 
utilizada exclusivamente para a rotação, ou seja, o centro de massa não irá 
transladar simultaneamente, as grandezas lineares e angulares se relacionam 
através do raio envolvido: 
Rs = θ (1) 
Rv = ω (2) 
Ra = α (3) 
Por isso, quando em condições favoráveis, a cinemática angular possui o mesmo 
comportamento da cinemática linear, originando assim as seguintes fórmulas que 
descrevem o Movimento Circular: 
 f iθ = θ + ω * t (4) 
 θ ΔT ω = Δ / (5) 
Tais fórmulas descrevem um movimento circular em que a velocidade é constante, 
logo não sofre influências de uma aceleração angular (alfa), caracterizando um 
Movimento Circular Uniforme (MCU). 
Um outro caso seria se ao longo do percurso traçado, a velocidade angular (ômega) 
fosse alterada. Assim haveria a aparição de uma aceleração angular, em que 
modificaria o movimento, a ponto de até alterar o sentido da rotação, originando o 
Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV). 
ω ΔT α = Δ / (6) 
f iω = ω + α * T (7) 
f i 0 ²θ = θ + ω * T + ½ * α * T (8) 
Por fim, vale ressaltar que, embora a velocidade linear exista e atue sobre o 
movimento circular, ela sofre mudança de direção e sentido, evidenciando uma 
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segunda aceleração envolvida no meio. Contudo, como esta não influencia no 
módulo da velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta . 
 
Figura 1. Representação das forças e aceleração em pontos diferentes. 
 
A aceleração centrípeta, originada da força centrípeta é definida por: 
 
(cp) ² R a = v / (9) 
 
A partir da fórmula 2, pode-se deixar a aceleração centrípeta em função de ômega: 
 
(cp) ²a = ω * R (10) 
 
Logo, quanto maior for a velocidade (linear/ angular), maior terá que ser a 
aceleração centrípeta para alterar a direção e sentido do rumo tomado, fornecendo 
assim uma curva à trajetória. 
A partir disso, um experimento foi elaborado com o intuito de evidenciar questões 
levantadas na teórica desta cinemática, como as relações entre as grandezas 
lineares e angulares. Portanto, a simulação se trata de um Movimento Circular 
Uniformemente Variado com o seu centro fixo, possibilitando a utilização das 
equações previamente descritas. 
 
Objetivos 
- Analisar e estudar o movimento circular uniformemente variado. 
- Calcular o valor da aceleração angular atuante no movimento. 
- Descobrir o valor de n da equação que evidencia o movimento. 
 
Procedimento Experimental 
A melhor forma de determinar a magnitude de uma medida é mediante o maior y 
número de medições sucessivas possíveis, assim conseguiremos um valor bem yi 
próximo de e este seria o valor médio .y y 
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O valor médio ou valor verdadeiro é o valor mais próximo e provável ao que é 
procurado e é obtido pela Equação 1, que consiste no cálculo da média aritmética 
das N medições. 
 (11) 
No entanto, sabe-se que é uma aproximação, logo torna-se necessário calcular y 
outras grandezas que determinarão a incerteza da medida, como desvio padrão (σ 
), desvio padrão da média (σ y ) e erro total (Δ y total ). O desvio padrão está 
relacionado à dispersão de todos os valores ao redor da média e é calculado pela 
Equação 2, no entanto, essa grandeza não é precisa o suficiente para determinar a 
incerteza, por isso é mais comum - e vantajoso - calcular o desvio padrão da 
média, que possui um padrão e não gera resultados absurdos (ao invés disso 
informa a indeterminação). Neste relatório nos concentramos mais no cálculo do 
desvio padrão da média, que é definido pela Equação 3. 
 (12) 
 (13) 
Já tendo efetuado o cálculo do desvio padrão da média, é preciso saber o erro 
instrumental, a fim de determinar o erro total. O erro instrumental (Δ y instr ) depende 
unicamente do tipo do instrumento utilizado e de sua menor divisão. Se for 
analógico, Δ y instr equivale à metade da menor divisão da escala do instrumento; por 
outro lado, se for digital, equivale à menor divisão da escala. Compreendido isso, 
tem-se que o erro total (Δ y total ) é dado pela Equação 4. 
 (14) ∆ytotal=√(∆y )estat 2 + (∆yinstr)2 
 
Uma grandeza R é obtida a partir de medidas de n grandezas primárias, cada uma 
com sua incerteza total, ou seja, R = R ( a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ), em que que a n = a n ± Δ a n . 
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Logo, nesse caso, deve ser levado em consideração a propagação da incerteza, e 
R , informado na forma R = R ± Δ R . Para isso, o cálculo de Δ R é realizado pela 
Equação 5, com o auxílio das equações das medidas de dispersão já definidas. 
 
 (15) 
 
Como houve diferentes resultados faz-se necessário realizar a regressão linear 
que consiste no processo de traçar uma reta através dos dados em um diagrama 
de dispersão. Esse modelo é definido por uma relação linear entre a variável 
dependente y, que é unicamente determinada pelas leis da física, e uma variável 
independente x , sobre a qual tem-se controle e é manipulável. Ressalta-se também 
que essa relação linear segue a regra y = ax + b . Definido o conceito, verifica-se 
que, durante a coleta de dados, duas situações são possíveis: dados ( x , y ) lineares 
e dados ( x , y ) não-lineares. 
Para dados ( x , y ) lineares - que dispostos em um gráfico descrevem um 
comportamento linear - o procedimento a seguir, a fim informar uma reta que 
melhor represente (melhor ajuste) os dados, é primeiramente estabelecer uma 
relação entre os parâmetros da reta a e b e grandeza física de interesse. Feito isso, 
aplicar a regressão linear usando os dados obtidos experimentalmente, que 
permite encontrar os valores de a e b , mediante a análise dos mínimos quadrados. 
Finalmente, calcula-se a incerteza de y e compara-se com os valores teóricos. 
Já o tratamento de dados para dados ( x , y ) não-lineares, possui somente uma 
etapa a mais, que é a linearização dos dados. Essa nova etapa consiste em propor 
duas variáveis X e Y , relacionadas à x e y respectivamente, tal que se tenha: Y = 
aX + b . Assim, a regressão linear poderá ser aplicada sobre as novas variáveis já 
linearizadas. 
Note que os dados experimentais possuem incerteza, seja ela instrumental ou 
estatística, logo é necessário calcular a incerteza sobre os coeficientes a e b da 
reta, que são respectivamente Δ a e Δ b , e sobre a grandeza física de interesse, 
utilizando propagação de erros, uma vez que essa depende das variáveis a e b 
(que possuem incerteza). 
O método dos mínimos quadrados é importante para determinar os coeficientes a 
e b da reta y = ax + b que melhor representa os dados obtidos (após a devida 
linearização, caso necessário) e consiste em obter a reta que proporcione o menor 
erro E(a,b) . 
Observe, por exemplo, que, na Figura 3, para cada dado experimental ( x i , y i ), em 
que i = 1,2,... N e N é o total de dados obtidos, é definido um erro associado. 
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 Figura 2. Exemplo de dados experimentais lineares com sua respectiva reta de regressão linear. 
Sendo assim, serão necessários algumas considerações. Por linearização teremos 
que e , valores que serão utilizados nos cálculos de D, E, F, G H n h xl = i n t ̅ yl = i 
e J. Consequentemente, faz-se operações para que encontre valores das 
apresentadas posteriormente obtendo a linearização. 
Primeiramente, calcula-se o valor de [ Equação 16], depois teremos que fazer wi 
algumas multiplicações: ; ; ; e somar as mesmas [Equação 17, xwi i ywi i x ywi i i x ywi i i 
18, 19, 20 e 21] para obtermos os valores das incógnitas mencionadas 
posteriormente. 
 (16) 
 (17) 
 (18) 
 (19) 
 (20) 
 (21) 
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Assim, faz-se possível calcular os valores dos coeficientes da reta e aX bY = + 
os erros associados, a propagação de incerteza: a e ΔbΔ 
. 
 (22) 
 
 (23) 
 
 (24) 
 
 (25) 
 
 (26) 
 
Resumindo, o tratamento de dados deve seguir o seguinte procedimento: 
1. Caso os dados sejam não-lineares, propor duas variáveis X e Y , 
relacionadas à x e y respectivamente, tal que se tenha: Y = aX + b . 
2. Estabelecer uma relação entre os parâmetros da equação da reta ( a e b ) e a 
grandeza de interesse, por meio do método dos mínimos quadrados. 
3. Aplicar a regressão linear usando os dados obtidos experimentalmente (para 
dados já lineares) ou sobre as novas variáveis linearizadas (para dados 
originalmente não-lineares), que permite encontrar os valores de a e b ; 
4. Determinar a equação da reta y = ax + b que melhor se ajuste; 
5. Finalmente, calcula-se as incertezas de Δ a , Δ b, assim como sua propagação 
sobre a grandeza física de interesse, e compara-se com os valores teóricos. 
A montagem do experimento para a simulação da teoria consiste em: a haste que 
determina o início de cada rotação percorrida por um determinado ponto do aro e o 
tambor deve ser girado 5 vezes. Com o auxílio de um cronômetro, marcou-se cada 
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intervalo de tempo para cada volta completada . Dessa forma, repetiu-se o t 360º)( 
processo 5 vezes. 
 
Figura 3. Representação do instrumento montado. 
O movimento circular da mecânica clássica consiste em um objeto se deslocando 
numa trajetória circular que possui uma força centrípeta que muda de direção o 
vetor velocidade, que é aplicado para o centro do círculo. A esse movimento 
também é agregado a velocidade angular média, que é dada pelo deslocamento 
angular (em radiano) pelo intervalo de tempo do movimento. 
 (27)ω = dt
dθ 
 
 
Figura 4. Representação do movimento circular. 
 
Juntamente avelocidade angular, tem-se a aceleração angular que é encontrada 
pela derivada da velocidade angular. 
 
 α = dt
dω = dt2
d θ2 (28) 
 
Para descobrir a posição em função do tempo e da aceleração utiliza-se a Equação 
29 da função horária da posição em relação ao tempo. Assim, adotando , θ0 = 0 
 e , obtém-se a Equação 30.ω0 = 0 t0 = 0 
 
 (29)(t ) (t ) θ = θ0 + ω0 − t0 + 2
1 − t0
2 
 
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 (30)(t) αtθ = 2
1 2 
 
A linearização dos dados é essencial para que se possa fazer o ajuste de curvas 
pela regressão linear, sendo somente necessário para dados não lineares. 
Primeiramente isola-se a variável independente t para obter-se a Equação 31 e 
aplicando dos dois lados, obtém-se a equação 32. Logo,neste experimento,a nl 
linearização consistirá basicamente em tornar a Equação 32 linear por meio da 
substituição: x, ) ln(θ), ln(t)). ( y → ( 
 
 (31)) θ(t) t = ( α
2 2
1
2
1
 
 
 n t ln θ ln ( )l = 2
1 + 2
1
α
2 (32) 
 
Comparando a Equação 32 com a equação da reta , temos as relações xy = a + b 
23 e 24: 
 
 a = 2
1 (33) 
 
 (34)ln( )b = 2
1
α
2 
 
Em seguida, modificou-se a Equação 31, fazendo e para expressar a )A = ( α
2 n = 2
1 
Equação 21 na forma da Equação 35, que linearizada resulta na equação 36. 
 
θ(t) t = A n (35) 
 
 n t ln A n ln (θ)l = + (36) 
 
Portanto, tem-se os coeficientes da reta pelas equações: 
 
a = n = 2
1 (37) 
 
 n A ln( )b = l = 2
1
α
2 (38) 
 
Um outro dado necessário calcular para a teoria do movimento é a aceleração 
angular e o erro associado à mesma, tais valores são encontrados através das 
equações: 
 
 α = 2ε2b (39) 
 
 α ) Δb) Δ = ( 4−ε2b
2
* (
2 (40) 
 
 
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Resultados 
Para a realização dos cálculos foi utilizado um suporte de massa 
kg, solto a uma altura de m e um cronômetro com, 605 0, 0000010 0 ± 0 , 6 0, 050 5 ± 0 
erro de 0,005 s. 
 
Tabela 1. 
Voltas Ângulo( )θ ln( )θ 
1 2𝛑 5,88610 
2 4𝛑 6,57925 
3 6𝛑 6,98472 
4 8𝛑 7,27240 
5 10𝛑 7,49554 
 
Tabela 2. 
t(s) (s)t d. padrão d. padrão 
média 
t Δ ln( )t 
12,38 
12,85 
12,74 
12,29 
12,82 
12,6160 0,2616 0,1170 0,1171 2,53497 
17,83 
18,44 
18,38 
17,93 
18,42 
18,2000 0,2950 0,1319 0,1320 2,90142 
22,08 
22,81 
22,69 
22,25 
22,82 
22,5300 0,3424 0,1531 0,1532 3,11485 
25,78 
26,17 
26,22 
25,94 
26,50 
26,1220 0,2761 0,1235 0,1236 3,26278 
29,09 
29,75 
29,55 
29,12 
29,75 
29,4520 0,3273 0,1464 0,1465 3,38276 
 
 
 
 
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Tabela 3. 
wi xwi i ywi i x ywi i i x xwi i i 
107,743 198,018 273,124 501,968 363,932 
137,835 348,864 399,918 1012,200 882,984 
147,048 431,804 458,031 1345,004 1267,988 
211,398 681,584 689,745 2223,857 2197,543 
201,099 693,254 680,272 2345,112 2389,864 
 
 
Tabela 4. 
E 805,123 
F 2353,524 
G 2501,090 
H 7102,312 
J 7428,144 
D 179.162,959 
 
Tabela 5. 
 
a: 0,5257 Δa: 0,0670 
b: 1,5695 Δb: 0,1991 
 
 
Gráfico 1. 
 
 
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Gráfico 2. 
 
 
 
Analise 
A partir da linearização da fórmula 31, a equação ganhou características de uma 
função afim ( ), em que facilitou a obtenção de dados com a técnica da xy = a + b 
regressão linear. Onde foi encontrado os valores dos coeficientes da reta, ou seja, 
os valores de “a” e “b”, que são respectivamente: 0,5257+-0,0670 e 
1,5695+-0,1991. Com base nesses dados, os gráficos 1 e 2 foram produzidos. 
 
 
Discussão 
Os resultados obtidos a partir do experimento se aproximaram dos valores 
previstos. A partir da linearização dos dados, foi possível encontrar os coeficientes 
da reta e da reta de regressão com melhor ajuste aos dados a b xy = a + b 
experimentais obtidos. Como isso, encontrou-se valores para as constantes e , A n 
da função de ajuste de curvas , respectivamente equivalentes a θ(t)t = A n 
e . Ademais, foi possível calcular a aceleração, 892 , 5214 8 ± 0 1 , 227 , 1030 5 ± 0 0 
angular de . É importante ressaltar os erros associados ao , 836 , 052 0 0 ± 0 0 s2
rad 
sistema, equipamentos e eventualidades como resistência do ar, diferença de nível 
da mesa etc. 
 
Conclusão 
 
Ao longo do experimento, foram encontrados alguns obstáculos que podem ter 
influenciado os resultados obtidos, como: as inclinações da roda ao girar, o atrito da 
polia e, além do erros associados aos instrumentos, o “olhômetro” na captação dos 
tempos através do cronômetro. Apesar disso, o valor dos dados colhidos estão 
condizentes com o que era previsto, e a pequena taxa de erro demonstrou que não 
houve muita participação desses “obstáculos” quando contabilizados. 
A partir dos testes realizados no experimento, pode-se afirmar que houve uma 
similaridade no comportamento das grandezas angulares e lineares, pois o 
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coeficiente angular obtido foi de 0,526+-0,067, provando a autenticidade da fórmula 
33. Por fim, também foi calculado a aceleração angular envolvida na qual resultou 
em um valor de 0,0866+-0,0012 rad/s². 
 
Bibliografia 
Halliday, D., Resnick R. e Walker, J., Fundamentos de Física, Vol. 1, 7a edição,Ed. 
IWAMOTO, Wellington; GUARANY, Cristiano; FOSCHINI, Mauricio; LORENZO, 
Antonino. Guias e roteiros para Laboratório de Física Experimental I,1ª Edição, 
Uberlândia. 
 
 
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