Book - Cálculo Numérico

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Cálculo Numérico
Diana Morona 
Diana Morona
Cálculo Numérico
SATC
Criciúma
2021
Satc — Associação Beneficente da 
Indústria Carbonífera de Santa Catarina
Presidente de Honra
Ruy Hülse
Diretor Executivo
Fernando Luiz Zancan
Diretor Administrativo Financeiro
Marcio Zanuz
Reitor
Carlos Antônio Ferreira
Direção do Colégio Satc
Izes Ester Machado Belolli
Pró-Reitor de Ensino e Extensão
Jovani Castelan
Pró-Reitor de Pesquisa e Inovação
Luciano Dagostin Bilessimo
Coordenação do Satc Digital
Jaqueline Marcos Garcia de Godoi
Revisão Gramatical
Patrícia Medeiros Paz 
Diagramação e Ilustrações
Gabriel Nazario Anselmo
Gustavo Fernandes Santana
Sumário
Conheça a autora ......................................................................................................................... 5
Apresentação ................................................................................................................................ 7
Unidade 1
■ Noções básicas sobre erros ..................................................................................... 9
Módulo 1 – Introdução ao cálculo numérico ....................................................................................11
Módulo 2 – Erros absolutos, relativos e de arredondamento . ..................................................17
Módulo 3 – Sistema de numeração e sistema de ponto flutuante .........................................25
Unidade 2
■ Zeros reais de funções reais ..................................................................................39
Módulo 4 – Introdução aos zeros reais de funções reais. .............................................................41
Módulo 5 – Refinamento e métodos iterativos para se obter zeros reais das funções: 
método da bissecção. .....................................................................................................................................51
Módulo 6 – Método de Newton-Raphson e método da secante. ...........................................61
Unidade 3
■ Sistemas lineares e interpolação..........................................................................75
Módulo 7 – Definição e resolução de sistemas de equações lineares e matriz .................77
Módulo 8 – Método de Jacobi e Gauss-Seidel .................................................................................87
Módulo 9 – Interpolação polinomial (Lagrange) e polinômio de Newton. .........................97
Sumário
Unidade 4
■ Integração numérica, ajuste de curvas e diferenciação ..................................109
Módulo 10 – Integração numérica: regra dos trapézios e de Simpson .............................. 111
Módulo 11 – Ajuste de Curvas pelo método dos quadrados mínimos. ............................. 125
Módulo 12 – Soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias ............................. 135
Gabarito .....................................................................................................................................151
Referências ................................................................................................................................155
Conheça a autora
Diana Morona nasceu em Criciúma, Santa Catarina. Professora desde 2004 na 
área de matemática e informática. Formada em Ciências da Computação pela 
Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL) em 2002 e Licenciatura em 
Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), em 2015. 
Especialista em Didática e Metodologia do Ensino Superior, pela Universidade 
do Extremo Sul Catarinense (UNESC), em 2005, Metodologia Interdisciplinar de 
Ensino, pela Faculdade Capivari (FUCAP), em 2006. Desde o começo de 2019, 
é professora da Faculdade SATC, atuando nas disciplinas de Cálculo e no Ciclo 
Básico das Engenharias.
Apresentação
Sabe aquelas situações de que quando estamos resolvendo problemas matemáticos 
e não encontramos soluções exatas ou encontramos soluções complexas? Então, 
essas situações podem ser resolvidas com o auxílio dos conceitos do Cálculo 
Numérico, cujo objetivo principal é estudar métodos numéricos que buscam 
soluções que possam ser representados por modelos matemáticos.
Podemos definir o Cálculo Numérico como um conjunto de métodos utilizados 
para se obter soluções de problemas matemáticos que não possui uma solução 
exata ou complexa, por tanto precisa ser resolvido numericamente e de forma 
aproximada. Quando se resolve um problema matemático numericamente, 
precisamos tomar uma série de decisões antes de resolver o problema. Essas 
decisões consistem na escolha e no conhecimento dos métodos numéricos. A 
escolha do método a ser utilizado, deve ser baseada naquele que é mais adequado 
para o seu problema. Outro item importante na escolha do método é saber avaliar 
a qualidade da solução obtida. 
Mas afinal, de que forma eu posso resolver um problema prático, utilizando os 
métodos descritos no Cálculo Numérico? Dividindo em etapas de resolução, 
que podemos defini-las como: problema real, modelagem matemática e solução 
numérica. A descrição de cada etapa, dos métodos e de outros conceitos do 
Cálculo Numérico, está descrita em cada módulo deste livro. Sendo assim, ele se 
tornou uma ferramenta no processo de aprendizagem na resolução de problemas 
oriundos da própria matemática, ou de outras áreas, estabelecendo um elo entre 
matemática e problemas práticos de áreas específicas. 
Noções básicas sobre erros 
Iniciaremos aqui os nossos estudos sobre o Cálculo 
Numérico. Nesta unidade, apresentaremos uma breve 
visão sobre os conteúdos que serão abordados e 
procuraremos mostrar a importância desses assuntos 
para a resolução de diversos problemas que surgem, 
principalmente das ciências exatas e engenharias.
Nesta unidade, trataremos ainda das formas de 
representação dos números em sistemas de numeração, 
noções de erro, de aproximação numérica, análise de erros 
nas operações aritméticas, que são conceitos fundamentais 
para o trabalho com as técnicas do cálculo numérico. 
Os objetivos de aprendizagem desta unidade são: 
compreender os conceitos básicos do cálculo numérico 
por meio da resolução de problemas, conhecer a teoria 
dos erros e conhecer formas de representação numérica.
Unidade 1
11Unidade 1
Introdução ao cálculo 
numérico 
1.1 Cálculo numérico: o que é e como pode ser 
utilizado? 
Neste módulo, apontamos a importância do cálculo numérico e a sua utilidade 
como ferramenta para a resolução de problemas reais oriundos da própria 
matemática, de outras ciências exatas e das engenharias.
Podemos definir o cálculo numérico como um conjunto de métodos usados 
para se obter à solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses 
métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma 
solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente. 
Quando se busca resolver um problema matemático numericamente, buscamos 
o auxílio de recurso computacional para poder obter o resultado mais 
aproximadamente. Mas antes de buscar auxílio de um recurso computacional, 
tem que se tomar uma série de decisões antes de resolver o problema. E para 
tomar essas decisões, é preciso ter conhecimento de métodos numéricos. 
Módulo 1
12 Unidade 1
O profissional das áreas exatas e/ou das engenharias tem que decidir pela utilização 
ou não de um método numérico (existem métodos numéricos para se resolver 
este problema?). Depois decidir qual o método a ser utilizado, procurando aquele 
que é mais adequado para o seu problema, observando as vantagens que cada 
método oferece e que limitações eles apresentam. Por fim, avaliar a qualidade da 
solução obtida. Para isso, é importante ele saber exatamente o que está sendo feito 
pelo computador ou calculadora, isto é, como determinado método é aplicado.
A maioria dos problemas matemáticos surge da necessidade de solucionar 
problemas físicos (naturais e sociais), sendo que é possível descrevê-los por meio 
de modelos matemáticos.x0 = x;
Passo 8: x1 = x;
Passo 9: voltamos para o passo 3.
6.2.2 Estudo da convergência
O método da secante é simplesmente uma aproximação do método de Newton, 
onde usamos:
 
𝑓′(𝑥𝑘) ≅
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1)
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
As condições de convergência são praticamente as mesmas. O método pode 
divergir caso f(xk) ≅ f(xk-1), que na verdade é a situação em que f '(xk) ≅ 0, no qual 
o método de Newton pode divergir.
Síntese do Módulo
Nesse módulo aprendemos sobre os métodos iterativos secante e do Newton- 
Raphson para encontrar as raízes de funções, que geralmente são os métodos mais 
rápidos. Usamos o método de Newton quando a derivada da f(x) for fácil de se 
calcular, caso contrário usamos o método da secante. Mas não esqueça, tudo isso 
depende do seu objetivo inicial, se quisermos um intervalo bem pequeno que 
contenha a raiz o melhor método já é bissecção, que estudamos no módulo 5.
73Unidade 2
Exercícios
1) Seja 𝑓: ℝ → ℝ, dada por f(x) = -x + 2e-x, determine o intervalo [a, b], que possui 
raízes reais para f. Faça demonstração graficamente.
2) Determine o intervalo que as funções abaixo possuem zeros das funções e 
prove se o intervalo possui apenas uma raiz válida.
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 9𝑥3 − 2𝑥2 + 120𝑥 − 130
b) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 𝑥
3) Liste um exemplo de f(x), que tenha pelo menos uma raiz que não pode ser 
determinada pelo método da bissecção.
4) Seja f(x)= (x+2)(x+1).(x-1)3 (x-2). Para qual zero de f(x) o método da bissecção 
converge quando aplicado nos seguintes intervalos:
a) [-3; 2,5]
b) [-1,5;1,75]
5) A função f(x)=2x -3x possui dois zeros no intervalo [0, 1] e outro no intervalo 
[3, 4]. Obtenha os zeros dessa função em ambos intervalos, adotando o método 
da bissecção com ε = 10-1. Quantas iterações foram necessárias?
6) Seja f(x)= x2 - 6. Dados x-1= 3 e x0=2, encontre x2 usando o método da secante.
7) Calcule a raiz real da equação f(x) = x3 - 2x2 + 2x - 5 próximo x0 = 2, por meio 
do método da secante. Considere ε = 10-5.
8) Seja f(x) = -x3 - cos(x) e x0 = -1. Use o método de Newton para encontrar x2. 
O valor de x0 = 0 poderia ser usado?
9) Cite um exemplo de uma função f(x), que tenha pelo menos uma raiz, que o 
Método de Newton-Raphson não converge sempre.
74 Unidade 2
Sistemas lineares e 
interpolação 
NNos módulos que compõem esta unidade iremos falar 
de como resolver sistemas lineares e sobre interpolação. 
Serão apresentados, inclusive, alguns métodos diretos de 
resolução de sistemas lineares. Portanto, usaremos esta 
unidade para revisitar alguns dos métodos que vocês já 
conhecem, dando-lhes um maior aprofundamento e para 
introduzir outros métodos diretos ainda não trabalhados. 
O tema de sistemas lineares é um dos principais objetos de 
estudo de áreas como álgebra linear e cálculo numérico, 
desempenhando um papel fundamental na matemática, 
bem como em outras ciências, em especial nas exatas 
e nas engenharias. Aplicações de sistemas lineares a 
situações concretas ocorrem em diversas situações, como 
“nas engenharias, na análise econômica, nas imagens de 
Unidade 3
ressonância magnética, na análise de fluxo de tráfego, 
na previsão do tempo e na formulação de decisões ou 
de estratégias comerciais” (ANTON; BUSBY, 2006, p.59), 
e podem ter milhares ou até milhões de incógnitas. 
Esta unidade tem como principal objetivo desenvolver 
o aprendizado sobre os conceitos de sistemas lineares 
e explicar como a utilização desses conceitos pode ser 
apresentada no dia a dia do profissional da engenharia.
 
77Unidade 3
Definição e resolução de 
sistemas de equações 
lineares e matriz
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares, devemos 
relembrar que uma equação é linear se cada termo contém não mais do que uma 
incógnita e cada incógnita aparece na primeira potência. 
Definição: uma equação linear nas incógnitas x1,x2, … , xn é uma equação que 
pode ser expressa na forma padrão 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎n𝑥n = 𝑏 em que 𝑎1,𝑎2,… , 𝑎n 
e b são constantes reais. A constante é chamada coeficiente da incógnita e a 
constante b é chamada constante ou termo independente da equação. 
São, portanto, lineares as equações 2x − 3y + 5z = 1 e 
x1 − 3x2 + 4x3 = 5 − x4 + 2x5 . Observe que a segunda equação pode ser escrita 
na forma x1 − 3x2 + 4x3 + x4 − 2x5 = 5 . Entretanto, as equações 3x − 4yz = 5 
e x2 + 3y − z = 8 não são lineares, pois na primeira equação, o segundo termo 
contém duas incógnitas e na segunda equação, o primeiro termo contém uma 
incógnita elevada ao quadrado.
Módulo 7
78 Unidade 3
Vamos Refletir?
A determinação do conjunto solução dos sistemas lineares é um tema de estudo 
relevante dentro da matemática aplicada e, particularmente, em muitos tópicos de 
Engenharia. A complexidade de muitos sistemas, com elevado número de equações 
e de incógnitas, requer, muitas vezes, o auxílio de um computador para resolvê-los. 
Existem diversos algoritmos que permitem encontrar, caso existam, soluções de um 
sistema, recorrendo eventualmente a métodos numéricos de aproximação.
Observações:
• quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-
se equação linear homogênea. Por exemplo: 5x + y = 0;
• uma equação linear não apresenta termos da forma 𝑥1
2, 𝑥1 . 𝑥2 , etc., isto é, 
cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1;
• as equações 3𝑥1
2 + 2𝑥2 = −3 e 4𝑥. 𝑦 + 𝑧 = 2 não são lineares;
• a solução de uma equação linear a n incógnitas é a sequência de números 
reais ou ênupla 𝛼1,𝛼2, . . . , 𝛼𝑛 , que, colocados respectivamente no lugar de 
𝑥1,𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 , tornam verdadeira a igualdade dada;
• uma solução evidente da equação linear homogênea 3𝑥 + 𝑦 = 0 é a dupla 
(0,0). 
Vejamos outros exemplos.
Exemplo: dada a equação linear 4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2, encontrar uma de suas soluções.
Resolução: vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.
x = 2 , y = 0 ⇒ 2 . 4 - 0 + z = 2 ⇒ z = -6
79Unidade 3
Resposta: uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
Exemplo: dada a equação 3x - 2y = 5, determinar α para que a dupla (-1, α) seja 
solução da equação.
Resolução: 
𝑥 = −1
𝑦 = 𝛼
3. −1 − 2𝛼 = 5
−3 − 2𝛼 = 5
−2𝛼 = 8
𝛼 = −4
−1, 𝛼 ⇒ ⇒
Resposta: α = – 4
Quando possuímos uma coleção finita de equações lineares é denominada como 
um sistema de equações lineares ou, simplesmente, um sistema linear. Um sistema 
linear de m equações a n incógnitas 𝑥1,𝑥2,… , 𝑥𝑛, pode ser descrito na forma:
𝑎11𝑥11 + 𝑎12𝑥12 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎𝑚1𝑥𝑚1 + 𝑎𝑚2𝑥𝑚2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Sendo, 
 a1, a2, ..., an são coeficientes;
 x1, x2,..., xn são as incógnitas;
 b é um termo independente.
80 Unidade 3
Se o conjunto ordenado de números reais (α'1, α'2, ..., α'n ) satisfizer a todas as 
equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.
Para Lembrar!
À medida que aumenta o número de equações e de incógnitas dos sistemas lineares, 
a complexidade da álgebra envolvida na obtenção de soluções também aumenta. 
Entretanto os cálculos necessários podem ficar mais tratáveis pela simplificação da 
notação e pela padronização dos procedimentos. Desse modo, ao estudar sistemas 
de equações lineares, é, em geral, mais simples utilizar a linguagem e a teoria das 
matrizes.
Fique atento as observações que seguem.
• Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b1 = 
b'2 = ... = b'n = 0, o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:
�
 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 0
 5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.
Essa solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema 
homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a 
solução será chamada solução não-trivial.
• Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos 
sistemas equivalentes. Veja o exemplo:
𝑆1 : � 𝑥 + 3𝑦 = −5
 2𝑥 − 𝑦 = 4 ⇒ 𝑆 = 1,−2
81Unidade 3
𝑆2 :
 3𝑥 +
𝑦2
= 2
 
−𝑥 + 𝑦
3
= −1
⇒ 𝑆 = 1,−2
Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.
Antes de descrevermos detalhadamente alguns dos métodos de solução de 
sistemas lineares, devemos deixar claro que eles são divididos em dois grupos 
(RUGGIERO e LOPES, 1996): 
• métodos diretos: também chamados métodos exatos, são aqueles em que 
há menos erros de arredondamento, fornecem uma solução exata (caso uma 
exista) em um número finito de operações aritméticas; 
• métodos iterativos: são aqueles que, partindo de uma aproximação inicial, 
geram uma sequência de aproximações da solução exata que, sob certas 
condições, converge para uma solução exata (caso uma exista). 
Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de soluções, da seguinte forma: 
Fique Ligado!
Os termos consistente e compatível também são usados para nos referirmos a 
um sistema linear possível. Um sistema linear impossível é também chamado de 
inconsistente ou incompatível.
82 Unidade 3
7.1 Expressão matricial de um sistema de equações 
lineares
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um 
sistema de equações lineares. Seja o sistema linear:








=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
Utilizando matrizes, podemos representar esse sistema da seguinte forma:
















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
............
...
...
21
22221
11211
 . = 
 
 
Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter 
o sistema dado. Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for 
quadrada, o seu determinante é dito determinante do sistema.
Exemplo: seja o sistema:
�
 2𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 = 0
 4𝑥1 − 3𝑥2 + 6𝑥3 = −1
 7𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 8
matriz constituída 
pelos coeficientes 
das incógnitas
matriz coluna 
constituída pelas 
incógnitas
matriz coluna 
dos termos 
independentes
↑ ↑ ↑
83Unidade 3
Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:
2 5 −1
4 −3 6
7 1 −2
.
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
0
−1
8
7.2 Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.








=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxa..xaxa
...
...
bxa..xaxa
bxa..xaxa
2211
22222121
11212111
 :sistema o Seja
Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas:




















=
mnmm
n
n
a...aa
...
...
...
a...aa
a...aa
A
21
22221
11211
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz 
A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos 
independentes:
Pela regra de Cramer: 
𝑥1 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴𝑥1
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
84 Unidade 3
De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas:




















=
mnnm
n
n
x
a...ba
...
...
...
a...ba
a...ba
A
1
2221
1111
2 ⇔ 𝑥2 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴𝑥2
𝑑𝑒 𝑡 𝐴




















=
nmm
xn
b...aa
...
...
...
b...aa
b...aa
A
21
22221
11211
⇔ 𝑥𝑛 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴𝑥𝑛
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão:
𝑥𝑖 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴𝑖
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
 →







 tes.independen termosdos coluna pela 
 xde escoeficient dos colunas as 
 se-dosubstituinA de obtida matriz a é A
sistema. do incompleta matriz a éA 
 i
i
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo: resolver o sistema �
 2𝑥 − 𝑦 = 7
 𝑥 + 5𝑦 = −2 .
Resolução: 
𝐴 = 2 −1
1 5 ⇒ 𝑑𝑒 𝑡 𝐴 = 11
𝐴1 = 7 −1
−2 5 ⇒ 𝑑𝑒 𝑡𝐴1 = 33
𝐴2 = 2 7
1 −2 ⇒ 𝑑𝑒 𝑡𝐴2 = − 11
85Unidade 3
𝑥 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴1
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
=
33
11
= 3 𝑦 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴2
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
=
−11
11
= −1
Resposta: S={(3,-1)}
Exemplo: resolver o sistema � 𝑥 + 𝑦 = 5
 −𝑥 − 𝑦 = 2 .
Resolução: 
𝐴 = 1 1
−1 −1 ⇒ 𝑑𝑒 𝑡 𝐴 = 0
𝐴𝑥 = 5 1
2 −1 ⇒ 𝑑𝑒 𝑡𝐴𝑥 = − 7
𝐴𝑦 = 1 5
−1 2 ⇒ 𝑑𝑒 𝑡𝐴𝑦 = 7
𝑥 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴𝑥
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
=
−7
0
 impossível 𝑦 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴𝑦
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
=
7
0
 impossível
Resposta: S=φ
Exemplo: resolver o sistema �
 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 0
 3𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 = 10
 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1
.
Resolução: 
1º) cálculo do determinante da matriz incompleta:
𝐴 =
1 2 −1
3 −4 5
1 1 1
⇒ 𝑑𝑒 𝑡 𝐴 = −4 + 10 − 3 − 4 − 5 − 6 = −12
2º) cálculo do determinante das incógnitas:
𝐴1 =
0 2 −1
10 −4 5
1 1 1
⇒ 𝑑𝑒 𝑡𝐴1 = 0 + 10 − 10 − 4 + 0 − 20 = −24
𝐴2 =
1 0 −1
3 10 5
1 1 1
⇒ 𝑑𝑒 𝑡𝐴2 = 10 + 0 − 3 + 10 − 5 + 0 = 12
86 Unidade 3
𝐴3 =
1 2 0
3 −4 10
1 1 1
⇒ 𝑑𝑒 𝑡𝐴3 = − 4 + 20 + 0 + 0 − 10 − 6 = 0
3º) cálculo das incógnitas:
𝑥1 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴1
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
=
−24
−12
= 2
𝑥2 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴2
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
=
12
−12
= −1
𝑥3 =
𝑑𝑒 𝑡𝐴3
𝑑𝑒 𝑡 𝐴
=
0
−12
= 0
Resposta: S={(2,-1,0)} sistema possível e determinado.
Síntese do Módulo
Nesse módulo aprendemos sobre definição e resolução de sistemas de equações 
lineares e matriz. Vários problemas, como cálculo de estruturas de redes elétricas 
e solução de equações diferenciais recorrem à resolução numérica de um sistema 
linear sn de n equações com n incógnitas. Um sistema de equações lineares é um 
conjunto de equações lineares, devemos relembrar que uma equação é linear se 
cada termo contém não mais do que uma incógnita e cada incógnita aparece na 
primeira potência. Além da definição foi apresentada a diferença entre os métodos 
interativos e os métodos diretos de resolução, sua classificação e o método de 
resolução de Cramer. No próximo módulo iremos aprender sobre método de 
Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.
87Unidade 3
Módulo 8
Método de Jacobi e Gauss-Seidel
Neste modulo iremos aprender técnicas de resolução de sistemas lineares de 
tamanho expressivo, em que a solução é obtida por meio de uma sequência de 
aproximações para os valores do vetor solução “x”, até que uma precisão pré-
estabelecida seja alcançada.
8.1 Método de Jacobi
Mesmo quando se trata de sistemas lineares pequenos e, especialmente, quando 
o número de equações e/ou incógnitas cresce, o excesso de trabalho (cálculos) 
que se apresenta justifica a utilização de alguma técnica que sistematize e 
simplifique seu processo de resolução. Uma técnica muito utilizada e bastante 
eficiente e conveniente é o método de eliminação de Gauss ou método de 
eliminação gaussiana, também conhecido como método do escalonamento, que 
apresentaremos neste módulo. Essa técnica se baseia em combinações lineares 
das equações do sistema. 
De um modo simplificado, uma forma de resolver um sistema linear é substituir 
o sistema inicial por outro equivalente (que tenha o mesmo conjunto solução) 
ao primeiro, porém que seja mais fácil de resolver. O método de eliminação de 
88 Unidade 3
Gauss aplicado a um sistema linear de ordem n consiste em transformar o sistema 
original em um sistema equivalente com matriz dos coeficientes triangular 
superior. O método de Gauss se baseia no fato de um sistema linear de ordem n 
triangularizado. 
Portanto, considere o sistema linear:








=+++
=+++
=+++
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
............
..................................................................
..................................................................
............
............
332211
22323222121
11313212111
Supondo aii ≠ 0, i = 1, 2, ..., n, isola-se o vetor 𝑥 mediante a separação pela 
diagonal da matriz de coeficientes. 
Assim, tem-se o sistema iterativo 𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝑔 , onde:












−−−
−−−
−−−
=
0///
//0/
///0
321
22222232221
11111131112




nnnnnnnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
C












=
nnn ab
ab
ab
g
/
/
/
222
111

Dado uma aproximação inicial 𝑥 𝑜 , o método de Jacobi consiste em obter uma 
sequência 𝑥(𝑜), 𝑥(1), 𝑥(2), ......, 𝑥(𝑘), por meio da relação recursiva: 
 
𝑥 𝑘+1 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝑔
89Unidade 3
Observe que o processo iterativo utiliza somenteestimativas da iteração anterior. 
Para entender melhor vamos a um exemplo.
Exemplo: resolver o sistema de equações lineares, pelo método de Jacobi com 
solução inicial 𝑥 𝑜 = 0,7 −1,6 0,6 𝑇 e tolerância ε ≤ 0,05.
10x1 + 2x2 + x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
Separando-se os elementos diagonais, tem-se:
𝐶 =
0 −2
10� −1
10�
−1
5� 0 −1
5�
−2
10� −3
10� 0
 𝑔 =
7
10�
−8
5�
6 10⁄
Solução para k=0 𝑥 1 = 𝐶𝑥 0 + 𝑔 ⇒ 𝑥 1
𝑥1 =
0 −2
10� −1
10�
−1
5� 0 −1
5�
−2
10� −3
10� 0
 
0,7
−1,6
0,6
+
7
10�
−8
5�
6 10⁄
𝑥1 =
0,96
−1,86
0,94
Cálculo de 𝛥𝑅
1 :
𝑥1
1 − 𝑥1
0 = 0,7 − 0,96 = 0,26
90 Unidade 3
𝑥2
1 − 𝑥2
0 = −1,86 − 1,6 = 0,26
𝑥3
1 − 𝑥3
0 = 0,6 − 0,94 = 0,34
𝛥𝑅
1 =
0,34
𝑚𝑎𝑥
𝑖=1,3
𝑥𝑖
1 =
0,34
1,86
= 0,1828
Para k=1:
𝑥 2 =
0,978
−1,98
0,966
 ⇒ 𝛥𝑅
2 =
0,12
1,98
= 0,0606 > 𝜀
Para k=2:
𝑥 2 =
0,9994
−1,9888
0,99984
 ⇒ 𝛥𝑅
3 =
0,0324
1,9888
= 0,0163 𝜀
Para k=2 e 𝑥2 = [1,0025,  0,95, −0,9875]𝑇:
95Unidade 3
𝑥 3 =
1,0075
0,9912
−0,9993
 
𝑥1
3 − 𝑥1
2 = 1,075 − 1,025 = 0,0175
𝑥2
3 − 𝑥2
2 = 0,9912 − 0,95 = 0,0412
𝑥3
3 − 𝑥3
2 = −0,9993 − (−0,9875) = 0,0118
𝛥𝑅
3 =
𝑚𝑎𝑥
𝑖=1,3
𝛥𝑖
3
𝑚𝑎𝑥
𝑖=1,3
𝑥𝑖
3 =
0,0412
1,0075
= 0,0408𝑘 = 0,1,2, . . . . . , 𝑛
A partir dessa condição, pode-se montar o seguinte sistema:
As incógnitas são: 𝑎0,𝑎1,𝑎2, . . . . . , 𝑎𝑛 , portanto, tem-se um sistema linear. A sua 
forma matricial é dada por:
100 Unidade 3
A matriz de coeficientes é conhecida como matriz de Vandermonde.
Observação: para 𝑥0,𝑥1,𝑥2, . . . . . . . , 𝑥𝑛 distintos, tem-se det(A) ≠ 0 e o sistema 
linear admite solução única. Portanto, existe um único polinômio pn(x), de grau 
≤ n, tal que: pn(xk) = f (xk), k = 0, 1, 2, ....., n e desde que xk ≠ xj para j ≠ k.
Exemplo: encontre pn(x) com grau ≤ n que interpole os pontos da tabela abaixo.
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Tabela 3 – Interpolação. Fonte: elaborada pela autora
𝒑𝟐(𝒙) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐
𝒑𝟐(𝒙𝟎) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙𝟎 + 𝒂𝟐𝒙𝟎
𝟐 = 𝒇(𝒙𝟎)
𝒑𝟐(𝒙𝟏) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟏
𝟐 = 𝒇(𝒙𝟏)
𝒑𝟐(𝒙𝟐) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝒙𝟐
𝟐 = 𝒇(𝒙𝟐)










−
=



















 −
1
1
4
421
001
111
2
1
0
a
a
a












−=










3
2
3
7
1
2
1
0
a
a
a
 Verificação: p2 (-1) = 4 p2 (0) = 1 p2 (2) = -1
Essa verificação é uma forma de conferir os resultados, pois a curva de interpolação 
deve passar pelos pontos dados.
Exemplo: estime o logaritmo natural de 2 usando interpolação linear e quadrática:
a) interpolando entre ln(1)=0 e ln(6)=1,7917595;
101Unidade 3
b) interpolando entre ln(1)=0 e ln(4)=1,3862944;
c) interpolando entre ln(1)=0, ln(4)=1,3862944 e ln(6)=1,7917595.
a) 𝑝1(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥
𝑝1(𝑥0) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥0 = 𝑓(𝑥0)
𝑝1(𝑥1) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 = 𝑓(𝑥1)
1 1
1 6
𝑎0
𝑎1
= 0
1,7917595
𝑝1(𝑥) = −0,3583519 + 0,3583519𝑥
Pela interpolação ln(2)=0,35835190. O valor real é dado por: ln(2)=0,69314718.
O erro cometido é dado por: 𝑒 𝑟𝑟𝑜 =
0,69314718 − 0,35835190
0,693114718
× 100 = 48,3%.
b) 𝑝1(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥
𝑝1(𝑥0) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥0 = 𝑓(𝑥0)
𝑝1(𝑥1) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 = 𝑓(𝑥1)
1 1
1 4
𝑎0
𝑎1
= 0
1,3862944
𝑝1(𝑥) = −0,4620981333 + 0,4620981333𝑥
Pela interpolação ln(2) = 0,46209813.
O erro cometido é dado por: 𝑒 𝑟𝑟𝑜 =
0,69314718 − 0,46209813 
0,693114718
× 100 = 33,3% .
102 Unidade 3
c) 𝑝2(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2
𝑝2(𝑥0) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥0 + 𝑎2𝑥0
2 = 𝑓(𝑥0)
𝑝2(𝑥1) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥1
2 = 𝑓(𝑥1)
𝑝2(𝑥2) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥2 + 𝑎2𝑥2
2 = 𝑓(𝑥2)










=




















7917595,1
3862944,1
1
3661
1641
111
2
1
0
a
a
a










−
−
=










051873116,0
721463716,0
66596,0
2
1
0
a
a
a
 
𝑝2(𝑥) = −0,669596 + 0,721463716𝑥 − 0,051872116𝑥2
Pela interpolação ln(2)=0,5658443666.
O erro cometido é dado por: 𝑒 𝑟𝑟𝑜 =
0,69314718 − 0,5658443666 
0,693114718
× 100 = 18,4%.
Observe que nos três casos o erro foi diminuindo. Do primeiro para o segundo 
foi em função da interpolação linear ser com pontos mais próximos. No terceiro 
caso o erro foi menor pela interpolação quadrática.
9.3 Forma de interpolação polinomial de Newton
Nesta formulação não é necessário que os pontos usados sejam igualmente 
espaçados ou que os valores das abscissas sejam necessariamente em ordem 
crescente. A expressão da forma de Newton é dada por:
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑑2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)+. . . . . . . . +𝑑𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1). . . (𝑥 − 𝑥𝑛−1)
103Unidade 3
Onde os d's são determinados por:
𝑑0 = 𝑓[𝑥0] = 𝑓(𝑥0)
𝑑1 = 𝑓[𝑥1,𝑥0]
𝑑2 = 𝑓[𝑥2,𝑥1,𝑥0]
⋮
𝑑𝑛 = 𝑓[𝑥𝑛,𝑥𝑛−1, . . . . . . . . , 𝑥2,𝑥1,𝑥0]
As funções entre colchetes são chamadas de diferenças divididas e são definidas 
por:
𝑓 𝑥𝑖,𝑥𝑗 =
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑗�
𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
𝑓 𝑥𝑖,𝑥𝑗,𝑥𝑘 =
𝑓[𝑥𝑖,𝑥𝑗] − 𝑓[𝑥𝑗,𝑥𝑘�
𝑥𝑖 − 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑖, 𝑥𝑗, 𝑥𝑘,𝑥𝑙 =
𝑓[𝑥𝑖, 𝑥𝑗, 𝑥𝑘] − 𝑓[𝑥𝑗, 𝑥𝑘,𝑥𝑙�
𝑥𝑖 − 𝑥𝑙
⋮
𝑓[𝑥𝑛,𝑥𝑛−1, . . . . . . . . , 𝑥2,𝑥1, 𝑥0] =
𝑓[𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, . . . , 𝑥2,𝑥1] − 𝑓[𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2, . . . , 𝑥1,𝑥0]
𝑥𝑛 − 𝑥0
Resultando na expressão:
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + (𝑥 − 𝑥0)𝑓[𝑥1,𝑥0] + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)𝑓[𝑥2,𝑥1,𝑥0]+. . . . +
+(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1). . . (𝑥 − 𝑥𝑛−1)𝑓[𝑥𝑛,𝑥𝑛−1, . . . , 𝑥2,𝑥1,𝑥0]
Para facilitar os cálculos utiliza-se uma tabela recursiva, para exemplificar 
mostra-se o caso de ordem 4.
104 Unidade 3
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
𝒙𝟎 𝒇[𝒙𝟎]
𝒇[𝒙𝟏,𝒙𝟎]
𝒙𝟏 𝒇[𝒙𝟏] 𝒇[𝒙𝟐,𝒙𝟏, 𝒙𝟎]
𝒇[𝒙𝟐,𝒙𝟏] 𝒇[𝒙𝟑,𝒙𝟐, 𝒙𝟏, 𝒙𝟎]
𝒙𝟐 𝒇[𝒙𝟐] 𝒇[𝒙𝟑,𝒙𝟐, 𝒙𝟏] 𝒇[𝒙𝟒,𝒙𝟑, 𝒙𝟐,𝒙𝟏, 𝒙𝟎]
𝒇[𝒙𝟑,𝒙𝟐] 𝒇[𝒙𝟒,𝒙𝟑, 𝒙𝟐,𝒙𝟏]
𝒙𝟑 𝒇[𝒙𝟑] 𝒇[𝒙𝟒,𝒙𝟑, 𝒙𝟐]
𝒇[𝒙𝟒,𝒙𝟑]
𝒙𝟒 𝒇[𝒙𝟒]
Tabela 4 – Recursiva. Fonte: elaborada pela autora
Exemplo: encontre o polinômio pn(x) com n ≥ 2 que interpole os pontos tabelados 
abaixo, utilizando a forma de Newton.
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Tabela 5 – Interpolação. Fonte: elaborada pela autora
𝑃2(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓[𝑥1,𝑥0](𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥2,𝑥1,𝑥0](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)
As diferenças divididas podem ser dadas pela tabela recursiva:
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2
-1 4
-3
0 1 2/3
-1
2 -1
Tabela 6 – Recursiva. Fonte: elaborada pela autora
105Unidade 3
𝑓[𝑥1,𝑥0] =
𝑓[𝑥1] − 𝑓[𝑥0]
𝑥1 − 𝑥0
=
1 − 4
0 − (−1) =
−3
1
𝑓[𝑥2,𝑥1] =
𝑓[𝑥2] − 𝑓[𝑥1]
𝑥2 − 𝑥1
=
−1 − 1
2 − 0
=
−2
2
= −1
𝑓[𝑥2,𝑥1,𝑥0] =
𝑓[𝑥2,𝑥1] − 𝑓[𝑥1,𝑥0]
𝑥2 − 𝑥0
=
−1 − (−3)
2 − (−1) =
2
3
𝑃2(𝑥) = 4 − 3(𝑥 + 1) +
2
3
(𝑥 + 1)(𝑥) = 4 − 3𝑥 − 3 +
2
3
𝑥2 +
2
3
𝑥 = 1 −
7
3
𝑥 +
2
3
𝑥2
Exemplo: estime ln(2) por intermédio da forma de Newton, utilizando os dados 
da tabela abaixo.
x 1 4 6 5
f(x) 0 1,3862944 1,7917595 1,6094379
Tabela 7 – Interpolação. Fonte: elaborada pela autora
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
1 0
0,46209813
4 1,3862944 -0,051873116
0,20273255 0,0078655415
6 1,7917595 -0,020410950
0,18231160
5 1,6094379
Tabela 8 – Recursiva. Fonte: elaborada pela autora
𝑃3(𝑥) = 0 − 0,46109813(𝑥11) − 0,051873116(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) +
+ 0,0078655415(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 6)
𝑃3(2) = 0,62876869 𝐸𝑟𝑟𝑜 = 9,3%
Destacamos alguns pontos em comum e alguns pontos diversos entre a 
interpolação de Lagrange e a interpolação de Newton. Dentre os pontos em 
comum, pode-se citar: 
106 Unidade 3
• a adição representa a menor porcentagem dentre as operações fundamentais;
• multiplicação e divisão aparecem com a mesma porcentagem; 
• a subtração representa a maior porcentagem dentre as operações 
fundamentais. 
Entretanto, divergências evidentes são: 
• a adição e a subtração representam uma porcentagem menor na interpolação 
de Lagrange em relação a de Newton; 
• a multiplicação e divisão representam uma porcentagem menor na 
interpolação de Newton em relação a de Lagrange.
Síntese do Módulo
Neste módulo aprendemos que muitos problemas matemáticos não apresentam 
uma solução exata e, para tanto, faz-se uso de métodos que oferecem uma solução 
aproximada. De um modo geral, a interpolação é comumente utilizada quando 
f(x) é conhecida apenas em alguns pontos no intervalo real [a, b], e se deseja saber 
o seu valor num ponto diferente, mas ainda pertencente ao mesmo intervalo que 
os pontos conhecidos. Nesse caso, não se conhece a forma analítica da função 
e tais pontos conhecidos geralmente são obtidos em experimentos. Ou ainda, 
a forma analítica de f(x) é muito complexa e apresenta um grau de dificuldade 
(ou mesmo impede) o uso de muitas operações como diferenciação e integração, 
de tal forma que se busca uma função g(x) mais simples para substituí-la. Os 
métodos de interpolação apresentados nesse módulo foram Lagrange e Newton.
107Unidade 3
Exercícios
1) Verificar se o sistema �
 3𝑥 − 2𝑦 = 0
 𝑥 + 𝑦 = 0 é determinado ou indeterminado.
2) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
a) �
 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2
 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 9
 3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 3
b) �
 𝑥 + 𝑦 − 10 = 0
 𝑥 − 𝑧 − 5 = 0
 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0
3) Resolva a equações matricial:
a) 
1 4 7
2 3 6
5 1 −1
.
𝑥
𝑦
𝑧
=
2
2
8
4) Resolver pelo método de eliminação de Gauss com estratégia depivoteamen-
to parcial o sistema linear abaixo. Usar representação em ponto flutuante com 
quatro algarismos significativos:
0,0002x1 + 2x2 = 5
2x1 + 2x2 = 6
5) Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de eliminação de Gauss.
 







=+++
=−−+
=−+−
=+++
12234
42323
12
722
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
6) Resolva �2𝑥1 + 5𝑥2 = −3
3𝑥1 + 𝑥2 = 2
a) Pelo método de Jacobi; 
b) Pelo método de Gauss-Seidel.
108 Unidade 3
10) Usando o método de Lagrange, encontre o polinômio interpolador para o 
conjunto de dados {(1, 3), (4, 18)}.
11) Um móvel desloca-se em uma trajetória orientada de acordo com os 
seguintes dados:
Usando interpolação polinomial, por intermédio do método de Lagrange, en-
contre uma estimativa para a posição do móvel para t = 4 s.
12) Para o conjunto de dados {(2,3), (3,5), (4,14), (5,27), (6,42)}, encontre o 
valor de ∇0
4.
Integração numérica, ajuste 
de curvas e diferenciação
Nos módulos que compõem essa unidade iremos falar sobre 
integração numérica, ajuste de curvas e diferenciação. 
Nesta unidade busca-se desenvolver o aprendizado de méto-
dos numéricos para integração numérica (regra dos trapézios 
e a regra de Simpson), permitindo calcular o valor aproximado 
de uma integral definida sem conhecer uma expressão analítica 
para a sua primitiva. 
Esta unidade tem como objetivo trabalhar sobre ajustes de 
curvas, que é um método que consiste em encontrar uma curva 
que se ajuste a uma série de pontos e que possivelmente cumpra 
uma série de parâmetros adicionais; e apresentar soluções 
numéricas para equações diferenciais.
Unidade 4
111Unidade 4
Integração numérica: regra dos 
trapézios e de Simpson
Muitas vezes nos deparamos com o seguinte problema no cálculo diferencial e integral:
Exemplo: calcule a área da região do plano cartesiano limitada pelo gráfico de 
f(x) = 2x - 1, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2.
Nesse caso temos como solução: um esboço da região considerada pode ser visto 
no gráfico 1. Como a função não assume valores negativos no intervalo [1, 2], 
podemos calcular área por ∫2
1 (2x - 1)dx. Para isso, encontramos uma primitiva 
da função, sendo f(x) = x2 - x. Assim usando o teorema fundamental do cálculo 
diferencial e integral, obtemos ∫2
1 (2x - 1)dx = f(2) - f(1) = 2.
Gráfico 1 - Função f(x) = 2x - 1. Fonte: elaborado pela autora
Módulo 10
112 Unidade 4
Então, a partir do cálculo diferencial e integral sabe-se que, dada uma função f(x) 
contínua em um intervalo [a, b], tem-se:
∫ −=
b
a
bFaFxdxf )()()(
Onde F'(x) = f(x). Graficamente a interpretação da integral é a área sob o gráfico 
da função.
Em muitas situações pode ser difícil ou mesmo impossível a obtenção de f(x). 
Também podem existir aplicações em que a função f(x) é conhecida apenas para 
valores tabelados em um intervalo [a, b]. Nessas situações fica inviabilizada a 
solução da integral. A saída é a utilização de métodos numéricos. A ideia básica 
da integração numérica é substituir a função f(x) por um polinômio que a apro-
xime razoavelmente no intervalo [a, b] e integrar o polinômio, ou seja:
)(......)()()()()( 221100 nn
b
a
b
a
n xfAxfAxfAxfAxdxPxdxf ++++==∫ ∫
Onde xi ∈ [a, b], i = 1,..., n.
Então vamos ver alguns métodos numéricos para resolução dessa situação.
10.1 Fórmulas de Newton-Cotes
A função f(x) é aproximada por um polinômio interpolador gerado a partir da 
forma de Gregory-Newton para pontos igualmente espaçados no intervalo [a, 
b]. As fórmulas de Newton-Cotes variam de acordo com o grau do polinômio 
interpolador, vejamos algumas fórmulas.
10.1.1 Regra dos trapézios
Nessa regra a função a ser integrada será aproximada por um polinômio interpo-
lador e de ordem 1. Portanto, necessita-se de dois pontos para a interpolação, ou 
seja, [x0, x1] = [a, b]. Tem-se a expressão:
113Unidade 4
∫ ∫≈=
b
a
b
a
xdxPxdxfA )()( 1
A partir da fórmula de Gregory-Newton, tem-se:
)(
)(
)()( 0
0
01 xf
h
xx
xfxP ∆
−
+=
Resultando em:
xdxf
h
xxxfxdxPxdxfA
x
x
b
a
b
a
∫∫ ∫ 


 ∆
−
+=≈=
1
0
)()()()()( 0
0
01
Para facilitar essa integração, faz-se uma mudança de variáveis:
)( 00 xfy =
h
xx
z
)( 0−
=
)()()( 0100 xfxfxfy −=∆=∆
Resultando em:
∫ ∆+≈
b
a
xdyzyA ][ 00
Como 
h
xx
z
)( 0−
= e derivando em relação a x, tem: 
zdhxd
hxd
zd
=⇒=
1
.
Mudando os limites de integração:
0
)( 00
0 =
−
=⇒=
h
xx
zxa
1
)( 01
1 ==
−
=⇒=
h
h
h
xx
zxb
∫ ⋅⋅∆+≈
1
0
00 ][ zdhyzyA
114 Unidade 4
Integrando essa expressão, tem-se:



 ∆
+=





∆+=⋅⋅∆+≈ ∫ 22
][ 0
0
1
0
0
2
0
1
0
00
yyhyzyzhzdhyzyA
Fazendo a substituição das expressões, tem-se:
[ ])()(
22
)()()()( 10
01
0 xfxfhxfxfxfhxdxfA
b
a
+=


 −
+≈= ∫
Sendo assim a interpretada geométrica:
Gráfico 2 - Integração via regra dos trapézios. Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 2008
Observe que a área hachurada representa um trapézio. A integral é aproximada 
pela área do trapézio:
Figura 1 - Trapézio. Fonte: elaborada pela autora
115Unidade 4
O erro cometido pela integração pela regra do trapézio é dado pela expressão 
abaixo. Esse erro pode ser chamado de erro de truncamento, pois se truncou a 
ordem do polinômio interpolador em 1:
],[)(
21 10
''
3
xxccfhET ∈
−
=
Como o ponto c não é um ponto conhecido, a expressão acima pode ser aproxi-
mada pela seguinte expressão:
],[)(max
21 10
''
3
xxxxfhEt ∈⋅≤
Então vamos para mais um exemplo.
Exemplo: Integre a equação: f(x) = 0,2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5, no 
intervalo (0;0,8). 
a) Por meio do cálculo integral;
b) Usando a regra do trapézio.
Solução:
( ) =+−+−+∫ xdxxxxx
8,0
0
5432 400900675200522,0
64053334,1
6
400
5
900
4
675
3
200
2
522,0
8,0
0
65432
=





+−+−+=
xxxxxx
( ) 1728,0]232,02,0[
2
8,0])8,0()0([
2
8,0400900675200522,0
8,0
0
5432 =+=+≈+−+−+∫ ffxdxxxxx
O erro cometido é dado por: Erro = 1,64053334-0,1828 = 1,46773334. Em percen-
tagem o erro é de 850%. Pela observação do gráfico da função abaixo, vê-se que é 
muito pobre a estimativa da integral pela utilização da regra do trapézio:
Como visto nesse exemplo, a aproximação da integral pela regra do trapézio 
pode ser pobre. Para melhorar o resultado, pode-se subdividir o intervalo [a, b] 
116 Unidade 4
de integração em n subintervalos de amplitude h e aplicar a regra do trapézio em 
cada subintervalos, como pode ser visto abaixo:
Nesse caso chamamos de regra do trapézio (fórmula composta), pois aplicando-
-se a regra do trapézio a cada subintervalo, tem-se para a aproximação da integral:
[ ] [ ] [ ])()(
2
..........)()(
2
)()(
2
)( 12110 nn
b
a
xfxfhxfxfhxfxfhxdxfA ++++++≈= −∫
Resultando em:
[ ])()(2..........)(2)(2)(
2
)( 1210 nn
b
a
xfxfxfxfxfhxdxfA ++++≈= −∫
O erro resultante é a soma dos erros cometidos na aplicação da regra do trapézio 
em cada subintervalo.
bcacf
n
abcf
n
n
ab
EEEEEE nnT ≤≤
−−
=
⋅




 −
−
=+++++= − )(
21
)()(
21
..... ''
2
3
''
3
1210
O erro cometido pode ser aproximado por:
bxaxf
n
abET ≤≤
−
≤ )(max
21
)( ''
2
3
Para entender melhor vamos a mais um exemplo.
Exemplo: calcular ∫=
6,3
3 x
xdA , utilizando a regra do trapézio composta por 6 
subintervalos.
117Unidade 4
[ ])()(2)(2)(2)(2)(2)(
2
1
6543210
6,3
0,3
xfxfxfxfxfxfxfhxd
x
A ++++++≈= ∫
182350,0≈A
 )(max
21
)( ''
2
3
xf
n
abET
−
≤ como visto,
x
xf 1)( = , 2
' 1)(
x
xf −
= e 3
'' 2)(
x
xf = .
Para x ∈ [3,3,6] o valor 
72
2
3
2)(max 3
'' ==xf , portanto:
5
2
3
01704,3
72
2
621
)36,3( −×=
⋅
−
≤TE
10.1.2 Primeira regra de Simpson ou Regra de 1/3 
de Simpson
Nessa regra, a função a ser integrada será aproximada por um polinômio interpo-
lador e de ordem 2. Portanto, necessita-se de três pontos para a interpolação, ou 
seja, {x0, x1, x2}, onde x0 = a e x2 = b . Tem-se a expressão:
∫ ∫≈=
2
0
2
0
)()( 2
x
x
x
x
xdxPxdxfA
A partir da fórmula de Gregory-Newton, tem-se:
2
0
2
100
0
02 2
)()()()()()()(
h
xfxxxxxf
h
xxxfxP ∆
−−+∆
−
+=
Resultandoem:
xd
h
xfxxxxxf
h
xxxfxdxPxdxfA
x
x
x
x
x
x
∫∫ ∫ 




 ∆
−−+∆
−
+=≈=
2
0
2
0
2
0
2
0
2
100
0
02 2
)()()()()()()()(
Para facilitar essa integração, faz-se uma mudança de variáveis:
118 Unidade 4
)( 00 xfy =
h
xx
z
)( 0−
=
( )
11
)()( 001 −=−
−
=
−−
=
−
z
h
xx
h
hxx
h
xx
010100 )()()( yyxfxfxfy −=−=∆=∆
=−−−=∆−∆=∆=∆ ])()([])()([)()()( 0112010
2
0
2 xfxfxfxfxfxfxfy
]2[])()(2)([ 012012 yyyxfxfxf +−=+−=
Resultando em:
∫ ∆
−
+∆+≈
2
0
]
2
)1([ 0
2
00
x
x
xdyzzyzyA
Como 
h
xx
z
)( 0−
= e derivando em relação a x, tem: 
zdhxd
hxd
zd
=⇒=
1
.
Mudando os limites de integração:
0
)( 00
0 =
−
=⇒=
h
xx
zxa
22)( 02
1 ==
−
=⇒=
h
h
h
xx
zxb
∫ ⋅⋅∆+≈
2
0
00 ][ zdhyzyA
Integrando a expressão acima, tem-se: 
=





∆





−+∆+=⋅⋅∆
−
+∆+≈ ∫
2
0
0
2
23
0
2
0
2
0
0
2
00 462
]
2
)1([ yzzyzyzhzdhyzzyzyA



 ∆+∆+= 0
2
00 3
122 yyyh
119Unidade 4
Fazendo a substituições, temos:
[ ]=++=


 +−+−+≈= ∫ 210012010 4
33
1
3
2
3
1222)( yyyhyyyyyyhxdxfA
b
a
[ ])()(4)(
3 210 xfxfxfh
++=
Gráfico 3 - Integração via regra 1/3 Simpson. Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 2008
O erro de truncamento resultante da integração pela primeira regra de Simpson 
é dado por:
],[)(
09 10
)(
5
xxccfhE VI
T ∈
−
=
Como o ponto c não é um ponto conhecido, por isso podemos aproximar a 
expressão pela abaixo:
],[)(max
09 10
)(
5
xxxxfhE VI
t ∈⋅≤
Vamos Refletir?
A regra de Simpson já era conhecida por matemáticos do século XVII, mas 
foi popularizada nos textos do britânico Thomas Simpson (1710 – 1761), 
reconhecido por muitos como um dos melhores matemáticos ingleses do 
século XVIII. Em sua homenagem, damos ao método o nome de regra de 
Simpson.
120 Unidade 4
Para melhor entender vamos demonstrar outro exemplo.
Exemplo: calcular ∫=
6,3
3 x
xdA , utilizando a primeira regra de Simpson.
[ ] [ ]277778,0303030,04333333,0
3
3,0)()(4)(
3
1
210
6,3
0,3
+⋅+=++≈= ∫ xfxfxfhxd
x
A
182323,0≈A
O erro é dado por:
],[)(max
09 10
)(
5
xxxxfhE VI
t ∈⋅≤ , como visto, 
x
xf 1)( = , 2
' 1)(
x
xf −
= , 3
'' 2)(
x
xf =
4
''' 6)(
x
xf −
= e 5
)( 42)(
x
xf VI = . Para x e [3, 3, 6] o valor, 
243
42
3
42)(max 5
)( ==xf VI .
portanto:
5
5
012666,0
243
42
09
3,0 −×=⋅≤tE
Para melhorar o resultado, pode-se subdividir o intervalo [a, b] de integração em 
n subintervalos de amplitude h e aplicar a primeira regra de Simpson em cada 
subintervalos, isto é, regra de Simpson (composta). Pela necessidade de haver 
três pontos em cada subintervalo, o número de subintervalos deve ser par. A 
formulação é dada por:
[ ] [ ] ........)()(4)(
3
)()(4)(
3
)( 432210 ++++++≈= ∫ xfxfxfhxfxfxfhxdxfA
b
a
[ ])()(4)(
3 12 nnn xfxfxfh
+++ −−
121Unidade 4
Resultando em:
..............)(2)(4)(2)(4)([
3
)( 43210 +++++≈= ∫ xfxfxfxfxfhxdxfA
b
a
])()(4)(2 12 nnn xfxfxf +++ −−
O Erro de truncamento resultante da integração pela primeira regra de Simpson 
– fórmula composta é dada por:
],[)(
180
)( )(
4
5
baccf
n
abE VI
T ∈
−−
=
Onde n é o número de subintervalos.
Como o ponto c não é um ponto conhecido, podemos aproximar a expressão 
por:
],[)(max
180
)( )(
4
5
baxxf
n
abE VI
t ∈⋅
−
≤
10.1.3 Segunda regra de Simpson ou Regra 3/8 de 
Simpson
Nessa regra, a função a ser integrada será aproximada por um polinômio interpo-
lador e de ordem 3. Portanto, necessita-se de quatro pontos para a interpolação, 
ou seja, {x0, x1, x2, x3}, onde x0 = a e x3 = b. Tem-se a expressão:
∫ ∫≈=
3
0
3
0
)()( 3
x
x
x
x
xdxPxdxfA
De forma semelhante ao realizado no caso da primeira regra de Simpson, chega-
-se a expressão:
[ ] [ ])()(3)(3)(
8
333
8
3)( 32103210 xfxfxfxfhyyyyhxdxfA
b
a
+++==+++≈= ∫ [ ] [ ])()(3)(3)(
8
333
8
3)( 32103210 xfxfxfxfhyyyyhxdxfA
b
a
+++==+++≈= ∫
O erro de truncamento resultante da integração pela segunda regra de Simpson 
é dado por:
122 Unidade 4
],[)(
08
3
30
)(
5
xxccfhE VI
T ∈
−
=
Como o ponto c não é um ponto conhecido, podemos aproximar a expressão por:
],[)(max
08
3
30
)(
5
xxxxfhE VI
t ∈⋅≤
Para melhorar o resultado, pode-se subdividir o intervalo [a, b] de integração 
em n subintervalos de amplitude h e aplicar a segunda regra de Simpson em cada 
subintervalos, ou seja, regra de Simpson (composta). A expressão da segunda 
regra de Simpson – fórmula composta é dada por:
[ ] [ ] ...)()(3)(3)(
8
3)()(3)(3)(
8
3)( 65433210 ++++++++≈= ∫ xfxfxfxfhxfxfxfxfhxdxfA
b
a
[ ])()(3)(3)(
8
3...... 123 nnnn xfxfxfxfh
++++ −−−
Resultando em:
....)(2)(3)(3)(2)(3)(3)([
8
3)( 6543210 +++++++≈= ∫ xfxfxfxfxfxfxfhxdxfA
b
a
])()(3)(3..... 12 nnn xfxfxf +++ −−
Gráfico 4 - Integração via regra 3/8 Simpson. Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 2008
123Unidade 4
O número de subintervalos n deverá ser múltiplo de três, pois a regra utiliza 
um polinômio interpolador de grau três. O Erro de truncamento resultante da 
integração pela segunda regra de Simpson – fórmula composta é dado por:
],[)(
08
)( )(
4
5
baccf
n
abE VI
T ∈
−−
=
Como o ponto c não é um ponto conhecido, podemos aproximar a expressão 
por: ],[)(max
08
)( )(
4
5
baxxf
n
abE VI
t ∈⋅
−
≤
Síntese do módulo
Nesse módulo foram apresentados os métodos de integração numérica (regra 
dos trapézios e a regra de Simpson) que permitem calcular o valor aproximado 
de uma integral definida sem conhecer uma expressão analítica para a sua primi-
tiva. Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N 
se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N. Em geral, a regra 
dos trapézios oferece uma aproximação equivalente ao valor da integral, tendo 
a vantagem sobre as outras escolhas de pontos, especialmente em funções de 
crescimento acentuado. Enquanto que a regra de Simpson oferece uma apro-
ximação melhor que os outros métodos e/ou com uma quantidade diferente de 
subintervalos. 
124 Unidade 4
125Unidade 4
Ajuste de Curvas pelo método 
dos quadrados mínimos
O ajuste de curvas é muito utilizado para, a partir de dados conhecidos, fazer-
-se extrapolações. Por exemplo, conhece-se os dados de consumo anual de carga 
elétrica de uma cidade. A partir desses dados conhecidos, pode-se fazer projeções 
para o futuro e com isso, fazer-se um planejamento para que a cidade seja supri-
da de forma adequada nos anos subsequentes. A ideia é ajustar uma curva que 
melhor se ajusta aos dados disponíveis. Conhecida a equação da curva, pode-se 
determinar valores fora do intervalo conhecido. Os dados conhecidos podem ser 
tabelados e obtidos por meio de experimentos. Como exemplo, seja os dados da 
tabela abaixo.
A partir dos dados disponíveis, pode-se desejar saber uma estimativa do valor 
da função f(x) em x = 9 . A partir dos dados disponíveis, pode-se construir um 
diagrama de dispersão, que é a representação em gráfico dos dados disponíveis.
Módulo 11
126 Unidade 4
Gráfico 5 – Diagrama de dispersão. Fonte: elaborado pela autora
O objetivo é encontrar uma função φ(x) que seja uma boa aproximação para os 
valores tabelados de f(x) e que nos permita extrapolar com uma certa margem 
de segurança. Baseado no diagrama de dispersão anterior, realizando uma análi-
se deve-se definir uma curva para ser ajustada aos dados. No caso, ajusta-se os 
dados por uma reta dada pela função φ(x) = a1 + a2x. 
Gráfico 6 – Aproximação de funções mmq. Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 2008
A questão é como definir a reta. Define-se para k = 1,..., m onde m é o número de 
pontos da amostra do desvio:
127Unidade 4
dk = f(xk) - φ(xk)
Uma primeira maneira de definir a reta seria minimizar a soma dos desvios, ou 
seja, minimizar ∑
=
m
k
kd
1
. O valor de dk pode ser positivo ou negativo, assim, o soma-
tório não seria representativo dos desvios. Uma primeira solução seria utilizar o 
somatório dos valores absolutos de dk, ou seja, ∑
=
m
k
kd
1
, entretanto o manuseio de 
expressões que aparecem valor absoluto é extremamente complexo. A solução 
mais factível é a utilizaçãoda soma dos desvios ao quadrado, definido por:
[ ]
2
11
2 )()(∑∑
==
−==
m
k
kk
m
k
k xxfdD ϕ
Para o exemplo a ajuste será feita por uma reta dada por: φ(x) = a1 + a2x.
Substituindo na equação acima, tem-se:
[ ] ( )[ ] ( )21
2
1
21
2
11
2 ,)()()( ααααϕ FxxfxxfdD
m
k
kk
m
k
kk
m
k
k =+−=−== ∑∑∑
===
O valor de F(a1, a2) depende de a1 e a2, ou seja, da reta escolhida para aproximar 
a função f(x) tabelada. Como pode-se definir a reta?
Uma solução é encontrar ā1 e ā2, tais que F(ā1, ā2) seja mínimo. Minimizando 
F(ā1, ā2), está-se minimizando os desvios quadráticos. Em função desse proce-
dimento, é que se adota o nome de ajuste de curvas por mínimos quadrados. A 
condição necessária para que F(ā1, ā2) seja um mínimo de F(a1, a2) é que as deri-
vadas parciais de F(a1, a2) em relação ā1 e ā2 sejam zero. Como F(a1, a2) é descrito 
pela equação:
[ ]∑
=
=−−−=
∂
∂ m
k
kkk xxxfF
1
21
2
0)(2 αα
α
[ ]∑
=
=−−−=
∂
∂ m
k
kkk xxxfF
1
21
2
0)(2 αα
α
( ) ( )[ ]
2
1
2121 )(, ∑
=
+−=
m
k
kk xxfF αααα
[ ]∑
=
=−−−=
∂
∂ m
k
kk xxfF
1
21
1
0)(2 αα
α
Rearranjando as equações chega-se:
∑ ∑∑
= ==
=−−
m
k
m
k
k
m
k
kkk xxxxf
1 1
2
2
1
1 0)( αα
∑ ∑∑
= ==
=−−
m
k
m
k
k
m
k
k xxf
1 1
2
1
1 0)( αα
128 Unidade 4
Isolando as variáveis dos termos constantes, tem-se:
∑∑
==
=+
m
k
k
m
k
k xfxm
1
2
1
1 )()( αα
∑∑∑
===
=+
m
k
kk
m
k
k
m
k
k xfxxx
11
2
2
1
1 )()()( αα
Observe que resulta num sistema de equações lineares. Essas equações são conhe-
cidas como equações normais. Para ā = [ā ā2]
T, solução das equações normais, 
F(a1, a2) apresenta seu menor valor. Solucionando para os valores numéricos do 
exemplo, tem-se:
6,420,88,61,54,33,1
5
1
=++++=∑
=k
kx
∑
=
=++++=
5
1
9,228,51,68,32,50,2)(
k
kxf
5,149)0,8()8,6()1,5()4,3()3,1()( 222
5
1
222 =++++=∑
=k
kx
45,127)8,5()0,8()1,6()8,6()8,3()1,5()2,5()4,3()0,2()3,1()(
5
1
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∑
=
k
k
k xfx
Substituindo na equação normal, tem-se:






=











45,127
9,22
5,1496,42
6,425
2
1
α
α






=











45,127
9,22
5,1496,42
6,425
2
1
α
α
A solução desse sistema linear resulta em: ā = [2,01 0,522]T.
A reta que melhor aproxima f(x) pelo método dos mínimos quadrados é dada por:
φ(x) = 2,01 + 0,522x
Com a equação da reta, pode-se fazer projeções para valores além do intervalo dado.
129Unidade 4
A curva a ser ajustada não necessariamente precisa ser uma reta. Uma maneira 
de se definir que tipo de função deve ser utilizada, pode ser a partir da análise do 
diagrama de dispersão. Seja o exemplo dado pelo diagrama de dispersão:
Observando que o diagrama sugere o ajuste por meio de uma parábola.
11.1 Generalização do método dos mínimos 
quadrados
Seja a função generalizada φ(x) a ser ajustada:
φ(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + a3g3(x) + ........... + angn(x)
Sejam os pontos disponibilizados por meio de uma sequência histórica ou obti-
dos por meio de experimentos ou medições.
O objetivo é encontrar os coeficientes a1, a2, a3, ............, an, tais que a função φ(x) 
= a1g1(x) + a2g2(x) + a3g3(x) + ........... + angn(x), se aproxime ao máximo de f(x).
O ajuste de φ(x) pelo método dos mínimos quadrados, consiste em escolher os aj, 
j = 1,..., n, de tal forma que: [ ]
2
11
2 )()(∑∑
==
−==
m
k
kk
m
k
k xxfdD ϕ seja mínimo.
Os coeficientes aj, j = 1,..., n, que fazem com que φ(x) se aproxime ao máximo de 
f(x) são os que minimizam a função:
( ) [ ] [ ]
2
1
2211
2
1
21 )(...........)()()()()(,....., ∑∑
==
−−−−=−=
m
k
knnkkk
m
k
kkn xgxgxgxfxxfF αααϕααα
Para determinação dos coeficientes aj, j = 1,..., n, acha-se as derivadas parciais e 
iguala-se a zero. Nos pontos de mínimo tem-se:
njF
j
,...,1,0 ==
∂
∂
α
130 Unidade 4
Derivando a função F, tem-se:
[ ][ ] njxgxgxgxgxfF m
k
kjknnkkk
j
,...,1,)()(...........)()()(2
1
2211 =−−−−−=
∂
∂ ∑
=
ααα
α
Impondo a condição necessária para o mínimo, tem-se:
[ ][ ] njxgxgxgxgxf
m
k
kjknnkkk ,...,1,0)()(...........)()()(
1
2211 ==−−−−∑
=
ααα
De forma explícita, tem-se:
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ] 0)()(...........)()()(
0)()(...........)()()(
0)()(...........)()()(
1
2211
1
22211
1
12211
=−−−−
=−−−−
=−−−−
∑
∑
∑
=
=
=
m
k
knknnkkk
m
k
kknnkkk
m
k
kknnkkk
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
ααα
ααα
ααα

[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ] 0)()(...........)()()(
0)()(...........)()()(
0)()(...........)()()(
1
2211
1
22211
1
12211
=−−−−
=−−−−
=−−−−
∑
∑
∑
=
=
=
m
k
knknnkkk
m
k
kknnkkk
m
k
kknnkkk
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
ααα
ααα
ααα

Separando os somatórios e isolando os termos com variáveis dos termos cons-
tantes, tem-se:
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
====
=





++





+





=





++





+





=





++





+





m
k
knkn
m
k
knkn
m
k
knk
m
k
knk
m
k
kkn
m
k
kkn
m
k
kk
m
k
kk
m
k
kkn
m
k
kkn
m
k
kk
m
k
kk
xgxfxgxgxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxgxgxg
11
2
1
21
1
1
1
2
1
22
1
221
1
21
1
1
1
12
1
121
1
11
)()()()(......)()()()(
)()()()(......)()()()(
)()()()(.......)()()()(
ααα
ααα
ααα
As equações acima formam um sistema de equações lineares que de forma matri-
cial pode ser representado por:
Aa = b
Onde:
131Unidade 4
Cujos valores dos elementos da matriz de coeficientes e do vetor independente 
são determinados por: 
njeniparaxgxgaa kj
m
k
kiijji ,...,1,...,1)()(
1
==== ∑
=
;
niparaxgxfb ki
m
k
ki ,...,1)()(
1
==∑
=
;
n é o número de termos da função φ(x) a ser ajustada;
m é o número de pontos da amostra conhecida.
Exemplo: seja os valores da função apresentados na tabela abaixo. Por meio do 
método de mínimos quadrados determine a equação da curva que melhor ajuste 
os pontos dados.
Representando os pontos por meio do seu diagrama de dispersão tem-se:
132 Unidade 4
Gráfico 7 – Resultado dos pontos de dispersão. Fonte: elaborado pela autora
Pode-se observar que uma boa possibilidade é ajustar os pontos a uma parábola 
passando pela origem. Portanto, procura-se a função φ(x) = ax2
que melhor represente f(x). Para a notação utilizada g(x) = x2.
A partir das equações do método, tem-se:
)()(])([
11
1
11
1
2
k
k
k
k
k xgxfxg ∑∑
==
=α 111
11
1
2
11 ==∑
=k
a111
11
1
2
11 ==∑
=k
a
Substituindo:
k
k
k
k
k xxfx ⋅=⋅ ∑∑
==
11
1
11
1
22 )(][ α111
11
1
2
11 ==∑
=k
a 111
11
1
2
11 ==∑
=k
a
Como ∑
=
=
11
1
22 8464,2][
k
kx 111
11
1
2
11 ==∑
=k
a e 8756,5)(
11
1
=⋅∑
=
k
k
k xxf 111
11
1
2
11 ==∑
=k
a , tem-se a equação linear:
0642,28756,58464,2 =⇒= αα
A equação φ(x) = 2,0642x2 é a parábola que melhor aproxima a função tabelada 
por meio do método de mínimos quadrados.
Exemplo: aproximar a função tabelada apresentada no exemplo anterior por 
uma função do tipo: φ(x) = a1 + a2x + a3x
2
Deve-se montar o sistema linear Aa = b , onde:
3,...,13,...,1)()(
11
1
==== ∑
=
jeiparaxgxgaa kj
k
kiijji
3,...,1)()(
11
1
==∑
=
iparaxgxfb ki
k
ki
111
11
1
2
11 ==∑
=k
a
111
11
1
2
11 ==∑
=k
a
Para a função φ(x) proposta, tem-se:
133Unidade 4
g1(x) = 1, g2(x) = x, e g3(x) = x2
Chega-se, portanto, a:
111
11
1
2
11 ==∑
=k
a
∑
=
⋅==
11
1
1221 1
k
kxaa
∑
=
⋅==
11
1
2
1331 1
k
kxaa
∑
=
=
11
1
2
22
k
kxa
∑
=
⋅==
11
1
2
2332
k
kk xxaa
∑
=
=
11
1
22
33
k
kk xxa
∑
=
=
11
1
1 )(
k
kxfb
∑
=
=
11
1
2 )(
k
kk xfxb
∑
=
=
11
1
2
3 )(
k
kk xfxb
Para facilitar os cálculos, pode-se construir a tabela:D
134 Unidade 4
Com os valores calculados, chega-se ao sistema linear:










−=




















−
−−
−
8756,5
1087,0
115,9
8464,22498,02025,4
2498,02025,453,0
2025,453,011
3
2
1
α
α
α
Resultando em:










=
9377,1
0970,0
0914,0
α
A equação da parábola ajustada é dada por:
φ(x) = 0,0914 + 0,0970x + 1,9377x2
Síntese do módulo
Dando prosseguimento ao nosso estudo de aproximação de dados por funçõesconhecidas, nesse módulo tratamos do problema dos mínimos quadrados. Um 
caso simples é o de encontrar a reta que melhor se ajusta a três ou mais pontos 
não alinhados. Há algumas maneiras de medir o quanto a função de aproxima-
ção difere dos dados do problema. Aqui levaremos em consideração a distância 
entre os pontos dados e os pontos aproximados ou, equivalentemente, o quadra-
do dessa distância.
 
Precisaremos de conceitos iniciais do trato de funções e análise de gráficos. Os 
objetivos desse módulo foram: aproximar dados por funções conhecidas, mini-
mizando as distâncias; apresentar e discutir métodos e casos do problema de 
mínimos quadrados. 
135Unidade 4
Soluções numéricas de 
equações diferenciais 
ordinárias
A equação diferencial é definida como uma equação que envolve uma função e 
algumas de suas derivadas, da forma:
y(n)(x) = f [x, y'(x), y''(x),.......,y(n-1)(x)]
12.1 Tipos de equações diferenciais
12.1.1 Equações diferenciais ordinárias
São equações diferenciais que possuem apenas uma variável independente.
Exemplos:
yx
xd
yd
+= y é função de x; x é a única variável independente.
22 yx
td
yd
+= y e x são função de t; t é a única variável independente. 
Módulo 12
136 Unidade 4
0)1( 2
2
2
=+−+ y
td
ydy
td
yd y é função de t; t é a única variável independente.
12.1.2 Equações diferenciais parciais
Quando a equação diferencial envolve mais de uma variável independente.
Exemplo:
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u u é função de x e y; x e y são variáveis independentes. 
12.2 Solução de equações diferenciais
Determinadas equações diferenciais podem ser solucionadas de forma simbóli-
ca, cuja solução é uma expressão literal. Isso nem sempre é possível. Nesse caso, 
a solução é a utilização de integração numérica, como será visto na sequência.
Exemplo:
y
xd
yd
= ⇒ xd
y
yd
= ⇒ ∫ ∫= xd
y
yd ⇒ 21)ln( cxcy +=+
xcx eaexy == +)(
Observe que a solução da equação diferencial resulta numa família de curvas que 
dependem da constante a, como pode ser visto na figura abaixo. Uma solução 
particular pode ser obtida a partir das condições iniciais do problema. A espe-
cificação de uma condição inicial define uma solução entre a família de curvas.
137Unidade 4
Gráfico 8 – Solução da equação diferencial. Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 2008
Suponha no exemplo dado que o problema tem como solução inicial y(0) = 1. 
Portanto:
11)( 0 =⇒=⇒= aeaeaxy x
A solução y(x) = 1 . ex é a solução para a condição inicial dada.
Quando as condições iniciais estão associadas a um único valor da variável 
independente, define-se como um Problema de Valor Inicial (PVI). Quando as 
condições iniciais estão associadas a mais de um valor da variável independen-
te, define-se como um Problema de Valor de Contorno (PVC). Normalmente, 
problemas tendo como variável independente o tempo, são problemas de valor 
inicial.
138 Unidade 4
12.3 Ordem de uma equação diferencial ordinária
A ordem da equação é determinada pela derivada de maior ordem. Seja o exemplo 
de uma equação diferencial ordinária de ordem n:
y(n)(x) = f [x, y'(x), y''(x),.......,y(n-1)(x)]
12.4 Redução de equações diferenciais ordinárias
Uma equação ordinária de ordem superior pode ser reduzida a um sistema de 
equações diferenciais de primeira ordem. A redução é feita a partir da definição 
de variáveis auxiliares. Seja a equação diferencial de ordem m com também m 
condições iniciais:
])(,.......,)('',)(',)(,[)( )1()( xyxyxyxyxfxy mm −=
m
m cxy
cxy
cxy
=
=
=
− )(
)(
)(
0
)1(
20
'
10

m
m cxy
cxy
cxy
=
=
=
− )(
)(
)(
0
)1(
20
'
10

Essa equação pode ser transformada em um sistema de equações diferenciais 
com m equações, como descreve-se abaixo:
z1(x) = y(x)
z'1(x) = y'(x) = z2(x)
z'2(x) = y''(x) = z3(x)
z'3(x) = y'''(x) = z4(x)
z'm-1(x) = y(m-1)(x) = zm(x)
z'm(x) = y(m)(x) = f [x, y(x), y'(x), y''(x),.......,y(m-1)(x)]
Tem-se, portanto, um sistema com m equações diferenciais de primeira ordem:
139Unidade 4
 z'1(x) = y'(x) = z2(x) = f1(x, z1, z2,..., zm)
 z'2(x) = y''(x) = z3(x) = f2(x, z1, z2,..., zm)
 z'3(x) = y'''(x) = z4(x) = f3(x, z1, z2,..., zm)











===
===
===
===
===
−
−
−
−
),...,,,()](),.......,(''),(',[)()(
),...,,,()()()(
),...,,,()()()(
),...,,,()()()(
),...,,,()()()(
21
)1()('
211
)1('
1
2134
''''
3
2123
"'
2
2112
''
1
mm
mm
m
mmm
m
m
m
m
m
zzzxfxyxyxyxfxyxz
zzzxfxzxyxz
zzzxfxzxyxz
zzzxfxzxyxz
zzzxfxzxyxz
 
 z'm-1(x) = y(m-1)(x) = zm(x) = fm -1 (x, z1, z2,..., zm)
 z'm(x) = y(m)(x) = f [x, y' (x), y'' (x),......, y(m-1) (x)] = fm (x, z1, z2,..., zm)
Com as condições iniciais dadas por:
m
m
m cxyxz
cxyxz
cxyxz
cxyxz
cxyxz
==
==
==
==
==
− )()(
)()(
)()(
)()(
)()(
0
)1(
0
40
'''
04
30
"
03
20
'
02
1001

m
m
m cxyxz
cxyxz
cxyxz
cxyxz
cxyxz
==
==
==
==
==
− )()(
)()(
)()(
)()(
)()(
0
)1(
0
40
'''
04
30
"
03
20
'
02
1001

Esse artifício deve sempre ser utilizado quando da solução de equações diferen-
ciais por métodos numéricos, pois só pode-se integrar numericamente equações 
de primeira ordem. Observe que o sistema de equações modela o comportamen-
to dinâmico do problema.
Exemplo: reduzir as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) a sistemas de 
EDOs de primeira ordem.
a) )(2)(3)( ''' xyxyxy −= , 1)0( −=y e 0)0(' =y
12
'"'
2
2
''
1
1
232)(3)()(
)()()(
)()(
zzyxyxyxz
xzxyxz
xyxz
−=−==
==
=
140 Unidade 4
Resultando no sistema:
0)0(1)0(
),,(23)(
),,()()(
21
21212
'
2
2112
'
1
=−=




=−=
==
zz
zzxfzzxz
zzxfxzxz
b) )()1()cos()1( 222'''''' yxsinyxyxyxyxy ++=−−+++
3,3)0(2,2)0(1,1)0( ''' === yyy
Reescrevendo a equação, tem-se:
)()1()cos()1()()( 1
2
1
2
1
2
23
''''
3
3
"'
2
2
''
1
1
zxsinzxzxzxzxxyxz
zyz
zyz
yz
+++−+−+−==
==
==
=
)()1()cos()1( 222'''''' yxsinyxyxyxyxy +++−+−+−=
Resultando no sistema:
3,3)0(2,2)0(1,1)0(
),,,()()1()cos()1()()(
),,,(
),,,(
321
32131
2
1
2
1
2
23
''''
3
32123
"'
2
32112
''
1
===






=+++−+−+−==
===
===
zzz
zzzxfzxsinzxzxzxzxxyxz
zzzxfzyz
zzzxfzyz
12.5 Solução numérica de equações diferenciais 
ordinárias – problema de valor inicial
Considere a equação diferencial ordinária:
),(' yxfy = com condição inicial 00 )( yxy = .
141Unidade 4
A solução da equação diferencial acima é uma função do tipo y(x), conforme 
ilustrada abaixo:
Gráfico 9 – Solução da EDO. Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 2008
Com a solução numérica de uma equação diferencial, obtém-se uma aproxima-
ção para os valores y(x0), y(x1), y(x2), y(x3),......, y(xn), ou seja:
Considera-se que a notação y(xj), j = 1,2,...,n indica a solução exata da EDO nos 
pontos x1, x2, x3 ,..., xn, e yj, j = 1,2,..., n indica a solução aproximada obtida por 
método numérico.
Na solução numérica não se determina a expressão literal da função y(x), mas 
aproximações para pontos da função y(x). Com os valores aproximados obtidos, 
pode-se plotar a curva. Em aplicações da engenharia, normalmente estuda-se 
o comportamento dinâmico de determinadas variáveis, portanto, necessita-se a 
evolução das variáveis em função da variável independente. Com a curva plota-
da, pode-se estudar esta evolução.
142 Unidade 4
12.6 Método de Euler
Seja a solução de uma equação diferencial do tipo:
),( yxf
xd
yd
= com valor inicial y(x0) = y0
A solução dessa equação resulta numa função y(x), como mostrado no gráfico:
Gráfico 10 – Solução em uma função y(x). Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 2008
A partir da equação diferencial, pode-se observar que a derivada da função y(x) 
em um ponto qualquer x é dada por f(x). Conhecendo-se a derivada da função 
y(x) no ponto x0, ou seja [f(x0, y0)], pode-se estimar o valor da função y(x) no 
ponto x1, por meio de relações trigonométricas:
h = x1 - x0
143Unidade 4
),(),(),()( 0001
01
00
01
01
00 yxfhyy
h
yyyxf
xx
yyyxfgt +=⇒
−
=⇒
−
−
==α
Essa relação pode ser generalizada para um ponto i qualquer, resultandona forma 
de recorrência para solução de equações diferenciais pelo método de Euler:
yi = yi-1 + hf (xi-1, yi-1)
Exemplo: achar aproximações para a solução do problema de valor inicial, na 
malha [0,1] e h = 0,1, dado por:
2' +−= yxy para 2)0( =y
A solução dessa equação resulta em uma função y(x), como mostrada na figura 
abaixo:
Gráfico 11 - Solução em uma função y(x). Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 2008
Resolvendo essa equação por meio do método de Euler, iremos determinar apro-
ximações para pontos de y(x).
144 Unidade 4
20 00 == yx
2)220(1,02),( 0001 =+−⋅+=+= hyxfyy
21,01,00 101 ==+=+= yhxx
10,2)221,0(1,02),( 1112 =+−⋅+=+= hyxfyy
10,22,01,01,0 212 ==+=+= yhxx
029,2)210,22,0(1,010,2),( 2223 =+−⋅+=+= hyxfyy
029,23,01,02,0 323 ==+=+= yhxx
0561,2)2029,23,0(1,0029,2),( 3334 =+−⋅+=+= hyxfyy
0561,24,01,03,0 434 ==+=+= yhxx
09049,2)20561,24,0(1,00561,2),( 4445 =+−⋅+=+= hyxfyy
09049,25,01,04,0 445 ==+=+= yhxx
131441,2)209049,25,0(1,009049,2),( 5556 =+−⋅+=+= hyxfyy
131441,26,01,05,0 456 ==+=+= yhxx
1782969,2)2131441,26,0(1,0131441,2),( 6667 =+−⋅+=+= hyxfyy
1782969,27,01,06,0 467 ==+=+= yhxx
2304672,2)21782969,27,0(1,01782969,2),( 7778 =+−⋅+=+= hyxfyy
2304672,28,01,07,0 478 ==+=+= yhxx
2874205,2)22304672,28,0(1,02304672,2),( 8889 =+−⋅+=+= hyxfyy
2874205,29,01,08,0 489 ==+=+= yhxx
3486784,2)22874205,29,0(1,02874205,2),( 99901 =+−⋅+=+= hyxfyy
3486784,20,11,09,0 4901 ==+=+= yhxx
Na figura abaixo estão a solução numérica e a solução exata, observe que para 
efeitos práticos podemos observar o comportamento dinâmico da variável, que é 
o que normalmente interessa em aplicações da engenharia.
145Unidade 4
Gráfico 12 - Comportamento dinâmico da variável. Fonte: Selma Arenales e Artur Darezzo, 
2008
Na tabela abaixo, mostra-se os valores calculados comparados aos valores exatos:
12.6.1 Análise do erro para o método de Euler na 
solução numérica do problema de valor inicial
Os erros cometidos são de duas naturezas:
146 Unidade 4
a) erros de truncamentos causados pelo tipo de técnica empregada para a atuali-
zação do valor de y;
b) erros de arredondamentos causados pela aritmética de precisão finita utiliza-
das pelos computadores digitais e pelo modo de se programar.
Os erros de truncamento podem ser separados em duas partes:
a) erro de truncamento local: erro cometido num ponto genérico xk+1, determi-
nado pela diferença do valor aproximado yk+1 e o valor no ponto xk+1 da solução 
da equação diferencial que passa em yk+1;
b) erro de truncamento acumulado: erros cometidos pelas aproximações 
produzidas nos passos anteriores. É determinado pela diferença entre o valor 
aproximado yk+1 com o valor exato y(xk+1).
O erro de truncamento local é determinado pela expressão:
)(
!2
''
2
ξyhET = jj xxUnidade 4:
1) Resposta: 84.
2) Resposta: 4.
3) Resposta: 126,4 metros.
4) Resposta: 16, 25 e 121.
5) Resposta: 10
7
94
−= xy 94 10 .
6) Resposta: y = 1,0269x2 – 2,9839x + 4,1571.
7) Resposta: x5 = 1.0, y5 = 0.07776.
8) Resposta: x5 = 1.5.
9) Resposta: y = (1) = 4,48832.
154 Gabarito
155Referências
Referências
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur. Cálculo Numérico: Aprendizagem com 
apoio de software. São Paulo: Cengage, 2012.
BARUDE, Daniela (Org.). Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2015.
CAMPOS FILHO, Frederico Ferreira. Algoritmos numéricos. 2 ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2007. xiv, 428p. ISBN 9788521615378.
HUMES, Ana Flora Pereira de Castro Lages. Noções de Cálculo Numérico. São 
Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1984.
LOPES, Vera Lúcia da Rocha; RUGGIERO, Marcia Aparecida Gomes. Cálculo 
numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 
1996
SANTOS, José Plinio de Oliveira. Introdução à Teoria dos Números. Rio de 
Janeiro: IMPA, 2006.
	Página em branco
	Página em brancoDe acordo com Ohse (2005, p. 1):
Desde que o homem começou a observar os fenômenos naturais 
e verificar que os mesmos seguiam princípios constantes, ele 
observou que estes fenômenos podiam ser colocados por meio de 
“fórmulas”. Este princípio levou a utilização da matemática como 
uma ferramenta para auxiliar estas observações. Este é o princípio da 
matemática como um modelo, ou seja, modelar matematicamente o 
mundo em que vivemos e suas leis naturais.
A figura 1 apresenta, de forma geral, as etapas para solucionar os problemas 
físicos, sendo assim representadas:
Problema Modelo 
Matemático Solução
Modelagem Resolução
Figura 1 – Etapas para solucionar um problema físico. Fonte: Hunes et.al (1984, p.1)
As etapas apresentadas na figura 1 para solução do problema podem ser descritas como:
• modelagem: a primeira etapa consiste na representação do problema físico 
por um modelo matemático adequado. De uma forma geral, o modelo é obtido 
baseado nas teorias das áreas que deram origem ao problema, buscando 
tornar um modelo matemático possível de se resolver. Dependendo de como 
o problema é abordado, é possível obter modelos matemáticos diferentes;
13Unidade 1
• resolução: a etapa que consiste mostra se o problema possui solução, seja ela 
aproximada, única ou se não tem solução para o modelo matemático. É nessa 
fase que precisamos utilizar os métodos numéricos adequados a cada problema. 
Para compreender melhor, vamos a uma demonstração: suponhamos que um 
carro percorre uma distância de 180 km em 2 horas. Denotando por s = s(t) a 
distância percorrida pelo carro após t horas, a velocidade média durante esse 
período de tempo é:
Etapa 1
Como calcular a velocidade 
média de um carro?
Etapa 2 Etapa 3
Figura 2 – Cálculo da velocidade média. Fonte: elaborada pela autora.
Na etapa 1, temos o problema, na etapa 2 a modelagem ma-
temática e na etapa 3 a resolução com a solução. Mas essa é a 
solução mais adequada? Que método foi utilizado?
Os métodos utilizados na resolução dos modelos matemáticos de problemas, nas 
diferentes áreas das exatas e das engenharias, baseiam-se em: métodos analíticos 
e métodos numéricos. Quando preferimos a exatidão na solução do problema, é 
preferível a utilização dos métodos analíticos na resolução dos modelos matemáticos. 
Destaque
Método numérico: formado por uma sequência finita de operações aritméticas que, 
por meio de certas condições, levam a uma solução ou a uma aproximação de uma 
solução do problema. 
Método analítico: fornece as soluções exatas do problema real. Em geral, tais 
soluções são obtidas a partir de fórmulas explícitas.
14 Unidade 1
Tais métodos têm a vantagem de fornecer informações gerais em vez de 
particulares, além de uma maior informação quanto à natureza e à dependência 
das funções envolvidas no modelo. 
No entanto, a resolução de modelos matemáticos obtidos na modelagem de 
problemas reais de diversas áreas é muitas vezes complexa e envolve fenômenos 
não-lineares, podendo tornar impossível a resolução por métodos matemáticos 
analíticos, são nestas situações que os métodos matemáticos numéricos podem 
auxiliar bastante. Para facilitar o entendimento, vamos demonstrar um exemplo.
Exemplo 1: encontrar as raízes ( da função quadrática 
, onde e usamos a fórmula de Báskara: 
 (método analítico).
Aplicando a fórmula de Báskara na função , obtemos:
Logo as raízes,
Assim foi possível encontrar as soluções exatas da função usando apenas o 
método analítico. Agora vejamos o exemplo 2.
Exemplo 2: encontrar as raízes ( da função quadrática 
,usando o método analítico (fórmula de Báskara).
15Unidade 1
Nesse exemplo, possuímos uma raiz quadrada não exata, logo não conseguimos 
encontrar soluções pelo método analítico, temos que adotar o método numérico, 
como a fórmula de interação, que iremos aprender de forma detalhada nos 
módulos posteriores. Podendo também ser aplicada para aproximar uma das 
duas soluções da equação quadrática dada. Esse método pode somente dar uma 
solução numérica (aproximada). 
Quando se quer resolver um problema físico deve-se ter em mente o modelo que 
representa a situação física. Tal modelo é transformado em equações matemáticas 
e/ou modelo matemático, que será resolvido ou por métodos analíticos, ou por 
numéricos. Como para a maioria das situações não há soluções analíticas, os 
métodos numéricos tornam-se a alternativa mais apropriada. Vejamos o exemplo 
3 abaixo.
Exemplo 3: a estatística estuda o comportamento de muitos fenômenos não 
determinísticos a partir de funções de densidade de probabilidade. Uma das 
funções mais conhecidas é a distribuição gaussiana ou distribuição normal. Esta 
função é dada por:
Onde x é a variável aleatória que se deseja avaliar, η é a média desta variável e σ 
é o seu desvio padrão. A probabilidade de a variável aleatória estar em uma faixa 
de valores é dada por:
16 Unidade 1
No entanto, a integral acima não possui solução analítica, ou seja, utiliza-se de 
métodos numéricos para calculá-la. Em geral a diferença entre soluções analíticas 
e soluções numéricas pode ser resumida na seguinte frase: soluções analíticas são 
exatas enquanto soluções numéricas são aproximadas.
Duas ideias são frequentes em cálculo numérico, a de iteração ou aproximação 
sucessiva e a de aproximação local. 
• Aproximação inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução 
do problema numérico;
• Iteração: significa a repetição sucessiva de um processo. 
Assim podemos concluir que o cálculo numérico é uma disciplina fundamental 
para a formação dos profissionais das áreas de ciências extas e engenharias, 
possibilitando ao acadêmico conhecer várias técnicas de solução para diferentes 
tipos de problemas. 
Síntese do Módulo
Neste módulo, apresentamos o papel e a importância do cálculo numérico como 
ferramenta para a resolução de problemas reais em diversas áreas e, especialmente, 
nas ciências exatas e engenharias. No próximo módulo, faremos um breve estudo 
sobre erros. Uma vez que os métodos numéricos fornecem soluções aproximadas 
para os problemas.
17Unidade 1
Erros absolutos, relativos e 
de arredondamento 
No módulo anterior, aprendemos que quando não conseguimos soluções exatas 
pelo método analítico adotamos um método numérico para encontrar soluções 
aproximadas, desta forma, estas soluções podem conter diferentes erros. Neste 
módulo iremos aprender os principais erros apresentados pelos métodos 
numéricos na busca por soluções.
2.1 Fonte e tipos de erros
Para resolução de modelos matemáticos muitas vezes é necessária a utilização de 
instrumentos de cálculo. Estes instrumentos necessitam de certas aproximações 
para o seu funcionamento, o que acaba gerando uma grande fonte de erros.
A resolução de um problema físico utilizando um método numérico produz, em 
geral, uma solução aproximada do problema. A introdução de erros na resolução 
do problema pode ser devida a vários fatores. 
Módulo 2
18 Unidade 1
Em função da sua origem, podemos considerar os diferentes tipos de erros: erros 
iniciais do problema, erros inerentes ao modelo matemático, erros inerentes aos 
dados, erros associados ao uso de métodos numéricos, erros de arredondamento, 
erros de truncamento.
De uma forma geral podemos verificar a fonte de erros, por meio do esquema 
abaixo:
Problema Físico
Modelo Matemático
Dados dos Modelos Modelo numérico
Cálculo 
Solução
Erros ao Modelo
Erros aos Dados
Erros de Arredondamento
Erros de Truncamento
Figura 3 – Tipos de erros. Fonte: elaborada pela autora
Para entender melhor sobre os tipos de erros, apresentamos:
• erros ao modelo: quando montamos um modelo matemático para representar 
um fenômeno real, buscamos criar modelos idealizados que o simplificam 
de maneira que fica fácil encontrar sua solução ou até de interpretá-lo. Os 
melhores modelos são os que incluem aquelas características do problema 
real necessárias para reduzir os erros nessa fase a um nível aceitável; 
• erros aos dados: um modelomatemático não contém apenas equações e 
relações, também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são 
medidos de forma aproximada. E são essas aproximações que podem alterar 
o resultado final;
19Unidade 1
• erros de arredondamento: não importa se os cálculos são obtidos de forma 
manual, por meio de um computador ou de uma calculadora, buscamos 
sempre utilizar uma aritmética precisa e finita. Esse tipo de atitude nos leva 
a cometer erros de arredondamento; 
• erros de truncamento: muitas equações têm soluções que apenas podem 
ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como 
limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode 
ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de 
operações. Essa substituição de um processo infinito por um processo finito, 
resulta num certo tipo de erro designado erro de truncatura. Em muitos casos, 
o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o modelo matemático 
e o modelo numérico. 
Exemplo 4: determinar a altura de um edifício com uma bolinha de metal e um 
cronômetro: 3s.
Onde, 
d = distância percorrida; 
d0 = distância inicial; 
v0 = velocidade inicial; 
t = tempo; 
a = aceleração.
Baseada na modelagem matemática desenvolvida para localizar a altura do 
edifício, observam-se os seguintes erros:
• modelagem: a equação matemática obtida não leva em consideração a 
resistência do ar, velocidade do vento, entre outros;
• dados: precisão dos dados de entrada;
20 Unidade 1
• arredondamento e /ou truncamento: muitas vezes se transformam dados 
infinitos em finitos, nos gerando soluções não muito confiáveis.
Enfim, podemos definir o erro como um valor aproximado do valor exato 
de x, isto é, . Há vários critérios para avaliar a qualidade de uma 
aproximação e definir o seu erro. Por isso nos capítulos a seguir iremos definir 
de forma mais precisa os tipos de erros.
2.2 Erros absolutos
A informação sobre o erro que acompanha uma aproximação para a solução de 
um problema é fundamental para se conhecer a qualidade da aproximação e para 
termos uma noção mais clara sobre o valor exato da solução. Por exemplo, nesta 
situação, no cálculo da área de um círculo, , adotamos muitas vezes o 
π = 3,14, outras vezes π = 3,1415. Mas afinal, qual deles se aproxima mais com 
o valor exato do π? É importante ressaltar que devemos medir o quão próximo 
uma aproximação está do valor exato, isto é, encontrar o erro absoluto.
Erro absoluto também conhecido como desvio absoluto (EA) de uma medida é 
calculado como sendo o módulo da diferença entre o valor verdadeiro ou medido 
(x) e o valor adotado ou aproximado , assim temos:
O módulo do erro absoluto é uma estimativa quando não se conhece o valor 
exato. Para isso adotamos um limitante superior (K1) ou uma estimativa para 
o módulo do erro absoluto, dado assim |EA| ≤ K1. Para compreender melhor, 
vamos retornar ao nosso exemplo do cálculo da área de um círculo.
Vamos definir área 1 (A1), quando π = 3,14 e r = 15 cm, temos: A1= 3,14.152 = 
706,5 cm2. Agora área 2 (A2), quando π = 3,1415 e r = 15 cm, temos: A2= 3,1415.152 
= 706,8375 cm2 . Logo temos como erro absoluto (EA),
EA = |706,8375 – 706,5| → EA = 0,3375 → |EA| ≤ 0,3375
21Unidade 1
Enquanto no exemplo do lançamento da bolinha, com o tempo em 3 segundos, 
temos altura do prédio 44,1 metros. Mas se adotássemos o tempo como 3,5 
segundos, a altura do prédio passa a ser 60,025 metros. Portanto, temos o seguinte 
erro absoluto:
EA = | 60,025 – 44,1| → EA = 15,925 → |EA| ≤ 15,925
2.3 Erros relativos
Contudo, o erro absoluto pode não ser suficiente para informar sobre a qualidade 
da aproximação, se faz necessário uma análise mais cuidadosa, neste caso 
adotamos o erro relativo. O erro relativo de x é o módulo do quociente entre 
o erro absoluto EA e o valor exato x ou o valor aproximado , se x ou ≠ 0 . 
Algebricamente, temos:
ou 
Quando multiplicamos ER por 100, encontramos o erro percentual ou 
percentagem do erro. No cálculo da área do círculo citado no título 2.2 (erro 
absoluto), temos:
ER = 0,10748408
Assim o erro percentual é, EP = 0,10748408 x 100% ≅ 10,75%
2.4 Erros de arredondamento
Quando efetuamos cálculos muitas vezes nos deparamos com números ou 
resultados não exatos, que nos levam a desprezar alguns dígitos ou fazer 
arredondamento. Buscamos esta alternativa para facilitar o cálculo e, com isso, 
cometemos o erro de arredondamento. 
22 Unidade 1
Tais erros estão associados ao fato de os computadores ou sistemas eletrônicos 
de cálculo utilizarem um número fixo de dígitos para representarem os números, 
isto é, são consequência de se trabalhar com o que chamamos aritmética de 
precisão finita. 
Assim podemos definir que erro de arredondamento é a diferença da quantidade 
de dígitos aproximados de um número e o seu valor exato. Há duas maneiras de 
realizar o arredondamento, observe a seguir.
Arredondamento: arredondar é desconsiderar um número na casa di de tal 
forma que:
di seja a última casa se di+1das civilizações o homem sente a necessidade de contar, medir e 
registrar objetos, dados, entre outras coisas. Diferentes foram as formas de realizar 
a contagem, a medição e o registro. Conforme foi a evolução da humanidade foram 
desenvolvidos modelos abstratos para os registros das contagens e das medições, os 
números. Dessa forma os números surgiram, principalmente, da necessidade de o 
homem contar e medir.
Atualmente, utilizamos os sistemas de numeração decimal para representar os 
números. Esse é um sistema de numeração posicional, onde a posição do algarismo 
(dígito) indica a potência de 10. 
Exemplo 5: o número 325 é decomposto em: 
325 = 3 x 10² + 3 x 10¹ + 3 x 100 = 3 x 100 + 2 x 10 + 5 x 1
Módulo 3
26 Unidade 1
Logo, o número 3 ocupa a casa da centena, 2 a casa da dezena e o 5 a casa da 
unidade.
Teorema 1 (sistema de numeração decimal): seja B um inteiro maior que 1, 
então cada admite uma representação única da forma N = am.Bm + am-1.
Bm-1 + ... = a1.B1 + a0, em que a ≠ 0 e 0 ≤ a ≤ B, para todo 0 ≤ i ≤ m.
Além do sistema de numeração decimal, há outros sistemas de numeração. Na 
disciplina de Cálculo Numérico iremos conhecer a binária, octal, hexadecimal. O 
sistema de numeração binária ou de base dois é formado apenas pelos algarismos 
binários que são conhecidos como bits (do inglês binary digits). Um bit pode 
assumir dois valores distintos: 0 ou 1. Os computadores operam no sistema 
binário (base 2), o qual usa apenas dois algarismos (0 e 1) correspondentes aos 
estados ausência ou presença de sinal elétrico, respectivamente. 
Exemplo de conversão do sistema binário para decimal, iremos usar o número 
binário 1010, vejamos:
n = (1010)2 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 = 8 + 0 + 0 + 2 = 10
Para melhor entendimento, o número binário (1010)2 possui 4 algarismos (0 e 1), 
para conversão no sistema decimal inicia-se da esquerda para direita, efetuando 
uma soma entre as multiplicações de cada algarismo com uma potência de base 2 
e de expoente decrescente. Outro detalhe assim como no nosso sistema decimal, 
no binário também possui números decimais, e sua conversão segue a mesma 
regra dos números inteiros, só que os números que ficam na parte decimal têm 
expoente negativo.
n = (1001,101)2 = 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 + 1.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3 = 8 + 0 + 0 + 1 
+ 0,5 + 0 + 0,125 = 9,625
Convertendo o número decimal 9,625 para binário, realiza-se a divisão sucessiva 
por dois, até que o resto seja menor que dois, temos: 
27Unidade 1
9 2
4 2
2 2
1
0
0 1
Figura 4 – Conversão de decimal para binário. Fonte: elaborada pela autora
Fique Ligado!
Transformação de um número com vírgula do sistema decimal para outro sistema de 
numeração, realiza-se a divisão sucessiva da parte inteira, e da parte decimal realiza-
se a multiplicação.
Depois com a parte decimal, vai realizando a multiplicação por 2, até que as casas 
decimais fiquem zeradas.
0,625 . 2 = 1,25 1,25 . 2 = 2,50 = 0,50 0,50 . 2 = 1,00
Logo se obtêm: n=9,625 = (1001,101)2
Fique Ligado!
Quando a parte inteira da multiplicação sucessiva até a parte decimal chegar a zero, 
indica a posição do algarismo do novo sistema decimal.
No sistema de numeração octal a base é o número 8, formando pelos algarismos 
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Por exemplo, convertendo da base octal para base decimal, 
temos:
28 Unidade 1
n = (1357,24)8 = 1.83 + 3.82 + 5.81 + 7.80 + 2.8-1 + 4.8-2 = 512 + 192 + 70 + 7 + 
0,25 + 0,0625 = 751,3125
Da base decimal para octal, temos:
751 8
93 8
11 8
7
5
3 1
Figura 5 – Conversão de decimal para octal. Fonte: elaborada pela autora
Da parte decimal se procede com a multiplicação por 8:
0,3125 . 8 = 2,5
0,5 . 8 = 4,0
Logo, 751,3125 = (1357,24)8
No sistema de numeração hexadecimal, a base é 16, composto pelo conjunto de 
algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)). 
Convertendo o número decimal 580 para hexadecimal temos que realizar divisões 
sucessivas do número decimal por 16, assim temos:
n = 580 = (244)16
580 16
36 164
4 2
Figura 6 – Conversão de decimal para hexadecimal. Fonte: elaborada pela autora
29Unidade 1
Mas como é a transformação do hexadecimal em decimal? Vejamos o número 
(12C)16 , temos:
(12C)8 = 1.162 + 2.161 + 12.160 = 256 + 32 + 12 = 300
É importante conhecer a representação e a conversão de números em bases 
diferentes da base decimal. Destacando que um número pode ser representado 
de forma finita (exata) em uma base, mas sua representação em outra base pode 
ser infinita. Por conseguinte, a própria representação de um número em uma 
determinada base pode ser uma fonte de erros. 
3.2 Sistema de ponto flutuante
Por outro lado, a representação em ponto fixo, ainda que cômoda para cálculos no 
papel, não é adequada para o processamento nos computadores ou calculadoras. 
Nestes sistemas, costuma-se usar uma representação denominada representação 
em ponto flutuante normalizada ou Sistema de Ponto Flutuante (SPF). Nela, 
um número é representado na forma: 
Em que, para cada i=1,2,...,t,di é um inteiro com 0 ≤ d1 ≤ β e é um inteiro no 
intervalo tal que l ≤ e ≤ u. O número 0, d1 d2…dt é chamado de mantissa, β é a base 
do sistema, t é o número de algarismos na mantissa (algarismos significativos) e 
l e u são, respectivamente, os limites inferior e superior para o expoente e.
Definição: seja SPF (β; n; emin ; e1max). Então:
• o menor número positivo exatamente representável, denotado por m, é 
dado por: m=(0,100000)β.βexpmin 
30 Unidade 1
• o maior número positivo exatamente representável, denotado por M, é 
dado por: 
• o número máximo de mantissas positivas possíveis, denotado por mp. é 
dado por:
• o número máximo de expoentes possíveis, denotado por ep é dado por:
• o número de elementos positivos representáveis, denotado por npr é dado por:
• o número total de elementos representáveis, denotado por NumRt é dado por:
Para entendermos melhor, vamos a alguns exemplos:
Exemplo 6: seja SPF (β; n; emin; emax), determine considerando β=2; t=3 e emin = 
-1 e emax = 3.
O menor número positivo no SPF: m= (0,100)2 . 2-1 = 0,5 . 0,5 = 0,25
O maior número positivo no SPF: M= (0,111)2 . 23 = 0,875 . 8 = 6,96
O número máximo de mantissas positivas: mp= (2-1). 2(3-1) = 1 . 4 = 4
O número máximo de expoentes positivos: ep= 3 - (-1) + 1 = 5
O número de elementos positivos representados: npr = 4 . 5 = 20
O número total de elementos representáveis: NumRt= 2 . 20 + 1 = 41
31Unidade 1
Exemplo 7: transforme os números abaixo para representação no sistema de 
ponto flutuante:
a) 235,8910 = (0,23589) . 103
b) 101,012 = (0,10101) . 211
c) 0,00087510 = (0,875) . 10-3
Fique Ligado!
1º passo: colocar o zero antes da vírgula, e após a vírgula os dígitos inteiros do 
número.
2º passo: multiplicar pela base de origem do número e elevar ao expoente referente 
à quantidade de números antes do zero.
Nesse exemplo, vemos que o número já inicia com zero, por isso o expoente fica 
negativo e contamos a quantidade de dígitos entre o zero e os dígitos válidos. 
Outra informação importante em relação ao sistema de ponto flutuante é sobre 
o arredondamento e truncamento dos números. Ressaltamos que seguimos a 
mesma regra do sistema de numeração decimal. Vejamos exemplos.
Exemplo 8: faça o arredondamento e o truncamento dos números abaixo, para 
3 dígitos, isto é, t=3:
a) 235,8910= (0,23589) . 103
Arredondamento: (0,236) . 103
Truncamento: (0,235) . 103
32 Unidade 1
b) 101,012 = (0,10101) . 211
Arredondamento: (0,101) . 211
Truncamento: (0,101) . 211
c) 235,3910 = (0,23539).103
Arredondamento: (0,235) . 103
Truncamento: (0,235) . 103
Dentro do sistema de ponto flutuante, existe em algumas situações que a máquina 
utilizada não consegue representar os números conforme solicitado, que nestes 
casos, podem ser maiores ou menores do que a máquina está configurada. 
Quando isso acontece, usamos os termos overflow e underflow. O termo overflow 
significa que um número é maior do que consigo representar no pontoflutuante e 
o termo underflow significa que um número é menor do que consigo representar 
no ponto flutuante.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 9: seja SPF (10;3;-5;+5), temos:
a) 235,8910 = (0,23589) . 103, neste caso esse número pode ser representado 
nesta máquina, porque 3 ∈[-5;+5], ou seja, o expoente e está dentro do intervalo 
expoente mínimo e máximo.
b) (0,345) . 10-7, neste caso esse número não pode ser representado nesta máquina, 
porque -7 ∉[-5;+5], ou seja, o expoente e está menor do que o intervalo expoente 
mínimo e máximo, logo, nessa situação, temos um underflow. 
c) (0,875) . 109, neste caso esse número não pode ser representado nesta máquina, 
porque 9 ∉[-5;+5], ou seja, o expoente e está maior do que o intervalo expoente 
mínimo e máximo, logo, nessa situação, temos um overflow.
Portanto, assim temos:
33Unidade 1
- 0
overflowunderflow
Figura 7 – Demonstração. Fonte: elaborada pela autora
Três observações importantes sobre a aritmética e a representação do ponto 
flutuante normalizado: 
1. a adição de dois números em aritmética de ponto flutuante é feita com o 
alinhamento dos pontos decimais, do seguinte modo: a mantissa do número 
de menor expoente é deslocada para a direita até que os expoentes se igualem, 
ou seja, o deslocamento é de um número de casas igual a diferença dos 
expoentes. Somam-se as mantissas e repete-se o expoente e, se necessário, 
faz-se a normalização;
2. o zero em ponto flutuante é representado por mantissa nula (0,00...0) 
e com o menor expoente disponível. Caso o expoente não fosse o menor 
possível, mesmo a mantissa sendo nula, poderia ocasionar a perda de dígitos 
significativos na adição deste zero a um outro número. Isso se dá pela forma 
como a adição é realizada em aritmética de ponto flutuante;
3. a multiplicação de dois números em aritmética de ponto flutuante é feita 
multiplicando-se as mantissas dos números e somando-se os expoentes; em 
seguida, se necessário, faz-se a normalização.
Quer Saber Mais?
Para saber mais sobre conversão entre sistemas de numeração acesse o site:
https://www.youtube.com/watch?v=DJYIndxhcKc
34 Unidade 1
Síntese do Módulo
Nesse módulo apresentamos diferentes sistemas de numeração, enfatizando 
a representação em ponto flutuante. Podemos ressaltar que a representação 
numérica é um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução 
de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam 
principalmente a problemas; tem-se a representação posicional de base decimal 
(10), representação de inteiros de base (2), representação de números fracionários e 
outros sistemas de numeração, e as maneiras de conversão de decimal para binário 
e vice-versa.
35Unidade 1
Exercícios
1) Coloque V (verdadeiro) e F (falso) para as afirmações abaixo.
a) ( ) O método analítico traz soluções aproximadas de problemas físicos.
b) ( ) As etapas para solução do problema podem ser descritas como 
modelagem e resolução.
c) ( ) Duas ideias são frequentes em cálculo numérico, a de iteração ou 
aproximação sucessiva e a de aproximação local. 
d) ( ) O cálculo numérico é um conjunto de métodos usados para se obter a 
solução de problemas matemáticos de forma exata.
e) ( ) Modelagem é a etapa que mostra se o problema possui solução, seja ela 
aproximada, única ou se não tem solução para o modelo matemático.
2) Cite dois exemplos de problemas físicos que não podem ser resolvidos pelo 
método analítico.
3) A bolinha foi solta do topo do edifício e foi marcado no cronômetro que 
ela levou 2 segundos para atingir o solo. Com isso podemos concluir, a partir 
da equação acima, que a altura do edifício é de 19,6 metros. Para resolver essa 
situação problema qual seria melhor método, analítico ou numérico? Explique 
por quê?
4) Calcule os erros absoluto e relativo das aproximações para x em cada caso.
a) x= π = 3,14159265358979… e =3,141
b) x= 1,00001 e =1
c) x= 100001 e =100000
36 Unidade 1
5) Arredonde os seguintes números para cinco algarismos significativos.
a. 1,7888544
b. 1788,8544
c. 0,0017888544
d. 0,004596632
6) Resolva a equação 0,1x - 0,01 = 12 usando arredondamento com três dígitos 
significativos em cada passo e compare com o resultado exato.
7) Considere o quadro abaixo e faça as conversões solicitadas:
Decimal Binário Octogonal Hexadecimal
Parcela 17 10001
Parcela 26 32
Soma 43 2B
a) 11001 e 101101; 23 e 43; 11 e 1B 
b) 11000 e 101100; 20 e 53; 10 e 1A 
c) 10111 e 101010; 22 e 54; 10 e 1C 
d) 11010 e 101011; 21 e 53; 11 e 1A 
e) 10111 e 101001; 21 e 45; 12 e 1A 
8) Considere uma máquina cujo sistema de representação de número é definido 
por: 𝛽 = 10, 𝑘 = 4, 𝑒 ∈ [−5,5]. Qual o menor e o maior número em módulo 
representados nesta máquina?
9) Um administrador de sistemas, ao analisar o conteúdo de um arquivo binário, 
percebeu que o primeiro byte desse arquivo é, em hexadecimal, igual a 9F, que 
corresponde, em decimal, ao valor: 
37Unidade 1
(a) 16 
(b) 99 
(c) 105 
(d) 159 
(e) 234
10) Convertendo o número hexadecimal AB1 para decimal, temos o valor: 
(a) 2048 
(b) 2737 
(c) 2738 
(d) 5261 
(e) 5474 
11) Ao converter o número (1011100)2 da base binária para as bases decimal, 
hexadecimal e octal, obtêm-se, respectivamente, os valores: 
(a) 2910, B416 e 5608 
(b) 2910, 5C16 e 1348 
(c) 9210, B416 e 5608 
(d) 9210, 5C16 e 1348 
(e) 9210, 5C16 e 2708 
38 Unidade 1
Zeros reais de funções reais 
Nesta segunda unidade, abordaremos um importante 
problema que aparece com muita frequência em 
diversas áreas: encontrar zeros reais de funções 
reais. Iniciaremos fazendo uma breve introdução 
de apresentação do problema. Daremos também o 
significado geométrico (gráficos) para os zeros reais de 
funções reais e veremos como fazer a localização ou 
o isolamento de tais zeros, utilizando como recursos 
o tabelamento e a análise gráfica da função. 
Os principais objetivos de aprendizagem desta 
unidade são: contextualizar o problema de determinar 
zeros de funções; apresentar técnicas para resolver o 
problema; rever conceitos e resultados necessários 
do cálculo; localizar zeros reais de funções reais. 
 
Unidade 2
41Unidade 2
Introdução aos zeros reais de 
funções reais
Neste módulo iremos tratar do problema geral de determinar a existência de e; 
de calcular zeros reais de funções reais e conheceremos a sua importância para as 
mais diversas áreas do conhecimento humano. Justificando assim a sua inclusão 
entre os problemas que são objetos de estudo do cálculo numérico. Além disso, 
iremos realizar a interpretação geométrica e estabeleceremos a ideia central dos 
métodos numéricos iterativos para a obtenção de zeros reais de funções reais. 
Mas o que seria encontrar os zeros reais de funções reais? Para explicar melhor 
vamos a uma definição: dada uma função 𝑓: ℝ → ℝ , chama-se zero (ou raiz) de 
uma função f(x), é um número real 𝑥 ∈ ℝ , tal que f(x)=0. 
Portanto, o problema de determinar os zeros reais de uma função f equivale ao 
problema de determinar as raízes reais da equação, ou seja, determinar os valores 
que satisfazem f (x) = 0. Analisamos o gráfico abaixo da função g(x), assim 
apresentamos uma definição geometricamente:
Módulo 4
42 Unidade 2
a b x
g(x)
x1 x2 x3 x4 x5
Gráfico 1 – Função. Fonte: EaD SATC
Onde, podemos dizer que os zeros (ou raízes) da função são os x1; x2; x3; x4; x5, 
isto é, o momento em que o gráfico corta o eixo x.
Vamos ao um exemplo.
Exemplo: para encontrar a quantidade de ácido que se ioniza em uma solução 
em equilíbrio, o modelo matemático (obtido de teorias da química) é dado pela 
equação:
𝑥2 + 𝐾𝑎𝑥 + 𝑘𝑎𝐶0 = 0
Em que Ka indica a constante de ionização do ácido e C0 representa a concentração 
inicial do ácido. Observamos que esse modelo é de uma equação quadrática e 
suas raízes (reais ou não) são dadas pela conhecida fórmula de Bhaskara. 
Exemplo: o tempo de queda de uma bolinha lançada no alto de um prédio, no 
tempo t0 = 0 da altura h0 = 0, caindo sobre aforça de uma gravidade. Levando em 
conta que a queda não é completamente livre, isto é, o meio oferece resistência 
ao movimento, quanto tempo levará a queda da bolinha? Para resolver esse 
problema, podemos montar a seguinte equação:
 ℎ 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑡 − 𝐶𝑒 −𝐷𝑡
Com A, B, C e D sendo constantes que dependem da constante de aceleração da 
gravidade à superfície terrestre g, da altura inicial h0, da massa do corpo m, da 
43Unidade 2
velocidade inicial do corpo v0 e da velocidade para a qual a força de resistência do 
meio é exatamente igual à força da gravidade mg. Equivalentemente, o problema 
consiste em obter os zeros da função f, dada por 𝑓 𝑡 = ℎ 𝑡 − ℎ0.
Os exemplos acima são de situações concretas e mostram a importância do 
problema de obter zeros reais de funções reais ou, equivalentemente, de determinar 
as raízes reais de equações. Apesar de certas equações (como as polinomiais) 
poderem apresentar raízes complexas, o nosso interesse será somente nas raízes 
reais das equações. Agora que entendemos a importância de calcular as raízes ou 
zeros das funções, vamos para a segunda parte que é como calcular as raízes ou 
zeros das funções. 
Aprendemos que, para certas funções, como as polinomiais lineares ou 
quadráticas, tais raízes são obtidas por meio de um método analítico, ou seja, 
por intermédio de uma fórmula. Entretanto, existem funções, que não possui ou 
não existe um método analítico para encontrar suas raízes. São nesses casos que 
precisamos adotar métodos numéricos, que auxiliam a encontrar uma raiz real 
dessa função. 
Em geral, existem algumas exceções, em que os métodos numéricos não fornecem 
os zeros exatos de uma função. Para isso, podemos determinar de um intervalo 
em x que contenha pelo menos uma raiz da função f (x), e repetir o cálculo várias 
vezes, buscando um resultado mais preciso daquele que foi obtido anteriormente, 
este tipo de método numérico é denominado de interativo. Algumas informações 
importantes sobre o processo iterativo, que se deve ser levando em conta:
• estimativa inicial: a fim de se iniciar um processo iterativo, é preciso que se 
tenha uma estimativa inicial do resultado do problema;
• convergência: o resultado mais próximo daquele esperado;
• critério de parada: o critério adotado para parar vai depender do problema a 
ser resolvido e da precisão que necessitamos obter na solução.
Os métodos numéricos iterativos para o cálculo de uma raiz ou zero de uma 
função real f envolvem duas fases: 
44 Unidade 2
fase 1 - isolamento ou localização dos zeros: consiste em achar intervalos 
fechados disjuntos [a,b], cada um dos quais contendo exatamente um zero de f;
fase 2 - refinamento: consiste em, partindo de aproximações iniciais escolhidas 
em um determinado intervalo obtido na fase 1, melhorar (refinar) sucessivamente 
as aproximações até obter uma aproximação para o zero de f que satisfaça uma 
precisão prefixada.
Fique Ligado!
Nesse módulo, iremos trabalhar a fase 1, o isolamento dos zeros de uma função. 
 
4.1 Isolamento das raízes
Podemos introduzir o isolamento das raízes, como sendo uma análise teórica da 
função, buscando garantir que exista uma raiz no intervalo de busca. Podemos 
citar algumas ferramentas utilizadas para análise desse intervalo, que podemos 
citar:
• teorema do anulamento (ou teorema de Bolzano);
• corolário do teorema;
• tabelamento;
• gráfico.
O teorema do anulamento (ou teorema de Bolzano), nos fala: 
seja 𝑓: ℝ → ℝ uma função contínua num intervalo fechado [a,b]. Se f(a) . f(b)o intervalo [-2,5;1], usamos o separador ponto-e-vírgula (;) em vez de 
vírgula (,) como fazemos normalmente. Para evitar confusão, faremos isso sempre 
que algum dos extremos tiver parte fracionária (que precisa ser separada da parte 
inteira por vírgula).
O teorema de Bolzano e o corolário são grandes aliados para o isolamento dos 
zeros reais de uma função real f via tabelamento da função. Esta estratégia consiste 
em construir uma tabela com valores de f para diversos valores de x e observar as 
mudanças de sinal de f e o sinal da derivada f ’ nos intervalos em que f mudou de sinal 
nos extremos. A análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x) = 0 é fundamental 
para obter boas aproximações para a raiz.
Síntese do Módulo
Nesse módulo, conhecemos o problema de obter zeros de funções e vimos várias 
situações em que esse problema aparece de forma contextualizada, caracterizando 
a importância desse problema nas mais diversas áreas. Abordamos também formas 
de localizar ou isolar os zeros reais de funções reais, um requisito necessário pelos 
métodos numéricos iterativos para a determinação de aproximações para os zeros 
de funções. No próximo módulo, apresentaremos métodos iterativos específicos 
para a fase de refinamento Newton-Raphson.
50 Unidade 2
51Unidade 2
Refinamento e métodos iterativos 
para se obter zeros reais das 
funções: método da bissecção
Neste módulo iremos tratar sobre métodos iterativos para se obter os zeros reais 
das funções, com base no refinamento que pode ser feito utilizando vários métodos 
numéricos para encontrar as soluções. A forma como se efetua o refinamento 
é o que diferencia os métodos. Todos eles pertencem à classe dos métodos 
iterativos. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que 
são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos (laços) 
até que um critério de parada seja satisfeito. 
É importante destacar que o método de refinamento possui os seguintes passos:
• isola- se a raiz no intervalo [a,b];
• calcula-se a raiz por meio de métodos numéricos;
• os métodos fornecem uma sequência {x1} de aproximação;
• A sequência é limitada à raiz exata ε.
Os métodos iterativos são classificados conforme descrição abaixo.
Módulo 5
52 Unidade 2
Métodos de quebra: são os mais intuitivos geometricamente, contudo, são os que 
convergem mais lentamente. Esses métodos são assim chamados porque a partir de 
um intervalo que contenha uma raiz da função, vai-se particionando esse intervalo 
em outros menores, que ainda contenham a raiz. Dependendo da escolha do ponto 
de quebra do intervalo, poderemos ter diferentes métodos, tais como: 
• método da bissecção;
• método da falsa posição.
Métodos de ponto fixo: nestes métodos começamos com uma aproximação 
inicial x0 e construímos uma sequência {xi}, na qual cada termo é dado por xi 
+ 1 = ζ (xi), onde ζ é uma função de iteração. Conforme for ζ (dzeta), teremos 
diferentes métodos de ponto fixo, tais como:
• método Newton-Raphson;
• método de iteração linear.
Métodos de múltiplos pontos: eles constituem uma generalização do método 
anterior, onde para determinar um ponto xi + 1 utilizamos vários pontos 
anteriores: xi; xi-1;…; xi-p. Exemplo:
• método da secante.
5.1 Método de bissecção
No módulo anterior, estudamos como encontrar raízes de uma função por 
meio do método de isolamento. Mas esta forma de determinar raízes nos dá 
aproximações não tão adequadas e raízes que estão dentro de um intervalo de 
uma unidade, obtendo uma precisão muito baixa. Neste módulo iremos trabalhar 
com o método iterativo de bissecção, também conhecido como dicotomia.
53Unidade 2
Vamos Refletir?
Inspirado no teorema de Bolzano, o método da bissecção é um método bem intuitivo 
para achar o zero de uma função f em um intervalo que contém um único zero de f. 
A cada iteração, o método da bissecção obtém um novo intervalo com um tamanho 
igual à metade do tamanho do intervalo anterior.
O método da dicotomia ou bissecção é uma forma de se obter a raiz de uma função 
f(x) contínua em um intervalo [a,b], e α uma raiz de f(x) isolada neste intervalo. O 
processo consiste em dividir o intervalo que contém o zero ao meio e, aplicando 
aos subintervalos resultantes, determinamos qual deles contém o zero.
 
𝑎;
𝑎 + 𝑏
2
𝑒 
𝑎 + 𝑏
2
; 𝑏
Se a função f(x) mudar de sinal entre α e 𝑎 + 𝑏
2 = 𝑥𝑘, , a raiz estará na primeira 
metade do intervalo [a, b]; ou se ocorrer a mudança de sinal entre 𝑎 + 𝑏
2 = 𝑥𝑘, e b, 
a raiz estará na segunda metade. Repetimos o processo para aquela metade que 
contém a raiz de f(x) dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual metade 
está a raiz. A estimativa da raiz em cada etapa será o ponto médio do intervalo 
em estudo. O erro na estimativa será dado pela metade do comprimento do 
intervalo em estudo.
Para descobrirmos qual intervalo possui a raiz é só fazermos f(a).f(x) e analisar se 
o valor é maior ou menor que zero. Se o resultado deste produto for menor que 
zero, a raiz está no intervalo [a,x], se for maior que zero está no intervalo [x,b].
54 Unidade 2
Para Lembrar!
O método da bissecção requer um intervalo fechado [a,b] em que f seja contínuo tal 
que f(a).f(xk) 0 substitui a= xk.
Uma interpretação geométrica do método da bissecção é dada na figura seguinte:
f(x)
x
x1 x2 x0
b = b0a = a0
a1
=
= =
=
=
=
a2 a3 b1
b2
b3
Gráfico 4 - Método da bissecção. Fonte: adaptado de Ruggiero e Lopes (1996, p. 41)
55Unidade 2
Para entender melhor vamos aos exemplos.
Exemplo: encontre uma aproximação para 2 com erro inferior a 10-2 pelo 
método da bissecção. 
Resolução: esse problema é equivalente a determinar uma aproximação para o 
zero de f(x) = x2 - 2 com erro inferior a 10-2. Teremos f(1) = -1 e f(2)= 2 . Assim, 
f(1).f(2) = -2 0 para 
todo, x ϵ [1,2], temos que o zero de f no intervalo [1, 2] é único. Para entender 
melhor observamos a tabela abaixo:
𝐤 𝐚𝐤 𝐛𝐤 𝐛𝐤 − 𝐚𝐤 𝐱𝐤 𝐟(𝐱𝐤)
0 1 2 1 1,5 0,25
1 1 1,5 0,5 1,25 -0,43
2 1,25 1,5 0,25 1,375 -0,109375
3 1,375 1,5 0,125 1,4375 0,06640625
4 1,375 1,4375 0,0625 1,40625 -0,0224609375
5 1,40625 1,4375 0,03125 1,421875 0,021728515625
6 1,40625 1,421875 0,015625 1,4140625 -0,00042724609375
7 1,4140625 1,421875 0,0078125
Tabela 3 – Raiz de uma função pelo método da bissecção. Fonte: elaborada pela autora
Portanto, depois de 7 iterações (k=0,1,2,3,4,5,6,…), teremos um intervalo [a7,b7] 
= [1,4140625;1,421875] com tamanho b7 - a7 = 0,0078125nos pontos a e b no intervalo [1;2]. Sendo 
nossa função:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2 − l n( 𝑥)
No ponto a=1:
𝑓 𝑥 = 1 − 2 2 − l n( 1) = 1
No ponto b=2:
𝑓 𝑥 = 2 − 2 2 − l n( 2) = −0,6931
Depois calculamos o xk+1:: 
𝑎 + 𝑏
2
= 𝑥𝑘+1
1 + 2
2
= 𝑥𝑘+1 = 1,5
57Unidade 2
Agora fizemos: 
𝑓 𝑥𝑘+1 = 1,5 − 2 2 − l n( 1,5) = −0,1554
Após isso , analisamos o critério de parada:
b – a ≤ ε
2 – 1 ≤ ε
2 – 1 > (10)-3
Como b – a > 10-3, continuamos interagindo. Mas quem eu vou substituir nos 
valores de a e b? Para sabermos quais são os novos valores usamos a regra:
𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑥𝑘 0, fazemos a = x. Caso contrário fazemos b = x;
Passo 7: voltamos para o passo 3. Repare que os valores de a e b que utilizaremos 
nesse novo ciclo já não são mais os mesmos e representa um intervalo menor. 
Terminando o processo teremos um intervalo [a, b] contendo uma raiz e uma 
aproximação dela.
59Unidade 2
5.1.2 Estudo da convergência
Se função f(x) for contínua no intervalo [a, b] e f(a).f(xk) > 0, no método da 
bissecção vai gerar intervalos cada vez menores, se aproximando cada vez mais 
da raiz, que muitas vezes pode ser um processo com muitas interações. Mas 
para isso podemos estimar o número de iterações. Sabemos que o intervalo que 
obtemos em cada iteração k será sempre a metade da amplitude do intervalo k 
-1, isto é:
𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 =
𝑏𝑘−1 − 𝑎𝑘−1
2
=
𝑏𝑘−2 − 𝑎𝑘−2
2²
=
𝑏0 − 𝑎0
2𝑘
Como queremos que 𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 
𝑏0 − 𝑎0
𝜀
→ ln 2𝑘 > ln
𝑏0 − 𝑎0
𝜀
→ 𝑘 � ln 2 > ln 𝑏0 − 𝑎0 − ln 𝜀
Então, 
𝑘 >
ln 𝑏0 − 𝑎0 − ln 𝜀
ln 2
Usando nosso intervalo [-1, 0] com ε = 0,01 obtemos:
𝑘 >
ln 1 − ln 0.001
ln 2
≅ 6,64 → 𝑘 = 7
Ou seja, iríamos necessitar de no mínimo 7 interações para chegar no resultado.
60 Unidade 2
Síntese do Módulo
Nesse módulo aprendemos sobre o método da bisseção ou método da bissecção 
(é um método de busca de raízes que de forma repetida dentro de um intervalo 
seleciona um subintervalo contendo a raiz para processamento adicional). Trata-se 
de um método simples e robusto, relativamente lento quando comparado a métodos 
como o método de Newton ou o método das secantes, que iremos aprender nos 
próximos módulos. Por esse motivo, ele é usado frequentemente para obter uma 
primeira aproximação de uma solução, a qual é, então, utilizada como ponto inicial 
para métodos que convergem mais rapidamente. O método também é chamado de 
método da pesquisa binária ou método da dicotomia. 
61Unidade 2
Método de Newton-Raphson 
e método da secante
Neste módulo iremos aprender sobre métodos numéricos mais eficientes e 
conhecidos para a solução de um problema de determinação de raiz, o método 
de Newton-Raphson e o método da secante. O método de Newton-Raphson 
é um método de ponto fixo que utiliza uma técnica diferente de refinamento, 
minimizando o valor da função de iteração do ponto fixo e acelerando a 
convergência do método do ponto fixo. Enquanto o método da secante é mais 
fácil do que o método de Newton-Raphson, executando basicamente as mesmas 
rotinas, se diferenciando pelo fato de iniciarmos com diversos “chutes iniciais” e 
não apenas um.
6.1 Método Newton-Raphson
O método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem por objetivo estimar 
as raízes de uma função. Toma-se um ponto qualquer do domínio da função; 
calcula-se a equação da tangente da função e nesse ponto calcula-se o interceptor 
da tangente ao eixo das abcissas para encontrar novo ponto de domínio da função 
e repete-se o processo. Em notação matemática:
Módulo 6
62 Unidade 2
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e f(xn) é a derivada da função 
f em xn. Para facilitar a iteração, um intervalo deve ser delimitado, para que o 
valor estimado seja mais adequado e, consequentemente, para que tenhamos 
uma convergência de (xn) mais propícia. 
O intervalo delimitado deve conter a raiz de f; a função f deve ser diferenciável 
em todo o intervalo; a primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal e a 
segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal. Esse é o melhor método 
para encontrar sucessivas melhores aproximações de raízes (ou zeros) de uma 
determinada função real. Vamos dar uma olhada na interpretação geométrica:
f (x)
x0
x1
ξ
x
Gráfico 5 - Interpretação geométrica método Newton-Raphson. Fonte: elaborado 
pela autora
Analisando o gráfico, conseguimos interpretar que, dado um ponto fixo (xk, 
f(xk)) traçarmos a reta Lk(x) a tangente a curva desse ponto. A fórmula da reta 
tangente é dada por:
Lk(x) = f(xk) + f '(xk)(x - xk)
63Unidade 2
Essa reta Lk(x) funciona como uma aproximação para a função f(x) próximo de 
xk. Ou seja, o quanto mais próximo de xk estivermos, iremos obter a melhor reta 
tangente próxima a f(x). Basicamente aplicamos o método de convergência e 
iteração até que o valor de x atenda o critério de parada. Vamos ao exemplo.
Exemplo: calcular o zero da função f(x) = (x - 2)2 - ln (x) usando ε = 10-6 no 
intervalo [1, 2].
Resolução: o primeiro passo é montar uma tabela com todas as informações, na 
qual o número K de iterações (que vai de 0 até n), o valor de xk e o valor da nossa 
função f(x); o valor da nossa f '(x) e o xk+1; finalmente o nosso critério de parada. 
Ficando dessa forma:
k xk f (xk) f ’ (xk) xk+1 |f (xk)| 10−6
𝑓(𝑥1) = 0,15683 > 10−6
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações:
𝑥1 = 1.333
𝜀 = 106
Iteração 2:
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 1.40857
Critério de arada:
𝑥2 − 𝑥1= 0.07557 > 10−6
𝑓(𝑥2) = 0,007214 > 10−6
Vamos realizando as iterações até alcançarmos o critério de parada. Para isso é 
ideal montar uma tabela para facilitar o processo. Assim temos:
Melhorar tabela abaixo.
 k xk f (xk) f ’ (xk) xk+1 |f (xk)| 10−5
𝑓(𝑥1) = 0.545674 > 10−5
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações:
𝑥0 = 2
𝑥1 = 1,678308
𝜀 = 10−5
Iteração 2:
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 =
𝑥0𝑓 𝑥1 − 𝑥1𝑓(𝑥0)
𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)
= 1.808103
Critério de parada:
𝑥2 − 𝑥1 = 0.129794 > 10−5
𝑓(𝑥2) = 0.085739 > 10−5
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações:
𝑥1 = 1,678308
𝑥2 = 1,808103
𝜀 = 10−5
69Unidade 2
Iteração 3:
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 =
𝑥1𝑓 𝑥2 − 𝑥2𝑓(𝑥1)
𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1)
= 1.832298
Critério de parada:
𝑥3 − 𝑥2 = 0.024196 > 10−5
𝑓(𝑥3) = 0.011985 > 10−5
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações:
𝑥2 = 1,808103
𝑥3 = 1,832298
𝜀 = 10−5
Iteração 4:
𝑥4 = 𝑔 𝑥3 =
𝑥2𝑓 𝑥3 − 𝑥3𝑓(𝑥2)
𝑓 𝑥3 − 𝑓(𝑥2)
= 1.829331
Critério de parada:
𝑥4 − 𝑥3 = 0.002967 > 10−5
𝑓(𝑥4) = 0.000215 > 10−5
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações:
𝑥3 = 1,832298
𝑥4 = 1,829331
𝜀 = 10−5
Iteração 5:
𝑥5 = 𝑔 𝑥4 = 𝑥3𝑓 𝑥4 −𝑥4𝑓(𝑥3)
𝑓 𝑥4 −𝑓(𝑥3) = 1.829383
70 Unidade 2
Critério de parada:
𝑥5 − 𝑥4 = 5,2 × 10−5 > 10−5
𝑓(𝑥5) = 5,2 × 10−7 10−5
𝑓(𝑥1) = 0.2965 > 10−5
Assim você vai fazendo até que o critério de parada seja satisfeito. Como vocês já 
viram como se calcula, vamos preencher a tabela:
71Unidade 2
k xk-1 f (xk-1) xk f (xk) xk+1 f (xk+1) |xk+1 – xk|