39944475-descontos-e1657129360

Prévia do material em texto

SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Descontos
Livro Eletrônico
2 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Sumário
Apresentação ................................................................................................................................... 3
Descontos ......................................................................................................................................... 4
1. Conceitos Básicos ....................................................................................................................... 4
2. Desconto Simples ....................................................................................................................... 5
2.1. Desconto Comercial ou por Fora ........................................................................................... 5
2.2. Desconto Racional ou Por Dentro ........................................................................................ 8
2.3. Relação entre Desconto por Dentro e por Fora ...............................................................12
3. Desconto Composto ................................................................................................................. 18
3.1. Desconto Composto por Fora .............................................................................................. 18
3.2. Desconto Composto por Dentro ..........................................................................................21
3.3. Relação entre Taxas de Desconto Composto por Dentro e por Fora ......................... 25
4. Aplicações de Renda Fixa .......................................................................................................28
4.1. Títulos Pós-Fixados ...............................................................................................................28
4.2. Títulos Pré-Fixados............................................................................................................... 29
4.3. Títulos Mistos .........................................................................................................................31
Questões Comentadas em Aula ................................................................................................. 35
Questões de Concurso .................................................................................................................40
Gabarito ........................................................................................................................................... 93
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
3 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
ApresentAção
Olá, aluno(a)! Tudo bem? Sejam bem-vindo(a) a mais uma aula de Matemática Financeira. 
Está animado(a)?
Nesta aula, falaremos sobre um dos assuntos de melhor custo-benefício para a sua prova: 
descontos. É um assunto com pouca teoria e muitas questões de prova a respeito.
Além disso, o Desconto é fundamental para a compreensão dos próximos temas de Ren-
das, Amortização e Investimentos. Além disso, podem ser exploradas questões diretamente 
sobre esse assunto.
Como de costume, preparei uma lista de questões resolvidas para você que inclui um bom 
número de questões de alto nível a fim de que você esteja preparado(a) para um certame ex-
tremamente rigoroso.
Gostaria também de pedir para você me seguir no Instagram, pois é lá que eu posto muitas 
dicas interessantes para a sua preparação para concursos públicos.
Instagram: @math.gran
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
4 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
DESCONTOS
1. ConCeitos BásiCos
O desconto é uma situação muito comum no dia a dia. Eles podem ser de duas categorias:
• Descontos Incondicionais ou Comerciais: são os descontos oferecidos em uma nego-
ciação. Pense, por exemplo, que você deseja comprar um pastel de feira que é comer-
cializado por R$8,00. Porém, você está em um grupo de quatro pessoas. Então, vocês 
negociam: “Não dá para fechar os 4 por R$30,00?”
Exemplo: se o vendedor concordar com a oferta, ele te ofereceu um desconto que não está vin-
culado a nenhuma condição específica de pagamento. Por isso, é um desconto incondicional.
• Descontos Condicionais ou Financeiros: normalmente, são descontos oferecidos por 
instituições financeiras quando você precisa receber uma duplicata (ou outro título) an-
tecipado ou ainda quando você quer pagar uma dívida antecipadamente.
Exemplo: suponha que você tenha adquirido um empréstimo e que deverá pagar R$1.000 daqui 
a um ano. Porém, você acabou de ser nomeado para o concurso público dos seus sonhos e 
tem dinheiro para pagar esse empréstimo hoje.
A pergunta é: quanto você pagaria?
Como os juros são o preço do dinheiro no tempo, para pagar a dívida hoje, é natural que 
você queira um desconto.
O desconto é uma consequência da preferência temporal – é melhor pagar R$1.000 no 
futuro do que pagar R$1.000 hoje. Para que você prefira quitar uma dívida hoje, você deve ter 
incentivo, ou seja, obter um desconto.
Um fato importante a se entender sobre o desconto é que, assim como os juros, ele se ori-
gina da relação do dinheiro com o tempo.
Se você não recebesse desconto nenhum para quitar a sua dívida com antecedência, mui-
to provavelmente, você não quitaria. Lembre-se de que você sempre pode, no mínimo, investir 
esse dinheiro em uma aplicação de renda fixa por um ano.
Suponha que você tenha feito um acordo com o banco e você pagará R$900 hoje em troca 
de a sua obrigação com ele ser extinta. A operação citada corresponde ao que, na Contabilida-
de, se chama de desconto financeiro ou condicional.
Um desconto financeiro é aquele que é dado em razão da antecipação do pagamento.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
5 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Figura 1: Valor Atual, Nominal e Desconto
Os elementos de uma operação de desconto são:
• Valor Nominal ou Valor de Face: é o valor futuro da obrigação, isto é, aquilo que deveria 
ser pago no momento acordado para a dívida;
• Valor Atual, Valor Líquido, Valor Descontado ou Valor Presente: é o montante a ser 
pago (ou recebido) após aplicado o desconto;
• Desconto: é o quanto se abate do valor nominal a fim de que o pagamento da obrigação 
seja recebido antecipadamente.
2. DesConto simples
O desconto simples é calculado com base em desconto simples. Existem duas modali-
dades de desconto: o comercial (ou por fora) e o racional (ou por dentro). Vamos detalhar 
cada um deles.
2.1. DesConto ComerCiAl ou por ForA
O desconto comercial é o mais natural e usado nas operações do dia a dia. Suponha que 
você vai ao shopping comprar uma camisa que custa R$100. Então, você pede um desconto à 
vista. A loja oferece 10% à vista e você paga R$90.
Note que o desconto foi calculado aplicando-se a alíquota de 10% sobre o “preço cheio” da 
camisa, que é igual a R$100.
De acordo com as definições vistas na Seção de Conceitos Básicos, o valor deR$100 diz 
respeito ao valor nominal da camisa – isto é, o valor sem desconto. Já o valor atual é o valor a 
ser pago e corresponde à diferença entre o valor nominal e o desconto.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
6 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Por ser usada no dia a dia, essa modalidade de desconto é conhecida como “desconto 
comercial”. O nome “por fora” tem relação com o fato de que o desconto é calculado sobre o 
valor nominal.
Agora, devemos introduzir um fator muito importante: o tempo. Haja vista que o desconto 
nasce também do conceito de preferência temporal, quanto maior o prazo de antecipação do 
pagamento, maior também será o valor do desconto.
Dessa forma, o desconto comercial é calculado por:
Adotaremos a nomenclatura Df para deixar claro que estamos nos referindo ao descon-
to por fora.
Agora, podemos calcular o valor atual da obrigação usando a expressão:
001. (FGV/ISS/CUIABÁ/2016/AFTM) Suponha um título de R$ 500,00, cujo prazo de venci-
mento se encerra em 45 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do 
desconto simples será igual a:
a) R$7,00
b) R$7,50
c) R$7,52
d) R$10,00
e) R$12,50
Para começar treinando. Quando a questão menciona “desconto por fora”, temos que aplicar a 
taxa de desconto sobre o valor nominal.
Letra b.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
7 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
002. (CESPE/ABIN/2010/AGENTE TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/CONTABILIDADE) Consi-
derando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 meses 
antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial simples (por fora) é 
de 5% ao mês, julgue o item subsequente.
O valor recebido (valor descontado) foi inferior a R$ 3.800,00.
Mais uma questão sobre desconto comercial simples. Devemos nos lembrar de que, no des-
conto por fora, a taxa incide sobre o valor nominal da obrigação.
Portanto, o valor atual da obrigação será:
Certo.
003. (ESAF/SMF/RJ/2010/FISCAL DE RENDAS) Um título sofre um desconto simples por 
fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% 
ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título?
a) R$ 22.500,00
b) R$ 25.000,00
c) R$ 17.500,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 27.500,00
A questão cobrou o desconto por fora, ou seja, é um desconto comercial, cuja taxa incide sobre 
o valor nominal. Para estes casos, temos a expressão:
De acordo com o enunciado:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
8 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:
Isolando o valor nominal a partir da equação anterior, temos:
Letra b.
004. (CESPE/CAIXA/2010/TÉCNICO BANCÁRIO) Se, ao descontar uma promissória com 
valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa 
operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a
a) 5%
b) 6%
c) 7%
d) 8%
e) 9%
Como visto anteriormente, o valor de face é sinônimo de valor nominal.
No caso de desconto por fora, a taxa de juros incide sobre o valor nominal – vamos repetir 
bastante isso para que você fixe.
Letra d.
2.2. DesConto rACionAl ou por Dentro
O desconto racional, por sua vez, é o que deve ser utilizado em decisões de investimento – 
o que fazer com o dinheiro?
Por exemplo, suponha que você tem uma dívida no valor de R$1000 que vence daqui a um 
ano e que pode ser paga com um desconto de R$100.
Atualmente, você tem R$900 para quitá-la, porém, também, tem à sua disposição a possi-
bilidade de investir esse dinheiro a uma taxa de juros de 15% ao ano. O que faz mais sentido: 
pagar a dívida ou investir o dinheiro?
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
9 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Nesse caso, o que devemos fazer é aplicar a taxa de 15% como uma taxa de desconto por 
dentro sobre a dívida de R$1000.
Quando queremos saber o que fazer com o dinheiro que está nas nossas mãos, estamos 
interessados no valor atual.
Dessa maneira, o desconto por dentro incide sobre o valor atual.
Adotaremos a nomenclatura Dd para deixar claro que estamos nos referindo ao desconto 
por dentro. Podemos, então, calcular o valor atual da obrigação usando a expressão:
Podemos, ainda, calcular o desconto por dentro concedido. Particularmente, eu não con-
sidero essa uma expressão útil. Eu prefiro utilizar a ideia de que o desconto por dentro incide 
sobre o valor atual e fazer as contas com base nisso.
Diante dessa expressão, podemos explicar o problema narrado anteriormente. Se você 
pode aplicar o seu dinheiro a 15% ao ano, então, o valor atual da sua dívida será:
Dessa maneira, o valor atual da dívida para você é de R$869,57, portanto não faz sentido 
pagar por ela R$900. É melhor manter o seu dinheiro aplicado.
Vamos resumir tudo o que você precisa saber nessa parte introdutória de Desconto Simples.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
10 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Em geral, as questões fornecem o tipo de desconto, pelo qual se interessam. Porém, caso isso 
não aconteça, você deverá raciocinar e ver qual se encaixa melhor nessa situação.
005. (CETRO/METRÔ/SP/2015) Um título com valor nominal de R$2.700 foi descontado 
em uma antecipação de 5 meses, sendo beneficiado com um desconto simples racional de 
R$400. Assinale a alternativa que indica o valor mais próximo da taxa de desconto utilizada 
nessa operação:
a) 1,50%
b) 2,00%
c) 2,50%
d) 3,00%
e) 3,50%
Essa é uma questão que confunde muitos alunos. Quando o desconto é por dentro, a taxa de 
juros incide sobre o valor atual. Portanto:
Agora, calculemos a taxa de juros:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
11 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Como não é possível mais simplificar a fração, vamos fazer a conta de divisão.
Letra e.
006. (CESPE/TCE-AC/2009/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Em um supermercado, 
um cliente comprou determinado produto e, na hora de pagar, o operador do caixa registrouum valor 9% superior ao preço impresso na etiqueta do produto. Para corrigir o erro, o opera-
dor do caixa efetuou um desconto de R$ 9,81 sobre o preço registrado, de modo que o cliente 
pagasse apenas o valor impresso na etiqueta. Nessa situação, o valor em reais registrado na 
embalagem do produto era igual a:
a) 106,50
b) 109
c) 110,50
d) 112
e) 113,35
A situação descrita no enunciado pode ser representada pela seguinte figura.
Dessa maneira, temos:
Letra b.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
12 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
2.3. relAção entre DesConto por Dentro e por ForA
É muito comum questões que relacionam as duas operações de descontos simples. Por 
isso, vamos aprender algumas relações que valem apenas para o desconto simples.
2.3.1. Relação entre os Descontos Concedidos
Para uma mesma taxa de juros e o mesmo valor nominal da obrigação, vimos que:
Assim, podemos relacionar os tipos de desconto da seguinte forma:
Essa expressão pode ser útil quando se deseja relacionar os dois tipos de descontos.
007. (ESAF/AFRF/2001) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses 
antes do vencimento, é de R$800,00 a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial 
simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$960,00
b) R$666,67
c) R$973,32
d) R$640,00
e) R$800,00
Aplicação pura e direta da relação que aprendemos entre desconto simples por dentro e por fora.
Letra a.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
13 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
2.3.2. Relação entre as Taxas de Desconto
Essa é, com certeza, a expressão mais importante e cobrada.
Aqui, desejamos saber qual taxa de desconto por dentro é equivalente a uma taxa de des-
conto por fora.
Não estamos utilizando o conceito de taxas equivalentes que aprendemos em Juros Com-
postos. A ideia é descobrir quais taxas de desconto por dentro e por fora geram o mesmo 
desconto sobre o mesmo capital para o mesmo prazo de antecipação.
Denotaremos id e if como duas taxas de desconto sendo, respectivamente, por dentro e por 
fora. Já vimos que os descontos são dados por:
O próximo passo é impor que o desconto produzido seja igual em ambos os casos. Com 
isso, podemos escrever:
Podemos cortar o prazo de antecipação e o valor nominal.
A forma mais simples de resolver esse problema é invertendo a expressão encontrada:
Chegamos, portanto, a uma expressão bastante elegante. Além disso, a expressão (VII) é 
muito cobrada em provas, por isso, vale muito a pena memorizá-la.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
14 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Outra forma de utilizar essa expressão que pode ser interessante para você é isolar a taxa 
de desconto por dentro, que é a taxa efetiva (ief). Vamos também denominar a taxa de descon-
to por fora como taxa comercial (iCOM).
008. (ESAF/ATRFB/2012) Um título de R$20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu 
vencimento a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal 
de juros simples dessa operação é igual a:
a) 6,50%
b) 5,50%
c) 5,25%
d) 6,00%
e) 6,25%
A taxa efetiva é sempre calculada por dentro. Podemos utilizar a expressão que aprendemos 
para a relação entre taxa por dentro e taxa por fora.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
15 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Outra maneira de resolver o problema é calcular o valor atual da operação. Como foi feito um 
desconto por fora, temos:
Por fim, precisamos nos lembrar de que a taxa efetiva é sempre calculada por dentro, por isso, 
incide sobre o valor atual.
Letra e.
2.3.3. Desconto Bancário e Taxa Efetiva
Numa operação corriqueira de desconto, é natural que, além dos juros, outros fatores se 
envolvam. Por exemplo:
• taxas de administração;
• taxas bancárias;
• impostos;
• seguros.
Todos esses fatores são levados em conta quando se calculam o desconto bancário e a 
taxa efetiva de desconto.
Aqui, não há muito o que saber. O desconto bancário é sempre calculado por fora.
Já a taxa efetiva de uma operação de desconto é aquela pela qual o indivíduo deve se ba-
sear para fazer sua alocação de recursos. Ela deve ser calculada sempre em relação ao valor 
que o indivíduo tem na mão, ou seja, o valor atual.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
16 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Sendo assim, a taxa efetiva é sempre calculada por dentro, mesmo que a operação seja de 
desconto comercial.
Desse modo, a taxa efetiva de um empréstimo é calculada a partir da relação entre o valor 
total pago e o valor líquido recebido, levando em consideração todas as taxas incorridas no 
financiamento a qualquer tipo, independentemente de terem sido cobradas pelo banco ou não.
Suponha, por exemplo, que você contratou um empréstimo de R$10.000 a juros de 1% ao 
mês pelo período de 1 mês. Além dos juros, nessa operação incidem:
• R$50 de taxa de administração cobrada no momento do recebimento do empréstimo;
• R$100 de imposto financeiro cobrado no momento do recebimento do empréstimo;
Nessa situação, a taxa de juros nominal do financiamento seria simplesmente a taxa de 1% 
ao mês, que é alegada pelo banco.
Porém, a taxa efetiva leva em consideração todos os custos que você teve ao tomar esse 
dinheiro emprestado. O valor líquido efetivamente recebido foi:
Esse cálculo significa que, embora, você tenha contraído uma dívida de R$10.000, a quan-
tia que você efetivamente recebeu do banco foi R$9.850. Em contrapartida, os juros são incor-
ridos sobre toda a dívida adquirida. Assim, o valor total pago é:
Desse modo, a taxa de juros efetiva envolvida no empréstimo é:
Como o prazo do empréstimo foi de apenas 1 mês, n = 1.
Nessa situação, o custo efetivo do empréstimo para você foi bem superior à taxa de juros 
nominal cobrada pelo banco. Enquanto os juros nominais foram de 1% ao mês, os juros efeti-
vos foram de 2,5% ao mês.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
17 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
ThiagoCardoso
Por isso, preste muito atenção quando você for fazer o financiamento. O banco sempre vai 
te falar sobre a taxa de juros nominal, tentando fazer os juros efetivos passarem despercebi-
dos. Pergunte sobre eles.
E, agora, vamos resolver uma questão de prova para treinar esse conceito?
009. (CFC/2020.2) Precisando de capital de giro, a empresa Trotsi contratou em uma institui-
ção financeira um empréstimo de R$65.000,00, a ser quitado por meio de um único pagamento 
de R$68.500,00 no prazo de um mês. No ato da contratação, foi paga uma tarifa de serviço 
bancário de 1,5% cobrada sobre o valor do empréstimo. Considerando tais informações dadas, 
qual é a taxa de juros nominal e a taxa de juros efetiva, respectivamente, cobrada por este 
empréstimo?
a) 1,5% a.m. e 5,38% a.m.
b) 5,38% a.m. e 6,99% a.m.
c) 5,47% a.m. e 6,88% a.m.
d) 5,51% a.m. e 7,03% a.m.
Essa é uma questão muito instrutiva sobre a diferença entre juros nominais e juros efetivos.
Os juros nominais desconsideram os custos adicionais incorridos pela empresa, portanto eles 
desconsideram a tarifa de serviço bancário. Eles podem ser calculados diretamente pela rela-
ção entre o pagamento e o empréstimo tomado.
A taxa nominal, por sua vez, pode ser obtida como a relação entre os juros nominais e o capital 
tomado emprestado.
Por sua vez, os juros efetivos consideram todos os custos incorridos pela empresa, incluindo 
as taxas de serviço. A empresa adquiriu um empréstimo de R$65.000, porém, no ato da contra-
tação, já teve que pagar uma tarifa de serviço bancário. Essa tarifa é abatida do valor líquido 
que ela recebeu em sua conta.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
18 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Os juros efetivos cobrados na operação correspondem a todos os custos incorridos pela em-
presa, isto é, à diferença entre a quantia paga e a quantia efetivamente recebida.
A taxa de juros efetiva é, portanto:
Letra b.
3. DesConto Composto
O desconto composto tem os mesmos conceitos do desconto simples. A única diferença 
é que utiliza o regime de capitalização composta.
3.1. DesConto Composto por ForA
Esse tipo de desconto é bem comum na prática e também aparece com alguma frequência 
em questões de prova. Por isso, precisamos saber.
Como já falamos na Seção 2.1, o desconto comercial simples é utilizado nas operações do 
dia a dia, como compras no varejo, justamente por sua simplicidade.
A primeira vez que tive contato com esse tipo de desconto foi na minha primeira viagem a 
Orlando. Nos outlets, é relativamente comum a seguinte situação.
• Determinados produtos estão com um certo desconto próprio deles.
• A loja inteira tem um desconto global a ser aplicado em todos os produtos.
• Você pode comprar cupons de desconto válidos para o outlet inteiro.
• Em muitas lojas, você ainda pode chorar um desconto à vista – o que é mais fácil de 
conseguir se você mostrar o passaporte brasileiro.
Perceba que, no âmbito da Contabilidade, apenas o último desconto é caracterizado como 
desconto condicional. Todos os demais são descontos incondicionais, ou seja, não têm a ver 
com o preço do dinheiro no tempo.
Porém, os vendedores de Orlando aplicam muito bem o conceito de desconto composto. 
Por exemplo, certa vez eu comprei um relógio, cujo preço na etiqueta era de US$199. Esse re-
lógio possuía os seguintes descontos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
19 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
• 20% de desconto sobre o preço do relógio, dado que a peça estava em promoção;
• 30% de desconto em toda a loja em comemoração do aniversário da franquia em Orlan-
do;
• 20% de desconto de um cupom que compramos válido em todas as lojas do outlet;
• 10% de desconto pelo passaporte brasileiro.
Qual foi o preço final do relógio?
Figura 2: Aplicação do Desconto Comercial Composto sobre o Preço de um Relógio
O desconto composto segue a mesma lógica dos juros compostos. Desse modo, quando 
vários descontos são fornecidos seguidamente, o valor do desconto deve ser calculado em 
cima do preço obtido anteriormente, e não sobre o preço inicial de $199.
Podemos, ainda, calcular o desconto total recebido:
A taxa de desconto global pode ser calculada usando o conceito de Taxa Equivalente:
Observe que essa taxa de desconto equivalente que acabamos de calcular corresponde à 
divisão entre o desconto total recebido na compra e o preço de etiqueta do relógio:
Entendeu essa lógica?
No caso de desconto simples, todos os descontos incidiriam sobre o preço inicial – no 
caso, US$199. O desconto obtido seria bem maior.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
20 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
No entanto, assim como explicamos no capítulo sobre Juros Simples, o conceito de Des-
conto Composto decorre de um princípio natural de crescimento das populações.
Por exemplo, por que a loja concede um desconto de 10% à vista? Porque, para ela, o di-
nheiro tem um preço no tempo. É melhor receber o pagamento à vista do que receber o mesmo 
pagamento no futuro.
Se ela não desse o desconto para pagamento à vista, ela receberia o valor de $89,51. Por 
isso, a loja deve raciocinar em cima de $89,51 e aplicar os 10% de desconto sobre esse valor.
Na ótica do lojista, é melhor oferecer um desconto de 10% sobre $89,51 e receber hoje do 
que receber no futuro.
Esse cálculo ficaria completamente comprometido se a loja tivesse que usar Descon-
to Simples.
Bom, agora que você já entendeu a lógica do Desconto Composto, vamos mostrar para 
você a expressão que resolve todos os problemas da sua prova. O valor atual de um título após 
aplicado um desconto composto por fora é:
Recomendamos que essa seja a única expressão que você memorize a respeito do des-
conto composto por fora. O valor do desconto pode ser obtido como a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual.
Você até poderia deduzir uma expressão para calcular o desconto por fora, mas ela não 
seria elegante. E, por isso, daria muito trabalho para decorar. É melhor, portanto, usar a lógica 
para calcular o desconto e memorizar apenas a expressão do valor atual.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
21 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
010. (FGV/ISS/CUIABÁ/2016/AFTM) Suponha um título de R$ 2.000,00, cujo prazo de ven-
cimento é de 60 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do desconto 
composto será igual a:
a) R$40,00
b) R$39,80
c) R$39,95
d) R$38,80
e) R$20,00
No caso de desconto composto por fora, o valor atual é calculado por:
Letra b.
011. (FGV/COMPESA/2014/ANALISTA DE GESTÃO/ECONOMIA) Seja um título de R$100,00, 
cujo prazo de vencimento é de 2 meses. Supondo que a taxa de desconto“por fora” é de 10% 
ao mês. Assinale a opção que indica o valor do desconto composto.
a) R$0,81
b) R$3,96
c) R$12,00
d) R$15,00
e) R$19,00
Questão bem direta. Basta aplicar a expressão do desconto composto por fora para calcular-
mos, em primeiro momento, o valor atual.
De posse do valor atual, podemos calcular o desconto que incidiu sobre a operação.
Letra e.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
22 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
3.2. DesConto Composto por Dentro
Esse é o tipo de desconto mais importante, tanto para a sua prova como para a sua vida.
O desconto racional composto deve ser utilizado na decisão de alocação de recursos que 
tem por base os juros compostos.
Por isso também, esse será o descontado utilizado para calcular o importantíssimo Fluxo 
de Caixa Descontado, assunto que será explorado nas Aulas de Amortização, Rendas e Inves-
timentos, caso o seu edital preveja tais assuntos.
Como já explicamos na Seção sobre Desconto Racional Simples, o desconto racional pro-
cura calcular qual o valor atual que deveria ser investido hoje para resultar no valor nominal 
desejado no futuro.
Vejamos um exemplo de como isso funciona.
Suponha que você tenha uma dívida no valor de R$1.000 a vencer daqui a 2 anos. O banco 
lhe fez uma proposta para que você quite esse valor por R$800 hoje.
Você passou no concurso público dos seus sonhos e já tem os R$800, mas você tem a 
opção de investi-los a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.
Desse ponto de vista, vale a pena quitar a dívida logo ou investir o dinheiro?
Para isso, você deve calcular o valor atual da sua dívida (R$1.000) do seu ponto de vista. 
Assim, você deve aplicar um desconto composto a uma taxa de 10% ao ano.
Isso é que se chama de trazer a dívida a valor presente, como ilustrado na Figura 3. É muito 
importante que você aprenda esse cálculo, pois você precisará dele nos capítulos mais avan-
çados da Matemática Financeira.
Figura 3: Cálculo do Valor Presente
Da ótica do desconto composto, o valor atual é aquele que produziria o montante de R$1000 
caso fosse aplicado a uma taxa de juros compostos 10% ao ano por 2 anos. Portanto, temos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
23 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Portanto, o valor atual da sua dívida é de R$826,45. Se o banco te oferece para pagar 
R$800, vale a pena pagá-la.
Você acabou de ver a expressão do valor atual para o desconto racional composto. Para 
fins de fixação, vamos repeti-la.
Da mesma maneira que foi falado na Seção 3.1, não vale a pena deduzir e decorar uma 
expressão para o valor do desconto. É muito melhor você aprender a expressão do valor atual 
e obter o valor do desconto por lógica.
3.2.1. O que Fazer se a Questão Não Informar o Tipo de Desconto?
Em geral, as questões informam o tipo de desconto que você deve utilizar. Porém, se isso 
não acontecer, há algumas regras importantes:
se for uma operação comercial, use o desconto comercial simples, que é o mais utilizado 
no dia a dia;
se for uma decisão de investimentos, use o desconto racional composto;
se o enunciado pedir a taxa efetiva, use sempre o desconto racional composto.
Além disso, há casos em que a questão fala apenas que vai utilizar desconto simples ou 
desconto composto. Nessas situações, prefira utilizar o desconto comercial simples e o des-
conto racional composto, respectivamente.
012. (FCC/SABESP/2014/ANALISTA DE GESTÃO/ADMINISTRAÇÃO) Um título será des-
contado em um banco 4 meses antes de seu vencimento. Se for utilizada a operação de des-
conto racional simples, a uma taxa de desconto de 24% ao ano, então o valor atual do título 
será de R$ 30.000,00. Se for utilizada a operação de desconto comercial simples, também a 
uma taxa de desconto de 24% ao ano, o correspondente valor do desconto será, em R$, de:
a) 2.592,00
b) 2.890,00
c) 2.658,00
d) 2.756,00
e) 2.600,00
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
24 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Como a taxa de desconto está em % ao ano e o prazo de desconto está em meses, devemos, 
primeiramente, transformar a taxa em meses.
O valor atual foi fornecido (R$30.000). Podemos obter o valor nominal do título aplicando a 
fórmula do desconto racional simples.
Por fim, podemos calcular o desconto por fora que incidiria sobre esse valor nominal.
Letra a.
013. (CESPE/EBSERH/2018/TÉCNICO EM CONTABILIDADE) Se um título com valor nomi-
nal de R$ 120.000 for descontado dois meses antes da data de vencimento, à taxa de juros 
compostos de 6% ao mês, essa operação resultará em um valor atual superior a R$ 106.000.
Como o enunciado não especificou o tipo de desconto, falou apenas que era composto, vamos 
utilizar o desconto racional composto. O valor atual é dado pela expressão:
Agora, basta fazer as contas:
Portanto, o valor atual realmente é superior a R$106.000.
Certo.
014. (FGV/SEFAZ-RJ/2011/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) O valor do desconto 
racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 25.000,00, se o prazo de vencimento é 
de 2 anos e a taxa de desconto é de 25% ao ano, é:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
25 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
a) R$ 6.500,00.
b) R$ 5.875,50.
c) R$ 7.247,50.
d) R$ 7.500,00.
e) R$ 9.000,00.
Mais uma vez, nas questões de desconto composto, devemos calcular o valor atual do título 
pelas fórmulas que conhecemos.
Essa conta pode ser feita de maneira relativamente simples:
Por fim, podemos extrair o valor do desconto:
Letra e.
3.3. relAção entre tAxAs De DesConto Composto por Dentro e por 
ForA
Essa é uma expressão bastante útil, pois permite o cálculo da taxa efetiva, que é sempre 
feito por dentro.
Assim como fizemos anteriormente para Descontos Simples, precisamos obter a taxa de 
desconto por dentro que produziria o mesmo valor atual para o mesmo valor nominal com o 
mesmo prazo de antecipação.
Devemos igualar os dois valores atuais:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
26 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Observe que podemos tirar a raiz de índice t:
Podemos dividir por ifid para obter uma expressão elegante e muito parecida com a que foi 
encontrada na Seção de Relação entre as Taxas de Desconto.
O fato de termos encontrado uma expressão muito parecida com a que foi encontrada 
para Desconto Simples faz que os alunos se confundama respeito delas. Por isso, tenha em 
mente que:
Analogamente ao que fizemos com Descontos Simples, também podemos isolar a taxa 
por dentro, que é a taxa efetiva (ief). Também podemos chamar a taxa por fora de taxa comer-
cial (iCOM).
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
27 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
015. (CESPE/ABIN/2010/AGENTE TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/CONTABILIDADE) Consi-
derando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 meses 
antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial composto (por fora) 
é de 5% ao mês, julgue o item subsequente.
A taxa efetiva mensal dessa operação foi inferior a 6%.
Basta aplicar a expressão que conhecemos e nos lembrarmos de que a taxa efetiva é sempre 
calculada por dentro.
Essa questão confundiu muita gente que tentou usar a expressão da relação entre taxas de 
desconto por dentro e por fora para juros simples. Portanto, vamos repetir para que você fixe.
Certo.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
28 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
016. (FCC/TRF-3ª REGIÃO/2016/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTADORIA) Um título de valor 
nominal igual a R$ 18.522,00 vencerá daqui a 3 trimestres. Sabe-se que ele será resgatado 
antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros 
de 5% ao trimestre.
Supondo-se que a primeira opção será resgatar o título 2 trimestres antes do vencimento e a 
segunda opção será resgatar o título 1 trimestre antes do vencimento, o valor de resgate do 
título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título referente à primeira op-
ção, em R$, em
Dados: 1,052 = 1,102500 e 1,053 = 1,157625
a) 926,10
b) 882,00
c) 900,00
d) 800,00
e) 840,00
O valor do resgate é o valor atual e é calculado pela expressão do desconto racional composto.
Caso o título seja antecipado por dois trimestres, teremos:
Por outro lado, caso o título seja antecipado por um trimestre apenas, teremos que o valor a 
ser resgatado é:
Portanto, se o detentor do título esperar um trimestre a mais, ele receberá uma diferença de:
Letra e.
4. ApliCAções De renDA FixA
Esse é um assunto que vem sendo cada vez mais explorado em provas. Mas, de qualquer 
modo, pode ser extremamente relevante para a sua vida quando você passar em um concur-
so público.
Uma aplicação de Renda Fixa é, normalmente, um contrato de empréstimo em que o inves-
tidor empresta dinheiro a um banco ou ao governo.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
29 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Nesse bloco, eu vou ensinar para você o básico sobre as principais aplicações da Renda 
Fixa. A começar pelo conceito.
Um título é de Renda Fixa quando a lei de formação de seus valores futuros é conhecida.
Essa definição é válida, ainda que não seja possível calcular com base em informações 
disponíveis atualmente.
No caso de uma ação, não existe uma lei de formação dos preços futuros. O preço de uma 
ação oscila ao sabor da oferta e da demanda.
O mesmo não acontece com um título de renda fixa. Existe uma lei de formação. O que 
pode acontecer é que tal lei de formação pode ser escrita em função de indicadores que serão 
estudados mais adiante.
4.1. títulos pós-FixADos
São os títulos mais fáceis de trabalhar e também são os mais comuns em bancos. São os 
CDB pós-fixados e o Tesouro Selic, no caso da dívida do governo brasileiro.
Esses títulos são atrelados a um indicador de referência. No caso de um CDB, esse indica-
dor é a taxa de juros CDI. Já, no Tesouro Selic, é a própria taxa Selic.
A taxa Selic e o CDB são obtidos como uma média das taxas de juros cobradas nas opera-
ções interbancárias. A forma de cálculo está fora do escopo desta aula. Porém, é importante 
você saber que essas taxas são mensuradas a cada dia útil.
Os preços dos títulos pós-fixados são atualizados diariamente pelo acumulado da taxa 
Selic naquele dia.
Para facilitar o seu entendimento, suponha que você tenha investido R$1.000 em Tesouro 
Selic em janeiro de 2017 quando a taxa Selic era de 10% ao ano. Depois de um ano, a taxa Selic 
foi reduzida 7% ao ano. Quanto você terá em janeiro de 2019?
Nesse caso, a conta é bem simples de fazer. Basta fazer duas operações de juros compostos.
Um fato interessante a se notar sobre os títulos pós-fixados é que, considerando que a taxa 
Selic seja sempre positiva, o valor desses títulos é sempre crescente.
4.2. títulos pré-FixADos
Os títulos pré-fixados possuem um valor nominal fixo na sua data de vencimento.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
30 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
No Brasil, o título pré-fixado mais conhecido é o Tesouro Pré-Fixado, que é um título da dí-
vida da União. Você pode obter mais informações sobre como investir nos títulos da dívida da 
União no site: http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro-direto
O Tesouro Pré-fixado é um vale R$1.000 na sua data de vencimento. Por exemplo, no mo-
mento em que eu escrevia esse artigo:
Tomemos como exemplo o Tesouro Pré-Fixado 2020. Esse título tem vencimento no dia 1º 
de janeiro de 2023. Nessa data, ele valerá exatamente R$1.000.
Eu escrevo este material no dia 15 de dezembro de 2020. Entre as duas datas citadas, há 
um espaço de 747 dias. Portanto, usando a convenção de dias comerciais, podemos calcular 
o valor presente desse título:
Esse valor corresponde ao preço unitário – houve pequenas diferenças, porque o governo 
utiliza a convenção de dias úteis (252 dias úteis por ano), enquanto nós utilizamos a conven-
ção de dias exatos.
Observe que a taxa de juros influencia diretamente o valor atual de um título pré-fixado. De 
maneira geral, podemos escrever que o preço de um título pré-fixado será:
Na expressão anterior, o tempo a ser utilizado é o tempo que falta para o vencimento 
do título.
Desse modo, quando a taxa de juros aumenta, o denominador aumenta, portanto o preço 
do título diminui. Analogamente, quando a taxa de juros diminuir, o denominador diminuir, por-
tanto, o preço do título aumentará.
Como exemplo, o que aconteceria com o preço do Tesouro Pré-fixado 2020, caso a taxa de 
juros no dia 1º de janeiro de 2018 fosse aumentada para 10% ao ano? E o que aconteceria se 
essa taxa fosse reduzida para 5% ao ano?
Na primeira hipótese, teríamos o seu valor dado por:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro-direto31 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Nessa situação, o investidor teria, inclusive, um pequeno prejuízo, pois investiu R$849,73.
Por outro lado, se a taxa fosse reduzida para 5%, teríamos:
Nesse caso, o investidor embolsaria um baita lucro de 6,7% em poucos dias (entre 11 de 
dezembro e 1º de janeiro do ano seguinte) devido unicamente à redução na taxa de juros que 
aconteceu no período.
Isso explica um dos fenômenos mais curiosos do mercado financeiro. Atualmente, vários 
países têm oferecido taxas de juros muito baixas ou mesmo negativas para os investidores 
que desejam comprar seus títulos públicos. É o caso, por exemplo, da Alemanha.
Figura 11: Taxa de Juros na Alemanha
O que faria um investidor comprar um título sabendo que ele paga juros negativos, ou seja, 
que ele literalmente teria de pagar para emprestar dinheiro ao governo alemão.
Simples. Os investidores observam o gráfico da Figura 11 e esperam que o governo alemão 
continue baixando as taxas de juros. Assim, eles poderão vender seus títulos pré-fixados no 
futuro a um preço mais alto.
4.3. títulos mistos
São títulos compostos por uma parte do rendimento pré-fixada e outra parte pós-fixada.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
32 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
A parte pós-fixada é geralmente um fator de correção, sendo o mais comum no Brasil o 
IPCA, índice que mede a inflação.
Quando você compra um Tesouro IPCA+, ele te garante uma rentabilidade real, ou seja, um 
rendimento acima da inflação.
Por exemplo, suponha que você investiu R$1.000 em Tesouro IPCA+ com um rendimento 
real de 6% ao ano em janeiro de 20X com vencimento em janeiro de 20X+1. A inflação acumula-
da entre janeiro de 20X e janeiro de 20X+1 foi de 5% ao ano. Nesse caso, quanto você receberá?
Calculemos, em primeiro lugar, o seu montante real.
Façamos o cálculo do montante aparente que corresponde ao valor que você vai sacar.
Dessa maneira, você sacará o montante de R$1.113, o que lhe garantiu um retorno nominal 
de 11,3%. Porém, esse montante corresponde a um ganho real de 6%, que foi exatamente o que 
foi combinado.
Os títulos de Renda Fixa protegidos contra a inflação são teoricamente as melhores op-
ções para você preservar o seu poder de compra.
017. (CESPE/TCE-PE/2017/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) Se a expectativa de mercado 
for de queda da taxa de juros, então o preço de mercado de um título de renda fixa sem cupom 
deverá aumentar em resposta à queda dos juros.
Os títulos públicos pré-fixados possuem uma dinâmica de preço que é influenciada diretamen-
te pelos juros em circulação. O valor atual de um título pré-fixado é dado por:
Portanto, quando a taxa de juros diminui, o denominador aumenta e, em resposta, o valor atual 
do título cresce. Ocorre, portanto, valorização do título.
Algumas pessoas não concordaram com o gabarito oficial do CESPE, pois alegaram que os 
títulos pós-fixados não seguem tal dinâmica.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
33 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
De fato, um título pós-fixado é atualizado diariamente pela taxa de juros e, portanto, não sofre 
nenhuma mudança imediata de valor. Porém, há duas coisas que podemos comentar para de-
fender o gabarito oficial do CESPE.
A primeira é que o enunciado não fala em “todos os títulos”, portanto, se conseguimos identi-
ficar uma classe relevante de títulos que segue o padrão proposto, o enunciado está correto.
A segunda é que não adianta discutir assuntos de Português com um professor de Matemáti-
ca. Infelizmente, muitas questões não são elaboradas da melhor maneira. O ideal nessa ques-
tão realmente seria especificar que se trata de títulos pré-fixados.
Certo.
018. (INÉDITA/2021) Um cliente procurou um consultor de investimentos. Ele gostaria de uma 
aplicação de Renda Fixa que lhe assegurasse que ele não perderia dinheiro no caso de aumen-
to da taxa de juros. Nesse caso, o consultor lhe deverá indicar títulos pré-fixados.
Os títulos pré-fixados oscilam ao dissabor das taxas de juros – quanto as taxas decrescem, os 
preços desses títulos aumentam. Portanto, esses títulos não são bons para clientes que não 
podem lidar com esse risco de investimentos.
A opção mais adequada para o cliente são títulos pós-fixados, pois estes têm seu valor cres-
cente, desde que a taxa de juros seja sempre positiva.
Errado.
019. (INÉDITA/2021) Os preços dos títulos pré-fixados de prazo de vencimento mais longo 
são mais susceptíveis às oscilações nas taxas de juros do que os preços de títulos pré-fixados 
de prazo de vencimento mais curto.
Devemos nos lembrar da expressão do preço de um título pré-fixado.
Observe que, quanto maior o tempo que falta para o vencimento do título, maior será a influên-
cia da taxa de juros sobre o seu valor. Portanto, a afirmativa está correta.
Certo.
020. (ESAF/CVM/2010/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS) Um investidor fez uma apli-
cação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de 
juros simples de 18% ao ano. O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, 
no início, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título 
nesse prazo?
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
34 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
a) 8,5%
b) 7,7%
c) 8%
d) 7,844%
e) 8,68%
A questão foi imprecisa. Na verdade, o termo corretora não era “rentabilidade pós-fixada”, mas, 
sim, “rentabilidade real de 18% ao ano”. No entanto, entendemos que se trata de um título mis-
to, porque a questão informou o índice de correção a ser aplicado a ele.
Calculemos o ganho real que é dado pela taxa de rentabilidade real de 18% ao ano por um 
prazo de 3 meses. Para isso, devemos lembrar que 1 ano possui 12 meses; portanto, devemos 
dividir a taxa por 12.
Vamos aplicar o índice de correção. Devemos entender o índice de correção como um fator de 
proporcionalidade entre o montante aparente e o real.
Assim, podemos calcular os juros recebidos:
Por fim, a rentabilidade é a razão entre os juros recebidos e o capital aplicado.
Eu gostaria de explicar um pouco mais sobre esse índice de correção que foi aplicado na ques-
tão. Quando tomamos a razão entre eles, temos a taxa de correção:
Por exemplo, se o índice em questão for o IPCA, temos que a taxa de inflação acumulada é de 4%.
Letra e.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
35 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
QUESTÕES COMENTADAS EM AULA
001. (FGV/ISS/CUIABÁ/2016/AFTM) Suponha um título de R$ 500,00, cujo prazo de venci-
mento se encerra em 45 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do 
desconto simplesserá igual a:
a) R$7,00
b) R$7,50
c) R$7,52
d) R$10,00
e) R$12,50
002. (CESPE/ABIN/2010/AGENTE TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/CONTABILIDADE) Consi-
derando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 meses 
antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial simples (por fora) é 
de 5% ao mês, julgue o item subsequente.
O valor recebido (valor descontado) foi inferior a R$ 3.800,00.
003. (ESAF/SMF-RJ/2010/FISCAL DE RENDAS) Um título sofre um desconto simples por 
fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% 
ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título?
a) R$ 22.500,00
b) R$ 25.000,00
c) R$ 17.500,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 27.500,00
004. (CESPE/CAIXA/2010/TÉCNICO BANCÁRIO) Se, ao descontar uma promissória com 
valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa 
operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a
a) 5%
b) 6%
c) 7%
d) 8%
e) 9%
005. (CETRO/METRÔ/SP/2015) Um título com valor nominal de R$2.700 foi descontado 
em uma antecipação de 5 meses, sendo beneficiado com um desconto simples racional de 
R$400. Assinale a alternativa que indica o valor mais próximo da taxa de desconto utilizada 
nessa operação:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
36 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
a) 1,50%
b) 2,00%
c) 2,50%
d) 3,00%
e) 3,50%
006. (CESPE/TCE-AC/2009/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Em um supermercado, 
um cliente comprou determinado produto e, na hora de pagar, o operador do caixa registrou 
um valor 9% superior ao preço impresso na etiqueta do produto. Para corrigir o erro, o opera-
dor do caixa efetuou um desconto de R$ 9,81 sobre o preço registrado, de modo que o cliente 
pagasse apenas o valor impresso na etiqueta. Nessa situação, o valor em reais registrado na 
embalagem do produto era igual a:
a) 106,50
b) 109
c) 110,50
d) 112
e) 113,35
007. (ESAF/AFRF/2001) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses 
antes do vencimento, é de R$800,00 a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial 
simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$960,00
b) R$666,67
c) R$973,32
d) R$640,00
e) R$800,00
008. (ESAF/ATRFB/2012) Um título de R$20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu 
vencimento a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal 
de juros simples dessa operação é igual a:
a) 6,50%
b) 5,50%
c) 5,25%
d) 6,00%
e) 6,25%
009. (CFC/2020.2) Precisando de capital de giro, a empresa Trotsi contratou em uma institui-
ção financeira um empréstimo de R$65.000,00, a ser quitado por meio de um único pagamento 
de R$68.500,00 no prazo de um mês. No ato da contratação, foi paga uma tarifa de serviço 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
37 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
bancário de 1,5% cobrada sobre o valor do empréstimo. Considerando tais informações dadas, 
qual é a taxa de juros nominal e a taxa de juros efetiva, respectivamente, cobrada por este 
empréstimo?
a) 1,5% a.m. e 5,38% a.m.
b) 5,38% a.m. e 6,99% a.m.
c) 5,47% a.m. e 6,88% a.m.
d) 5,51% a.m. e 7,03% a.m.
010. (FGV/ISS/CUIABÁ/2016/AFTM) Suponha um título de R$ 2.000,00, cujo prazo de ven-
cimento é de 60 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do desconto 
composto será igual a:
a) R$40,00
b) R$39,80
c) R$39,95
d) R$38,80
e) R$20,00
011. (FGV/COMPESA/2014/ANALISTA DE GESTÃO/ECONOMIA) Seja um título de R$100,00, 
cujo prazo de vencimento é de 2 meses. Supondo que a taxa de desconto “por fora” é de 10% 
ao mês. Assinale a opção que indica o valor do desconto composto.
a) R$0,81
b) R$3,96
c) R$12,00
d) R$15,00
e) R$19,00
012. (FCC/SABESP/2014/ANALISTA DE GESTÃO/ADMINISTRAÇÃO) Um título será des-
contado em um banco 4 meses antes de seu vencimento. Se for utilizada a operação de des-
conto racional simples, a uma taxa de desconto de 24% ao ano, então o valor atual do título 
será de R$ 30.000,00. Se for utilizada a operação de desconto comercial simples, também a 
uma taxa de desconto de 24% ao ano, o correspondente valor do desconto será, em R$, de:
a) 2.592,00
b) 2.890,00
c) 2.658,00
d) 2.756,00
e) 2.600,00
013. (CESPE/EBSERH/2018/TÉCNICO EM CONTABILIDADE) Se um título com valor nomi-
nal de R$ 120.000 for descontado dois meses antes da data de vencimento, à taxa de juros 
compostos de 6% ao mês, essa operação resultará em um valor atual superior a R$ 106.000.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
38 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
014. (FGV/SEFAZ-RJ/2011/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) O valor do desconto 
racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 25.000,00, se o prazo de vencimento é 
de 2 anos e a taxa de desconto é de 25% ao ano, é:
a) R$ 6.500,00.
b) R$ 5.875,50.
c) R$ 7.247,50.
d) R$ 7.500,00.
e) R$ 9.000,00.
015. (CESPE/ABIN/2010/AGENTE TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/CONTABILIDADE) Consi-
derando que uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 tenha sido descontada 5 meses 
antes do seu vencimento, em um banco cuja taxa de desconto comercial composto (por fora) 
é de 5% ao mês, julgue o item subsequente.
A taxa efetiva mensal dessa operação foi inferior a 6%.
016. (FCC/TRF-3ª REGIÃO/2016/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTADORIA) Um título de valor 
nominal igual a R$ 18.522,00 vencerá daqui a 3 trimestres. Sabe-se que ele será resgatado 
antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros 
de 5% ao trimestre.
Supondo-se que a primeira opção será resgatar o título 2 trimestres antes do vencimento e a 
segunda opção será resgatar o título 1 trimestre antes do vencimento, o valor de resgate do 
título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título referente à primeira op-
ção, em R$, em
Dados: 1,052 = 1,102500 e 1,053 = 1,157625
a) 926,10
b) 882,00
c) 900,00
d) 800,00
e) 840,00
017. (CESPE/TCE/PE/2017/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) Se a expectativa de mercado 
for de queda da taxa de juros, então o preço de mercado de um título de renda fixa sem cupom 
deverá aumentar em resposta à queda dos juros.
018. (INÉDITA/2021) Um cliente procurou um consultor de investimentos. Ele gostaria de uma 
aplicação de Renda Fixa que lhe assegurasse que ele não perderia dinheiro no caso de aumen-
to da taxa de juros. Nesse caso, o consultor lhe deverá indicar títulos pré-fixados.
019. (INÉDITA/2021) Os preços dos títulos pré-fixados de prazo de vencimento mais longo 
são mais susceptíveis às oscilações nas taxas de juros do que os preços de títulos pré-fixados 
de prazo de vencimento mais curto.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
39 de 94www.grancursosonline.com.brDescontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
020. (ESAF/CVM/2010/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS) Um investidor fez uma apli-
cação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de 
juros simples de 18% ao ano. O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, 
no início, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título 
nesse prazo?
a) 8,5%
b) 7,7%
c) 8%
d) 7,844%
e) 8,68%
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
40 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
QUESTÕES DE CONCURSO
021. (FGV/PREFEITURA DE RECIFE-PE/2014/AUDITOR DO TESOURO MUNICIPAL) Supo-
nha um título com valor de R$ 100,00, cujo prazo de vencimento é de 2 meses. Assuma que a 
taxa de desconto “por fora” seja igual a 5% ao mês. O valor presente do título e o valor do des-
conto sob o regime de juros compostos são (em R$), respectivamente, de
a) 90 e 10.
b) 90,25 e 9,75.
c) 85,74 e 14,26.
d) 95 e 5.
e) 105 e-5.
Para encontrar o valor presente do título, podemos utilizar a fórmula:
A partir desta fórmula, possuímos os seguintes parâmetros:
Substituindo valores, temos:
Para encontrarmos o valor do desconto por fora, utilizamos a fórmula:
Letra b.
022. (FGV/ISS/NITERÓI/2015/CONTADOR) Um título de valor de face de R$ 15.000,00, com 
vencimento para 90 dias, foi descontado – desconto simples por fora ou desconto comercial 
– à taxa de desconto de 60% ao ano.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
41 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
O valor do desconto, em reais, foi:
a) 1.500
b) 1.750
c) 2.000
d) 2.250
e) 2.500
Infelizmente, muitas vezes, as questões são ambíguas e não especificam qual o tipo de des-
conto que se deve utilizar. Minha recomendação é que, quando se tratar de uma decisão de 
investimentos, você utilize o desconto racional composto.
Por outro lado, quando se tratar de uma operação bancária, descontos de duplicatas, use o 
comercial simples. É o caso dessa questão.
Transformemos a taxa anual em mensal.
Por fim, calcularemos o desconto por fora.
Letra d.
023. (CESPE/TCE-AC/2009/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Um título com valor no-
minal de R$ 1.000,00 foi resgatado 8 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto 
comercial simples de 6,4% ao mês. O valor do desconto obtido foi aplicado em um fundo de 
investimentos, remunerado sob uma taxa de juros compostos, capitalizados mensalmente, de 
modo que, 3 meses após a aplicação, o montante igualou-se ao valor nominal do título.
Nessa situação, sabendo-se que 83 = 512, é correto afirmar que a taxa mensal de juros usada 
pelo fundo de investimentos foi igual a:
a) 25%
b) 32%
c) 41,2%
d) 46,2%
e) 150%
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
42 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Obtenhamos, primeiramente, o valor do desconto comercial simples obtido:
Esse desconto foi aplicado a uma taxa de juros compostos e produziu o montante de R$1.000 
após três meses. Assim, podemos escrever que:
Letra a.
024. (CESPE/SEFAZ-RS/2018/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) No regime de ju-
ros simples, um título com valor nominal de R$ 38.290,20 vence em 6 meses. A taxa de juros 
usada na negociação é de 24% ao ano e o resgate do título será feito dois meses antes de seu 
vencimento.
Considerando o desconto racional, assinale a opção correspondente ao cálculo correto do va-
lor a ser resgatado nessa situação.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
43 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Lembre-se de que o desconto racional é calculado como uma razão. Então, para a modalidade 
de desconto racional simples, podemos utilizar a seguinte expressão:
Para esta expressão, temos os seguintes parâmetros conhecidos:
Devemos transformar a taxa anual para mensal por meio de uma proporção direta, dada por:
Pelo sentido das setas, temos a seguinte equação:
A taxa de juros da negociação vale a.m.
Substituindo valores na expressão (I), temos:
Letra c.
025. (FCC/METRÔ-SP/2019/ANALISTA DE DESENVOLVIMENTO GESTÃO JÚNIOR/CIÊN-
CIAS CONTÁBEIS) A Cia. Alpha possui um título de valor nominal de R$ 50.000,00 vencível em 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
44 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
1 ano e decide liquidá-lo 3 meses antes de seu vencimento. Sendo a taxa nominal de juros de 
10,25% ao bimestre, o valor do desconto racional e o valor descontado dessa operação, são, 
respectivamente, em reais:
a) 6.663,06 e 43.336,94.
b) 7.500,00 e 42.000,00.
c) 7.687,50 e 42.312,50.
d) 11.759,08 e 38.240,92.
e) 6.521,74 e 43.478,26.
O problema nos indica se tratar de um desconto racional simples. Para casos assim, temos as 
seguintes fórmulas:
Vale notar que não é necessário calcular as duas expressões. Podemos somente calcular o 
valor atual, já que o desconto pode ser obtido como a diferença entre o valor nominal e o 
valor atual.
Além disso, do enunciado, conhecemos os seguintes parâmetros:
Devemos transformar a taxa bimestral para mensal, por meio da proporção direta:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
45 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
Com as unidades equivalentes, podemos substituir os valores nas equações (II), chegando ao 
valor atual (com desconto) do título:
Por fim, o desconto pode ser obtido como a diferença entre o valor nominal (sem desconto) e 
o valor atual (com desconto).
Letra a.
026. (CESPE/SEFAZ-RS/2018/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO FAZENDÁRIO) Um título 
cujo valor nominal era de R$ 1.450 foi descontado 4 meses antes do vencimento, à taxa de 
desconto comercial simples de 12% ao ano.
Nesse caso, o valor descontado foi igual a
a) R$ 1.392.
b) R$ 1.334.
c) R$ 1.276.
d) R$ 1.406.
e) R$ 1.363.
Para descontos comerciais simples, temos a fórmula:
São conhecidos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-seaos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
46 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Devemos, para igualar as unidades, transformar a taxa comercial por meio de uma proporção 
direta, como se segue:
Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
Isto é, a taxa mensal é dada por:
Substituindo valores dados e encontrado, temos:
Letra a.
027. (FGV/AL-RO/2018/CONSULTOR LEGISLATIVO/ASSESSORAMENTO EM ORÇAMEN-
TOS) Uma letra de câmbio (LC) foi resgatada 2 meses antes do vencimento pelas regras do 
desconto comercial composto. A taxa de desconto utilizada na transação foi de 6% ao mês.
Dados: 1,06² = 1,1236; 0,94² = 0,8836
Se o valor descontado foi de R$ 17.672,00, então o valor de face da LC era:
a) R$ 200.000,00
b) R$ 157.300,00
c) R$ 20.000,00
d) R$ 18.836,00
e) R$ 15.730,00
O valor de face é um sinônimo para o valor nominal da letra de câmbio.
Nessa situação, foi utilizado o desconto comercial (ou por fora) composto. Portanto, a expres-
são que pode ser utilizada para calcular o valor descontado (Af) da nota é:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
47 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
O enunciado nos forneceu os seguintes parâmetros:
Substituindo esses valores em (I), temos:
Isolando o valor nominal (N) a partir da equação anterior, temos:
Letra c.
028. (FGV/SEFIN-RO/2018/AUDITOR-FISCAL) Em relação às operações de desconto, avalie 
se as afirmativas a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F).
I – A taxa de desconto “por dentro” (racional) é inversamente proporcional ao valor presen-
te e ao prazo da operação.
II – A taxa de desconto “por fora” (comercial) é diretamente proporcional ao valor futuro.
III – O valor do desconto “por dentro” é obtido pela multiplicação do valor futuro pela taxa 
de desconto e esse produto pelo prazo da operação.
a) V – V – V
b) V – V – F
c) V – F – F
d) F – F – V
e) F – F – F
A questão não informou qual o tipo de desconto (simples ou composto) que deveria ser utiliza-
do. Nesse caso, precisamos subentender que ela queria se referir ao desconto simples.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
48 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Ok, eu concordo que não deveria ser assim, porém os “termos direta e inversamente proporcio-
nal” só são aplicáveis mesmo para desconto simples.
Infelizmente, é muito comum professores de matemática vacilarem no português. E, nesse 
caso, a chance de um recurso ser deferido são mínimas. Portanto, precisamos nos acostumar 
a lidar com isso.
I – No caso de desconto racional, devemos nos referir ao valor atual da operação.
De fato, quanto maior a taxa de desconto, menor o valor atual do título. Porém, a relação de pro-
porcionalidade inversa não é direta. Só podemos dizer que duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando o produto delas é constante. Mas, nesse caso, temos:
Portanto, não é o produto direto da taxa de desconto pelo valor presente da dívida que é cons-
tante. Tem um fator aditivo ali no meio que elimina a relação de proporcionalidade inversa. 
Afirmação falsa.
II – No caso de desconto comercial, devemos nos referir ao valor futuro ou nominal da operação.
No entanto, o erro da questão é afirmar que a taxa de desconto é diretamente proporcional 
quando, na verdade, é inversamente proporcional ao valor futuro e ao prazo de desconto. 
Item falso.
III – Como vimos, o desconto racional tem como base o valor atual, não o futuro. Portanto, o 
item está falso.
Letra e.
029. (CESPE/SEFAZ/RS/2018/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO FAZENDÁRIO) Um título 
cujo valor nominal era de R$ 18.200,00 com vencimento para daqui a 6 meses, foi pago na 
data de hoje à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês.
Nesse caso, o título foi pago pelo valor de
a) R$ 14.000,00.
b) R$ 12.740,00.
c) R$ 17.333,33.
d) R$ 17.290,00.
e) R$ 15.470,00.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
49 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
O objetivo do exercício é encontrar o valor atual por dentro.
Para descontos racionais simples, temos a fórmula:
Vale lembrar que desconto racional nos lembra razão. Portanto, as expressões do desconto 
racional são as expressões que envolvem contas de divisão. Dessa expressão, são conhecidos 
os seguintes parâmetros:
Substituindo valores, temos:
Letra a.
030. (FCC/SEGEP-MA/2018/ANALISTA EXECUTIVO/CONTADOR) Uma empresa efetuou o 
desconto de várias duplicatas, cujo valor nominal era R$ 180.000,00, que venciam após 2 me-
ses da data da operação. A taxa de desconto comercial negociada com o banco foi 4% ao mês 
e a instituição financeira cobrou, na data do desconto, uma tarifa de cobrança no valor de R$ 
1.000,00. A taxa de custo efetivo da operação, no período do prazo da operação, foi, em %,
a) 8,56.
b) 9,36.
c) 9,30.
d) 8,72.
e) 8,00.
Para descontos comerciais simples, podemos utilizar a equação:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
50 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Para esta expressão, temos os parâmetros:
Substituindo os valores na expressão (I), temos:
Na data do desconto, houve uma tarifa de R$ 1.000,00. Com isto, temos:
Para encontrar a taxa efetiva, devemos obter a razão entre o desconto aplicado e o valor atual 
do título após todos os descontos.
Letra b.
031. (CESPE/EBSERH/2018/TÉCNICO EM CONTABILIDADE) Se um título com valor nomi-
nal de R$ 120.000 for descontado dois meses antes da data de vencimento, à taxa de juros 
compostos de 6% ao mês, essa operação resultará em um valor atual superior a R$ 106.000.
O enunciado nada fala sobre a modalidade do desconto (se por dentro ou por fora). Neste 
caso, devemos nos atentar ao que é falado sobre a taxa da operação. O enunciado cita explici-
tamente taxa de juros, neste caso, devemos utilizar desconto racional composto, cuja fórmula 
é dada por:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
51 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Temos os seguintes parâmetros necessários:
Substituindo valores, ficamos com:
Certo.
032. (CESPE/SEDUC-AL/2018) Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 
meses antes do vencimento, à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, 
o valor descontado foi igual a R$ 16.000.
Para descontos racionais simples, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Paraa expressão anterior, possuímos os seguintes parâmetros:
Substituindo os valores dados na expressão do desconto por fora, ficamos com:
Certo.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
52 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
033. (ESAF/TCU/2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$10.000,00 em 
um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% do valor nominal do 
título como imposto financeiro. Se o banco ainda cobrasse uma taxa de abertura de crédito de 
R$50,00 e 1% do valor nominal do título como imposto financeiro no momento do desconto do 
título, qual seria o custo do empréstimo, em termos da taxa de juros real paga pela empresa?
a) 3,09% ao mês
b) 4,00% ao mês
c) 4,71% ao mês
d) 4,59% ao mês
e) 4,50% ao mês
Nessa operação, foram feitos vários descontos: o imposto financeiro (IF) e duas taxas ban-
cárias (TX).
O total dos descontos sobre a nota foi:
Dessa maneira, o valor atual dela será:
A taxa efetiva é sempre calculada por dentro, portanto incide sobre o valor atual:
Letra c.
034. (FCC/TRT-13ª REGIÃO/PB/2014/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE) Um em-
presário apresentou em um banco uma duplicata para desconto seis meses antes do seu ven-
cimento. O título tinha valor nominal de R$145.000,00 e a taxa de desconto comercial simples 
utilizada pelo gerente da agência foi de 1,75% ao mês. A taxa efetiva da operação no período 
foi, em %, aproximadamente,
a) 9,59
b) 12,98
c) 10,50
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
53 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
d) 11,73
e) 10,97
Mais uma vez, basta aplicar a expressão.
Infelizmente, a FCC colocou uma conta bem chata de fazer.
Por fim, veja que a questão pediu a taxa efetiva da operação no período, não apenas ao mês 
como foi calculado anteriormente.
Como estamos tratando de desconto simples, a taxa efetiva no período de 6 meses é obtida 
pelo conceito de taxa proporcional.
Letra d.
035. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO-SE/2019/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁ-
SICA/MATEMÁTICA) Sandra possui duas dívidas: uma no valor nominal de R$ 600, que ela 
pretende quitar 4 meses antes do vencimento; e outra, no valor nominal de R$ 1.000, que ela 
pretende quitar 8 meses antes do vencimento.
Considerando que, nas duas operações de desconto, seja usado o desconto comercial simples 
de 5% ao mês, julgue o item seguinte.
O valor, com desconto, a ser pago por Sandra para quitar a dívida de R$ 1.000 será infe-
rior a R$ 550.
O enunciado nos orienta sobre o problema se tratar de um desconto comercial simples. Para 
este caso, utilizamos a fórmula:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
54 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Os seguintes parâmetros são conhecidos:
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:
Considerando o desconto obtido anteriormente, Sandra ainda deverá pagar:
Errado.
036. (CESPE/CGE/PI/2015/AUDITOR GOVERNAMENTAL) Considerando que um título de 
valor nominal de R$ 2.300,00 será resgatado 5 meses antes do seu vencimento e, na operação, 
será usado o desconto comercial simples, julgue o item subsequente.
Se a taxa de desconto for de 4% ao mês, então a taxa efetiva mensal da operação será infe-
rior a 4,8%.
O enunciado nos direciona quanto ao tipo de desconto. No caso, tratamos do desconto comer-
cial (por fora) simples. Com isso, podemos utilizar a fórmula a seguir:
Em que os seguintes parâmetros são conhecidos:
Substituindo os valores listados no esquema, teremos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
55 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
O desconto pode ser encontrado como a diferença entre o valor nominal do título e o seu 
valor atual:
Substituindo os valores conhecidos nessa expressão, teremos:
Para encontrar a taxa efetiva geral, basta fazermos a razão entre o desconto e o valor atual por 
fora. Lembre-se de que a taxa efetiva é sempre calculada em cima do valor realmente pago, 
que é o valor atual.
Para encontrar a taxa efetiva MENSAL, basta dividir a taxa efetiva geral pelo tempo (5 meses), 
pois estamos lidando com descontos simples.
Outra maneira de resolver é usando a fórmula pronta para taxa efetiva neste caso. Ela é dada por:
• i representa a taxa comercial;
• t, o tempo decorrido.
Substituindo valores, ficamos com:
Errado.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
56 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Um comerciante dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 para pagamento de um título em um banco que 
usa taxa de juros nominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de juros 
compostos igual a 5% ao mês, para remuneração de um fundo de investimentos próprio. O va-
lor nominal do referido título é de R$ 11.025,00, com vencimento daqui a 4 meses.
Com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir, tomando 1,2155 como valor 
aproximado para .
037. (CESPE/ANTAQ/2009/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO) No referido banco, a taxa de 
juros efetiva bimestral para desconto racional composto é menor que 10%.
Sempre que a questão fornece uma taxa de juros nominal, o primeiro passo a fazer nela é 
converter essa taxa em efetiva usando o conceito de proporcionalidade. Como 1 ano é igual 
a 12 meses:
Por fim, podemos calcular a taxa de juros efetiva bimestral pela expressão das taxas 
equivalentes.
Errado.
038. (CESPE/ANTAQ/2009/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO) Os R$ 10.000,00 em posse do 
comerciante não são suficientes para o pagamento do título hoje.
Para saber se o comerciante poderá pagar o título hoje, devemos aplicar o desconto racional 
composto à taxa de 5% ao mês, pois é assim que o banco trabalha. Assim, calculamos o valor 
atual de sua dívida:
Portanto, o comerciante pode, sim, pagar a dívida. Logo, o item está errado.
Errado.
039. (CESPE/ANTAQ/2009/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO) Se fosse adotado pelo banco 
o desconto comercial simples, então o título poderia ser pago hoje com desconto maior que 
R$ 2.000,00.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
57 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Supondo que a taxade desconto fosse a mesma, teríamos:
Certo.
040. (CESPE/ANTAQ/2009/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO) Se o comerciante aplicar hoje 
todo o dinheiro no fundo de investimentos do banco, então poderá saldar sua dívida daqui a 2 
meses e ainda lhe restarão R$ 1.025,00.
Item bastante capcioso, porque pede uma avaliação da situação financeira do comerciante 
daqui a dois meses, considerando a sua possibilidade de investimentos e a sua dívida. Essa 
situação pode ser representada graficamente pela figura a seguir.
Portanto, devemos atualizar o capital inicial do comerciante por meio de uma aplicação de 
juros compostos no prazo de dois meses. Também devemos atualizar a dívida por meio de um 
desconto racional composto por uma antecipação de dois meses.
Caso o comerciante aplicasse o seu dinheiro a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês – é 
a taxa oferecida pelo fundo de investimentos do banco que, por acaso, é igual à taxa de des-
conto do próprio banco, ele teria um montante acumulado ao fim de dois meses de:
Nesse período, a dívida deve ser atualizada por meio de um desconto racional composto. O 
valor de R$11.025 é o valor nominal no vencimento (daqui a quatro meses). Pagando a dívida 
somente daqui a dois meses, o comerciante, na verdade, fará uma antecipação de dois meses.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
58 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Portanto, o comerciante teria um montante acumulado superior ao valor atual de sua dívida. 
Logo, ele poderia pagá-la e ainda sobrariam:
Certo.
041. (FCC/PREFEITURA DE MANAUS-AM/2019/TÉCNICO FAZENDÁRIO) O valor atual de 
um título descontado 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 24% ao 
ano, é igual a R$ 19.320,00. Sabe-se que para esta operação utilizou-se o critério do desconto 
comercial simples. Se fosse considerada uma taxa de desconto igual a 75% da taxa anterior, o 
valor do desconto deste título seria de
a) R$ 1.260,00.
b) R$ 1.680,00.
c) R$ 1.470,00.
d) R$ 1.575,00.
e) R$ 1.365,00.
Para o desconto comercial simples, utilizamos a expressão em que devemos lembrar que o 
desconto comercial incide sobre o valor nominal.
Para a equação (I), foram fornecidos os parâmetros:
Deve-se transformar a taxa anual para mensal por meio da proporção direta:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
59 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Seguindo o sentido das setas, tem-se a equação:
Substituindo os valores calculados em (I), temos:
Isolando N:
Para uma taxa hipotética cujo valor é de 75% de i, temos:
Para este caso, podemos utilizar a fórmula de desconto simples comercial:
Substituindo os valores calculados em (II), teremos:
Letra a.
042. (CESPE/TCE-ES/2013/ANALISTA ADMINISTRATIVO/CIÊNCIAS CONTÁBEIS) Uma 
pessoa aplicou determinado capital durante cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao 
mês, para saldar uma dívida de R$ 12.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa 
de desconto comercial simples de 5% ao mês.
Se o montante auferido pela aplicação corresponder ao valor atual da dívida na data de seu 
pagamento — valor descontado —, então o capital inicial aplicado terá sido
a) superior a R$ 5.500 e inferior a R$ 6.500.
b) superior a R$ 6.500 e inferior a R$ 7.500.
c) superior a R$ 7.500 e inferior a R$ 8.500
d) superior a R$ 8.500.
e) inferior a R$ 5.500.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
60 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Devemos igualar o montante gerado pela aplicação a juros simples com o valor atual da dívida 
por meio dos seguintes passos.
• Utilizar a fórmula de valor atual para desconto comercial simples, dada por:
Esta fórmula possui os seguintes parâmetros:
Substituindo os valores listados, temos:
Af é igual ao montante gerado pela aplicação a juros simples. Devemos guardar esta informação.
• Utilizar a seguinte fórmula para montante a juros simples:
Esta fórmula possui os seguintes parâmetros:
Substituindo os valores, temos:
Isolando o valor do capital investido, ficamos com:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
61 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Letra c.
043. (FEPESE/SEFAZ-SC/2010/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) Um título com 
vencimento em 29 de dezembro de X10 é descontado por $ 3.000,00 no dia 1º de agosto do 
mesmo ano a uma taxa de juros simples de 6% ao mês. Utilizando a modalidade de Desconto 
Comercial Simples (desconto por fora), calcule o valor de resgate (valor nominal) do título, uti-
lizando o ano civil de 365 dias e assinale a alternativa que indica a resposta correta.
a) $ 4.285,71
b) $ 4.825,71
c) $ 5.285,71
d) $ 5.428,71
e) $ 5.582,71
Primeiro, devemos calcular os dias decorridos entre 1º de agosto e 29 de dezembro. O esque-
ma representativo a seguir nos dá esta resposta:
Há 150 dias ENTRE os dias 1º de agosto e 29 de dezembro.
Considerando que 1 mês equivale a 30 dias, temos que 150 dias representam x meses.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
62 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Montando uma equação a partir do sentido das setas, temos:
Com as informações de tempo, somadas às informações do valor atual e taxa dados por:
Podemos utilizar a seguinte fórmula para desconto por fora (comercial) simples:
Substituindo os valores conhecidos, temos:
Isolando o valor nominal, ficamos com:
Letra a.
044. (FCC/BANRISUL/2019/ESCRITURÁRIO) Uma duplicata é descontada em um banco 
4 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples, 
com uma taxa de desconto de 24% ao ano. O valor do desconto dessa operação foi de R$ 
1.800,00. Caso a taxa de desconto utilizada tivesse sido de 18% ao ano, o valor presente teria 
sido, em R$, de
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
63 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
a) 20.680,00.
b) 22.560,00.
c) 20.700,00.
d) 23.500,00.
e) 21.150,00.
Nas operações de desconto comercial simples, o desconto incide sobre o valor nominal. As-
sim, podemos utilizar a equação:
Temos os seguintes parâmetros para esta expressão:
Deve-se transformara taxa anual para mensal por meio da proporção direta:
Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
Substituindo os valores conhecidos em (I), temos:
Isolando N:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
64 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Temos uma situação hipotética de taxa de desconto:
Esta taxa também deve ser transformada em mensal, de acordo com a proporção direta:
Seguindo o sentido das setas, tem-se a equação:
Como o enunciado pediu o valor presente considerando a taxa de 1,5% ao mês e utilizando o 
desconto comercial simples, podemos utilizar a seguinte expressão:
Para a situação hipotética com i =1,5% a.m. e com os parâmetros N e t mantidos, vamos calcu-
lar o valor presente pela equação (II).
Letra e.
045. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO-SE/2019/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁ-
SICA/MATEMÁTICA) Uma pessoa pagou um título 3 meses antes do seu vencimento à taxa 
de desconto comercial simples de 10% ao mês. O valor descontado (valor atual) foi de R$ 910.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item subsequente.
Se na operação de desconto fosse usado o desconto racional de 10% ao mês e as outras con-
dições fossem mantidas sem alteração, então o desconto do título seria de R$ 673.
Para utilizarmos as fórmulas de desconto racional simples, devemos, primeiro, encontrar o 
valor nominal do título. Isso é possível por meio do desconto comercial realizado pela pessoa 
em questão, cuja fórmula é dada por:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
65 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Conhecemos os seguintes parâmetros presentes na fórmula anterior. Substituindo os valores 
nessa expressão, teremos:
Substituindo esses valores na expressão do desconto por fora:
Isolando N, tem-se:
Para uma operação de desconto racional simples, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Conhecemos os seguintes parâmetros:
Substituindo os valores dados listados acima, ficamos com:
Errado.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
66 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
046. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO/SE/2019/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁ-
SICA/MATEMÁTICA) Uma pessoa pagou um título 3 meses antes do seu vencimento à taxa 
de desconto comercial simples de 10% ao mês. O valor descontado (valor atual) foi de R$ 910.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item subsequente.
O valor nominal desse título era superior a R$ 1.200.
Para um problema de desconto comercial simples, podemos utilizar a fórmula:
São conhecidos os seguintes parâmetros dessa equação:
Substituindo valores, temos:
Isolando N, ficamos com:
Certo.
047. (ESAF/AFRF/2000) Um título foi descontado por R$840,00, quatro meses antes de seu 
vencimento. Considerando (1,03)4 = 1,1255, calcule o desconto obtido considerando um des-
conto racional composto a uma taxa de 3% ao mês.
a) R$140,00
b) R$104,89
c) R$168,00
d) R$93,67
e) R$105,43
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
67 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Como informado pelo enunciado, o valor atual do título é igual R$840,00. Assim, podemos 
calcular o seu valor nominal.
Finalmente, basta calcular o desconto, como a diferença entre o valor nominal do título e o 
valor efetivamente pago (ou valor atual).
Letra e.
048. (CESPE/ANATEL/2009/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEIS) 
Considere que, para aplicar R$ 5.000,00 pelo prazo de dois anos, sejam sugeridas duas opções 
de investimento: a opção, A1, renderá juros compostos de 20% ao ano, porém, no momento 
do resgate, haverá um desconto de 20% sobre o montante acumulado referente a impostos 
e taxas; A opção A2 renderá juros compostos a uma taxa de 8% ao ano, sem a incidência de 
descontos. A partir dessas considerações, julgue o item que se segue.
O mesmo capital, aplicado pelo mesmo período de tempo, no regime de juros simples à taxa de 
10% ao ano, produzirá um montante maior que o montante obtido com a opção A2.
Para a opção A2, podemos utilizar a fórmula para o montante de Juros Compostos:
O enunciado forneceu os seguintes valores:
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
68 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
O enunciado nos fornece ainda uma terceira opção, para juros simples. Podemos utilizar 
a fórmula:
Do enunciado, temos:
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:
Como MA2<MJS, o montante gerado por juros simples a 10% a.a. é maior que o montante gerado 
a juros compostos a 8% a.a. Portanto, o item está correto.
Certo.
049. (CESPE/TRE/MT/2009/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE) Um candidato a 
cargo eletivo, com a finalidade de financiar sua campanha política, contraiu um empréstimo 
junto a uma instituição financeira e assinou uma nota promissória no valor de R$ 55.000,00 
com vencimento em doze meses. Após dez meses, ele desistiu da candidatura e decidiu quitar 
o empréstimo, do qual restava R$ 20.000,00.
Nessa situação, se a instituição financeira trabalha com desconto comercial simples à taxa de 
1% ao mês, então o valor adicional necessário para quitar a dívida é igual a
a) R$ 29.500,00.
b) R$ 30.000,00.
c) R$ 31.500,00.
d) R$ 38.500,00.
e) R$ 40.500,00.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
69 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
O enunciado nos direciona ao citar que o problema é sobre desconto comercial simples, isto é, 
a taxa é baseada nos juros simples e o desconto incide sobre o valor nominal.
Lembre-se de que cOmercial tem O, assim como nOminal também tem O.
Dois meses antes do vencimento de sua dívida, o candidato decidiu pagá-la. Para encontrar-
mos o valor atual da dívida, podemos utilizar a expressão do desconto simples:
De acordo com o enunciado, temos:
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:
O candidato ainda contava com R$ 20.000,00 restantes da dívida inicial, isto é, para terminar de 
quitá-la, serão necessários:
Portanto, ainda serão necessários R$ 33.900,00 para quitar o empréstimo inicial. Por esse mo-
tivo, a questãodeveria ter sido anulada.
Porém, a banca utilizou o prazo de desconto t = 10. Nesse caso, teríamos:
Como ainda restavam R$20.000 da dívida inicial, para terminar de quitá-la, seriam necessários:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
70 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Porém, na nossa visão, essa resolução não está correta e não deve ser aceita. Portanto, man-
temos a discordância em relação ao gabarito oficial fornecido pela banca.
Letra a.
050. (FGV/SEFAZ-RJ/2011/ANALISTA DE CONTROLE INTERNO) O valor presente, sob o re-
gime de juros compostos, quando o montante final é R$50.000, a taxa de juros de 25% ao ano 
e o período 2 anos, é:
a) 30.000,00
b) 32.000,00
c) 29.150,85
d) 34.325,75
e) 31.875,25
O valor presente ou atual do título é descoberto após aplicar o desconto. Por padrão, utiliza-
mos o desconto racional composto que é o mais utilizado no mercado financeiro.
Aqui, pode nos ajudar bastante lembrarmos a nossa dica sobre o que fazer quando o denomi-
nador termina em 25 (multiplicar por 4). Quando termina em 125, você pode, ainda, multiplicar 
por 8. Vejamos:
Portanto, temos:
Letra b.
051. (FCC/SEFAZ/PI/2015) Sabe-se que o valor dos juros correspondente a uma dívida que 
vence daqui a 3 anos é igual a R$ 3.972,00, considerando uma taxa de juros compostos de 10% 
ao ano. Esta mesma dívida, considerando uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre e 
com vencimento daqui a 1 ano, apresentaria um valor de juros (J), em reais, tal que:
a) J ≤ 1100
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
71 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
b) 1100 ≤ J ≤ 1200
c) 1200 ≤ J ≤ 1300
d) 1300 ≤ J ≤ 1400
e) J > 1400
Infelizmente, nem sempre as bancas produzem questões fáceis de entender. É o caso des-
ta questão.
A questão informou que a dívida seria paga com juros de R$3.972 e vencimento daqui a 3 anos. 
Podemos calcular o seu valor atual (ou o capital inicial da dívida) por meio da expressão dos 
juros compostos:
O valor atual da dívida é de R$12.000. O que a questão deseja saber é o quanto de juros poderia 
ser obtido investindo esse valor a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre por um ano 
(dois semestres).
Portanto, os juros envolvidos na operação se encontram entre R$1.200 e R$1.300.
Letra c.
052. (FEPESE/SEFAZ-SC/2010/ANALISTA FINANCEIRO) Um título, com vencimento em 25 
de outubro, foi descontado por $ 3.000,00 em 28 de maio do mesmo ano. Considere o ano 
civil (365 dias) e uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Assinale a alternativa que indica o 
valor do resgate (valor nominal) do título, utilizando o Desconto Comercial Simples (desconto 
por fora).
a) R$2.222,22
b) R$3.333,33
c) R$4.444,44
d) R$5.555,55
e) R$6.666,66
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
72 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Questão simples, porém, inteligente, misturando desconto e dias úteis. Contudo, infelizmente, 
o examinador não foi tão esperto ao elaborar as alternativas. Ficaria muito fácil acertar essa 
questão no chute.
De qualquer forma, faremos a conta. Calculemos os dias úteis.
28/05 a 28/06 – 31 dias.
28/06 a 28/07 – 30 dias.
28/07 a 28/08 – 31 dias.
28/08 a 28/09 – 31 dias.
28/09 a 28/10 – 30 dias.
25/10 a 28/10 – 3 dias (devemos abater esse período).
O total do prazo em dias úteis é:
Podemos converter esse tempo em meses:
O enunciado forneceu o valor atual do título no valor de R$3.000. Como o desconto é por fora, 
lembre: desconto comercial incide sobre o valor nominal.
Letra b.
053. (FCC/SEFAZ-PE/2014) Um título de valor nominal R$1.196,00 vai ser descontado 20 dias 
antes do vencimento à taxa mensal de desconto simples de 6%. O módulo da diferença entre 
os dois descontos possíveis, o racional e o comercial, é de:
a) R$12,08
b) R$18,40
c) R$0,96
d) R$1,28
e) R$1,84
Podemos calcular o desconto por fora pela expressão:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
73 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Vamos utilizar a relação entre desconto por fora e por dentro:
Por fim, podemos calcular a diferença pedida pela questão:
Letra e.
054. (FCC/SEFAZ-PI/2015) A taxa de desconto realizada em um banco para as operações de 
desconto de títulos é de 24% ao ano. Se um título é descontado neste banco 3 meses antes de 
seu vencimento, verifica-se que o valor do desconto comercial simples supera o valor do des-
conto racional simples em R$73,80. O valor atual do título, considerando o desconto comercial 
simples, é igual a:
a) R$19.768,20
b) R$20.238,20
c) R$20.285,20
d) R$20.332,20
e) R$20.426,20
O primeiro cuidado a ter nessa questão é converter a taxa de juros de anual para mensal – ten-
do em vista que o prazo de antecipação é contado em meses.
Como a operação é de desconto simples, usaremos o conceito de taxa proporcional.
O enunciado nos informou que o desconto comercial simples supera o racional simples em 
R$73,80. Portanto, podemos escrever:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
74 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Lembrando-nos da relação entre os dois tipos de desconto para o mesmo capital e a mesma 
taxa de juros, tem-se:
Com base nessa relação, podemos extrair o desconto por dentro.
De posse do desconto por dentro, podemos calcular o desconto por fora.
Podemos utilizar a relação entre o desconto por fora e o valor nominal do título:
Por fim, podemos calcular o valor atual do título aplicando o desconto comercial (por fora).
Letra e.
055. (CESPE/TCE-RO/2019/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Uma empresa vendeu, em 
20/8/2019, em condições de mercado, um equipamento a certo parceiro comercial. O compra-
dor pagará pela compra apenas em 20/8/2024, cinco anos depois da transação comercial. O 
valor final a ser liquidado é de R$ 373.248. Sabe-se que a operação possui uma taxa implícita 
de juros compostos de 20% a.a.
A tabela seguinte mostra uma série de multiplicadores monetários que são usados nessas 
transações comerciais.
Na situação apresentada, se, ao final do terceiro ano da operação, a dívida atualizada totalizar 
R$ 260.000, o comprador terá reconhecido, desde o momento da compra, encargos financeiros
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
75 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
a) inferiores a R$ 30.000.
b) superiores a R$ 30.000 e inferiores a R$ 44.000.
c) superiores a R$ 44.000 e inferiores a R$ 66.000.
d) superiores a R$ 66.000 e inferiores a R$ 110.000.
e) superiores a R$ 110.000.
O enunciado nos trouxe os multiplicadores de maneira a facilitar nossos cálculos.
O exercício nos pede o valor presente na data da contratação. Vamos precisar, então:
• do montante da dívida ao final do terceiro ano, dado pelo enunciado: R$ 260.000,00;
• tempo, t = 3 anos;
• taxa, i =20% a.a. = 0,20.
Por meio das fórmulas para juros compostos abaixo, podemos encontrar o valor presente na 
data desejada.
Substituindo valores, tem-se:
O multiplicador dado pela tabela no enunciado corresponde ao valor de . Isto é, o multipli-
cador do terceiro ano é 0,58.
Voltando ao valor presente, temos:
Os encargos financeiros incorridos até o terceiro ano correspondem à diferença entre o mon-
tante ao final deste mesmo ano (dívidas no ano 3) e o valor presente na data da contratação, 
que foi obtido anteriormente. Assim, podemos escrever:
Letra d.
056. (FCC/PREFEITURA DE TERESINA/PI/2016/TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR/ADMINIS-
TRADOR) O valor recebido, na data de hoje, por uma empresa que descontou um título de valor 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
76 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
nominal de R$ 23.650,00 que vence daqui a 4 meses é igual a R$ 21.285,00. Sabe-se que foi 
utilizada a operação do desconto comercial simples a uma taxa de desconto mensal igual a i. 
Caso fosse utilizada a operação do desconto racional simples, também a uma taxa de descon-
to mensal igual a i, verifica-se que o valor do desconto, em R$, seria de:
a) 2.200,00
b) 2.365,00
c) 2.150,00
d) 2.050,00
e) 2.250,00
De posse do valor nominal e do valor atual do título, podemos calcular o desconto aplicado 
na operação.
Podemos recorrer ao fato de que desconto comercial (por fora) incide sobre o valor nominal.
Por fim, podemos calcular o desconto racional simples que seria cobrado sobre esse mesmo 
título no mesmo prazo.
Letra c.
Em determinada loja, uma bicicleta é vendida por R$ 1.720 a vista ou em duas vezes, com uma 
entrada de R$ 920 e uma parcela de R$ 920 com vencimento para o mês seguinte. Caso queira 
antecipar o crédito correspondente ao valor da parcela, o lojista paga para a financeira uma 
taxa de antecipação correspondente a 5% do valor da parcela.
057. (CESPE/SEFAZ/DF/2020) Considere que um comprador sabe que o preço da bicicleta 
não irá aumentar durante 1 mês e tem a possibilidade de investir suas economias em uma 
aplicação com rendimento líquido de 5% ao mês. Nessa situação, o comprador poderá realizar 
a compra à vista da bicicleta investindo nessa aplicação uma quantia inferior a R$ 1.650, inde-
pendentemente de o regime de capitalização da aplicação ser simples ou composto.
Para obter um montante de R$ 1.720,00, valor referente à compra da bicicleta à vista, deve-se 
utilizar a seguinte fórmula de montante, válida para juros simples e compostos quando a taxa 
corresponde exatamente ao tempo corrido:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
77 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Nossa variável desejada é o capital investido. O enunciado forneceu o montante final (M = 
R$1.720,00) e a taxa de juros envolvida na operação (i = 5% = 0,05).
Isolando o valor de C a partir desta equação, teremos:
Portanto, o valor do capital que deve ser investido para se obter o montante de R$ 1.720,00 é 
menor que R$ 1.650,00.
Certo.
058. (CESPE/SEFAZ-RS/2018/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA ESTADUAL) Um título foi 
resgatado 8 meses antes de seu vencimento à taxa de desconto anual de 18%. Sabe-se que a 
diferença entre o valor atual do título, calculado usando-se o desconto racional simples e do 
valor atual calculado usando-se o desconto comercial simples é igual a R$ 63,00. Então o valor 
nominal desse título terá sido de
a) R$ 2.294,44.
b) R$ 3.850,00.
c) R$ 4.900,00.
d) R$ 10.631,25.
e) R$ 39.458,30.
Temos como incógnita o valor nominal do título. Devemos aplicar as fórmulas para descontos 
simples racional e comercial, de modo a calcular sua diferença.
No desconto racional, utilizamos uma razão. Para descontos racionais simples, temos a fórmula:
Temos os seguintes parâmetros:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
78 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Devemos transformar a taxa anual para mensal por meio da proporção direta:
Seguindo os sentidos das setas, temos a equação:
Isto é, a taxa mensal vale:
Substituindo valores na equação (I), ficamos com:
Por meio do mesmo raciocínio, para desconto comercial simples, temos a fórmula:
Que devemos atribuir os mesmos parâmetros utilizamos para (I).
Substituindo valores em (II), ficamos com:
Do enunciado, temos a diferença entre valores atuais por dentro e por fora, isto é:
Multiplicando ambos os lados da equação (III) por 1,12 com o objetivo de eliminarmos os de-
nominadores, temos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
79 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Isolando o valor nominal, temos:
Letra c.
059. (FCC/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO-SP/2019/AUDITOR-FISCAL TRIBU-
TÁRIO MUNICIPAL) O gerente de uma empresa decidiu autorizar, na data de hoje, que fossem 
descontados em uma instituição financeira, dois títulos de valores nominais iguais. A soma 
dos valores atuais correspondentes apresentou um valor igual a R$ 40.920,00 com a utilização 
da operação de desconto comercial simples a uma taxa de 24% ao ano. Se um dos títulos foi 
descontado 4 meses antes de seu vencimento e o outro 3 meses antes de seu vencimento, 
então a soma dos valores dos respectivos descontos foi de
a) R$ 3.080,00.
b) R$ 2.860,00.
c) R$ 2.750,00.
d) R$ 2.640,00.
e) R$ 3.520,00.
Para operações de descontos comerciais simples, podemos utilizar a fórmula:
Usaremos esta expressão para calcular os valores atuais de cada um dos títulos.
Para o primeiro título, temos:
Devemos transformar a taxa anual para mensal por meio da proporção:
Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
80 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Substituindo os valores de taxa e tempo na equação(I), ficamos com:
Já, para o título 2, temos:
Substituindo valores na equação (I), temos:
Sabemos, a partir do enunciado, que a soma dos valores atuais dos títulos 1 e 2 é:
Substituindo (II) e (III) em (IV), temos:
O exercício nos pede a soma dos descontos, que, para compostos simples, é dado por:
Para o título 1, tem-se:
Para o título 2, tem-se:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
81 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
A soma dos descontos é dada por:
Letra a.
060. (FCC/PGE-MT/2016/ANALISTA/CONTADOR) Marcos tem em mãos dois títulos: um, de 
valor nominal R$ 3.024,00, vencível daqui a 4 meses, e outro, de valor nominal R$ 5.040,00, 
vencível daqui a 6 meses. Necessitando de dinheiro, resolveu descontá-los hoje e tem duas 
propostas, ambas com juros de 24% ao ano:
− Banco A, que utiliza o desconto racional simples, e
− Banco B, que utiliza o desconto comercial simples.
Se optar por descontá-los no Banco A, receberá, em relação ao que receberia se optasse 
pelo Banco B:
a) R$ 54,25 a mais.
b) R$ 63,94 a mais.
c) R$ 22,30 a menos.
d) R$ 82,72 a mais.
e) R$ 31,40 a menos.
É preciso entender o problema. Nesse caso, Marcos tem um título e deseja receber antecipa-
damente. Por isso, ele procurará o banco que lhe cobrará o menor desconto.
Além disso, como a taxa de juros é de 24% ao ano e os prazos dos títulos estão em meses, 
devemos convertê-la em taxa de juros mensais usando o conceito de taxas proporcionais, já 
que o problema é de desconto simples.
A fim de facilitar a notação do problema, consideraremos a nota 1 a de R$3.024 vencível daqui 
a 4 meses e como a nota 2 a nota de R$5.040 vencível daqui a 6 meses.
Calcularemos, em primeiro lugar, o desconto comercial, que é oferecido pelo banco B. Precisa-
mos sempre lembrar que o desconto comercial incide sobre o valor nominal. Comercial tem O, 
assim como nominal também tem O.
Os descontos cobrados pelo banco B em relação a cada uma das notas são:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
82 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Portanto, o desconto total a ser pago ao banco B é de:
Vamos calcular os descontos cobrados pelo banco A, que utiliza desconto racional, lembran-
do-nos de que o desconto racional incide sobre o valor atual. Racional tem A, assim como atual 
também tem A.
Portanto, o desconto total a ser pago ao banco A é de:
Sendo assim, o desconto cobrado pelo banco A é inferior ao cobrado pelo banco B. A diferença 
é dada por:
Como o banco A cobra um desconto menor, Marcos receberá um valor maior ao preferir 
esse banco.
Letra d.
061. (FCC/SANASA CAMPINAS/2019/ANALISTA ADMINISTRATIVO/SERVIÇOS ADMINIS-
TRATIVOS) Uma duplicata poderá ser descontada em um banco 4 meses antes de seu venci-
mento, a uma taxa de desconto de 18% ao ano, segundo uma operação de desconto comercial 
simples. O valor atual correspondente apresentará um valor igual a R$ 21.150,00. Um outro 
banco oferece uma taxa de desconto inferior para o desconto deste mesmo título, permitindo 
que seja resgatado um valor atual de R$ 21.375,00, também segundo uma operação de des-
conto comercial simples. A taxa anual de desconto oferecida pelo segundo banco é de
a) 15,0%
b) 10,8%
c) 12,0%
d) 16,2%
e) 10,5%
Em operações de desconto comercial simples, podemos utilizar a fórmula:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
83 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Para o primeiro banco temos os seguintes parâmetros:
Deve-se transformar a taxa anual para mensal, de acordo com a proporção:
Seguindo o sentido das setas, chegaremos à equação:
Substituindo os valores conhecidos na expressão (I), temos:
Isolando N:
Para o segundo banco, temos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
84 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Substituindo os valores na equação (I), tem-se:
A melhor forma de fazer uma divisão quando o denominador termina em 25 é multiplicando 
por 4 tanto o numerador quanto o denominador. Assim, teremos:
Desse modo, podemos isolar a taxa de juros:
Para encontrarmos a taxa anual, utilizamos a proporção abaixo:
Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
Letra a.
062. (FGV/BANESTES/2018/ASSISTENTE SECURITÁRIO) Um título de crédito com valor no-
minal de R$ 9.000,00 foi descontado 20 dias antes do seu vencimento, segundo as regras do 
desconto bancário, à taxa simples de desconto de 6% ao mês.
Sobre essa operação, houve cobrança de IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), com 
alíquota simples de 3% ao ano. Houve ainda a cobrança de uma taxa fixa de serviço ban-
cário de 2%.
Sabendo-se que essas duas cobranças incidiram sobre o valor nominal do título, e consideran-
do-se o ano comercial, o valor descontado foi:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
85 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
a) R$ 8.190,00;
b) R$ 8.437,50;
c) R$ 8.445,00;
d) R$ 8.485,50;
e) R$ 8.512,00.
Para desconto comercial simples, deve-se utilizar a seguinte fórmula:
Para esta expressão, os seguintes parâmetros são conhecidos:
Vamos transformar o IOF anual para mensal. Para isso, utilizamos o conceito de taxas propor-
cionais, já que o desconto é baseado em juros simples:
Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
Além disto, devemos transformar os dias decorridos para meses, como se segue:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
86 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Seguindo o sentido das setas, temos a equação:
A taxa bancária e o IOF são duas taxas que incidem sobre o valor nominal do título de crédito 
e são influenciadas pelo prazo de desconto. Por esse motivo, vamos somá-las:
O desconto que depende das taxas periódicas é dado por:
Além disso, há uma taxa de juros fixa de 2% sobre o total da operação:
Assim, o desconto total é dado pela soma dos dois pedaços obtidos anteriormente:
O valor descontado (ou atual) do título de crédito correspondente à diferença entre o valor no-
minal e o desconto aplicado. Então, podemos escrever:
Letra c.
063. (FCC/SEFAZ-PI/2015/AUDITOR-FISCAL DA FAZENDA ESTADUAL) Três mesesantes 
de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em um banco, com taxa de desconto 
de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal do primeiro título era o dobro do valor nominal do 
segundo. Para o primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o se-
gundo, a de desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então, 
o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi:
a) R$3.965,00
b) R$9.285,00
c) R$3.035,00
d) R$3.500,00
e) R$3.830,00
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
87 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Como a taxa de desconto foi fornecida em % ao ano e o prazo de desconto em meses, vamos 
converter a taxa em % ao mês usando o conceito de taxa proporcional.
Podemos dizer que o primeiro título possuía valor nominal 2N, enquanto o segundo possuía 
valor nominal N. Dessa forma, temos que o primeiro título sofreu desconto comercial – e o 
desconto comercial incide sobre o valor nominal:
Já o segundo título sofreu desconto racional.
Sabemos a soma dos descontos recebidos, então, podemos escrever:
Dessa maneira, podemos calcular os valores líquidos recebidos pelos dois títulos. Para o títu-
lo 1, temos:
Para o título 2, temos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
88 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Dessa forma, a diferença entre os valores líquidos recebidos pelos títulos é:
Letra c.
064. (FGV/ISS/CUIABÁ/2014/AUDITOR-FISCAL) Considere uma operação em que um título 
com prazo de vencimento de dois meses é descontado no regime de juros compostos.
No caso do valor do desconto composto ser exatamente igual ao valor presente do título, assi-
nale a opção que indica a taxa de desconto por fora.
a) 21%
b) 29%
c) 33%
d) 41%
e) 50%
Considerando desconto por fora, o valor atual de um título é dado por:
Queremos que o valor do título seja igual ao desconto, portanto:
Basta substituir na expressão anterior:
Assim, temos:
Letra b.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
89 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
065. (FGV/ISS NITERÓI/2015/FISCAL DE TRIBUTOS) Um empréstimo é oferecido de tal for-
ma que os juros são cobrados antecipadamente, ou seja, no ato do empréstimo. Se forem 
cobrados juros de taxa de j% ao período e, se a cobrança dos juros for antecipada, a taxa de 
juros cobrada é:
a) j*(1-j)
b) j/(1+j)
c) j*(1+j)
d) j/(1-j)
e) (1-j)*(1+j)
Em primeiro lugar, precisamos entender o que são juros cobrados antecipadamente.
Suponha que você tomou um capital de R$1.000 por um ano emprestado a uma taxa de juros 
antecipados de 20% ao ano. O que vai acontecer?
Os juros são cobrados no ato do empréstimo. Isso significa que, depois de um ano, você devol-
verá os mesmos R$1.000. Porém, você deverá pagar no momento da aquisição do empréstimo 
o valor de R$200 (20% de R$1.000).
Portanto, embora você tenha contraído uma dívida de R$1.000, você recebeu na sua mão 
apenas R$800.
Falemos, então, em termos de taxa efetiva. A taxa efetiva é sempre calculada por dentro tendo 
por base o que efetivamente entrou na sua mão – ou seja, o valor de R$800 – e o que você 
efetivamente pagou – ou seja, o valor de R$1.000.
Assim, podemos calcular a taxa de juros efetiva cobrada nesse empréstimo.
É natural que a taxa efetiva seja maior que a taxa de juros antecipada. Isso acontece, porque 
pagar juros hoje é sempre pior do que pagar juros no futuro.
Podemos generalizar essa situação, como solicitado pela questão. Observe que a taxa de juros 
antecipada (j) incide sobre o valor nominal da obrigação. Trata-se de uma taxa por fora. Por 
outro lado, a taxa de juros efetiva (i) incide sobre o valor atual.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
90 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Sendo assim, pode-se escrever a relação entre elas:
Observe que essa, na verdade, é uma questão bastante simples quando você entende a situa-
ção-problema.
Letra d.
066. (FCC/ICMS/SP/2009) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento a uma 
taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é 
igual a R$25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a 
R$23.040,00. O valor nominal deste título é igual a:
a) R$40.000,00
b) R$36.000,00
c) R$34.000,00
d) R$32.000,00
e) R$30.000,00
Nós já conhecemos as expressões para o cálculo do valor atual considerando os descontos 
racional e comercial.
Ao dividir a expressão I pela II, eliminamos o valor nominal, e isso facilita em obter a taxa de 
juros associada à operação.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
91 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Vamos inverter as expressões:
Tirando a raiz – falaremos um pouco mais sobre essa raiz quadrada mais adiante:
Usando o produto notável do produto da soma pela diferença:
Podemos utilizar a expressão (I) para conhecer o valor nominal do título:
Aproveitando essa questão, vamos comentar um pouco mais sobre como extrair a raiz quadra-
da de 2.304.
O modo mais fácil de extrair a raiz quadrada de um número de até 4 algarismos consiste 
nos passos:
• separá-lo de dois em dois: 23.04
• procurar o número cujo quadrado não excede a primeira parte: no caso, 4²=16 e 5²=25; 
portanto, deve-se escolher o número 4;
• procurar um número cujo quadrado termine no último algarismo. Para isso, é útil conhe-
cer os quadrados dos números de 0 a 9.
0² = 0
1² = 1 9² = 81
2² = 4 8² = 64
3² = 9 7² = 49
4² = 16 6² = 36
5² = 25
Perceba que 2² e 8² terminam em 4. Portanto, precisamos testar 42 e 48.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
92 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
Dessa maneira, encontramos a raiz quadrada de 2.304 que é igual a 48.
Letra b.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.brhttps://www.grancursosonline.com.br
93 de 94www.grancursosonline.com.br
Descontos
MATEMÁTICA FINANCEIRA, 
Thiago Cardoso
GABARITO
1. b
2. C
3. b
4. d
5. e
6. b
7. a
8. e
9. b
10. b
11. e
12. a
13. C
14. e
15. C
16. e
17. C
18. E
19. C
20. e
21. b
22. d
23. a
24. c
25. a
26. a
27. c
28. e
29. a
30. b
31. C
32. C
33. c
34. d
35. E
36. E
37. E
38. E
39. C
40. C
41. a
42. c
43. a
44. e
45. E
46. C
47. e
48. C
49. a
50. b
51. c
52. b
53. e
54. e
55. d
56. c
57. C
58. c
59. a
60. d
61. a
62. c
63. c
64. b
65. d
66. b
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
Thiago Cardoso
Engenheiro eletrônico formado pelo ITA com distinção em Matemática, analista-chefe da Múltiplos 
Investimentos, especialista em mercado de ações. Professor desde os 19 anos e, atualmente, leciona 
todos os ramos da Matemática para concursos públicos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CINTHYA RODRIGUES DOS SANTOS - 18632148796, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
	_Ref500681429
	_Hlk65253217
	_Ref500709902
	_Ref500708520
	_Ref500709145
	Apresentação
	Descontos
	1. Conceitos Básicos
	2. Desconto Simples
	2.1. Desconto Comercial ou por Fora
	2.2. Desconto Racional ou Por Dentro
	2.3. Relação entre Desconto por Dentro e por Fora
	3. Desconto Composto
	3.1. Desconto Composto por Fora
	3.2. Desconto Composto por Dentro
	3.3. Relação entre Taxas de Desconto Composto por Dentro e por Fora
	4. Aplicações de Renda Fixa
	4.1. Títulos Pós-Fixados
	4.2. Títulos Pré-Fixados
	4.3. Títulos Mistos
	Questões Comentadas em Aula
	Questões de Concurso
	Gabarito
	AVALIAR 5: 
	Página 94: