MecSol 21 Flambagem

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Universidade Federal do ABC
Mecânica dos Sólidos
Prof. Ricardo Gaspar
FLAMBAGEM
São Paulo
Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se 
experimentalmente que, sob a ação de carregamentos crescentes, pode 
ser atingido um estado limite, a partir do qual a forma reta de equilíbrio é 
instável. 
A carga correspondente a esse estado limite é dita carga crítica Pcrit, ou 
carga de flambagem.
P
x
x
P y
L
y
Flambagem de Euler (1707-1783)
Flambagem elástica
FLAMBAGEM
A barra pode perder a sua estabilidade sem que o material tenha 
atingido seu limite de escoamento. 
As barras comprimidas devem ser verificadas tanto para a possibilidade 
de ruptura por compressão, como também por flambagem.
Flambagem elástica
P
x
x
P y
L
y
Flambagem de Euler (1707-1783)
FLAMBAGEM
Flambagem elástica
O colapso ocorrerá sempre na 
direção do eixo de menor momento 
de inércia de sua seção transversal.
Na coluna da figura a flambagem 
ocorrerá em torno do eixo y – y.
FLAMBAGEM
FLAMBAGEM
FLAMBAGEM
FLAMBAGEM
Solução econômica para aumentar o momento de inércia das coluna
FLAMBAGEM
Flambagem elástica
EI
M
dx
dy
dx
yd
r
−=














+
=
2/3
2
2
2
1
1
Equação diferencial exata da linha elástica para barras fletidas
P
x
x
P y
L
y
Flambagem de Euler (1707-1783) .
FLAMBAGEM
EI
M
dx
yd
r
−=≅
2
2
1Equação aproximada da linha elástica →
mas →
então → ou
P
x
x
P y
L
y
Flambagem elástica
Flambagem de Euler (1707-1783) .
yPM ⋅=
EI
Py
dx
yd
−=
2
2
0
2
2
=+
EI
Py
dx
yd
FLAMBAGEM
P
x
x
P y
L
y
Flambagem elástica
Flambagem de Euler (1707-1783) .
EI
P
k =2chamando → chega-se a
que é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem
cuja solução é dada por
0
2
2
2
=+ yk
dx
yd
kxBkxsenAxy cos)( +=
FLAMBAGEM
P
x
x
P y
L
y
Flambagem elástica
Flambagem de Euler (1707-1783) .
Os coeficientes A e B são definidos analisando as condições de 
contorno para a barra comprimida do modelo de Euler
para x=0, y=0 obtém-se B=0
para x=L, y=0 obtém-se
kxBkxsenAxy cos)( +=
0=kLsenA
FLAMBAGEM
P
x
x
P y
L
y
Flambagem elástica
Flambagem de Euler (1707-1783) .
Então
Esta equação possui duas soluções
para A=0, y=0 conclui-se que y(x)=0 portanto, não atende 
para senkL=0 têm-se portanto,
0)( == kLsenALy
...3,2,1, == ncomnkL π
L
n
k
π
=
FLAMBAGEM
P
x
x
P y
L
y
Flambagem elástica
Flambagem de Euler (1707-1783) .
Como obtém-se ou
onde n=1,2,3... A carga crítica é obtida com n = 1
portanto, a carga crítica de Euler é dada por
EI
P
k =
2
EI
P
L
n
=





2
π
2
22
L
EIn
Pn
π
=
2
2
L
EI
Pcr
π
=
FLAMBAGEM
Comprimento equivalente
2
2
e
crit
L
EI
P
π
= L
k=1,0
a
k=0,5
c
k=0,7
b
k=2,0
d
LkLe ⋅=
onde
FLAMBAGEM
Flambagem elástica
Comprimento equivalente
2
2
e
crit
L
EI
P
π
=
k=1,0 k=0,7 k=0,5 k=2,0
onde
LkLe ⋅=
FLAMBAGEM
Flambagem elástica
Carga crítica
2
2
e
crit
L
EI
P
π
=
A
Pcr
crit =σ 2
2
e
crit
AL
EIπ
σ =Tensão crítica ou
FLAMBAGEM
Flambagem elástica
A
I
i =
i
L
=λ
2
2
λ
π
σ
E
crit =
crit
E
σ
πλ =
p
E
σ
πλλ == lim
Índice de esbeltez
raio de giração
2
2
e
crit
AL
EIπ
σ =
FLAMBAGEM
Flambagem elástica
p
E
σ
πλ =lim
onde σp é a tensão de 
proporcionalidade do 
material
FLAMBAGEM
Flambagem elástica
 região
elástica região plástica
C
ε0
L
p
P
r
σ
σ Ap
e
σ
σ
escoamento
B
ε
δ
P
εr
D
E
Diagrama Tensão × Deformação de 
materiais metálicos, como o aço
Flambagem
• Elástica
• Inelástica
A fórmula de Euler é 
válida para
limλλ ≥
FLAMBAGEM
curva de Euler
flambagem
inelástica
flambagem
elástica
λλ lim
σ
σy
σp
Exemplos
1. Determinar o índice de esbeltez limite (λlim) para o aço. 
Dados: σp = 19 kN/cm2 e Módulo de Elasticidade E = 21 000 
kN/cm2.
105
19
00021
lim ≅= πλ
Portanto, para peças de aço, a fórmula de Euler é válida 
para índice de esbeltez 105>λ
FLAMBAGEM
p
E
σ
πλ =lim
Exemplos
2. Uma barra prismática de aço de seção transversal 
retangular medindo (4×5) cm é articulada nas extremidades 
e está submetida a uma carga axial de compressão. Sendo 
a tensão limite de proporcionalidade do aço σp = 19 kN/cm2
e o Módulo de Elasticidade E = 21 000 kN/cm2, determine o 
comprimento máximo da barra para que se possa aplicar a 
equação de Euler.
Solução
105
19
00021
lim ≅= πλ
FLAMBAGEM
p
E
σ
πλ =lim
Como a barra é articulada nas extremidades, o coeficiente 
de flambagem k = 1, logo
A
I
i minmin = cmi 155,1
45
12
45
3
min =
×
×
=
min
lim
i
Le
=λ minlim iLe ⋅= λ cmLe 28,121155,1105 =×=
cm
k
L
L e 28,121==
FLAMBAGEM
12
3
bh
I retângulo =
Raio de giração
Exemplos
3. Uma barra de aço é articulada nas extremidades, com 
comprimento L = 160 cm e seção transversal quadrada, com 
lado igual a 5 cm. Determinar a carga máxima de compres-
são pela formulação do de Euler. Dado: E = 21 000 kN/cm2.
Solução
2
2555 cmA =×=
12
4
a
I = 4
4
08,52
12
5
cmI ==
A
I
i = cmi 44,1
25
08,52
==
FLAMBAGEM
i
Le
=λ
i
Lk ⋅
=λ 1=k 1,111
44,1
160
==λ
2
2
λ
π
σ
E
crit = 22
2
79,16
1,111
21000
cm
kN
crit =
×
=
π
σ
A
Pcrit
crit =σ AP critcrit ×= σ kNPcrit 4202579,16 =×=
Resposta kNPcrit 420=
FLAMBAGEM
Atividades
Recomenda-se a leitura dos itens 13.1, 13.2 e 13.3 do Capítulo 13 
do livro HIBBELER. Resistência dos Materiais. 7ª ed. São Paulo, 
Pearson Education, 2009. 
Fazer os exercícios propostos.
FLAMBAGEM
Fim
FLAMBAGEM