E - CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO
1.1 Raízes de Funções: Método da Bisseção, Método da Falsa Posição e Método de Newton 
1. Determine os intervalos que contêm as raízes da função f(x)=x3-9x+3: 
C. [-4,-3], [0,1] e [2,3] 
2. Uma utilidade interessante para o método de Newton, por exemplo, é determinar a aproximação de um irracional. Determine a raiz cúbica de 5, usando o método de Newton. Utilize a função f(x)=x3-5. 
E. 1,71
3. Encontre a raiz da função f(x)=x3-9x+3, utilizando o método da Bissecção e tendo como intervalo inicial [0,1]. Utilize duas casas decimais para a aproximação. 
A. a) 0,33 
4. Utilizando o método de Newton, determine, após três iterações, a raiz da função f(x)=x3-x+1, contida no intervalo [-2, -1], com uma casa decimal por arredondamento. 
D. d) -1,3
5. Considere a função f(x)=x2+x-6, e determine a raiz dela pelo método de Newton, tomando como x0 = 1,5. 
C. c) 2 
 
1.2 Modelagem Matemática e Métodos Numéricos: erros e sistemas de Ponto Flutuante
1. Dado o número π=3,1415926535…, qual a sua representação com parte inteira igual a zero? 
C. c) 0,31415926535.10
2. Ainda sobre o número π=3,1415926535…, qual o seu arredondamento para 7 dígitos após a vírgula? 
D. d) 3,1415927
3. Em uma medição de terreno, um engenheiro civil fez as seguintes medidas: comprimento = 1234cm e largura = 848cm. Levando em conta que uma determinada máquina trabalha com mantissa t=3 por arredondamento em ponto flutuante, determine a área desse terreno devolvida ao usuário em m²: 
A. a) 104 m²
4. Qual o erro absoluto do número 60,3451, tendo sido truncado com mantissa t=3? 
E. e) 0,451.10(-1)
5. Que representação o número (59)10 possui na base binária? 
B. b) 111011
2.1 Regressão por Mínimos Quadrados
1. No laboratório de Física Experimental de uma linha de produção de automóveis, um Engenheiro Mecânico está testando o tempo de reação do computador de bordo para indicar se está faltando combustível a partir da corrente elétrica fornecida ao sistema. O quadro abaixo indica os valores experimentais encontrados:​​​​​​​
No parâmetro de qualidade da fábrica é indicada a aproximação de f(1,22) ≅w(1,22) = 1,0516 quando é utilizada uma regressão linear para a estimativa de 1,22 ampères com tempo de resposta de 1,0516 segundos. Qual é a reta de aproximação que foi utilizada para obter esse valor estimado, informado no controle de qualidade?
E. w(A) = 0,23A + 0,771
2. Dado o quadro abaixo:
Qual o resíduo de aproximação de um polinômio de segundo grau que minimiza a aproximação?
B.0,00360
3. Dado o polinômio aproximador de terceiro grau w(u) = 1,379u³ – 0,353u² + 0,061u + 1,012 e o quadro abaixo:
Qual o resíduo dessa aproximação por mínimos quadrados?
B. 7,911 × 10–4​​
4. Para um mesmo conjunto de dados tabelados, foram encontrados os seguintes resíduos: I) 17,89 × 10–4(ajuste de dados por uma reta) II) 4,756 × 10–4(ajuste de dados por uma parábola) III) 0,829 × 10–4(ajuste de dados por um polinômio de grau 3) A partir das informações apresentadas, é correto afirmar que: 
C. o resíduo que produziu um melhor ajuste foi III. 
5. Dada a aproximação w(u) = a1ln (u) + a2 e os dados tabelados no quadro abaixo:
Quais os valores dos coeficientes da aproximação indicada, respectivamente?
B. a1 = 5,473 e a2 = 0,989
2.2 Interpolação
1. Dada a função t(u) = cos (u) com os valores tabelados de u0 = 0 e u1 = 0,6. Qual é a função de interpolação do primeiro grau para aproximar t(0,45) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente, utilizando o método de resolução de sistema linear para obter o polinômio interpolador? 
E. p1(u) = 1 – 0,29111u e 0,31439.
2. ​​​​​​​ Dada a função r(s) = cos (s) com os valores tabelados de s0 = 0, s1 = 0,6 e s2 = 0,9, qual é a função de interpolação do segundo grau para aproximar s(0,45) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente, utilizando o método de resolução de sistema linear para obter o polinômio interpolador? 
C. p2(s) = 1 – 0,03246s –​​​​​​​ 0,43109s² e 0,00234. 
3​. Dada a função w(t)= sen(πt) com os valores tabelados de t0 = 1,25 e t1 = 1,6, qual é a função de interpolação do primeiro grau, pelo método de Lagrange, para aproximar w(1,4) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente? 
A. p1(t) = 0,16415 – 0,697t e 0,1394.
4. Dado o seguinte quadro de diferenças divididas:
Quais são os valores que estão faltando, respectivamente?
A. w[u0] = 1, w[u1] = 3 e w[u0, u1] = 5.
5. Dada a função k(u) = eu, no intervalo [0,1], com pontos ui que são igualmente espaçados entre si e h sendo a distância, qual é o maior valor de h para que o erro da interpolação linear, em qualquer ponto de [0,1], seja ≤ 0,01 = E(u)? Considere esse valor com um arredondamento de cinco dígitos significativos pelo método do truncamento. 
B. h ≥ 0,17155.
3.1 Integração Numérica, regra do trapézio simples e Regra do trapézio composta
1. Você está prestando serviços para uma Agência Espacial e precisa resolver com urgência um problema de trajetória de um modulo espacial em um intervalo dado pela integral: ∫21 x³ / 1 + x^1/2 dx
Calcule o resultado aproximado pela regra do trapézio simples.
C.1,906854
2. Algumas funções têm primitivas difíceis de serem encontradas, especialmente as que envolvem trigonometria e funções exponenciais juntas. Quando é possível lidar com aproximações, podemos utilizar a regra do trapézio para resolver tais questões, colocando um número de intervalos que consideremos satisfatório para a aproximação. Observe a função: ∫1 -1 1 / √2π e^-x/2 dx
Agora resolva essa função pela regra do trapézio composta, utilizando 6 intervalos.
E.0,678191
3. Métodos numéricos para solução de integrais são essenciais se você obteve dados por meio de observações, e não há uma função preestabelecida. Imagine que você fez uma observação em laboratório e obteve os seguintes dados
C.2,05
4. O Barão Ariosvaldo de Bragança Orleans Pessanha Machado morreu e deixou uma grande fortuna para seus herdeiros: metade para seu cachorro yorkshire e a outra metade para a Associação dos Matemáticos Falidos. O Barão era matemático amador e gostava de brincadeiras, tendo passado a parte final de sua vida criando “memes” para a Internet e fazendo montagens gaiatas para enviar por Whatsapp. Lamentavelmente, certa vez, criou uma piada tão engraçada, que o fez rir muito e engasgar com as bolachas que comia junto com seu chá inglês, causando-lhe a morte. As instruções do seu testamento, redigido em aramaico, informavam que a relação dos seus bens (em diversas moedas, terras em vários países, ações das maiores empresas do mundo, joias, etc.) estavam guardadas em um cofre, cujo segredo era a solução numérica de sete elementos da integral: ∫3 -3 In (4x² + 4) dx
Ajude o responsável pelo inventário, o respeitado advogado Legalino Dura Lex, a resolver o problema.
D.15,225521
5. O departamento de projetos de sua empresa enviou a você uma série de cálculos para serem feitos, a fim de poder construir as máquinas necessárias para uma nova linha de produção. Exausto, após passar o dia calculando, você depara-se com mais uma integral, que na hora acha difícil de resolver por método direto e resolve fazer o cálculo pela regra do trapézio, dividindo a função em 8 subintervalos. A integral é: ∫1 0 x/(x + 1) (x + 2) dx
Qual é o resultado encontrado?
E.0,117166
3.2 Sistemas Lineares: Eliminação de Gauss, Sistemas Lineares: Eliminação de Gauss com pivotamento, Decomposição LU e Decomposição LU com pivotamento
1. Hoje é dia de S. Valentim. Dois rapazes pretendem comprar um ramo de flores, com rosas e tulipas, para oferecer às respectivas namoradas. Considere x1 o número de rosas e x2 o número de tulipas de cada ramo. O primeiro rapaz vai comprar o ramo da florista "Mil Pétalas", que 2 reais cobra por cada rosa e 2 reais por cada tulipa, gastando 10 reais. O segundo decide comprar o ramo na florista "Tudo em flor", que cobra 2 reais por cada rosa e 3 reais por cada tulipa, gastando 13 reais. Qual a soluçãopara o sistema? Resolva utilizando o Método de Gauss com Pivotamento. x1 = 2ex2 = 3 
A. a) x1=2 e x2 = 3
2. Determine a solução do sistema linear.
D. X1= -3 X2= 5 X3= 0 
3. No estudo das operações com matrizes e seus determinantes, existem procedimentos que asseguram a manutenção dos resultados, outros, apesar de alterar determinados pontos, não interferem nas equações resultantes, por fim, alguns podem ser desastrosos. Ao mudar as posições das linhas em uma matriz, o que acontece com seu determinante? 
C. c) Torna-se o simétrico.
4. Considere o seguinte sistema de equações para determinar as concentrações c1, c2 e c3 (g/m3), numa série de 3 reatores como função da quantidade de massa à entrada de cada reator (termo independente do sistema em g):
Desenvolvendo o método de Fatoração LU, como fica a matriz L no sistema dado?
 
5. Determine a solução do sistema linear.
B. b) x1=1, x2=1 e x3=1
4.1 Sistemas Lineares, Método Iterativo de Jacobi
1. Encontre a solução do sistema Ax = b, utilizando o Método Iterativo de Jacobi até a 1ª iteração, utilizando x0 = [0, 0, 0]t 10x1 + 3x2 + x3 = 14 5x1 – 10x2 + 3x3 = - 5 x1 + 3x2 + 10x3 = 14
B. [1,4; 0,5; 1,4].
2. Determine a primeira iteração do sistema, pelo Método Iterativo de Jacobi, sendo a inicial x0 = [0, 0, 0]t: 3x1 + x2 + x3 = 7 x1 + 4x2 + 2x3 = 4 0x1 + 2x2 + 5x3 = 5
B. [7/3; 1; 1].
3. Considerando o Método Iterativo de Jacobi, selecione a alternativa correta:
D. A diagonal principal de uma matriz solução de um Sistema Linear deve ter números que sejam maiores que a soma dos outros elementos da mesma linha.
4. Utilizando os critérios de convergência, modifique a Matriz a seguir, para que o método iterativo de Jacobi possa ser usado na solução do sistema linear.
C. Trocar a posição da 1ª coluna com a posição da 2ª coluna.
5. Qual a alternativa CORRETA que define o critério de parada do Método Iterativo de Jacobi?
E. O erro calculado na iteração é menor do que o erro estipulado como aceitável.
4.2 Sistemas Lineares: Método Iterativo de Gauss-Seidel
1. ​​​​​​​Em um sistema linear Ax = b, a matriz A é dada por:
C. 
2. Determine a solução do sistema linear a seguir pelo método iterativo de Gauss-Seidel, com ε ≤ 10 -2 ou k > 10 e aproximação inicial x(0) = (1, 1, 1).​​​​​​​​​​​​​​
A. x1= 0,613; x2= 0,863; x3= 0,023.
3. Resolva o sistema linear a seguir pelo método iterativo de Gauss-Seidel, com ε ≤ 10 -2 ou k > 10 e aproximação inicial x(0) = (1, 0, 1).
D. x1 = 0,608; x2 = –0,473; x3= –0,361.
4. Determine a solução do sistema a seguir pelo método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial x(0) = (0, 0) e critérios de parada ε ≤ 10 -2 ou k > 12.​​​​​​​
C. x1 = 0,363; x2 = –0,272.
5. Determine a solução do sistema a seguir pelo método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial x(0) = (0, 0) e critérios de parada ε ≤ 10 -3 ou k > 10.
E. x1 = –0,080; x2 = –0,360.