AULA tensoes e deformacoes resistencia dos materiais

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LISTA DE SÍMBOLOS 
 
letras maiúsculas 
A área 
E módulo de elasticidade 
F força 
I momento de inércia 
L comprimento 
M momento, momento fletor 
Ms momento estático 
N força normal 
P carga concentrada 
R resultante de forças, esforço 
resistente 
S esforço solicitante 
V força cortante 
 
letras minúsculas 
a aceleração 
b largura 
g aceleração da gravidade 
h dimensão, altura 
l comprimento 
m metro, massa 
max máximo 
min mínimo 
q carga distribuída 
s segundo 
v deslocamento vertical 
x distância da linha neutra ao ponto de 
maior encurtamento na seção 
transversal de uma peça fletida 
 
letras gregas 
α, θ ângulo, coeficiente 
δ deslocamento 
φ diâmetro 
ε deformação específica 
fγ coeficiente de majoração das ações 
σ tensão normal 
σ tensão normal admissível 
τ tensão tangencial 
τ tensão tangencial admissível 
υ coeficiente de Poisson 
 
índices 
adm admissível 
c compressão 
f ação 
t tração, transversal 
w alma das vigas 
max máximo 
min mínimo 
 
 
 
 
 
 
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 O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação 
P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de 
massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade. 
 A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida 
por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 
metro quadrado de área, perpendicular à direção da força 2/ mNPa = . Pascal é também 
unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento). 
 
Múltiplos e submúltiplos 
Nome Símbolo fator pelo qual a unidade é multiplicada 
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 
tera T 1012 = 1 000 000 000 000 
giga G 109 = 1 000 000 000 
mega M 106 = 1 000 000 
quilo k 103 = 1 000 
hecto h 102 = 100 
deca da 10 
deci d 10-1 = 0,1 
centi c 10-2 = 0,01 
mili m 10-3 = 0,001 
micro µ 10-6 = 0,000 001 
nano n 10-9 = 0,000 000 001 
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 
 
Conversão de Unidades 
A unidade é equivalente a 
1MPa 1 N/mm2 
1 MPa 1 x 106 N/m2 
1 GPa 1 x 109 N/m2 
1 m 100 cm 
1 cm 0,01 m 
1 kgf 9,81 N 
1 kgf 2,20 lb 
1 polegada (ou 1") 2,54 cm 
1 m2 10000 cm2 
 
Exemplo de conversão de medidas de pressão: 
422 10×
==
cm
N
m
NPa 
1010
1010
242
6
2
6
×
=
×
×
=
×
=
cm
kN
cm
N
m
NMPa 
2
2
42
9
2
9 10
10
1010
cm
kN
cm
N
m
NGPa ×=
×
×
=
×
= 
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1.4 Trigonometria 
 Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da 
trigonometria. 
 A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e 
determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos 
ângulos de um triângulo. 
Círculo e Funções Trigonométricas 
 
EFsen =α 
OF=αcos 
ABtg =α 
DCg =αcot 
OB=αsec 
OCec =αcos 
1== ROE 
Triângulo retângulo 
 No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A 
hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: 222 cba += . 
Relações trigonométricas 
a
c
hipotenusa
opostocatetosen ==α 
a
b
hipotenusa
adjacentecateto
==αcos 
b
c
adjacentecateto
opostocatetotg ==α 
b
a
adjacentecateto
hipotenusa
==αsec 
b
carctg=α 
a
carcsen=α 
a
barccos=α 
bC
a
α
A
B
c
triângulo retângulo 
 
Relação fundamental da trigonometria: 1cossen 22 =+ xx 
Razões Trigonométricas Especiais 
 30º 45º 60º 
Seno 
2
1 
2
2 
2
3 
Cosseno 
2
3 
2
2 2
1 
Tangente 
3
3 1 3 
 
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1.5 Alfabeto Grego 
 Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as 
quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento 
para as práticas comuns da Engenharia. 
 
Alfabeto Grego 
Símbolo 
Nome 
Maiúscula Minúscula
Alfa Α α 
Beta Β β 
Gama Γ γ 
Delta ∆ δ 
Épsilon Ε ε 
Zeta Ζ ζ 
Eta Η η 
Teta Θ θ 
Iota Ι ι 
Capa Κ κ 
Lambda Λ λ 
Mi Μ µ 
Ni Ν ν 
Csi Ξ ξ 
Ômicron Ο ο 
Pi Π π 
Rô Ρ ρ 
Sigma Σ σ 
Thau Τ τ 
Upsilon Υ υ 
Phi Φ ϕ 
Chi Χ χ 
Psi Ψ ψ 
Omega Ω ω 
 
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4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
 
4.1 Introdução 
 Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar, 
considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção 
constante em todo o comprimento). 
 Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P 
(forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na 
barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o 
estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a 
seu eixo. Removendo-se por exemplo a parte direita do corpo, os esforços internos na 
seção considerada (m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes 
esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal. 
m
m
σ
L
P
δ
P
P
 
Figura 4.1. 
 
 Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à 
resultante, também axial, de intensidade P. 
 Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a 
seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela 
letra grega σ (sigma). 
 Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal 
é obtida dividindo-se o valor da força P pela área da seção transversal, ou seja, 
A
P
=σ (1) 
 A tensão tem a mesma unidade de pressão, que, no Sistema Internacional de 
Unidades é o Pascal (Pa) corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2, 
ou seja, Pa = N/m2. Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com 
freqüência seus múltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa×106), GPa = kN/mm2 = (Pa×109), etc. Em 
outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode-se ser expressa em quilograma força por 
centímetro quadrado (kgf/cm2), libra por polegada quadrada (lb/in2 ou psi), etc. 
 Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura 4.1, a tensão 
resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a 
barra, tem-se tensão de compressão. 
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 A condição necessária para validar a Equação (1) é que a tensão σ seja uniforme 
em toda a seção transversal da barra. 
 O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela 
letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado 
deformação específica, representado pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte 
equação: 
L
δε = (2) 
onde: 
ε = deformação específica 
δ = alongamento ou encurtamento 
L = comprimento total da barra. 
 Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no 
meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o 
valor da deformação específica por 102 ou mesmo até (‰) multiplicando-se por 103. 
 
4.2 Diagrama tensão-deformação 
 As relações entre tensões e deformações para um determinado material são 
encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, 
correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do 
corpo-de-prova. 
 Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as 
deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a 
deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material 
em estudo. Na Figura 4.2 ilustra-se um diagrama tensão-deformação típicodo aço. 
 região
elástica região plástica
C
ε0
L
p
P
r
σ
σ Ap
e
σ
σ
escoamento
B
ε
δ
P
εr
ED
 
Tensão 
A
P
=σ 
 
Deformação 
L
δε = 
 
σr = tensão de ruptura 
σe = tensão de escoamento 
σp = tensão limite de 
 proporcionalidade 
 
Figura 4.2. Diagrama tensão-deformação do aço 
 
 Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às 
deformações; o material obedece a Lei de Hooke e o diagrama é linear. 0 ponto A é 
chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a 
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proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta 0A, até que em 
B começa o chamado escoamento. 
 O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da deformação com 
pequeno aumento da força de tração. No ponto B inicia-se a região plástica. 
 O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência 
adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D, 
denominado limite máximo de resistência. Além deste ponto, maiores deformações são 
acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova 
no ponto E do diagrama. 
 A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande 
deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais 
estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer 
grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações, 
antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre, 
bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os 
materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes 
de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica, 
gesso, entre outros. 
 
4.3 Tensão admissível 
 Para certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, levando em 
conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis 
desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se 
um coeficiente de segurança (γf), majorando-se a carga calculada. Outra forma de 
aplicação do coeficiente de segurança é utilizar uma tensão admissível (σ ou admσ ), 
reduzindo a tensão calculada (σcalc), dividindo-a por um coeficiente de segurança. A tensão 
admissível é normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na 
região de deformação elástica do material. Assim, 
f
calc
adm γ
σσσ == (3) 
 
4.4 Lei de Hooke 
 Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais, 
quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto 
é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o 
carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela 
qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta 
completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o 
retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação 
que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente. 
 
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 A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE 
em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como: 
εσ E= (4) 
onde 
σ = tensão normal 
E = módulo de elasticidade do material 
ε = deformação específica 
 
 O Módulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do 
diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material. 
 A lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. Por este motivo, 
quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição 
de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois 
somá-los. 
 Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, 
o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais. 
 
Tabela 4.1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais 
Material Peso específico (kN/m3) 
Módulo de Elasticidade 
(GPa) 
Aço 78,5 200 a 210 
Alumínio 26,9 70 a 80 
Bronze 83,2 98 
Cobre 88,8 120 
Ferro fundido 77,7 100 
Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12 
 
 Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é AP /=σ e a 
deformação específica é L/δε = . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE, 
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra: 
EA
PL
=δ (5) 
 Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é 
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao 
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como 
rigidez axial da barra. 
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4.4.1 Coeficiente de Poisson 
 Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma 
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu 
comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 3 ilustra 
essas deformações. 
P
P
P
P
 
Figura 4.3. Deformações longitudinal e lateral nas barras 
 
 A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da 
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como: 
allongitudindeformação
lateraldeformação
=υ (6) 
 Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. 
Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em 
todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com 
metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. 
 Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a 
direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o 
material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material 
anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas 
fibras a madeira é mais resistente. 
 
4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke 
 Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a 
exemplos simples de solicitação axial. 
 Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se, 
respectivamente: 
EL
σε = e 
ELt
υσνεε == (7) 
 No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões 
normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às 
deformações εx, εy e εz, a Lei de HOOKE se escreve: 
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33
( )[ ]zyxx E σσυσε +−=
1 . 
( )[ ]xzyy E σσυσε +−=
1 (8) 
( )[ ]yxzz E σσυσε +−=
1 . 
 
 A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que 
possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos. 
 
Exemplos 
1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de 
comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de 
Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN. 
L= 5 m
P P=30 kN
 
4
2πφ
=A 6,19
4
52 =×= πA cm2 
A
P
=σ 53,1
6,19
30 ==σ kN/cm2 ou 15,3 MPa 
EA
PL
=δ 0382,0
6,19000.20
50030 =
×
×
=δ cm 
L
δε = 0000764,0
500
0382,0
==ε ou × 1000 = 0,0764 (‰) 
 
2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com 
área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho 
CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistemade forças 
indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o 
alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2. 
300 cm
30kN
A
150kN
200 cm200 cm
B C
50kN
D
170kN
 
 
 
σy
xσ
σz
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Trecho A-B 
300 cm
150kN
A
170kN
50kN
30kN
B
R=150kN
 
A
P
=σ 15
10
150 ==σ kN/cm2 
EA
PL
=δ 214,0
10000.21
300150 =
×
×
=δ cm 
L
δε = 713,01000
300
214,0 =×=ε (‰) 
 
Trecho B-C 
30kNR=120kN
150kN
200 cm
B C
50kN
170kN
R=120kN
 
A
P
=σ 8
15
120 ==σ kN/cm2 
EA
PL
=δ 076,0
15000.21
200120 =
×
×
=δ cm 
L
δε = 38,01000
200
076,0
=×=ε (‰) 
 
Trecho C-D 
30kNR=170kN
150kN
200 cm
50kN
C D
170kN
 
A
P
=σ 44,9
18
170
==σ kN/cm2 
EA
PL
=δ 0899,0
18000.21
200170
=
×
×
=δ cm 
L
δε = 45,01000
200
0899,0
=×=ε (‰) 
 
Alongamento total 
38,00899,0076,0214,0 =++=δ cm 
 
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35
4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas 
 Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser 
calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente 
determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática 
não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para 
essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a 
reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta. 
 Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura 
4.4. 
Ra
A A
Ra
(c)
A
B
Rb
B
C
P
(a) (b)
B
L
b
a
C
P
 
Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada 
 
 A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra 
estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra, 
porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A 
única equação fornecida pelo equilíbrio estático é 
PRR ba =+ (9) 
a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente 
para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda 
equação, que considere as deformações da barra. 
 Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força 
sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da 
carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento 
(para baixo) do ponto A, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é 
dado por: 
EA
Pb
P =δ 
 
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36
 Em seguida, analisa-se o efeito da reação Ra deslocando do ponto A, ilustrado na 
Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação Ra com a extremidade A da 
barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por: 
EA
LRa
R =δ 
 Ora, como a extremidade A da barra é fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto, 
resultante da ação simultânea das forças P e Ra, é nulo. Logo, 
0=− PR δδ → RP δδ = , 
ou seja, 
EA
LR
EA
Pb a= . 
Logo, 
L
PbRa = . Substituindo o Ra na equação (9), tem-se: PRL
Pa
b =+ 
L
PaPRb −= L
PbPLRb
−
= 
L
bLPRb
)( −= 
L
PaRb = 
 
 
Exemplos 
1. Uma barra constituída de dois trechos é 
rigidamente presa nas extremidades. Determinar as 
reações R1 e R2 quando se aplica uma força P. 
Dados: E=21.000 kN/cm2; AAB=5cm2; ABC=7,5cm2; 
P= 60 kN 
Solução 
Equação de equilíbrio 
PRR =+ 21 (1) 
Equação de compatibilidade das deformações: 
BCAB δδ = (2) 
Nota: As cargas P/2 provocarão um alongamento no trecho AB, e um encurtamento no 
trecho BC, de valores exatamente iguais. 
lembrando que 
EA
PL
=δ , tem-se 
5,7
5,1
5
2 21
×
×
=
×
×
E
R
E
R 
21 2,04,0 RR = 4,0
2,0 2
1
RR = 21 5,0 RR = substituindo em (1) 
6021 =+ RR → 605,0 22 =+ RR → 605,1 2 =R → 402 =R kN 
mas, 60401 =+R logo 201 =R kN. 
 
 
2 cm
1,5 cm
P/2P/2
A
B
C
R2
R1
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