calculo numerico erro

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Celina Jarletti 
 
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CONVERSA INICIAL 
Matemática é a ciência dedutiva que estuda propriedades e relações de 
entidades abstratas. Ocorrendo detecção de padrões, é possível formular 
conjecturas e estabelecer definições para o caso em estudo. 
Modelos, na forma literal, são utilizados pela matemática simbólica, que 
apresenta uma solução analítica exata. A representação gráfica também pode 
ser uma possível solução para alguns problemas. Um fato limitante é que não 
existe solução exata ou gráfica para todas as situações com teor matemático. 
O cálculo numérico consiste em um conjunto de metodologias que 
apresentam um valor numérico como resultado e surge como recurso para a 
resolução destes problemas, utilizando como ferramental para desenvolvimento 
a fundamentação teórica associada ao emprego de procedimentos 
computacionais. 
Exemplos de utilização de métodos numéricos para cálculo de: 
a) raízes reais de funções representadas por equações elaboradas; 
b) derivação de funções apresentadas somente em tabela de dados (forma 
tabular); 
c) necessidade de estimar um valor (interno ou externo) não apresentado 
em uma tabela de valores; 
d) resolução de sistemas de equações lineares e não lineares; 
e) integral definida em que o conjunto de técnicas do cálculo diferencial e 
integral não apresente solução; e 
f) solução de Problemas de Valor Inicial (PVI) ou Problemas de Valor de 
Contorno (PVC) não resolvíveis por técnicas de equações diferenciais. 
Os resultados obtidos por meio do cálculo numérico serão sempre valores 
aproximados e podem conter algum erro, que muitas vezes pode ser minimizado, 
de forma a apresentar confiabilidade para a resposta obtida. 
TEMA 1 – PROCESSOS DE CÁLCULO NUMÉRICO 
A resolução de problemas por métodos numéricos envolve várias fases, 
sendo: 
• conhecer o problema real (com ou sem levantamento de dados); 
 
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• construir o modelo matemático apropriado; 
• escolher o método numérico adequado; 
• implementar computacionalmente o método numérico; e 
• obter e analisar os resultados. 
A modelagem matemática envolve o conhecimento do problema real 
tendo possibilidade de ocorrência de levantamento de dados por pesquisa ou 
censo, e a construção do modelo matemático apropriado ao problema 
observando sua natureza. 
A resolução atrás de processos numéricos inicia com a escolha dentre 
as possíveis técnicas, qual poderia ser utilizada para a solução do problema. 
Os métodos numéricos de cálculo podem ocorrer, algumas vezes, por um 
processo simples ou, outras vezes, por um processo exaustivo de operações 
matemáticas elementares. Em situações com muitas operações matemáticas, é 
aconselhável o uso de rotinas computacionais para facilitar a resolução. 
O resultado apresentado pelo cálculo numérico é sempre um escalar, ou 
seja, um número (ou mais números) e nunca uma expressão ou equação literal. 
Esses resultados serão de valor aproximado com algum erro inserido. Os 
erros podem, algumas vezes, ser minimizados por meio de repetição do 
processo de cálculo, de maneira que uma estimativa de resposta seja utilizada 
como dado inicial de um novo ciclo de cálculo, que apresentará uma nova 
estimativa melhor que a anterior, e assim sucessivamente até que a resposta 
seja aceitável. 
É possível também, em determinadas situações, optar por outro método 
de resolução do problema, dentre um grupo de técnicas conhecidas, que permita 
um resultado com menor erro. 
É fundamental compreender que determinadas situações cotidianas com 
problemas matemáticos somente serão possíveis de solução por meio de algum 
procedimento numérico, visto que as técnicas conhecidas para solução exata 
não são empregáveis em todos os problemas. Outro ponto importante a não ser 
esquecido diz respeito à qualidade da resposta obtida pelo emprego de algum 
método numérico, ou seja, a minimização de erros levará a um resultado possível 
de aceitação. 
 
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Problemas que apresentem soluções analíticas e exatas também podem 
ser resolvidos por meio de cálculo numérico. A comparação dos resultados 
obtidos pelas técnicas exatas com os resultados obtidos pelas técnicas de 
cálculo numérico mostra a proximidade dos resultados. 
TEMA 2 – NOÇÕES DE ERROS 
Os erros que ocorrem em algum cálculo por meio de métodos numéricos 
podem ser: 
2.1 Erros inerentes 
Ocorrem nos dados de entrada que podem conter imprecisão dos valores 
devido à forma de obtenção como em pesquisas de laboratório (calibragem de 
equipamentos) ou provenientes de algum Censo (resposta inverídica fornecida 
por algum entrevistado). Não há como evitar que ocorram. 
2.2 Erros de arredondamento 
Considerando as regras de arredondamento segundo ABNT 5891:1977 
com origem na ABNT – NB 87/1965. 
a) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser 
conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado 
permanecerá sem modificação. 
b) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser 
conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um 
algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá 
ser aumentado de uma unidade. 
c) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser 
conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a 
ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, 
o último algarismo a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade, 
e, se for par, permanecerá sem modificação. 
 
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Conforme as regras citadas e realizando, como exemplo, arredondamento 
promovido na terceira casa decimal, tem-se duas situações possíveis, como a 
seguir. 
• Arredondamento para maior (ou por excesso). O valor numérico torna-se 
maior após o arredondamento. 
Exemplo 1) O valor 5,343762 sendo arredondado para 5,344. 
Exemplo 2) O arredondamento para o valor 12,4325002 resulta 12,433. 
• Arredondamento para menor (ou por falta). O valor numérico torna-se 
menor após o arredondamento. 
Exemplo 3) A quantidade 3,456458 sendo arredondada para 3,456. 
Exemplo 4) O arredondamento de 4,3245000 resulta 4,324. 
TEMA 3 – ERROS DE NÚMERO DE MÁQUINA 
São erros de aproximação devido à conversão de números do sistema 
decimal para sistema binário utilizado em computadores, cálculos feitos no 
sistema binário, e conversão do sistema binário para sistema decimal para 
apresentação dos resultados. Um melhor entendimento dos erros que podem 
ocorrer nestas transformações pode ser obtido considerando as representações 
das bases decimal e binária, e os processos de conversão entre elas. 
3.1. Representação de valores numéricos nas bases binária e decimal 
Valores numéricos podem ser representados em diferentes bases. 
Nossos cálculos cotidianos são realizados na base decimal (dígitos de 0 
até 9, totalizando 10 dígitos) e os computadores operam normalmente na base 
binária (dígitos 0 e 1). 
Um valor numérico representado na base binária (base 2) pode ser 
denotado por: 
𝑎𝑎𝑚𝑚. 2𝑚𝑚 + ⋯+ 𝑎𝑎2. 22 + 𝑎𝑎1. 21 + 𝑎𝑎0. 20 + 𝑎𝑎−1. 2−1 + 𝑎𝑎−2. 2−2 + ⋯+ 𝑎𝑎−𝑛𝑛. 2−𝑛𝑛 
Ou 
� 𝑎𝑎𝑖𝑖 . 2𝑖𝑖
𝑚𝑚
𝑖𝑖=−𝑛𝑛
 (1.01) 
 
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Onde 𝑎𝑎𝑖𝑖 = 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 1 e 𝑖𝑖 = −𝑛𝑛,−𝑛𝑛 + 1, … . , 0, 1, … . ,𝑚𝑚. 
Exemplo 5) Representação de um valor em base binária. 
101110,01 = 1 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 1 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 + 0 . 2−1 + 1 . 2−2 
Um valor numérico representado na base decimal (base 10) pode ser 
denotado por: 
𝑎𝑎𝑚𝑚. 10𝑚𝑚+. . . + 𝑎𝑎2. 102 + 𝑎𝑎1. 101 + 𝑎𝑎0. 100 + 𝑎𝑎−1. 10−1 + 𝑎𝑎−2. 10−2+. . . +𝑎𝑎−𝑛𝑛. 10−𝑛𝑛 
Ou 
� 𝑎𝑎𝑖𝑖 . 10𝑖𝑖
𝑚𝑚
𝑖𝑖=−𝑛𝑛
 (1.02) 
Onde 𝑎𝑎𝑖𝑖 = 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 1 𝑜𝑜𝑜𝑜 2 𝑜𝑜𝑜𝑜… 𝑜𝑜𝑜𝑜 9 e 𝑖𝑖 = −𝑛𝑛,−𝑛𝑛 + 1, … . , 0, 1, … . ,𝑚𝑚. 
Exemplo6) Representação de um valor em base decimal. 
3248,23 = 3 . 103 + 2 . 102 + 4 . 101 + 8 . 100 + 2 . 10−1 + 3 . 10−2 
3.2. Conversão da base binária para decimal 
É realizada por meio da multiplicação do dígito binário pela potência de 2 
da respectiva posição, e posterior soma dos valores obtidos. As duas partes 
(inteira e não inteira) do valor numérico podem ser tratadas simultaneamente no 
processo de conversão. 
Exemplo 7) Transformação da base binária para decimal. 
1011,1012 = 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 + 1 . 2−1 + 0 . 2−2 + 1 . 2−3 
1011,1012 = 1 . 8 + 0 . 4 + 1 . 2 + 1 . 1 + 1 .
1
2
+ 0 .
1
4
+ 1 .
1
8
 
1011,1012 = 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 
1011,1012 = 11,62510 
3.3. Conversão da base decimal para binária 
Para ser realizada, é necessário separar a parte inteira da parte não inteira 
do valor numérico. 
A parte inteira é transformada mediante sucessivas divisões por 2 até 
que o último quociente seja igual a 1. O número binário será, então, formado pela 
 
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concatenação do último quociente com os restos das divisões, tomados no 
sentido inverso ao que foram obtidos. 
Pode-se escrever: 
𝑁𝑁10 = (1 𝑟𝑟𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑛𝑛−1 … 𝑟𝑟2 𝑟𝑟1) 2 (1.03) 
Exemplo 8) Considerando o valor 17 na base decimal, e realizando as 
sucessivas divisões por 2, resulta: 
 17 �2 
1 8 �2 
 0 4 �2 
 0 2 �2 
0 1 
1710 = 100012 
A parte não inteira de um número na base decimal é transformada para 
a base binária mediante: 
a) multiplicar a parte não inteira do número por 2; e 
b) a parte inteira do resultado será o digito na base binária (0 ou 1), e a parte 
não inteira do resultado obtido deve ser sucessivamente multiplicada por 
2 até que a parte não inteira se anule. 
Exemplo 9) Transformação de 0,09375 na base decimal para a base 
binária. 
0,09375 . 2 = 0,1875 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 0 
0,1875 . 2 = 0,3750 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 0 
0,375 . 2 = 0,750 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 0 
0,75 . 2 = 1,50 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 1 
0,50 . 2 = 1,00 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 1 
Encerra-se o processo quando a parte fracionária resultar nula. 
Então: 0,0937510 = 0,000112 
Exemplo 10) Transformação de 0,3 na base decimal para a base binária. 
 
8 
 
0,3 . 2 = 0,6 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 0 
0,6 . 2 = 1,2 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 1 
0,2 . 2 = 0,4 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 0 
0,4 . 2 = 0,8 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 0 
0,8 . 2 = 1,6 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 1 
0,6 . 2 = 1,2 𝑑𝑑í𝑔𝑔𝑖𝑖𝑔𝑔𝑜𝑜 = 1 ∗ 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟𝑜𝑜 𝑟𝑟𝑜𝑜𝑟𝑟𝑜𝑜𝑔𝑔𝑖𝑖çã𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑜𝑜𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜𝑟𝑟𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑𝑜𝑜𝑑𝑑. 
Então: 0,310 = 0,010011001 …2 
Neste exemplo é possível visualizar a conversão de um número não 
inteiro na base decimal contendo um número finito de dígitos (após a vírgula) 
resultando um número não inteiro na base binária contendo infinitos dígitos após 
a vírgula (no caso uma dizima binária). A quantidade de dígitos após a vírgula 
possíveis de serem utilizados para os cálculos em computadores depende da 
geração dessas máquinas, porém, é sempre uma quantidade finita. Esta 
característica leva a consideração que haverá uma aproximação a ser feita para 
o número de máquina mais próximo àquele da representação decimal, o que 
ocasionará algum erro nos resultados a serem apresentados. 
A representação de um número depende da base escolhida ou disponível 
na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua 
representação. Cálculos que envolvam números irracionais (números que não 
podem ser representados através de uma fração), a exemplo de 𝜋𝜋, √2 , √53 e 
𝑜𝑜 (𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑜𝑜𝑟𝑟𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑜𝑜 𝐸𝐸𝑜𝑜𝑟𝑟𝑜𝑜𝑟𝑟), que apresentam infinitas casas decimais, terão o erro 
dependendo da aproximação escolhida para os valores numéricos. 
3.4. Cancelamento subtrativo ou catastrófico 
Quando ocorrer instabilidade na resposta que pode ser compreendida 
como uma sensibilidade a perturbações. Esta instabilidade pode ser proveniente 
do algoritmo e da maneira de resolvê-lo, principalmente pela combinação de dois 
fatores: somas de grandezas de diferentes ordens (um valor numérico muito 
grande sendo somado a um valor numérico muito pequeno), e subtração de 
grandezas quase iguais. Ocorre o que é denominado cancelamento subtrativo 
ou cancelamento catastrófico, que é bastante comum nos cálculos por meio de 
 
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computadores. O cancelamento subtrativo potencializa o efeito do erro de 
arredondamento ocorrido nas transformações de base. Uma forma de minorar 
estes erros é utilizar double precision para os dados e cálculos nos programas 
de implementação computacional de alguma rotina de método numérico. 
Exemplo 11) Considerando realizar adição dos valores 𝑥𝑥 = 0,438 . 104 e 
𝑦𝑦 = 0,1587 . 102. 
A adição de valores em aritmética requer o alinhamento dos pontos 
decimais dos valores numéricos. Reescrevendo os valores numéricos com a 
mesma potência de 10 vem: 𝑥𝑥 = 0,438 . 104 𝑜𝑜 𝑦𝑦 = 0,001587 . 104 . 
A soma resulta: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = (0,438 + 0,001587). 104 = 0,439587 . 104. Esse é 
o resultado exato da adição. 
Promovendo arredondamento na terceira casa após a vírgula, tem-se: 
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦������� = 0,440 . 104. A barra superior na notação indica um valor aproximado 
(contendo algum erro). 
TEMA 4 – ERROS DE TRUNCAMENTO OU CANCELAMENTO 
Quando parte da representação do número em um sistema de aritmética 
de ponto flutuante é desprezada ou cancelada, ou quando em algumas séries 
infinitas são considerados, apenas os termos que contribuem mais fortemente 
para a resposta e os demais são desconsiderados. É compreensível que 
desprezar vários termos de uma série infinita que contribuem pouco para o 
resultado não desqualifica a resposta obtida, porém o resultado contém um 
pequeno erro. 
Exemplo 12) Observando o exemplo anterior com resultado exato da 
adição 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = (0,438 + 0,001587). 104 = 0,439587 . 104. 
Promovendo truncamento (corte) na terceira casa após a vírgula, tem-se: 
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦������� = 0,439 . 104. Este valor também é aproximado e difere do resultado exato 
e do valor obtido após arredondamento. 
TEMA 5 – ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO 
São erros que apresentam uma forma de cálculo definido por: 
 
 
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5.1. Erro absoluto 
É a diferença entre o valor exato de um número (𝑥𝑥) e seu valor 
aproximado (�̅�𝑥). 
Denota-se: 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − �̅�𝑥 (1.04) 
Em geral, não é possível ser calculado por não ser conhecido o valor exato 
de 𝑥𝑥. Emprega-se um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro 
absoluto. 
Exemplo 13) Considerando que a estimativa de um valor tenha sido 
apresentada em um intervalo: 𝑥𝑥 ∈ (2,13 ; 2,14) . Então, a estimativa para o erro 
absoluto é: |𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥| = |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| < 0,01. 
5.2. Erro relativo 
Definido como sendo o erro absoluto dividido pelo valor aproximado: 
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥 =
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥
�̅�𝑥 
=
𝑥𝑥 − �̅�𝑥 
�̅�𝑥 
 (1.05) 
Normalmente, é apresentado em termos percentuais. Erro relativo menor 
que 1% é considerado aceitável. 
Exemplo 14) Considerando 𝑥𝑥 ∈ (2,13 ; 2,14) e um valor obtido para 
avaliação seja �̅�𝑥 = 2,13737, tem-se: 
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥 =
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥
�̅�𝑥 
= 𝑥𝑥−�̅�𝑥 
�̅�𝑥 
= 0,01
2,13737
= 0,004678647 ≅ 4,679 . 10−3 . 
Em termos percentuais resulta: 4,679 . 10−3 . 100 = 4,679 . 10−1 ≅
0,468 % 
Quanto menor o erro relativo, melhor a avaliação para o valor de 𝑥𝑥. 
Exemplo 15) Considerando que uma determinada estimativa do valor de 
𝑥𝑥 tenha sido 𝑥𝑥 = 435,184372 e que é conhecido um intervalo para esta medida 
como sendo 𝑥𝑥 ∈ (430 ; 440), determine o erro relativo ocorrido. 
Resolução: 
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥 =
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥
�̅�𝑥 
=
𝑥𝑥 − �̅�𝑥 
�̅�𝑥 
=
10
435,184372= 0,0229788 ≅ 2,3 . 10−2 = 2,3% 
 
11 
 
Exemplo 16) Considerando que uma determinada estimativa do valor de 
𝑥𝑥 tenha sido 𝑥𝑥 = 45,841372 e que é conhecido um intervalo para esta medida 
como sendo 𝑥𝑥 ∈ (44 ; 46), determine o erro relativo ocorrido. 
Resolução: 
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥 =
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥
�̅�𝑥 
=
𝑥𝑥 − �̅�𝑥 
�̅�𝑥 
=
2
45,841372
= 0,043629 ≅ 4,4 . 10−2 = 4,4% 
NA PRÁTICA 
Análise de caso a seguir. Considere a sequência de cálculos: 
a) Transformação do valor 15,45 para base binária. 
Realizando a separação da parte inteira e decimal do valor numérico e 
aplicando as formas de transformação entre bases, resulta: 
1510 = 11112 0,4510 = 0,011100110011 …2 
b) Truncamento (corte) da parte não inteira em 10 dígitos 
binários. 
0,4510 = 0,0111001100110011 …2 ≅ 0,01110011002 
c) Transformação do valor obtido para a base decimal, 
conforme as regras apresentadas no texto. 
0,01110011002 = 2−2 + 2−3 + 2−4 + 2−7 + 2−8 =
1
22
+
1
23
+
1
24
+
1
27
+
1
28
= 
=
26 + 25 + 24 + 2 + 1
28
=
64 + 32 + 16 + 2 + 1
256
=
115
256
= 0,44921875 
O valor obtido é: 15,44921875 (a parte inteira do valor numérico não sofre 
alteração). 
d) Arredondamento na terceira casa após a vírgula 
Promovendo o arredondamento tem-se: 15,449 
e) Cálculo do erro absoluto entre o valor inicial e o obtido após 
transformação entre bases e arredondamento. 
𝐸𝐸𝐸𝐸 = |15,45 − 15,449| = 0,001 = 10−3 
f) Cálculo do erro relativo ocorrido. 
 
12 
 
 𝐸𝐸𝐸𝐸 = |𝐸𝐸𝐸𝐸|
�̅�𝑥
= 10
−3
15,449
≅ 6,47 . 10−5 = 6,47 . 10−5. 102 % = 6,47 . 10−3% 
𝐸𝐸𝐸𝐸 ≅ 0,00647 % 
Nesse exemplo, pode-se observar o cálculo para diversos tipos de erros 
que ocorreram nos processos. É necessário salientar que computadores operam 
com um número de dígitos após a vírgula maior que o apresentado na resolução, 
porém é uma quantidade finita. 
Dessa forma, ocorrerão os erros de truncamento que levarão as 
diferenças de valores entre as bases decimal e binária de representação 
numérica. Estes erros serão cumulativos nas diferentes operações aritméticas 
(adição, subtração, produto, divisão, potenciação, etc.), ocasionando resposta 
aproximada nos procedimentos por cálculo numérico. 
Um estudo de caso a seguir. Considere a seguinte situação: a raiz real e 
não inteira da equação 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 foi avaliada por 2 métodos numéricos 
diferentes. Uma das soluções apresentada foi de x = 0,749253 e a outra solução 
foi de x = 0,751745. Qual dos resultados contém erro relativo menor? 
Resolução: as três raízes exatas da equação polinomial de terceiro grau 
𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 podem ser obtidas por diferentes processos e resultam 𝑥𝑥1 =
0, 𝑥𝑥2 = 1 𝑜𝑜 𝑥𝑥3 = 0,75. 
Observando os valores exatos das raízes e os valores aproximados 
obtidos por algum processo de cálculo numérico, os erros cometidos estão 
relacionados com a terceira raiz indicada como exata. 
Para o processo numérico que resultou 𝑥𝑥 = 0,749253 tem-se: 
𝐸𝐸𝐸𝐸 = |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = |0,75 − 0,749253| = 0,000747 = 7,47 . 10−4 
𝐸𝐸𝐸𝐸 =
𝐸𝐸𝐸𝐸
�̅�𝑥
=
0,000747
0,749253
= 0,00099699 … 
 𝐸𝐸𝐸𝐸% = 0,0997 … % ≅ 0,1% 
Considerando o processo numérico que resultou 𝑥𝑥 = 0,751745 tem-se: 
𝐸𝐸𝐸𝐸 = |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = |0,75 − 0,751745| = 0,001745 = 1,745 . 10−4 
𝐸𝐸𝐸𝐸 =
𝐸𝐸𝐸𝐸
�̅�𝑥
=
0,001745
0,751745
= 0,0023212658 … 
 𝐸𝐸𝐸𝐸% = 0,2321 … % ≅ 0,2% 
 
13 
 
 
Comparando os erros relativos obtidos nas duas avaliações da raiz da 
equação, a escolha é feita pelo processo que apresentar o menor erro relativo, 
no caso, o valor da raiz aproximado seria �̅�𝑥 = 0,749253 com erro relativo de 
0,1%. 
FINALIZANDO 
O cálculo numérico apresenta diferentes técnicas para resolução de um 
mesmo problema. A cada nova etapa que será apresentada a você, traremos 
algumas formas de solução para cada problema em questão. A comparação dos 
resultados obtidos nos diferentes procedimentos será feita por meio dos erros 
relativos nos procedimentos empregados que será o fator determinante da 
qualidade da resposta obtida.