Funções

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Funções
A B
É uma função
A B
f
É uma função
A B
f
Não é uma
função
f
Definição de Função
Considere os conjuntos
 A = {1, 2, 3, 4} 
 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Se a função que determina a
relação entre os elementos é
 f: A → B é x → 2x
 Então f(x) = 2x e cada x do
conjunto A é transformado em
2x no conjunto B.
1
2
3
4
A B
2
4
6
8
1
3
5
7
O domínio é {1, 2, 3, 4}
O contradomínio é {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
O conjunto imagem é
{2, 4, 6, 8}
Portanto, para essa
função:
Representação
das funções
Tipos de Funções
Injetora
 0
3
5
1
2
5
8
A B
 
-1
2
4
2
5
7
A B
Bijetora
Cada elemento de A
corresponde a um ÚNICO
elemento de B, ou seja,
no conjunto B, quem
leva flechada só leva
uma.
É injetora e
sobrejetora ao
mesmo tempo.
Sobrejetora
 
-4
-2
2
3
12
4
6
A B
O contradomínio é
igual a imagem, ou
seja, não "sobra"
nenhum elemento
em B.
f f f
Dizemos que uma função f: A → B é injetora quando para quaisquer
elementos x1 e x2 de A, f(x1) = f(x2) implica x1 = x2 . Em outras
palavras, quando x1 ≠ x2 , em A, implica f(x1) ≠ f(x2).
Lembrete para o vestibular:
Se uma função é injetora, para toda reta y=b,
com b∈B, a interseção do gráfico da função com
a reta ocorre no máximo em um ponto. Vamos ver
um exemplo.
Injetora
Observe a função abaixo: Quando consideramos
as retas y=5 ou y=-1,
elas interseptam o
gráfico da função
somente uma vez.
Porém, quando
consideramos a reta
y=5/2 ele intersepta
gráfico da função em
mais de um ponto, ou
seja, a função não é
injetora. 
Exemplo
Dizemos que uma função é
sobrejetora quando para todo
elemento de B, existe pelo menos
um elemento de A tal que: 
 f(x) = y
(sendo x elemento do conjunto A e
y elemento do conjunto B)
Sobrejetora
A função quadrática
f(x)=x²-6x+10 não é
sobrejetora, mas a
função g: ℝ→[1,+∞] é.
Função Inversa
f
-1
2
4
2
5
7
A B
f = A→B
f = B→A
Uma função é inversível, ou seja, possui função inversa, se e
somente se, ela for bijetora.
Como se determina a lei de
formação da função inversa?
 Além de termos certeza de que é uma função
bijetora, precisamos inverter as incógnitas, ou
seja, trocar x por y e y por x, e posteriormente
isolar a incógnita y.
 
-1
Se pegarmos por exemplo a função 
f(x) = x + 5. 
Para sabermos a sua função inversa temos:
 f(x) = y, então y = x + 5.
 Invertendo x e y de lugar
vamos encontrar a seguinte equação:
x = y + 5.
Agora, vamos isolar o y:
– 5 + x = y
y = x – 5
É evidente que, se f(x) soma 5 ao valor de
x, então a sua inversa f(x) fará o inverso,
ou seja, x menos 5.
Exemplo
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
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---
---
---
---
---
---
-
f(x)
f-¹
eixo de simetria
-1
Dadas as funções f: A → B e 
g: B → C, a função composta de g com f é
a função h(x) = g(f(x)), que também pode
ser representada como gof(x).
Porém fog ≠ gof
Função Composta
h = gof
A CB
f g
Pegando como exemplo as funções 
f(x) = 2x + 2 e g(x) = 5x.
gof(x) = g[f(x)] = g(2x+2) = 5(2x+2) 
= 10x + 10
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 2 
= 10x + 2
Exemplo
Função Modular
f(x) = |x|
f(x) = x, se x≥ 0
ou
f(x) = – x, se x < 0
O módulo da função faz com que a parte do gráfico
que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no
momento em que toca o eixo x.
 As vezes, por simplicidade, temos o costume de "cortar" a raiz quadrada com o
índice 2. Nada de mal até aí, desde que consideremos que o resultado dessa
operação seja o módulo de tal número, e não apenas o número.
Importante
Mas porque isso é importante? Veremos abaixo:
Resolução Simplificada
quando o resultado é x
Resolução SImplificada
quando o resultado é |x|Cálculo Resolução usual
Propriedades
da Função
Modular
|x| = |-x| com x ∊ ℝ;
|x²| = |x|² = x² com x ∊ ℝ;
|x . y| = |x| . |y|, com x 
|x + y| ≤ |x| + |y|, com x e y
∊ ℝ.
 e y ∊ ℝ;
f(x) = x² + 2x – 3
 
f(x) = |x² + 2x – 3|
Função Afim
A lei de formação da função
afim é expressa na seguinte
fórmula:
f(x)=ax+b
 
O gráfico da função afim é uma
reta crescente ou decrescente.
Só não é considerada uma função
afim quando a reta é
perpendicular aos eixos x ou y.
Função linear
A função linear é um caso particular da função afim,
sendo definida como f(x) = ax. 
Quando o valor do coeficiente (a) que acompanha o x
da função for igual a 1, a função linear é uma função
identidade.
Se Δ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
Se Δ < 0, a função não possui raízes reais;
Se Δ = 0, a função possui duas raízes reais e iguais (x1 = x2).
 As raízes da função depende do discriminante: Δ = b² – 4ac. Portanto,
temos as seguintes condições:
Função Quadrática
As funções quadráticas tem a
forma ax²+bx+c. Para resolver
uma função quadrática usamos a 
 fórmula de Bháskara.
Se a > 0, o gráfico possui uma parábola com
concavidade para cima;
Se a < 0, o gráfico possui uma parábola com
concavidade para baixo.
A orientação do gráfico depende do coeficiente a. Assim:
Gráfico da Função
Quadrática
O gráfico da
função
quadrática
é uma curva
que
chamamos
de parábola.
Bijetora;
Estritamente crescente, para a > 1;
Estritamente decrescente, para 
 Podemos afirmar que a função
logarítmica é:
 0 < a < 1.
Função Logarítmica
 A função logarítmica é a
função do tipo f(x) = log x, em
que a é a base do logaritmo da
função, a é positivo e a ≠ 1.
a
A função inversaA função inversa
da logarítmica éda logarítmica é
a a FunçãoFunção
ExponencialExponencial
Estudo do sinal na
Função logarítmica
O sinal do logaritmo pode ser negativo ou
positivo, e podemos saber o sinal nas seguintes
condições:
log x > 0 ⇔ x > 1
log x < 0 ⇔ 0 < x < 1
Se a > 1:
log x > 0 ⇔ 0 < x < 1
log x < 0 ⇔ x > 1
Se 0 < a < 1:
a
a
a
a
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base:
É sempre maior que zero e diferente de um;
Não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a
função não está definida.
Injetora e Sobrejetora;
Estritamente crescente se a > 1;
Estritamente decrescente se 0 < a < 1.
Podemos afirmar que a função exponencial é:
Função Exponencial
A função
inversa da
Exponencial é a
Função
Logarítmica
Função Seno;
Função Cosseno;
Função Tangente.
 As funções trigonométricas são
funções angulares obtidas através do
auxílio do círculo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas:
Funções
Trigonométricas
1°
quadrante
2°
quadrante
3°
quadrante
4°
quadrante
x
y
Anti-horário y
x
TangenteSeno
Cosseno
_1
_1
Quadrantes e Funções
trigonométricas
-1
-1
Seno = cateto oposto 
 
Cosseno = cateto adjacente
Tangente = cateto oposto 
Relações trigonométricas
hipotenusa
hipotenusa
cateto adjacente
Estudo de sinais
Seno
++
- -
Cosseno
+
+-
-
Tangente
+
+
-
-
Ângulos notáveis 
Os ângulos que chamamos de notáveis são os de 30°,
45° e 60°. Eles são chamados notáveis por causa da
frequência com que surgem em problemas e da
grande importância para a Trigonometria. 
Para lembrarmos o seno, o cosseno e a tangente
desses ângulos, vamos aprender uma música.
Tangente
Um, dois, três, três, dois, um, tudo sobre dois. A
raiz vai no três e também no dois (HEY). A
tangente é diferente, vejam só vocês: raiz de
três sobre três, um, raiz de três.
Seno
Cosseno
30° 45° 60°
√ 32 √
√ √
√
3 2 1
2
1
2 2
2 2 2
3
3 1
√3