calculo numerico derivadas

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Celina Jarletti 
 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
Em situações cotidianas, pode ocorrer a necessidade de determinação 
da função derivada em um determinado ponto de uma função bastante 
elaborada, ou sem equação de definição, sendo a função apresentada em uma 
tabela de valores numéricos. 
Outras situações podem requerer determinação de uma integral definida 
em um intervalo com expressão do integrando demasiado complexa, ou com 
valores apresentados em uma tabela numérica. 
Nestas situações, o cálculo numérico pode propiciar a solução desejada. 
TEMA 1 – DERIVAÇÃO POR DIFERENÇAS FINITAS 
Quando a função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é representada por meio de uma tabela de 
pares (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) com valores de 𝑥𝑥 igualmente espaçados, a derivada 𝑦𝑦´ = 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) da 
função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) em um determinado ponto, pode ser obtida por diferenças 
finitas desde que os valores das abcissas 𝑥𝑥 sejam próximos e os dados 𝑦𝑦 não 
sofram diferenças significativas. 
São possíveis três formas para a determinação: diferenças progressivas, 
diferenças regressivas e diferenças centradas. Esta nomenclatura está 
associada ao valor de 𝑥𝑥 tomado na tabela ser maior, ou menor, ou ambos, que 
o valor de referência 𝑥𝑥0. A qualidade da resposta (ou erro contido na resposta) 
depende do "passo" h (variação de 𝑥𝑥) escolhido para realizar o cálculo. 
Considerando a definição de derivada: 𝒇𝒇´(𝒙𝒙) = lim
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒇𝒇(𝒙𝒙+𝒉𝒉)−𝒇𝒇(𝒙𝒙)
𝒉𝒉
 
Realizando uma aproximação em 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 (valor em que se deseja 
calcular a derivada) e com passo (h) pequeno, tem-se a expressão utilizada 
para avaliação da derivada por diferenças progressivas sendo: 𝒇𝒇´(𝒙𝒙𝟎𝟎) ≅
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎+𝒉𝒉)−𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎)
𝒉𝒉
 . 
Exemplo: 1) Considerando a função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 13 + 2. Deseja-se 
calcular o valor da derivada 𝑦𝑦´ = 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) no ponto 𝑥𝑥 = 1. 
Inicialmente calcula-se o valor de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no ponto escolhido 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 = 1 
𝑓𝑓(1) = √2 . 1 + 13 + 2 = √33 + 2 = 3,44224957 
Atribuindo h=0,1, resulta: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) = 𝑓𝑓(1 + 0,1) = 𝑓𝑓(1,1) = �2 . 1,1 + 13 + 2 = �3,23 + 2 = 3,473612599 
A derivada terá valor aproximado de: 
 
3 
 
𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) =
𝑓𝑓(1,1) − 𝑓𝑓(1)
0,1
= 0,313630291 
Similarmente, atribuindo passo ℎ = 0,01 resulta: 
𝑓𝑓(1,01) = �2 . 1,01 + 13 + 2 = �3,023 + 2 = 3,445447473 
𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) =
𝑓𝑓(1,01) − 𝑓𝑓(1)
0,01
= 0,319790308 
E com passo ℎ = 0,001 obtém-se: 
𝑓𝑓(1,001) = �2 . 1,001 + 13 + 2 = �3,0023 + 2 = 3,442569999 
𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) =
𝑓𝑓(1,001) − 𝑓𝑓(1)
0,001
= 0,320428708 
A estimativa da derivada também pode ser realizada por diferenças 
regressivas por meio de 𝒇𝒇´(𝒙𝒙𝟎𝟎) ≅
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎)−𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎−𝒉𝒉)
𝒉𝒉
 
Com ℎ = 0,1 tem-se: 
 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ℎ) = 𝑓𝑓(1 − 0,1) = 𝑓𝑓(0,9) = √2 . 0,9 + 13 + 2 = √2,83 + 2 = 3,409459746 
Resultando 𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) = 𝑓𝑓(1)−𝑓𝑓(0,9)
0,1
= 0,327898238 
Com passo ℎ = 0,01 determina-se 𝑓𝑓(0,99) = √2 . 0,99 + 13 + 2 =
3,439037423 
A estimativa da derivada é: 𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) = 𝑓𝑓(1)−𝑓𝑓(0,99)
0,01
= 0,321214776 
Com passo ℎ = 0,001 obtém-se para o funcional 𝑓𝑓(0,999) =
3,441928999 e para a derivada 𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) = 0,320571153. 
Outra forma de cálculo da estimativa de derivada em um ponto é por 
meio de diferenças centradas com 𝒇𝒇´(𝒙𝒙𝟎𝟎) ≅
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎+𝒉𝒉)−𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎−𝒉𝒉)
𝟐𝟐𝒉𝒉
 
Com ℎ = 0,1 obtém-se: 𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) = 𝑓𝑓(1,1)−𝑓𝑓(0,99)
2 . 0,1
= 0,320764265 
Com ℎ = 0,01 obtém-se: 𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) = 𝑓𝑓(1,01)−𝑓𝑓(0,99)
2 . 0,01
= 0,320502542 
Com ℎ = 0,001 obtém-se: 𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) = 𝑓𝑓(1,001)−𝑓𝑓(0,999)
2 . 0,001
= 0,32049993 
Utilizando as regras do cálculo diferencial e integral é possível obter: 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 13 + 2 = (2𝑥𝑥 + 1)
1
3 + 2 e 
𝑦𝑦´ = 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) =
1
3
. (2𝑥𝑥 + 1)
1
3−1. 2 =
2
3�(2𝑥𝑥 + 1)23
 
No ponto 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 = 1 obtém-se: 𝑦𝑦´(1) = 𝑓𝑓´(1) =
2
3 √93
= 0,320499904 
Comparando os resultados obtidos pelos processos do cálculo numérico 
com a solução exata do cálculo diferencial e integral, é possível visualizar: a) 
 
4 
 
quanto menor for o valor do passo h, mais o valor obtido por meio do processo 
numérico, aproximando-se do valor exato de solução; b) o processo por 
diferenças centradas apresentou resultados melhores que o processo por 
diferenças progressivas e por diferenças regressivas. 
Quando os dados numéricos forem apresentados em uma tabela sem 
conhecimento da equação que os gerou, há duas formas de solução: a) se o 
tabelamento tiver passo constante é possível empregar as técnicas de 
diferenças finitas; b) se os dados numéricos da tabela apresentarem passo 
variável é usual utilizar funções de ajuste ou de interpolação de curvas para 
cálculo da derivada. O conceito de interpolação considera um conjunto de n+1 
pontos de uma função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sendo representados por uma função 
polinomial P(x). Então a derivada desta polinomial P´(x) é usada para 
diferenciação numérica da derivada desejada 𝑦𝑦´ = 𝑓𝑓´(𝑥𝑥). 
TEMA 2 - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
Cálculo de integrais definidas ocorre frequentemente. Exemplos: área 
abaixo de curva, área entre curvas, trabalho realizado ou sofrido por um 
sistema etc. 
Os métodos para o cálculo de integrais definidas podem ser: analíticos, 
mecânicos, gráficos e numéricos. 
O teorema fundamental do cálculo é definido por: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = [𝐹𝐹(𝑥𝑥)]𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎)
𝑏𝑏
𝑎𝑎
 
em que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) corresponde à expressão da derivada cuja função primitiva é 
𝐹𝐹(𝑥𝑥). 
A condição de empregabilidade deste teorema é que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) seja contínua 
no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. 
Do ponto de vista analítico existem diversas regras que podem ser 
utilizadas, mas, nem todas as integrais podem ser resolvidas. Considerando 
como exemplo ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏𝑎𝑎 não existe solução pelo cálculo diferencial e integral. 
Os procedimentos numéricos empregam como forma para resolver as 
integrais definidas a substituição da função do integrando 𝑓𝑓(𝑥𝑥) por um 
polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo de integração [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. 
Desta forma o integrando é de fácil integração por ser uma polinomial. As 
vantagens de se integrar um polinômio que aproxima 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) são 
 
5 
 
principalmente duas: a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) pode ser uma função de difícil integração ou de 
integração praticamente impossível, enquanto um polinômio é sempre de 
integração imediata; b) Às vezes a função é dada por meio de uma tabela-
conjunto de pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não 
se conhece a expressão analítica da função em termos do argumento 𝑥𝑥. 
As fórmulas de integração numérica são de manejo fácil e prático e nos 
permite, quando a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é conhecida, ter uma ideia do erro cometido. 
TEMA 3 – MÉTODO DOS RETÂNGULOS 
Considera o intervalo finito [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] no eixo 𝑥𝑥 sendo particionado em n 
subintervalos.[𝑥𝑥𝑖𝑖; 𝑥𝑥𝑖𝑖+1] com 𝑖𝑖 = 1, … ,𝑛𝑛 ; 𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎 e 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑏𝑏 e ℎ = 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 − 𝑥𝑥𝑖𝑖. A 
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é contínua no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Não é necessário que o passo (h) 
seja constante, podendo assumir diferentes valores para cada subintervalo. 
Há três maneiras diferentes de emprego do método dos retângulos: a) 
Altura tomada pela esquerda; b) Altura tomada pela direita; e c) Altura 
centrada. 
3.1 Método dos retângulos com altura tomada pela esquerda 
A área abaixo da curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no intervalo [ 𝑎𝑎; 𝑏𝑏] é calculada por ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏𝑎𝑎 
que pode ser aproximada pela soma de áreas de retângulos (base x altura), 
onde a base é o passo h e a altura é o valor da função tomada pela esquerda. 
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
≅�𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖).ℎ
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
Se opasso for constante pode-se escrever: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = ℎ . [ 
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)] 
Exemplo 1) Calcular ∫ √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥30 com 3 subintervalos. 
Calculando o passo: ℎ = 𝑏𝑏−𝑎𝑎
𝑛𝑛
= 3−0
3
= 1 
𝑥𝑥 0 1 2 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 1 1 1,732051 2,236068 2,645751 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
3
0
1 . [1 + 1,732051 + 2,236068] = 4,968119 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
Observação: a notação “u.a.” significa unidades de área. 
 
6 
 
Considerando o dobro de divisões, vem: ℎ = 𝑏𝑏−𝑎𝑎
𝑛𝑛
= 3−0
6
= 1
2
= 0,5 
𝑥𝑥 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 1 1,414214 1,732051 2 2,236068 2,449490 2,645751 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,5 . [1 + 1,414214 + 1,732051 + 2 + 2,236068 + 2,449490]
3
0
 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,5 . [10,831823] = 5,415912 𝑢𝑢.𝑎𝑎.
3
0
 
Exemplo 2) Calcular ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥10 com 4 e 8 subintervalos. 
Com 4 divisões (ou subintervalos) tem-se ℎ = 0,25. 
𝑥𝑥 0 0,25 0,5 0,75 1 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 1,064494 1,284025 1,755055 2,718282 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,25 . (1 + 1,064494 + 1,284025 + 1,755055) = 1,275894 𝑢𝑢.𝑎𝑎.
1
0
 
Com 8 divisões tem-se ℎ = 0,125. 
𝑥𝑥 0 0,125 0,25 0,375 0,5 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 1,015748 1,064494 1,150993 1,284025 
𝑥𝑥 0,625 0,75 0,875 1 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1,477904 1,755055 2,150338 2,718282 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,125 . (1 + 1,015748 + 1,064494 + 1,150993 + 1,284025
1
0
+ 1,477904 + 1,755055 + 2,150338) = 1,362320 𝑢𝑢. 𝑎𝑎. 
3.2. Método dos retângulos com altura tomada pela direita 
Similar ao processo anterior onde a base é o passo h e a altura é o valor 
da função tomada pela direita. 
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
≅�𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1). ℎ
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
Se o passo for constante, vem: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = ℎ . [ 
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥3) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛+1)] 
Exemplo 1) Calcular ∫ √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥30 com 3 subintervalos. Tomando ℎ = 1. 
𝑥𝑥 0 1 2 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 1 1 1,732051 2,236068 2,645751 
 
7 
 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 . [1,732051 + 2,236068 + 2,645751] = 6,613870
3
0
 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
 Considerando ℎ = 0,5 
𝑥𝑥 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 1 1,414214 1,732051 2 2,236068 2,449490 2,645751 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,5 . [1,414214 + 1,732051 + 2 + 2,236068 + 2,449490 +
2,645751 ]
3
0
 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,5 . [12,477574] = 6,238787 𝑢𝑢.𝑎𝑎.
3
0
 
Exemplo 2) Calcular ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥10 com 4 e 8 subintervalos. 
Com ℎ = 0,25. 
𝑥𝑥 0 0,25 0,5 0,75 1 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 1,064494 1,284025 1,755055 2,718282 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,25 . (1,064494 + 1,284025 + 1,755055 + 2,718282) = 1,70546 𝑢𝑢. 𝑎𝑎.
1
0
 
Com ℎ = 0,125. 
𝑥𝑥 0 0,125 0,25 0,375 0,5 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 1,015748 1,064494 1,150993 1,284025 
𝑥𝑥 0,625 0,75 0,875 1 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1,477904 1,755055 2,150338 2,718282 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,125 . (1,015748 + 1,064494 + 1,150993 + 1,284025 + 1,447904
1
0
+ 1,755055 + 2,150338 + 2,718282) = 1,573355 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
3.3 Método dos retângulos com altura tomada pelo centro 
A altura do retângulo é o valor da função tomada no ponto central do 
intervalo (ponto médio), ou seja: 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖 =
(𝑥𝑥𝑖𝑖)+(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)
2
 
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
≅�𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖).ℎ
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
Se o passo for constante, vem: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
≅ ℎ.�𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖) = ℎ . [𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥2) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛)]
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
Exemplo 1) Calcular ∫ √2𝑥𝑥 + 1𝑑𝑑𝑥𝑥30 com 3 subintervalos, sendo ℎ = 1. 
 
8 
 
𝑥𝑥 (𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥é𝑑𝑑𝑖𝑖𝑝𝑝) 0,5 1,5 2,5 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 1 1,414214 2 2,449490 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 .
3
0
[1,414214 + 2 + 2,449490] = 5,863704 𝑢𝑢.𝑎𝑎 
Considerando ℎ = 0,5 
𝑥𝑥 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 1,224745 1,581139 1,870829 2,121320 2,345208 2,549510 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,5 . �1,224745 + 1,581139 + 1,870829 + 2,121320 +2,345208 + 2,549510 �
3
0
= 5,846376 𝑢𝑢. 𝑎𝑎. 
Exemplo 2) Calcule ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥10 com 4 e 8 subintervalos. 
Com ℎ = 0,25. 
𝑥𝑥 0,125 0,375 0,625 0,875 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1,015748 1,150993 1,477904 2,150338 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,25 . (1,015748 + 1,150993 + 1,477904 + 2,150338)
1
0
= 1,448746 𝑢𝑢. 𝑎𝑎. 
Com 8 divisões tem-se ℎ = 0,125. 
𝑥𝑥 0,0625 0,1875 0,3125 0,4375 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1,003914 1,035782 1,102583 1,210951 
𝑥𝑥 0,5625 0,6875 0,8125 0,9375 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1,372188 1,604250 1,935095 2,408264 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0,125 . (1,003914 + 1,035782 + 1,102583 + 1,210951 + 1,372188
1
0
+ 1,604250 + 1,935095 + 2,408264) = 1,459123 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
TEMA 4 – MÉTODO DOS TRAPÉZIOS 
Utiliza a figura de um trapézio para aproximar o cálculo da área. 
Á𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎 =
𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑎𝑎𝑖𝑖𝑝𝑝𝑟𝑟 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑟𝑟
2
 .𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑢𝑢𝑟𝑟𝑎𝑎 =
𝐵𝐵 + 𝑏𝑏
2
 .ℎ 
É possível observar que ocorrem alguns trapézios como aproximações 
para as áreas onde as alturas são o passo h, e as bases do trapézio são 
tomadas como os valores da função nos extremos dos subintervalos. 
 
9 
 
𝐴𝐴 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)
2
 .ℎ
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑏𝑏
𝑎𝑎
 
Se o passo for constante, pode-se reescrever: 
 𝐴𝐴 = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑏𝑏𝑎𝑎
ℎ
2
. [𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 2. (𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛−1)) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)] 
Exemplo 1) Calcular ∫ √2𝑥𝑥 + 1𝑑𝑑𝑥𝑥30 com 3 subintervalos e ℎ = 1. 
𝑥𝑥 0 1 2 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 1 1 1,732051 2,236068 2,645751 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
1
2
 . [1 + 2(1,732051 + 2,236068) + 2,645751] =
3
0
5,790994 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
Considerando ℎ = 0,5. 
𝑥𝑥 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 1 1,414214 1,732051 2 2,236068 2,449490 2,645751 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥
3
0
=
0,5
2
 [ 1 + 2. (1,414212 + 1,732051 + 2 + 2,236068 + 2,449490)
+ 2,645751 ] = 5,827349 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
Exemplo 2) Calcule ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥10 com 4 e 8 subintervalos. 
Com 4 divisões tem-se ℎ = 0,25. 
𝑥𝑥 0 0,25 0,5 0,75 1 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 1,064494 1,284025 1,755055 2,718282 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 =
0,25
2
 . (1 + 2. (1,064494 + 1,284025 + 1,755055) + 2,718282)
1
0
= 1,490668 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
Com 8 divisões tem-se ℎ = 0,125. 
𝑥𝑥 0 0,125 0,25 0,375 0,5 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 1,015748 1,064494 1,150993 1,284025 
𝑥𝑥 0,625 0,75 0,875 1 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1,477904 1,755055 2,150338 2,718282 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 =
0,125
2
(1 + 2. (1,015748 + 1,064494 + 1,150993 +
1
0
 
+1,284025 + 1,477904 + 1,755055 + 2,150338) + 2,718282) = 1,469712 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
 
 
10 
 
TEMA 5 – REGRAS DE SIMPSON 
Desenvolvidas por Thomas Simpson, um matemático inglês que utilizou 
polinômios de grau 2 e grau 3. Os resultados costumam ter erros menores, 
devido à melhor aproximação de curvas aos perfis dos gráficos se comparados 
aos métodos anteriores que utilizaram retas. 
5.1 Regra 1/3 de Simpson 
O traçado do gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é aproximado por um polinômio de grau 2. 
Existem duas condições a serem atendidas: a) passo (h) constante; e b) 
número de subintervalos PAR. 
O cálculo para a integral definida é feito por: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
ℎ
3
 . [𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) + 4(𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥4) + ⋯ )
𝑏𝑏
𝑎𝑎
+ 2. (𝑓𝑓(𝑥𝑥3) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥5) + ⋯ )] 
Observe que esta fórmula é apresentada com os valores da função nos 
extremos 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑒𝑒 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) logo no início do somatório; os valores da função nos 
pontos internos com índices pares são multiplicados por 4; e os valores da 
função nos pontos internos com índices ímpares são multiplicados por 2. 
Exemplo 1) Calcular ∫ √2𝑥𝑥 + 1𝑑𝑑𝑥𝑥30 com 6 subintervalos (par). ℎ = 0,5 
𝑥𝑥 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 1 1,414214 1,732051 2 2,236068 2,449490 2,645751 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥
3
0
=
0,5
3
 [ 1 + 2,645751 + 4(1,414214 + 2 + 2,449490 )
+ 2. ( 1,732051 + 2,236068 )] = 5,839468 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
Exemplo 2) Calcule ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥10 com 4 e 8 subintervalos. 
𝑥𝑥0 0,125 0,25 0,375 0,5 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1 1,015748 1,064494 1,150993 1,284025 
𝑥𝑥 0,625 0,75 0,875 1 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 1,477904 1,755055 2,150338 2,718282 
Com 4 subintervalos: 
 
11 
 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 =
0,25
3
. (1 + 2,718282 + 4 . (1,064494 + 1,755055) + 2 . 1,284025)
1
0
 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1,463711 𝑢𝑢.𝑎𝑎.
1
0
 
Com 8 subintervalos: 
� 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 =
1
0
0,125
3
 . �1 + 2,718282
+ 4 . (1,015748 + 1,150993 + 1,477904 + 2,150338)
+ 2 . (1,064494 + 1,284025 + 1,755055)� = 1,462723 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
5.2 Regra 3/8 de Simpson 
Neste processo é necessário passo constante e número de 
subintervalos múltiplo de 3. O cálculo é feito por: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 =
3
8
 . ℎ . [𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) + 3. (𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥3) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥5) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥6) … )
𝑏𝑏
𝑎𝑎
+ 2. (𝑓𝑓(𝑥𝑥4) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥7) + ⋯ )] 
Exemplo 1) Calcular ∫ √2𝑥𝑥 + 1𝑑𝑑𝑥𝑥30 com 6 subintervalos (múltiplo de 3). 
ℎ =
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑛𝑛
=
3 − 0
6
=
1
2
= 0,5 
𝑥𝑥 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 1 1,414214 1,732051 2 2,236068 2,449490 2,645751 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥
3
0
=
3 . 0,5
8
 . [ 1 + 2,645751 + 3(1,414214 + 1,732051 
+ 2,236068 + 2,449490 ) + 2. ( 2 )] = 5,838979 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
NA PRÁTICA 
Vejamos os resultados obtidos para a integral ∫ √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥30 : 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Método Passo Resultado (u.a.) 
Retângulos altura à esquerda 1 4,968119 
Retângulos altura à esquerda 0,5 5,415912 
Retângulos altura à direita 1 6,613870 
Retângulos altura à direita 0,5 6,238787 
Retângulos altura centrada 1 5,863704 
Retângulos altura centrada 0,5 5,846376 
Trapézios 1 5,790994 
Trapézios 0,5 5,827349 
1/3 Simpson 0,5 5,839468 
3/8 Simpson 0,5 5,838979 
A integral ∫ √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥30 pode ser resolvida por procedimentos analíticos 
do cálculo diferencial e integral cujo resultado é: 
� √2𝑥𝑥 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥
3
0
= �
�(2𝑥𝑥 + 1)3
3 �
0
3
=
1
3
�7√7 − 1� = 5,840086 𝑢𝑢.𝑎𝑎. 
Comparando o resultado exato com os valores obtidos por cálculo numérico 
é possível verificar: 
a) Os seis primeiros resultados do método dos retângulos indicam que nas 
situações em que as alturas foram tomadas no ponto médio ocorreram 
erros menores. Os erros que aconteceram em situações com alturas 
tomadas à esquerda e à direita são compreendidos pela natureza da 
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 1 ser uma função crescente. 
b) Quanto maior o número de subintervalos, menor será o erro cometido na 
avaliação, o que leva a buscar uma melhoria de resultados com passo 
menor. Porém um aumento excessivo de subintervalos acarretará um 
aumento de operações matemáticas a serem realizadas exigindo tempo 
maior para obter a solução. 
c) O método dos trapézios costuma apresentar bons resultados e é 
bastante utilizado devido a sua simplicidade. 
d) As regras de Simpson apresentam bons resultados, mas não podem ser 
aplicadas em todas as situações porque existe obrigatoriedade de passo 
(h) constante e multiplicidade para número de subintervalos. 
 
 
13 
 
FINALIZANDO 
O processo da integração numérica é essencialmente um processo 
iterativo, envolvendo regra composta (vários retângulos, ou vários trapézios, ou 
várias parábolas etc.). Em linhas gerais, pode-se dizer que quanto maior a 
ordem do polinômio interpolador e menor o passo, melhor será o resultado. 
A integral definida do exemplo ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥10 não possui solução analítica, 
impossibilitando comparação com os resultados do cálculo numérico. Em 
situações como esta, vale o bom senso, ou seja, as soluções por meio de 
processos de cálculo numérico são aceitáveis desde que seja obedecida a 
condição de continuidade da função integrando no intervalo de integração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
REFERÊNCIAS 
Bibliografia básica 
BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico. São Paulo: Harbra, 1983 
CLAUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo numérico computacional. São 
Paulo: Editora Atlas S.A., 1994. 
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
JARLETTI, A. C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2017. 
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico, aspectos teóricos 
e computacionais. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2014 
SPERANDIO, D. Cálculo numérico. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014. 
Bibliografia complementar 
BARROSO, L. C. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: 
Harbra, 1987. 
BURIAN, R.; HETEM JUNIOR, A. Cálculo numérico. Rio de Janeiro: LTC, 
2007.