calculo numerico resolução de equações contorno

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MÉTODOS NUMÉRICOS EM 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Marina Vargas Reis de Paula Gonçalves 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nas aplicações reais, é recorrente que um problema, regido por uma 
equação diferencial, não forneça o conhecimento de todas as condições iniciais 
na variável e nas suas derivadas até uma ordem abaixo da própria EDO. Essa, 
na verdade, é uma exigência muito específica em diversos contextos físicos. 
No geral, é razoável conhecer, através do contexto físico do problema, os 
valores em certos graus diferenciais. Por exemplo, para um problema de 
propagação de calor em uma barra, é razoável conhecer a temperatura em suas 
extremidades no instante inicial, o que corresponderia a uma condição inicial. No 
entanto, frequentemente não se conhece a distribuição de temperatura, sendo 
essa a solução a ser obtida, e assim não se conhecem as taxas de variação 
instantâneas iniciais, de modo que o PVI fica incompleto, enquanto buscamos 
desvendar mais informações sobre a própria função. 
Por analogia, é como se um projétil fosse lançado através de um 
lançamento oblíquo: sabendo de onde ele parte e aonde ele chega, desejamos 
prever a trajetória, mas não sabemos a angulação do lançamento. Nesse caso, 
o conhecimento sobre o início e o fim da trajetória se referem ao contorno do 
problema. Assim, tratamos esse caso como Problema Valor de Contorno, ou 
PVC. 
 Assim, vamos abordar temas que visam formalizar o entendimento do 
PVC, permitindo seu estudo e uma aproximação numérica. Em seguida, vamos 
apresentar abordagens para o tratamento e a solução numérica. Os métodos 
descritos podem ser encontrados em Burden e Faires (2008), Franco (2006), 
Butcher e Goodwin (2008) e Chapra (2012). Esses materiais são indicados para 
um maior aprofundamento do conteúdo. 
A teoria que embasa formalmente o estudo de problemas de valor de 
contorno sob o enforque analítico foge do escopo desse material, e sendo objeto 
de estudo na área de Equações Diferenciais, sob a ótica de teoria da medida, 
teoria de aproximação e análise funcional, como estudado em Brezis (2010). 
 
 
 
3 
TEMA 1 – TEORIA ELEMENTAR DO PROBLEMA DE CONTORNO 
1.1 Formalização matemática 
Um PVC consiste em uma associação de uma EDO de ordem 𝒏 com um 
conjunto de restrições na forma de novas EDOs de ordem até 𝒏 − 𝟏 aplicadas 
pontualmente em um conjunto chamado contorno do problema. Em geral, a 
região de contorno do PVC coincide com o contorno físico do problema, 
consagrando o nome do problema, mas não é uma condição primária para a 
formulação. 
De fato, podemos resumir o PVC como um operador diferencial 𝑳 que dá 
origem à EDO, aplicado à função 𝒖 e associado ao atendimento de um operador 
diferencial 𝑮 aplicado a 𝒖 especificamente no contorno do problema. Ou seja: 
𝑳(𝒖) = 𝒇(𝒙) 
para 𝒙 ∈ 𝛀 (no domínio) e 
𝑮(𝒖) = 𝒈(𝒙) 
para 𝒙 ∈ 𝚪 (no contorno). 
 O operador 𝑮(𝒖) pode conter derivadas de 𝒖 até uma ordem inferior às 
derivadas presentes em 𝑳(𝒖), sendo razoável separar o operador 𝑮(𝒖) em dois 
operadores, conforme a ordem das derivadas que carregam. Para a primeira 
metade de ordem inferior das derivadas, incluindo a de ordem zero, temos 
𝑮𝑫(𝒖), que são chamadas condições essenciais do problema, ou Dirichlet. Para 
as derivadas de ordem superior, até 𝒏 − 𝟏, temos 𝑮𝑵(𝒖), que são chamadas de 
condições naturais do problema, ou Neumann. 
Essa é uma separação que por vezes facilita a compreensão do PVC e o 
estudo da existência, unicidade e regularidade de soluções. Dentro do escopo 
deste material, é suficiente uma compreensão preliminar dessa definição, como 
a apresentada, que se associa à compreensão de que um PVC de ordem 𝒏 exige 
pelo menos 𝒏 condições de contorno para ser considerado um problema bem-
posto. 
TEMA 2 – MÉTODO DO DISPARO 
O método do disparo consiste em uma estratégia simples e bastante 
intuitiva. Buscamos repensar o problema de valor de contorno com um problema 
de valor inicial, e assim, através de um procedimento corretor, ajustaremos as 
 
 
4 
condições iniciais de um ou mais problemas acoplados ao sistema, de forma a 
atender iterativamente às condições de contorno. 
2.1 Procedimento de tentativa e erro 
Consideremos um problema de valor de contorno de segunda ordem do 
tipo: 
𝒅𝟐𝒖
𝒅𝒙𝟐
= 𝒇(𝒙, 𝒖) 
sujeito a condições de contorno 𝒖(𝟎) = 𝒖𝟎 e 𝒖(𝒍) = 𝒖𝒍. Dessa forma, podemos 
reescrever o problema de segunda ordem em dois problemas de primeira ordem 
acoplados como: 
𝒅𝒘
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙, 𝒖) 
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 𝒘 
Aqui, conhecemos apenas 𝒖(𝟎), referente à segunda EDO, configurando-
a como um PVI de condição inicial 𝒖𝟎. 
Se conhecêssemos uma condição inicial, digamos 𝒘𝟎, para a primeira 
EDO, resolveríamos o problema de forma simples através de técnicas para 
integração de sistema de EDOs estudadas anteriormente. Nesse ponto, o 
método do disparo nos indica que devemos escolher arbitrariamente um valor 
para 𝒘𝟎, como palpite. 
Por exemplo, adotamos 𝒘𝟎 = 𝒘𝟎
𝟏 como primeira estimativa. Dessa forma, 
resolvemos o sistema de equações diferenciais de primeira ordem como um PVI 
em 𝒖𝟎 e 𝒘𝟎
𝟏. Com esse cálculo, conseguimos determinar um valor ao final do 
intervalo, em 𝒙 = 𝒍, �̅�𝟏(𝒍) = 𝒖𝒍
𝟏, que provavelmente difere de 𝒖(𝒍) = 𝒖𝒍, levando 
à conclusão que o palpite 𝒘𝟎
𝟏 foi errôneo. 
Se 𝒖𝒍
𝟏 > 𝒖𝒍, devemos reduzir 𝒘𝟎
𝟏, escolhendo um segundo palpite 𝒘𝟎
𝟐 
menor. Se 𝒖𝒍
𝟏 < 𝒖𝒍, devemos aumentar 𝒘𝟎
𝟏, escolhendo um segundo palpite 𝒘𝟎
𝟐 
maior. Assim, iterativamente, o método prossegue até a escolha 𝒘𝟎
𝒋
 resultar em 
um erro |𝒖𝒍
𝒋
− 𝒖𝒍| satisfatório. 
 
 
 
5 
2.2 Sistematização do procedimento iterativo 
O procedimento explanado, embora correto, pode demorar a convergir. 
Com isso, podemos adotar estratégias mais eficientes para a atualização da 
inclinação 𝒘𝟎
𝒋
. 
Uma estratégia possível é assumir uma interpolação linear entre dois 
palpites errôneos e a condição de contorno almejada, para a construção de um 
palpite mais acurado (𝒘𝟎
𝒆). Ou seja, 
𝒘𝟎
𝒆 = 𝒘𝟎
𝟏 +
𝒘𝟎
𝟐 −𝒘𝟎
𝟏
𝒖𝒍
𝟐 − 𝒖𝒍
𝟏
(𝒖𝒍 − 𝒖𝒍
𝟏) 
Naturalmente o procedimento pode ser estendido para um grau mais 
elevado do que segunda ordem, bastando para tanto repetir o procedimento 
iterativo, mais as diversas EDOs do sistema de equações diferenciais pertinente. 
Este é um método para obter a solução de problemas de valor de contorno 
(PVC) (ou de fronteira, PVF). Considere o problema de valor de contorno. 
Desejamos encontrar a solução numérica no intervalo [a, b]: 
{
𝒚´´ = 𝒑(𝒙)𝒚´ + 𝒒(𝒙)𝒚 + 𝒓(𝒙), 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃]
𝒚(𝒂) = 𝜶
𝒚(𝒃) = 𝜷
 
Se as funções 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥)𝑒 𝑟(𝑥) são contínuas no intervalo [𝑎, 𝑏], com 
𝑞(𝑥) > 0 , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então o PVC tem uma única solução. 
Seja o PVC dado pela equação: 
{
𝒚´´ = 𝒑(𝒙)𝒚´ + 𝒒(𝒙)𝒚 + 𝒓(𝒙), 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃]
𝒚(𝒂) = 𝜶
𝒚(𝒃) = 𝜷
 
O método do disparo linear consiste em transformar o PVC em dois PVI: 
PVI-1: {
𝒚´´ = 𝒑(𝒙)𝒚´ + 𝒒(𝒙)𝒚 + 𝒓(𝒙), 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃]
𝒚(𝒂) = 𝜶
𝒚´(𝒂) = 𝟎
 
PVI-2:{
𝒚´´ = 𝒑(𝒙)𝒚´ + 𝒒(𝒙)𝒚 + 𝒓(𝒙), 𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃]
𝒚(𝒂) = 𝟎
𝒚´(𝒂) = 𝟏
 
A solução é dada por 𝒚(𝒙) = 𝒚𝟏(𝒙) +
𝜷−𝒚𝟏(𝒃)
𝒚𝟐(𝒃)
𝒚𝟐(𝒙). Temos que: 
 𝑦1(𝑥) é a aproximação para o PVI-1 
 𝑦2(𝑥) é a aproximação para o PVI-2 
 𝑦1(𝑏) é a aproximação para o PVI-1 
 
 
6 
 𝑦2(𝑏) é a aproximação para o PVI-2 
TEMA 3 – MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS 
Uma forma clássica de se aproximar numericamente equações 
diferenciais é substituir os operadores diferenciais contínuos, derivadas, por 
aproximações discretas. Em geral, podemos enxergar esse procedimento como 
tomar a derivada pela definição 
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
 
A sua aproximação discreta consistiria em assumir o limite válido para o 
caso em que 𝒉é finito. Ou seja, 
𝒇′(𝒙) ≈
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
 
 Essa expressão possibilita calcular 𝒇′(𝒙) com base em um valor a jusante 
na malha (𝒙 + 𝒉). Outra possibilidade é usar o ponto a montante (𝒙 − 𝒉), 
resultando em: 
𝒇′(𝒙) ≈
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙 − 𝒉)
𝒉
 
 Combinando as duas expressões, podemos escrever ainda: 
𝒇′(𝒙) ≈
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙 − 𝒉)
𝟐𝒉
 
Aqui, sua vez, há um erro menor em função do cancelamento dos termos 
de ordem ímpar da expansão de Taylor. 
Assim, as diversas expressões de aproximação em Diferenças Finitas 
para as derivadas sucessivas podem ser obtidas de combinações de expansões 
em series de Taylor em torno de pontos da malha. 
Essa abordagem permite mensurar o erro cometido ao se truncar a série 
e realizar a aproximação. Para os exemplos acima, as duas primeiras 
aproximações apresentam erro na ordem de 𝒉𝟏, ou 𝑶(𝒉), enquanto a última 
expressão apresenta erro na ordem de 𝒉𝟐, ou 𝑶(𝒉𝟐) – sendo, portanto, mais 
acurada. 
3.1 Aproximação de domínio 
As expressões de diferenças finitas se distinguem não só pela sua ordem 
de erro, mas também pela quantidade de pontos necessária para o cálculo. Essa 
 
 
7 
quantidade de pontos associados passa a ser restritiva à medida em que há a 
necessidade de escrever o equacionamento perto do contorno do problema. 
Dessa forma, domínio e contorno são tratados separadamente para a 
formulação, e então acoplados no mesmo sistema numérico. 
Para pontos interiores ao domínio, aplica-se a expressão diferenças finitas 
condizente com a EDO e com a ordem de aproximação escolhida. Com isso, 
aplicando para todos os pontos do domínio, escrevemos um sistema linear de 
equações algébricas em que as incógnitas são os valores da resposta desejada 
do domínio. Por enquanto, o sistema não admite solução única, pois falta impor 
as condições de contorno, que são tratadas separadamente. 
3.2 Tratamento do contorno 
As expressões de diferenças finitas precisam ser escritas com cuidado no 
contorno, para que envolvam apenas valores possíveis, que estejam no contorno 
ou no domínio do problema. Assim, é comum optar por opções a jusante ou a 
montante nesses casos, apesar de haver uma ordem de aproximação inferior ao 
domínio. 
Ao escrever separadamente as expressões de contorno, fica mais fácil 
impor condições de contorno na EDO, quando são conhecidos os valores para 
o PVC. Por fim, agregam-se essas novas equações ao sistema de domínio, 
ampliando-se o sistema de equações algébricas, que agora passa a admitir 
solução. 
3.3 Solução pelo método de diferenças finitas 
Por fim, após montar o sistema de equações algébricas que agrega a 
aplicação das expressões em diferenças finitas em cada nó da malha, deve-se 
resolvê-lo. 
A solução do sistema de equações apresenta o valor da variável de 
interesse em cada nó da malha. Caso seja necessário obter o valor das 
respectivas derivadas ponto a ponto, é possível aplicar o mesmo procedimento 
de diferenças finitas para calcular as derivadas aproximadas com base nos 
valores vizinhos da malha. 
Da equação, para o método das diferenças finitas: 
 
 
8 
(𝟏 +
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝒊))𝒚𝒊+𝟏 + (−𝟐 + 𝒉
𝟐𝒒(𝒙𝒊)) 𝒚𝒊 + (𝟏 −
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝒊))𝒚𝒊−𝟏 = 𝒉
𝟐𝒇(𝒙𝒊) 
Resulta no sistema 𝐴𝑤 = 𝑏, em que: 
(
 
 
 
 
𝟐 + 𝒉𝟐(𝒒(𝒙𝟏) −𝟏 +
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝟏 ) 𝟎
−𝟏 +
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝟐 ) 𝟐 + 𝒉
𝟐(𝒒(𝒙𝟐) −𝟏 +
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝟐 )
𝟎 ⋱ ⋱
⋮ ⋱ ⋱
𝟎 𝟎 𝟎
 
… 𝟎
⋱ ⋮
⋱ 𝟎
⋱ −𝟏 +
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝒏−𝟏 )
−𝟏 +
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝒏 ) 𝟐 + 𝒉
𝟐(𝒒(𝒙𝒏) )
 
 
 
 
 
𝒘 =
(
 
 
𝒘𝟏
𝒘𝟐
𝒘𝟑
⋮
𝒘𝒏−𝟏
𝒘𝒏 )
 
 
 e 𝒃 =
(
 
 
 
 
−𝒉𝟐𝒓(𝒙𝟏) + (𝟏 +
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝟏 )𝒘𝟎
−𝒉𝟐𝒓(𝒙𝟐)
⋮
−𝒉𝟐𝒓(𝒙𝒏−𝟏
−𝒉𝟐𝒓(𝒙𝒏) + (𝟏 +
𝒉
𝟐
𝒑(𝒙𝒏 )𝒘𝒏+𝟏)
 
 
 
 
 
Temos que resolver o sistema linear de n equações, tridiagonal. 
TEMA 4 – MÉTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS 
A aproximação numérica �̅� de uma solução 𝒖 real para um determinado 
PVC apresenta certo erro intrínseco, pelo fato de que não estamos atendendo 
perfeitamente ao operador de domínio e/ou o operador de contorno que rege o 
PVC. Podemos compreender esse erro como o resíduo deixado em: 
𝑳(𝒖) = 𝒇(𝒙) → 𝑳(𝒖) − 𝒇(𝒙) = 𝟎 
𝑮(𝒖) = 𝒈(𝒙) → 𝑮(𝒖) − 𝒈(𝒙) = 𝟎 
ao se aproximar 𝒖 por �̅�, resultando em: 
𝑳(�̅�) − 𝒇(𝒙) = 𝑹𝛀 
𝑮(�̅�) − 𝒈(𝒙) = 𝑹𝚪 
 Naturalmente, os resíduos 𝑹𝛀 e 𝑹𝚪 tendem a diminuir à medida em que a 
aproximação numérica converge. 
4.1 Ponderação dos resíduos 
 Com o intuito de avaliar a natureza dos resíduos, que inicialmente são 
desconhecidos, podemos ponderá-los com funções conhecidas 𝚽𝛀(𝒙) e 𝚽𝚪(𝒙). 
Essa ponderação permite medir a projeção dos resíduos em relação às funções 
de ponderação, o que nos dá uma noção indireta do tamanho dos resíduos. 
 
 
9 
Com isso, podemos minimizar os resíduos através da anulação das suas 
projeções em relação às funções de ponderação escolhidas. Esse problema 
resulta na seguinte formulação: 
∫ 𝚽𝛀(𝒙)𝑹𝛀
𝛀
𝒅𝛀 +∫ 𝚽𝚪(𝒙)𝑹𝚪
𝚪
𝒅𝚪 = 𝟎 
4.2 Aproximação da solução 
Da mesma forma que escolhemos funções de ponderação para acessar 
indiretamente a natureza do resíduo, podemos escolher funções que 
representam aproximadamente uma possível solução para o PVC. Por exemplo, 
podemos escrever �̅�(𝒙) = 𝝓(𝒙) e representar essa aproximação na expressão 
de resíduos ponderados da seguinte forma 
∫ 𝚽𝛀(𝒙)𝑹𝛀
𝛀
𝒅𝛀 +∫ 𝚽𝚪(𝒙)𝑹𝚪
𝚪
𝒅𝚪 = 𝟎 
∫ 𝚽𝛀(𝒙)(𝑳(𝝓𝛀(𝒙)) − 𝒇(𝒙))
𝛀
𝒅𝛀 +∫ 𝚽𝚪(𝒙)(𝑮(𝝓𝚪(𝒙)) − 𝒈(𝒙))𝒅𝚪
𝚪
= 𝟎 
Essa estratégia permite que apliquemos integrações por partes nas 
integrais envolvidas, de forma a transferir parte das derivadas presentes em 𝑳 e 
𝑮 para as funções de ponderação, reduzindo as exigências de regularidade 
sobre as funções 𝝓, e facilitando a aproximação do problema. 
Nesse procedimento de integração por partes, surgem termos que 
envolvem o conhecimento sobre as condições de Dirichlet, à medida que 
transferimos metade das derivadas. 
Esse procedimento de transferência do operador diferencial para as 
funções de ponderação, junto com a escolha apropriada de funções de 
ponderação de aproximação de 𝒖, dá origem a uma família de método baseados 
em Resíduos Ponderados, como Método da Colocação, Método dos 
Subdomínios, Método dos Mínimos Quadrados e Método de Galerkin e de 
Rayleigh-Ritz, que será apresentado a seguir. 
TEMA 5 – MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ 
Enquanto os métodos de tiro e de diferenças finitas abordam o problema 
diretamente na ordem do operador diferencial, exigindo que as respostas 
aproximadas atendam às mesmas características de regularidade que a solução 
 
 
10 
real do problema, o método de Rayleigh-Ritz reduz essa exigência, facilitando a 
modelagem numérica. 
Em outras palavras, os métodos de tiro e diferenças finitas resolvem a 
chamada forma forte do problema, em que o operador a ser atendido tem ordem 
𝒏 = 𝟐𝒎, por exemplo, enquanto que o método de Rayleigh-Ritz, através da 
técnica de Resíduos Ponderados, resolve a chamada forma fraca, em que o 
operador resultante tem ordem 𝒎, exigindo-se menos da regularidade da 
solução. 
5.1 Escolha das funções de ponderação e de teste 
Primeiramente, é importante notar que o método de resíduos ponderados 
dá liberdade para a escolha de 𝚽 e de 𝝓, e que isso tem impacto direto na 
análise. Por exemplo, podemos escolher 𝚽 e 𝝓 de forma atender às condições 
de contorno do problema, zerando assim a integral de contorno 
∫ 𝚽𝚪(𝒙)(𝑮(𝝓𝚪(𝒙)) − 𝒈(𝒙))𝒅𝚪𝚪 , restando apenas a integral de domínio. 
Adicionalmente, podemos escolher as funções da mesma forma, tanto 
para ponderação como para aproximação. Ou seja, 𝚽 para ambas, de forma que 
ambas pertençam ao mesmo espaço de funções. 
Utilizando funções em espaços apropriados, podemos escrever 𝚽 como 
uma combinação linear, com elementos de base para esse espaço. Por exemplo, 
se adotarmos um formato polinomial de segundo grau para𝚽(𝐱), podemos 
escrever qualquer 𝚽(𝐱) como uma combinação linear da base canônica, como 
𝚽(𝐱) = 𝛂𝟎𝒙
𝟎 + 𝛂𝟏𝒙
𝟏 + 𝛂𝟐𝒙
𝟐. 
5.2 Aproximação e solução 
Utilizando funções 𝚽(𝐱) como descrito, podemos escrever a expressão 
de resíduos ponderados no domínio como: 
∫ 𝚽(𝐱) (𝑳(𝚽(𝐱)) − 𝒇(𝒙))
𝛀
𝒅𝛀 = 𝟎 
Reorganizando, temos: 
∫ 𝚽(𝐱)𝑳(𝚽(𝐱))
𝛀
𝒅𝛀 = ∫ 𝚽(𝐱)𝒇(𝒙)
𝛀
𝒅𝛀 
Escrevendo 𝚽(𝐱) com uma combinação linear de funções de base, temos: 
 
 
11 
𝚽(𝐱) = ∑𝜶𝒊𝚽𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
 
Integrando por partes sucessivamente, temos uma nova equação, 
considerando um operador diferencial de forma fraca 𝑫𝒎 e condições de 
contorno atendidas pela função 𝚽(𝐱), como: 
∑∑∫ 𝜶𝒋𝑫𝒎(𝚽𝒊)𝑫𝒎(𝚽𝒊)
𝛀
𝒅𝛀
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
𝒏−𝟏
𝒋=𝟎
= ∑∫ 𝚽𝒊(𝒙)𝒇(𝒙)
𝛀
𝒅𝛀
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
 
Esse equacionamento dá origem a um sistema de ordem 𝒏 de equações 
algébricas cujas incógnitas são os coeficientes da combinação linear que 
escreve 𝚽(𝐱). Resolver esse sistema implica encontrar a melhor solução 
aproximada possível para o PVC no espaço de funções escolhido para escrever 
𝚽(𝐱). 
5.3 Escolhas das funções e aproximações locais 
Uma possibilidade para reduzir o número de integrações a serem 
realizadas no procedimento é escolher uma base de funções com existência 
local, dentro de um intervalo, e limitar o número de intersecções quando as 
funções da base são não nulas. 
Por exemplo, podemos escrever uma função de base que seja não nula 
apenas no intervalo de 𝒙 − 𝒉 a 𝒙 + 𝒉, crescendo linearmente a partir do zero da 
primeira metade do intervalo até um valor unitário em 𝒙, e depois decrescendo 
para zero em 𝒙 + 𝒉. Fora do intervalo [𝒙 − 𝒉, 𝒙 + 𝒉] a função é nula. Esse tipo de 
função é linear por partes e tem formato de “chapéu” centrado em 𝒙. 
Ao escrever 𝚽(𝐱) como uma combinação linear dessas funções, cobrindo 
todo o domínio, observa-se que a integral de domínio é nula para todo caso de 
funções 𝚽𝒊 e 𝚽𝒋 que não tenham sobreposição. Essa observação permite evitar 
o cálculo de todas as combinações disjuntas de 𝚽𝒊 e 𝚽𝒋, e ainda possibilita a 
garantia de uma aproximação de ordem linear por partes em cada um dos 
intervalos [𝒙 − 𝒉, 𝒙 + 𝒉]. 
 
 
 
12 
NA PRÁTICA 
Considere o problema físico de uma barra metálica aquecida por uma 
fonte de calor uniforme. Nesse caso, o problema pode ser modelado através da 
equação de Poisson, como: 
𝒅𝟐𝑻
𝒅𝒙𝟐
= −𝒇(𝒙) 
Dada uma fonte de calor 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟎 e condições de contorno 𝑻(𝟎) = 𝟓𝟎 e 
𝑻(𝟏𝟎) = 𝟏𝟖𝟎, resolva o PVC utilizando: 
 O método do disparo utilizando Runge-Kutta de Quarta Ordem para 
resolver o PVI e 𝒉 = 𝟏, 𝟎; 
 O método de diferenças finitas com uma aproximação de segunda ordem 
e 𝒉 = 𝟏, 𝟎; 
 O método de Rayleigh-Ritz utilizando funções chapéu e 𝒉 = 𝟏, 𝟎. 
Compare os resultados obtidos para a distribuição de temperaturas e 
discuta qual dos métodos você escolheria para modelar esse tipo de problema 
de valor de contorno. 
FINALIZANDO 
Nesta aula abordamos temas relacionados ao Problema de Valor de 
Contorno, que permitem seu estudo e uma aproximação numérica. 
Apresentamos três métodos com abordagens distintas para a solução numérica 
de um PVC. 
Primeiramente, tratamos do método do disparo, que estabelece um 
procedimento para resolver o PVC através do acoplamento de um PVI, com um 
esquema iterativo para atender às condições de contorno. 
Em um segundo momento, apresentamos o método de diferenças finitas, 
como uma alternativa simples e intuitiva para a discretização do operador 
diferencial. Por fim, trabalhamos o método de Rayleigh-Ritz, com um breve 
embasamento sobre a estratégia variacional de Resíduos Ponderados. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
BREZIS, H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential 
equations. USA: Springer Science & Business Media, 2010. 
BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise numérica. São Paulo: Cengage 
Learning, 2008. 
BUTCHER, J. C.; GOODWIN, N. Numerical methods for ordinary differential 
equations. New York: Wiley, 2008. 
CHAPRA, S. C. Applied numerical methods. Columbus: McGraw-Hill, 2012. 
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson, 2006.