Formulário Capitulo 2 incorpera

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FORMULÁRIO 
Capítulo 2 
Transferência de calor multidimensional 
 
�̇�𝑥 = −𝑘𝐴𝑋
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 , �̇�𝑦 = −𝑘𝐴𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 , �̇�𝑧 = −𝑘𝐴𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+
�̇�𝑔𝑒𝑟
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 (Eq. Fourier – Biot) 
 Regime Permanente (Eq. de Poisson) (
𝜕
𝜕𝑡
= 0) 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+
�̇�𝑔𝑒𝑟
𝑘
= 0 
 
 Transiente sem geração de calor (�̇�𝑔𝑒𝑟 = 0) 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
= 
1
𝛼
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
 Regime Permanente Sem Geração de Calor 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
= 0 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Condução de Calor 
Extensa Parede Plana 
 Condutividade térmica variável 
 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
) + �̇�𝑔𝑒𝑟 = 𝜌𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
�̇�𝑔𝑒𝑟 = 
�̇�𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 [W/m³]  Energia gerada 
 
 Condutividade térmica constante 
 
 𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
�̇�𝑔𝑒𝑟
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 𝛼 = 
𝑘
𝜌𝑐
  Difusividade térmica [m²/s] 
 
 Regime Permanente (
𝜕
𝜕𝑡
= 0) 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+ 
�̇�𝑔𝑒𝑟
𝑘
= 0 
 
 Transiente sem geração de calor (�̇�𝑔𝑒𝑟 = 0) 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
= 
1
𝛼
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
 Regime Permanente Sem Geração de Calor 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
= 0 
 
Obs: Substituímos as derivadas parciais por derivadas ordinárias nos 
casos de regime permanente, já que ambas as derivadas dependem de 
uma só variável [𝑇 = 𝑇(𝑥)]. 
 
Cilindro Longo 
 Condutividade térmica variável 
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
 (𝑟𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑟
) + �̇�𝑔𝑒𝑟 = 𝜌𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
 Condutividade térmica constante 
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 
𝜕𝑇
𝜕𝑟
) + 
�̇�𝑔𝑒𝑟
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
 Regime Permanente 
1
𝑟
 
𝑑
𝑑𝑟
 (𝑟 
𝑑𝑇
𝑑𝑟
) + 
�̇�𝑔𝑒𝑟
𝑘
= 0 
 
 Transiente sem geração de calor 
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 
𝜕𝑇
𝜕𝑟
) = 
1
𝛼
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
 Regime permanente sem geração de calor 
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟 
𝑑𝑇
𝑑𝑟
) = 0 
 
Esfera 
 Condutividade térmica variável 
1
𝑟2
 
∂
∂r
 (𝑟2𝑘
∂T
∂r
) + �̇�𝑔𝑒𝑟 = 𝜌𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
 Condutividade térmica constante 
1
𝑟2
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑇
𝜕𝑟
) +
�̇�𝑔𝑒𝑟
𝑘
= 
1
𝛼
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
 Regime Permanente 
1
𝑟2
 
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
) + 
�̇�𝑔𝑒𝑟
𝑘
= 0 
 
 Transiente sem geração de calor 
1
𝑟2
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑇
𝜕𝑟
) = 
1
𝛼
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
 Regime Permanente Sem Geração de Calor 
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
) = 0 ou 𝑟
𝑑2𝑇
𝑑𝑟2
+ 2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 0 
 
Condições de Contorno 
 
 Temperatura da Superfície especificada 
𝑇(0, 𝑡) = 𝑇1 
𝑇(𝐿, 𝑡) = 𝑇2 
 
Caso Especial: Uma superfície isolada 
𝑘
𝜕𝑇(0,𝑡)
𝜕𝑥
= 0 
 
 Fluxo de Calor especificado 
�̇� = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
 
 Simetria Térmica 
𝜕𝑇(
𝐿
2
,𝑡)
𝜕𝑥
= 0 
 
 Convecção nas Superfícies 
−𝑘
𝜕𝑇(0,𝑡)
𝜕𝑥
= ℎ1(𝑇∞1 − 𝑇(0, 𝑡)) 
 
−𝑘
𝜕𝑇(𝐿,𝑡)
𝜕𝑥
= ℎ2(𝑇∞2 − 𝑇(𝐿, 𝑡)) 
 
 
 Interface 
𝑇𝐴(𝑥0, 𝑡) = 𝑇𝑏(𝑥0, 𝑡) 
 
−𝑘𝐴
𝜕𝑇𝐴(𝑥0,𝑡)
𝜕𝑥
= −𝑘𝐵
𝜕𝑇𝐵(𝑥0,𝑡)
𝜕𝑥
 
 
 Generalizadas 
(
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠
) = 
(
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠
)