Introdução à Matemática Financeira_ taxas, juros e descontos

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Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
Prof. Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
Descrição
Conceitos fundamentais da matemática financeira. Valor do dinheiro no
tempo. Relação nos diferentes regimes de capitalização e nas
modalidades de desconto. Equivalência de capitais: comparação de
valores em distintos instantes de tempo.
Propósito
Analisar valores monetários em diferentes instantes de tempo é
fundamental para uma boa gestão de finanças pessoais e corporativas.
Preparação
Antes de iniciar, certifique-se de ter em mãos uma calculadora que seja
capaz de realizar, além das operações básicas, potenciação e
logaritmos. A calculadora de seu smartphone ou computador deve
servir.
Objetivos
Módulo 1
Taxas de juros simples
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos
tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Simples.
Módulo 2
Taxas de juros composta
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos
tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Composta.
Módulo 3
Desconto
Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade.
Módulo 4
Equivalência de capitais
Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo.
Introdução

Matemática financeira é uma das ferramentas mais populares na
área de finanças. Em diversas situações, estamos interessados
em analisar a dinâmica de montantes monetários ao longo do
tempo. Quando comparamos valores em momentos distintos,
precisamos considerar diversos fatores. Se alguém tem a
oportunidade de escolher receber $100 hoje ou $100 daqui a um
ano, normalmente essa pessoa escolheria receber esse valor
hoje. Isso ocorre porque damos mais valor ao dinheiro disponível
agora do que no futuro.
Para desistir de ter uma quantia em mãos hoje e receber uma
quantia equivalente no futuro, os agentes econômicos costumam
cobrar juros. Ou seja, o agente que empresta dinheiro (credor)
pede uma compensação financeira pelo tempo que seu dinheiro
ficará indisponível. A matemática financeira é um ferramental
usado para mensurar valores monetários ao longo do tempo e
facilitar a comparação entre esses valores.
No primeiro módulo, veremos o Regime de Capitalização Simples,
cujos conceitos são a base para o que iremos estudar mais
adiante. Começaremos abordando conceitos fundamentais:
Capital, Montante, Prazos e Taxas de Juros. O segundo módulo
apresentará o Regime de Capitalização Composta, o mais
utilizado no mercado financeiro. Depois vamos estudar os
descontos, operações que trazem valores futuros para instantes
anteriores do tempo. Elas podem ser operações racionais ou
comerciais. No último módulo, vamos aprender a comparar
valores monetários em diferentes instantes de tempo, ou mesmo
comparar diferentes fluxos de caixa, procedimento fundamental
para uma boa gestão financeira.
1 - Taxas de juros simples
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car a relação entre Capital, Montante, prazos
e os diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Simples.
Conceitos fundamentais
Os juros correspondem à remuneração do capital em uma operação de
crédito, ou seja, são o valor pago pelo tomador de um empréstimo ao
credor, para compensá-lo pelo capital cedido por determinado prazo.
Quando alguém toma dinheiro emprestado para quitar a dívida
contraída, é preciso devolver, na data acordada para o pagamento
(Prazo), o valor do empréstimo (Capital) acrescido da remuneração do
credor (Juros). À soma desses dois valores dá-se o nome de Montante.
O esquema anterior ilustra uma operação de crédito. No instante inicial
(t=0), o credor cede um capital ao tomador, que no prazo acordado
(t=n) o devolve com juros.
A soma do capital (C) com os juros (J) recebe o nome de Montante (M)
:
Da mesma forma que na operação de crédito, os juros podem ser
aplicados a uma operação de investimento. Quando você realiza uma
aplicação financeira, o capital investido gera juros, produzindo um
montante ao final do período de investimento.
Suponha que uma pessoa pegue 1.000 reais emprestados em um
banco. Depois de algum tempo, essa pessoa quita a dívida pagando ao
banco 1.010 reais.
Vamos calcular:
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C) e
dos Juros (J), temos:
Logo:
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C) e
dos Juros (J), temos:
Podemos determinar o valor percentual ao qual esses juros
correspondem, fazendo:
M = C + J
Os juros 
M = C + J
 1. 010 = 1.000 + J
J = 10 reais 
A taxa de juros 
J
C
× 100% =
10
1.000
× 100% = 0, 01 × 100% = 1%
Ou seja, os juros pagos corresponderam a 1% do capital .
Você saberia dizer se esses juros são altos ou baixos? Reflita um pouco.
Nesta análise, vamos imaginar duas situações, o empréstimo teve prazo
de:
1 ano
Nesse caso, todos
certamente
considerariam os juros
bem baixos (1% ao
ano).
1 dia
Nesse, entretanto,
considerariam os juros
bem elevados (1% ao
dia).
Observamos então que, para avaliar os juros, é preciso conhecer o prazo
a que se referem.
Os juros de uma operação podem, portanto, ser expressos como um
percentual do capital em determinado prazo. A isso chamamos de taxa
de juros .
Taxa de juros
Dado o que acabamos de ver, definimos taxa de juros (do inglês interest
rate) como a razão entre os Juros e o Capital, expressa em porcentagem
e referida a determinado prazo:
Os prazos mais comuns aos quais a taxa de juros se refere podem ser:
Prazo Abreviação
ao dia a.d.
ao mês a.m.

i =
J
C
Prazo Abreviação
ao bimestre a.b.
ao trimestre a.t.
ao quadrimestre a.q.
ao semestre a.s.
ao ano a.a.
ao período a.p.
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Fique atento às abreviações, pois as usaremos bastante de agora em
diante.
Suponha que um investidor aplicou 2.500 reais em um CDB e resgatou, 1
ano após a aplicação, 2.750 reais. Vejamos como calcular:
Nessa operação:
Logo:
Para calcularmos a taxa de juros, fazemos:
Os juros 
M = C + J
C = 2.500
M = 2.750
2.750 = 2.500 + J
J = 2.750 − 2.500 = 250 reais 
A taxa de juros 
A taxa de juros fica expressa ao ano (a.a.), pois o periodo da
aplicação foi de 1 ano.
Notem que há uma distinção entre Juros e Taxa de Juros! Como vimos,
eles não são a mesma coisa. Os juros são expressos em unidades
monetárias: reais, dólares, euros etc. Já as taxas de juros são expressas
em percentual e referidas a um período (dia, mês, ano etc.).
Taxa de juros e exemplo de Regime
de Capitalização Simples
Neste vídeo, entenda um pouco mais sobre juros e taxa de juros.
Regime de Capitalização Simples
Um Regime de Capitalização consiste na forma como os juros se
acumulam, incidindo periodicamente sobre o capital.
No Regime de Capitalização Simples, ou Juros
Simples, somente o Capital Inicial rende juros. Assim, o
valor dos juros que são acrescidos ao capital é
calculado com base apenas no capital inicialmente
investido.
Em cada período de capitalização simples, o valor dos juros a serem
incorporados na operação é igual a:
i =
J
C
=
250
2.500
= 0, 10 × 100% = 10% a. a .

Se um investidor aplica um capital (C) por n períodos em um regime de
capitalização simples a uma taxa de juros igual a i ao período, temos
que os juros calculados são:
Após o 1º período: C×i
Após o 2º período: C×i
... ...
Após o n-ésimo período: C×i
E teremos um Montante (M) igual a:
Essas são as expressões para os juros e montante no Regime de
Capitalização Simples.
Atenção!
Lembre-se de que o número de períodos (n) e a taxa de juros (i) devem
estar na mesma unidade de tempo! Se n está expresso em meses, então
i deve ser “ao mês”; se n estiver em anos, i deve ser “ao ano”, e assim
por diante!
Vamos a um exemplo:
Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pago em 3
anos, a juros simples de 15% ao ano?
Para juros simples, temos que:
No enunciado, são dados:
J = C × i
J = C × i × n
M = C + J
M = C + C × i × n
M = C × (1 + i × n )
M = C × (1 + i × n)
C = 2.000, i= 15% a. a. = 0, 15, n = 3 anos 
Como ambos, i e n, estão expressos na mesma unidade de tempo,
podemos substituir seus valores na expressão e obteremos o seguinte
montante:
Podemos resumir o que se passou durante o período na tabela abaixo:
Instante Juros Montante
t=0 - 2.000
t= 1 ano 2.000 x 15% = 300 2.000 + 300 = 2300
t = 2 anos 2.000 x 15% = 300 2.300 + 300 = 2.600
t = 3 anos 2.000 x 15% = 300 2.600 + 300 = 2.900
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Repare que os juros anuais são sempre iguais a 300 reais, uma vez que
são obtidos pela aplicação da taxa de juros de 15% sobre o capital
inicial de 2.000 reais.
Taxas proporcionais e equivalentes
em juros simples
Quando podemos dizer que duas taxas são equivalentes?
Quando são aplicadas ao mesmo capital (C) durante o mesmo prazo
(n), produzem o mesmo montante (M). No caso de juros simples, as
taxas equivalentes são proporcionais.
Isso significa que a taxa anual será doze vezes maior que a mensal e
duas vezes maior do que a semestral.
Vamos ver um exemplo?
M = 2.000 × (1 + 0, 15 × 3)
M = 2.000 × 1, 45 = RS2.900, 00
Uma taxa de juros simples de a.m. é equivalente a uma taxa de 
a.t., pois a taxa trimestral será 3 vezes maior do que a taxa mensal, uma
vez que há 3 meses em um trimestre.
Assim, aplicar um capital de 100 reais por 3 meses a uma taxa de juros
simples de a.m. corresponde a aplicar os mesmos 100 reais por um
trimestre a uma taxa de a.t.:
Mão na massa
Questão 1
Você foi ao banco solicitar um empréstimo de R$ 1.000,00 por um
mês, e o banco cobrou uma taxa de juros de 1,5% a.m. Quanto você
pagará de juros nessa operação?
Parabéns! A alternativa B está correta.
Sabemos que a taxa de juros é obtida fazendo:
1% 3%
1%
3%
100 × (1 + 1% × 3) = 100 × (1 + 3% × 1)

A R$ 20,00
B R$ 15,00
C R$ 25,00
D R$ 10,00
E R$ 30,00
Como, no nosso exemplo, C = R$ 1.000,00 e i =1,5% a.m.,
temos:
Lembrem-se bem dessa última expressão (J=C.i), que nos permite
calcular os juros de uma operação. Basta aplicar a Taxa de Juros ao
Capital.
Questão 2
Um produto custou R$ 144,00, já com desconto de 20% sobre seu
preço à vista. Se o comprador o tivesse adquirido com pagamento
após um mês, pagaria 5% de juros sobre o preço à vista. Quanto
teria pago se comprasse a prazo?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Seja P o preço do produto. Com um desconto de , o comprador
pagou R$ 144,00 , ou seja:
i =
J
C
→ J = C × i
J = 1.000 × 1, 5% = 1.000 × 0, 015 = R $15, 00
A R$ 189,00
B R$ 180,00
C R$ 190,00
D R$ 179,00
E R$ 170,00
20%
P × (1 − 20%) = 144
Se comprasse a prazo, pagaria esse preço, acrescido de juros de
5%. Vamos calcular os juros:
o comprador teria pago:
Questão 3
Um banco aplica R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 15% a.m.
por n meses. Após esse período, ele reaplica o montante obtido à
taxa de juros simples de 20% a.m., por 4 meses, obtendo um
montante final de R$ 234.000,00. Qual o prazo da primeira
aplicação?
Parabéns! A alternativa C está correta.
P × 0, 80 = 144 → P =
144
0, 80
= R $180, 00
J = C × i
J = 180 × 5% = 180 ×
5
100
= R $9, 00
180 + 9 = R $189, 00
A 5 meses.
B 3 meses.
C 2 meses.
D 4 meses.
E 6 meses
Após (n) meses da primeira aplicação, o investidor terá um
montante de:
Esse será o capital aplicado na segunda operação, gerando um
montante igual a:
A resposta encontrada está em meses, pois utilizamos uma taxa de
juros expressa ao mês.
Questão 4
Um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros simples de 60% ao ano,
rendeu R$ 900,00. Qual é o prazo da aplicação?
M1 = 100.000 × (1 + 0, 15 × n)
M2 = M1 × (1 + 0, 20 × 4)
M2 = 100.000 × (1 + 0, 15 × n) × (1 + 0, 20 × 4)
234.000 = 100.000 × (1 + 0, 15 × n) × 1, 80
1 + 0, 15 × n =
234.000
100.000 × 1, 80
1 + 0, 15 × n = 1, 30
0, 15 × n = 0, 30
n =
0, 30
0, 15
= 2 meses 
A 5 meses.
B 3 meses.
C 2 meses.
D 4 meses.
E 6 meses
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para juros simples, temos:
Logo, substituindo na expressão, temos:
O resultado é expresso em anos, pois a taxa de juros utilizada á
anual (ao ano). Para calcular o período em meses, basta
multiplicarmos o valor obtido por 12.
Questão 5
Qual é o capital que, investido por 4 meses a uma taxa de juros
simples de 2% a.m., gera um montante de R$ 1.080,00?
Parabéns! A alternativa D está correta.
J = C × i × n
C = 6. 000
i = 60% a.a. = 0, 60
J = 900
900 = 6.000 × 0, 60 × n
n =
900
6.000 × 0, 60
= 0, 25 anos 
A R$ 3.000,00
B R$ 5.000,00
C R$ 2.000,00
D R$ 1.000,00
E R$ 4.000,00
Para juros simples, temos:
Logo, substituindo na expressão, temos:
Questão 6
Calcule as taxas de juros simples mensais equivalentes às
seguintes taxas:
I - 24% a.a.
II - 6% a.s.
III -16% a.q.
IV - 9% a.t.
V -3% a.b.
Assinale a alternativa com a sequência de resultados correta:
M = C × i × n
M = 1.080
i = 2% a.m. = 0, 02
n = 4 meses 
1.080 = C × (1 + 0, 02 × 4) = C × 1, 08
C =
1.080
1, 08
= R$1.000, 00
A
I - 2%a.m., II - 1%a.m., III - 4%a.m., IV - 3%a.m., V -
1,5% a.m.
B
I - 1% a.m., II - 2% a.m., III - 4% a.m., IV - 3% a.m., V -
1,5% a.m.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Em juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais. Assim,
para determinarmos as taxas de juros simples mensais em cada
um dos itens do enunciado, fazemos:
Teoria na prática
O regime de capitalização simples é incomum no mercado financeiro,
mas podemos encontrar exemplos em empréstimos informais, como
entre amigos ou familiares.
Imagine que João empreste R$ 1.000,00 a seu amigo Paulo, que se
compromete a devolver R$ 1.050,00 após um ano. Quando chega a data
do pagamento, Paulo diz que está com dificuldade, mas pagará R$
1.100,00 após mais um ano. Ou seja, Paulo paga R$ 50 a João por cada
ano do empréstimo ou 5% do valor emprestado (R$ 1.000,00).
C
I - 2% a.m., II - 1% a.m., III - 3% a.m., IV - 1,5% a.m., V -
4% a.m.
D
I - 1% a.m., II - 1% a.m., III - 1,5% a.m., IV - 4% a.m., V -
1,5% a.m.
E
I - 1% a.m., II - 2% a.m, III - 3% a. m., IV - 1,5% a.m., V -
4% a.m.
ia =
24%
12
= 2% a.m. ib =
6%
6
= 1%a. m. ic =
16%
4
= 4%a. m.
id =
9%
3
= 3% a. m. ie =
3%
2
= 1, 5%a. m
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Mostrar solução
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Calcule o montante que um capital de R$ 2.000,00 gera a uma taxa
de juros simples de 2% a.m., depois de cinco meses e meio:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para juros simples, temos:
Como i e n estão expressos em meses, podemos substituir seus
valores na expressão para calcularmos o Montante.
A R$ 220,00
B R$ 22.000,00
C R$ 2.105,00
D R$ 2.220,00
E R$ 2.225,00
M = C × (1 + i × n)
C = 2.000
i = 2% a.m. = 0, 02
n = 5, 5 meses 
M = 2.000 × (1 + 0, 02 × 5, 5) = 2.220
Questão 2
Um jovem aplica R$ 2.500,00 a juros simples pelo prazo de 2
meses, resgatando, ao final do prazo, R$ 2.657,50. A taxa anual da
aplicação foi de:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Os juros do periodo foram de:
Em juros simples, temos que:
A questão pede a taxa anual. Como em juros simples as taxas
equivalentes são proporcionais, a taxa anual é obtida multiplicando-
se a taxa mensal por 12 . Assim:
A 3,15%
B 37,8%
C 13,0%
D 9,6%
E 17,8%
J = 2.657, 50 − 2.500 = 157, 50
J = C × i × n
(157, 50 = 2.500 × i × 2)
i =
157, 50
2.500 × 2
= 0, 0315 = 3, 15% a.m. 
2 - Taxa de juros composta
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car a relação entre Capital, Montante, prazos
e os diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Composta.
Regime de capitalização composta
No Regime de Capitalização Simples, os juros de cada período de
capitalização são calculados exclusivamente sobre o Capital Inicial da
operação. No entanto, a maioria das operações financeiras não são
estruturadas no Regime Simples.
No Regime de Capitalização Composta, ou Juros Compostos, a cada
período de capitalização os juros são incorporados ao capital do
período anterior para servirem como base de cálculo dos juros no
próximo período.
i anual = 3, 15%× 12 = 37, 8%a. a.
Chamando o Capital Inicial da operação de , observamos que esse
capital passa por uma série de aumentos sucessivos a uma taxa i.
Como aumentar um valor em equivale a multiplicá-lo por ,
se a taxa de juros é igual a i, a cada período de capitalização, o capital é
multiplicado por .
Ao final de periodos, temos um montante final igual a:
Logo, da relação entre Montante, Capital e Juros, temos:
Substituindo a expressão que encontramos para o Montante nessa
última equação, temos:
Veja agora como seria a aplicação de um valor e quanto seria o
rendimento em juros após determinado período.
Taxas de juros efetivas e nominais
Nem sempre a taxa de juros estará expressa na mesma unidade de
tempo do período de capitalização, ou seja, o período em que os juros
são incorporados ao capital.
Nesse caso, existem dois tipos de taxas:
C
× % (1 + × %)
(1 + i)
n
M = C × [(1 + i) × (1 + i) ⋯ (1 + i) ]
M = C + J → J = M − C
J = C × (1 + i)n − C
J = C × [(1 + i)n − 1]
Efetivas
São as taxas aplicadas quando os períodos coincidem.
Taxas Efetivas
5% a.m. com capitalização mensal
4% a.a. com capitalização anual
10% a.s.
1% a.d.
Tabela: Taxas efeitvas.
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Nominais
Nas situações em que a taxa de juros está expressa em unidade
de tempo diferente da unidade de tempo do período de
capitalização.
Taxas Nominais
10% a.b. com capitalização mensal
12% a.a. com capitalização semestral
6% a.m. com capitalização diária
8% a.s. com capitalização trimestral
Tabela: Taxas nominais.
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Notem que quando nada é dito sobre o período de capitalização,
inferimos que se trata de taxa de juros efetiva.
Nas fórmulas que desenvolvemos para juros
compostos, devemos sempre utilizar taxas efetivas!
Caso tenha sido informada uma taxa nominal,
devemos convertê-la para a taxa efetiva antes de
aplicar a fórmula.
E como fazemos isso? Simples. As taxas efetiva e nominal são taxas
proporcionais.
Vamos converter, então, as taxas nominais da tabela anterior em taxas
efetivas:
Taxas Nominais Taxas Efetivas
10% a.b. com capitalização
mensal
12% a.a. com capitalização
semestral
6% a.m. com capitalização diária
8% a.s. com capitalização
trimestral
 a.t.
Tabela: Conversão de taxas nominais em taxas efetivas.
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Taxas equivalentes
Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital (C) e
pelo mesmo período (n), produzem o mesmo montante (M). No
entanto, à diferença dos juros simples, as taxas proporcionais não são
equivalentes para juros compostos!
Para encontrarmos taxas equivalentes em juros compostos, usamos a
seguinte fórmula, em que as taxas são sempre efetivas, nunca nominais:
Onde n1 e n2 representam o mesmo periodo de tempo, mas estão
expressos na unidade de suas taxas correspondentes.
im = 10%2 = 5%a. m
i s = 12%2 = 6%a. s
id = 6%30 = 0, 2%a ⋅ d
i t = 8%2 = 4%
i1 = (1 + i2)n 2/ n 1 − 1
Agora, vamos ver um exemplo:
A taxa composta mensal equivalente a 12% ao ano pode ser
determinada da seguinte forma:
Taxa real e Taxa aparente
Como estamos falando do valor do dinheiro no tempo, não podemos
deixar de falar de inflação. A inflação é o termo usado para designar a
alta geral dos preços em uma economia. O seu oposto é a deflação,
uma queda geral dos preços na economia.
Comentário
Também podemos compreender a inflação como uma redução no poder
de compra da moeda, pois, com os preços mais altos, a mesma
quantidade de dinheiro compra menos produtos.
Sabemos, portanto, que a inflação altera o valor do dinheiro no tempo,
exatamente como fazem os juros. Assim, quando aplicamos
determinado capital, o montante recebido ao final da operação não tem
o mesmo poder de compra que teria no início da operação, pois foi
corroído pela inflação.
Dessa forma, a taxa de juros que recebemos na aplicação é uma taxa
aparente, pois não leva em consideração as perdas ocasionadas pela
inflação. Se o efeito da inflação for descontado dessa taxa aparente,
obtemos a taxa real da operação.
Por conseguinte, temos duas novas definições:
Taxa real
É a taxa que
representa o
ganho efetivo do
investimento;
Taxa aparente
É a taxa nominal
da operação
financeira;
im = (1 + i a )
1 mês 
12meses − 1
im = (1 + 12%)
1
12 − 1 = 0, 95%a. m.

É obtida
descontando-se o
efeito da inflação.
Possui embutida
em si a inflação.
A relação entre as três taxas: taxa aparente, taxa de inflação e taxa real
é dada por:
Nesta fórmula, as três taxas são taxas efetivas expressas no mesmo
período. Em outras palavras, se estamos falando de um período de 1
ano, as três taxas devem ser taxas efetivas anuais. Portanto, antes de
usarmos a fórmula, devemos converter as taxas para as mesmas
unidades de tempo.
Exemplo
A taxa de juros oferecida por uma aplicação financeira de 1 ano foi de
6% a.a. Nesse período, a inflação acumulada foi de 3% a.a. Assim,
podemos calcular a taxa real, uma vez que a taxa de inflação é de 3%
a.a., e a taxa aparente é igual a 6% a.a. Temos:
Taxa real e taxa aparente
Neste vídeo, entenda de forma mais detalhada a diferença entre taxa
real e taxa aparente e veja um exemplo de como podemos confundi-las
na compra de um produto.
1 + i aparente = (1 + i inflação ) × (1 + i real )
1 + i aparente = (1 + i inflaçā ̃o ) × (1 + i real )
1 + 0, 06 = (1 + 0, 03) × (1 + i real )
1 + i real =
1 + 0, 03
1 + 0, 06
= 1, 029
i real = 0, 029 × 100% = 2, 9%a. a

Taxas pre�xadas e pós-�xadas
Vimos que as taxas de juros reais podem ser negativas e nenhum
investidor quer ver seu dinheiro render menos do que a inflação.
Pensando nisso, o mercado financeiro desenvolveu os títulos chamados
de pós-fixados.
Nesses títulos, negocia-se a taxa de juros reais. Funciona da seguinte
maneira:
No início da operação, o tomador e o credor acordam o valor de
juros reais que serão pagos e um fator de atualização monetária –
como, por exemplo, o Índice de Preços ao Consumidor Amplo
(IPCA) – que será usado para compensar a inflação;
Ainda, ao iniciar a operação, como não se sabe o valor da inflação
futura, também não há como saber o valor do montante a ser pago
para resgatar o título. Sobre esse tipo de operação, diz-se que está
“em aberto”;
Quando o título vence, apura-se o valor do fator de atualização
monetária (ou correção monetária) e calcula-se a taxa pós-fixada
da operação, combinando o fator de atualização com a taxa de
juros acordada no início da operação.
Chamando a taxa pós de , a taxa de correção monetária de e a
taxa de juros acordada no início da operação de , temos:
Fator de atualização monetária
Assim, em oposição aos títulos prefixados, quando se conhece a priori o
valor do montante ao final da operação, nos títulos pós-fixados só se
conhece o montante final na data do vencimento do título, ou seja, a
posteriori.
Mão na massa
ipós i cm
i juros 
(1 + i− pós) = (1 + i− cm)x (1 + i− j uros)

Questão 1
Aplicam-se R$ 1.000,00 durante 2 meses, a uma taxa de juros
compostos de 1% ao mês. Ao calcularmos os juros dessa operação,
obteremos:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para juros compostos, temos:
Lembre-se sempre que a taxa de juros e o número de períodos
devem sempre estar expressos na mesma unidade de tempo (neste
caso, meses). Logo:
Questão 2
A R$ 20,00
B R$ 20,05
C R$ 20,10
D R$ 20,01
E R$ 20,50
J = C × [(1 + i)n − 1]
C = 1.000, i = 1%a. m. = 0, 01, n = 2meses
J = 1.000 × [(1 + 0, 01)2 − 1]
J = 1.000 × [1, 0201 − 1] = R$20, 10
Por quantos meses devo aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa de juros
compostos de 0,5% a.m. para obter R$ 10.000,00?
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para resolver esse exercicio, precisaremos recordar uma
propriedade dos logaritmos, pois queremos calcular o número de
periodos n, que está no expoente da fórmula.
A propriedade dos logaritmos que nos será muito útil é a seguinte:
Ou seja, quando aplicamos o logaritmo a uma potência qualquer, o
expoente passa para a frente do logaritmo,multiplicando-o.
Vamos ao cálculo. Para juros compostos, temos que:
Logo:
A 460 meses
B 450 meses
C 412 meses
D 462 meses
E 432 meses
log a b = b × log a
M = C × (1 + i)n
C = 1.000M = 10.000i = 0, 5%a. m. = 0, 005
10.000 = 1.000(1 + 0, 005)n
(1 + 0, 005)n = 10.000/ 1.000
Como a taxa de juros estava expressa ao mês, encontramos n
igualmente expresso em meses.
Questão 3
Qual é o montante gerado por um capital de R$ 55.000,00, aplicado
à taxa de 36% a.a. por um ano, com capitalização mensal
composta?
Parabéns! A alternativa A está correta.
O enunciado fala em 36% ao ano, com capitalização mensal, ou
seja, trata-se de uma taxa nominal, pois o prazo da taxa difere do
periodo de capitalização. A taxa efetiva mensal correspondente
será dada por:
Agora, podemos usar a fórmula dos juros compostos:
1, 005n = 10
n = log 10/ log 1, 005
n = 1/ 0, 002166
n = 462
A R$ 78.416,85
B R$ 87.416,85
C R$ 78.410,58
D R$ 87.614,85
E R$ 87.410,58
im =
36%
12
= 3%a ⋅ m
São dados:
Note que a taxa efetiva que calculamos é mensal, o que implica em
usar n expresso em meses. Logo:
Questão 4
Qual a taxa efetiva anual equivalente a 10% ao ano, com
capitalização semestral?
Parabéns! A alternativa B está correta.
O enunciado fala em 10% ao ano, com capitalização semestral, ou
seja, trata-se de uma taxa nominal, pois o prazo da taxa difere do
periodo de capitalização. A taxa efetiva semestral correspondente
será dada por:
M = C × (1 + i)n
C = 55.000, i = 3%a. m. = 0, 03, n = 1 ano = 12 meses 
M = 55.000 × (1 + 0, 03)12 = R378.416, 85
A 10,15% a.a.
B 10,25% a.a.
C 10,55% a.a.
D 10,45% a.a.
E 10,35% a.a.
No entanto, o enunciado nos pede a taxa efetiva anual. Temos,
então, que calcular a taxa anual equivalente a 5% a.s.:
Questão 5
Se a taxa de juros nominal for de 10% a.a., e a taxa de inflação for
de 4% a.a., quanto vale a taxa de juros real?
Parabéns! A alternativa D está correta.
Estamos vendo um exemplo em que a nomenclatura "taxa nominal"
está sendo usada como sinônimo de taxa aparente. As taxas se
relacionam da seguinte forma:
i s =
10%
2
= 5%a. s.
i a = (1 + i s )
2 semest res 
1 semest re − 1
i a = (1 + 0, 05)2 − 1 = 10, 25%a. a
A 8,5% a.a.
B 5,5% a.a.
C 6,5% a.a.
D 5,8% a.a.
E 6,8% a.a.
1 + i aparente = (1 + i inflaçāo ) × (1 + i real )
(1 + 0, 10) = (1 + 0, 04) × (1 + i real )
1 + i real =
1, 10
1, 04
= 1, 058
i real = 0, 058 × 100% = 5, 8% a.a. 
As taxas aparentes, ou nominais, não podem ser negativas, mas
isso não ocorre com as taxas de juros reais. Quando a inflação é
superior à taxa aparente, a taxa real fica negativa. Isso significa que
os juros auferidos não compensaram as perdas com a inflação.
Nesse caso, há uma perda real.
Questão 6
Um investimento de R$ 1.000 por um ano é remunerado com 50% a
título de juros, mais a inflação do período, que ficou em 20%. Qual
foi o montante final da operação?
Parabéns! A alternativa C está correta.
Vamos aos cálculos:
Como o valor do empréstimo era de 1.000 reais, temos que o valor
final será dado por:
A R$ 1.300,00
B R$ 1.500,00
C R$ 1.800,00
D R$ 1.600,00
E R$ 1.700,00
(1 + ipis ) = (1 + i cm ) × (1 + i juros )
(1 + ipis ) = (1 + 0, 20) × (1 + 0, 50) = 1, 80
ipis = 0, 80 × 100% = 80% a.a. 
M = 1.000 × (1 + 80%) = R $1.800, 00
Os títulos pós-fixados não precisam, necessariamente, ser
corrigidos pela inflação. Também são muito comuns os títulos
corrigidos pela taxa de câmbio ou juros que não são conhecidos no
início da operação, como as taxas do CDI ou do Selic. As duas
últimas também são conhecidas como taxas "over". A lógica, no
entanto, é a mesma.
Teoria na prática
A capitalização composta é a mais usada no mercado financeiro. Se
você tem recursos investidos, ela trabalha a seu favor, fazendo o
investimento crescer mais rapidamente. Uma dívida, porém, também irá
crescer rapidamente.
Imagine que você entrou em R$ 100,00 no cheque especial do seu
banco, que cobra juros (compostos) de incríveis 12,5% ao mês.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um fundo de investimento recebe uma aplicação de R$ 10.000,00 e
oferece uma taxa efetiva de 5% a.a. com capitalização composta.
Quais serão os juros auferidos após 36 meses?
_black
Mostrar solução
A R$ 1.576,25
B R$ 1.500,00
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para juros compostos, temos:
Lembremos sempre de colocar a taxa de juros e o número de
periodos expressos na mesma unidade de tempo!
Logo:
Questão 2
A inflação acumulada nos últimos seis meses foi de 3%. Um
investimento rendeu 6% no mesmo período. Calcule a taxa de
rendimento anual real desse investimento:
C R$ 11.576,25
D R$ 67.918,16
E R$ 11.500,00
J = C ⋅ [(1 + i)n − 1]
C = 10.000, i = 5% a. a. = 0, 05, n = 36 meses = 3 anos 
J = 10.000. [(1 + 0, 05)3 − 1] = 1.576, 25
A 3%
B 6%
C 2,91%
D 5,91%
Parabéns! A alternativa D está correta.
Vamos aos cálculos:
Note que a resposta é uma taxa semestral, pois as taxas que
usamos são semestrais. Para calcular a taxa equivalente anual,
fazemos:
3 - Desconto
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua
aplicabilidade.
E 4%
(1 + i aparente ) = (1 + i inflação ) × (1 + i real )
1 + 6% = (1 + 3%) × (1 + i real )
1 + i real =
1, 06
1, 03
= 1, 02913
i real = 0, 029 = 2, 913% a.s. 
i anual = (1 + i semest ral )
2 − 1
i anual = (1 + 2, 913%)2 − 1 = 0, 0591 = 5, 91% a.a. 
Descapitalização ou desconto
racional
A Descapitalização é a operação inversa da Capitalização.
Na Capitalização, os Juros (J) são incorporados a um Capital (C) para
formar um Montante (M), ou seja, ao Valor Presente (VP) somam-se
juros para formar um Valor Futuro (VF).
Já na Descapitalização, os juros são retirados de um Valor Futuro para o
cálculo do Valor Presente.
Assim, o desconto racional corresponde aos juros que seriam
incorporados ao Capital na operação de capitalização.
Desconto comercial
Para entendermos os descontos comerciais, precisamos ver o que são
os Títulos de Crédito.
Títulos de Crédito são papéis emitidos por um ente qualquer (Devedor),
onde consta uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em
uma data (Vencimento) a outro ente (Credor).
Exemplo
Como exemplos de títulos de Crédito, podemos citar: duplicatas, notas
promissórias, letras de câmbio, cheque pré-datado etc. Há pequenas
diferenças entre esses diversos títulos: na duplicata, o Credor emite o
Título, sendo, portanto, o Emissor. Já na nota promissória e no cheque, o
Emissor é o devedor.
A característica comum a esses títulos e que os torna relevantes no
nosso estudo é a possibilidade de serem “descontados”.
Há duas situações que podem ocorrer com os descontos de títulos de
crédito:
Situação 1
O devedor pode antecipar o pagamento da dívida, ou seja, resgatar o
título antes do vencimento.
Situação 2
O credor pode necessitar o recebimento do valor da dívida antes do
prazo e, para isso, “vende” o título de crédito a um terceiro.
Em qualquer das duas situações, haverá um “desconto” sobre o Valor de
Face do título. No primeiro caso, o desconto servirá para recompensar o
devedor pelo pagamento antecipado. No segundo caso, o “desconto”
será a remuneração do terceiro que “comprou” o título. Essas duas
operações são chamadas de Operações de Desconto.
Atenção!
Cuidado com a nomenclatura! Quando um devedor antecipa um
pagamento ou um credor “vende” um título de crédito, dizemos que eles
estão resgatando ou descontando o título.
Nessas operações, obtém-se o Valor Presente do Título (ou Valor Atual,
ou Valor Descontado, ou Valor Líquido, ou Valor de Resgate), retirando-
se do seu Valor de Face (ou Valor Futuro, ou Valor Nominal, ou Valor no
Vencimento) o Valor do Desconto.
Assim, temos a seguinte relação:
Valor Presente
VP = VF - Desconto
Desconto
Desconto = VF - VP
Vamos ver um exemplo?
Imaginemos agora a seguinte situação: você possui uma duplicata com
Valor Nominal (VF) igual a 1.100 reais, vencendo em1 ano. Contudo,
você não quer esperar todo esse tempo para receber o Valor de Face da
duplicata e decide antecipar seu recebimento, descontando o título em
um banco.
O banco vai, então, oferecer um valor por esse título (VP), baseado no
que ele quer receber de remuneração pela operação.
Suponhamos que o banco lhe ofereça a compra do título por 900 reais.
Nesse caso, temos o seguinte valor para o desconto:
Reparou que, na operação de descapitalização, o valor do desconto
estava diretamente ligado à taxa de juros da operação de capitalização
correspondente?
Essa é uma situação típica de pagamento antecipado de dívidas.
Já no desconto comercial, o valor vai depender de negociação entre o
credor, que deseja antecipar o recebimento do título, e o banco que vai
descontá-lo.
Desconto Racional
Operação inversa
da capitalização
(Descapitalização);
Comum em
pagamentos de
antecipados de
Desconto Comercial
Não guarda
relação direta
com a operação
de crédito original;
Comum em
antecipação de
Desconto = V F − V P
Desconto = 1.100 − 900 = 200 reais 

dívidas (Devedor
antecipa).
recebíveis (Credor
antecipa).
Vamos ressaltar mais uma vez a nomenclatura que é utilizada nos
descontos:
Agora, veremos as 4 formas distintas de cálculo de descontos: o
desconto comercial simples, o desconto racional simples, o desconto
racional composto e o desconto comercial composto.
Desconto comercial simples ou
desconto bancário
Também conhecido como desconto “por fora”, esse é o desconto mais
utilizado pelas Instituições Financeiras (bancos, empresas de factoring
etc.) para o desconto de duplicatas e títulos de crédito em geral. Ele é
um desconto comercial, ou seja, não se trata de uma operação de
descapitalização, e é calculado com base no Regime Simples.
Reservaremos a letra maiúscula ‘D’ para representar o desconto
comercial simples.
Como vimos, esses títulos de crédito possuem duas informações
principais: o seu Valor Nominal (VF) e a data de vencimento, ou o prazo
para o vencimento (n).
Usando essas informações, mais uma taxa de desconto comercial
simples (iD) oferecida pelo banco, podemos calcular o valor do
desconto pela seguinte expressão:
Note a semelhança com a expressão que utilizamos para o cálculo dos
juros simples.
Como vimos, o valor atual de um título (VP) é dado pela diferença entre
o Valor Nominal (VF) e o desconto (D). Logo, temos:
 Desconto = V F − V P
D = VF × iD × n
Desconto racional
Desconto racional simples ou “por dentro” (D)
Este é o desconto utilizado em operações de descapitalização sob o
Regime Simples ou linear. Reservaremos a letra minúscula ‘d’ para
representar esse desconto, e chamaremos de id a taxa de desconto
racional simples.
A expressão do desconto é dada por:
A diferença em relação ao desconto comercial simples está no fato de
que o desconto comercial é calculado sobre o valor de face (VF),
enquanto o desconto racional é calculado sobre o valor atual do título
(VP).
Novamente, sabemos que o valor atual de um título é dado pela
diferença entre o valor de face e o desconto. Logo:
Ou
Note, da expressão acima, que a taxa de desconto racional é a própria
taxa da operação de capitalização no regime simples, ou seja, estamos
realmente falando de uma operação de descapitalização.
VP = VF − D
VP = VF − VF × iD × n
VP = VF (1 − iD × n)
d = VP × id × n
VP = VF − d
VP = VF − VP × id × n
VF = VP + VP × id × n
V F = V P × (1 + id × n)
VP =
VF
1 + id × n
Desconto racional composto
Neste vídeo, entenda melhor o que é Desconto Racional Composto ou
“por dentro” (DRC). Veja também exemplos de sua aplicabilidade e qual
a sua importância.
Desconto racional composto ou “por dentro” (DRC)
Este é o desconto mais utilizado nas operações de descapitalização,
pois a maioria das operações de capitalização são efetuadas sob o
regime composto.
Sabemos, do nosso estudo da capitalização composta, que:
Como vimos que o desconto é sempre dado pela diferença entre o Valor
Nominal (VF) e o Valor Atual (VP), temos:
Desconto comercial composto ou “por
fora” (DCC)

V F = V P × (1 + i)n
V P =
VF
(1 + i)n
D R C = V F − V P
D R C = V F −
V F
(1 + i)n
De forma similar ao desconto racional simples, esta forma de cálculo é
utilizada em operações de desconto de títulos pelas instituições
financeiras, porém com menos frequência do que o seu similar simples.
Neste caso, temos:
Como o desconto é dado pela diferença entre VF e VP, temos:
Mão na massa
Questão 1
Suponha que você possua um título de Valor Nominal (VF) igual a
R$ 1.100,00 e com vencimento em 1 ano. Além disso, a taxa de
juros anual praticada no mercado é de 10% a.a. Qual é o Valor Atual
(VP) desse título?
V P = V F × (1 − i)n
D CC = VF − VP
D CC = VF − VF × (1 − i)n

A R$ 900,00
B R$ 1.000,00
C R$ 1.050,00
D R$ 950,00
E R$ 850,00
Parabéns! A alternativa B está correta.
O que faremos para calcular o valor atual é a operação inversa da
capitalização. Sabemos que:
Logo:
Também podemos calcular o valor do desconto, caso esse título
fosse resgatado antecipadamente:
Questão 2
Qual é o valor de desconto comercial simples de um título com
valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 4 meses se a taxa
de desconto é de 60% ao ano?
VF = VP × (1 + i)
VP =
VF
1 + i
=
1.100
1 + 10%
= R$1.000, 00
Desconto = VF − V P
Desconto = 1.100 − 1.000 = R$100, 00
A R$ 2.000,00
B R$ 2.050,00
C R$ 2.150,00
D R$ 3.000,00
Parabéns! A alternativa D está correta.
O desconto comercial “por fora” é dado por:
Logo:
Questão 3
Qual é o valor de desconto racional simples de um título com valor
de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses se a taxa de
desconto é de 60% ao ano?
E R$ 170,00
D = VF × iD × n
VF = 15.000
iD = 60% a.a. = 0, 60
n = 4 meses = 4/ 12 = 0, 33 anos 
D = 15.000 × 0, 60 × 0, 33 = R$3.000, 00
A R$ 1.956,52
B R$ 1.556,52
C R$ 1.765,25
D R$ 1.865,25
E R$ 1.756,52
Parabéns! A alternativa A está correta.
O desconto racional simples ("por dentro") é dado por:
Logo:
Questão 4
Qual é o valor de desconto racional composto de um título com
valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses se a taxa
de desconto é de 60% ao ano?
Parabéns! A alternativa C está correta.
O desconto racional composto é dado por:
d = VF − VP = VF −
VF
1 + iD × n
VF = 15.000
id = 60% a.a. = 0, 60
n = 3 meses = 3/ 12 anos = 0, 25 anos 
d = 15.000 −
15.000
1 + 0, 60 × 0, 25
= R$1.956, 52
A R$ 1.652,90
B R$ 1.552,90
C R$ 1.662,90
D R$ 1.562,90
E R$ 1.752,90
Logo:
Questão 5
Qual é o valor de desconto comercial composto de um título com
valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses se a taxa
de desconto é de 60% ao ano?
Parabéns! A alternativa C está correta.
O desconto comercial composto é dado por:
D RC = VF − VP = VF −
VF
(1 + i)n
VF = 15.000
i = 60% a.a. = 0, 60
n = 3 meses = 3/ 12 anos = 0, 25 anos 
D RC = 15.000 −
15.000
(1 + 0, 60)0,25
= R$1.662, 90
A R$ 3.050,94
B R$ 3.060,49
C R$ 3.070,94
D R$ 3.040,94
E R$ 3.080,49
D CC = VF − VP = VF − VF × (1 − i)n
VF = 15.000
i = 60% a.a. = 0, 60
n = 3 meses = 3/ 12 anos = 0, 25 anos 
Logo:
Questão 6
Suponha agora que o valor do desconto seja de exatamente R$
3.000,00 para um título com valor de face de R$ 15.000,00 e
vencimento em 3 meses. Qual é a taxa de desconto?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Novamente, o desconto comercial composto é dado por.
Temos agora
e precisamos calcular o valor de i, a taxa de desconto:
D RC = 15.000 − 15.000 × (1 − 0, 60)0,25 = R$3.070, 94
A 0,5904
B 0,6
C 0,5805
D 0,9505
E 0,9
D CC = VF − VP = VF − VF × (1 − i)n
VF = 15.000, i = ?, n = 3meses = 3/ 12anos = 0, 25anos
D C C = 3. 000
Teoria na prática
Está chegando a Copa do Mundo e você resolveu comprar uma televisão
nova para assistir a todos os jogos com seus amigos. Você escolheu a
melhor TV da loja, mas precisou tomar um empréstimo.
Você se comprometeu a pagar RS $10.000,00 ao seu emprestador, 12
meses depois, quando receberá um bônus no seu trabalho,a uma taxa
de juros de 1% ao mês.
Mas você deu sorte e ganhou o bolão da Copa com os amigos do
escritório! Foi um bolão generoso: após apenas um mês do empréstimo,
você pôde quitar a dívida.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
3.000 = 15.000 − 15.000 × (1 − i)0,25
15.000 × (1 − i)0,25 = 12.000
(1 − i)0,25 =
12.000
15.000
(1 − i)0,25 = 0, 8
( (1 − i)0,25) 4 = 0, 84
1 − i = 0, 4096
i = 0, 5904
_black
Mostrar solução
Questão 1
Qual o valor do desconto comercial simples de um título com valor
de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, considerando
uma taxa de desconto de 60% a.a.?
Parabéns! A alternativa C está correta.
Vamos aos cálculos:
Questão 2
Uma loja anunciou que venderia seus produtos com pagamento
somente após três meses. João queria comprar um artigo por R$
1.000,00 e propôs ao lojista pagar à vista com desconto racional
simples de 2% ao mês. Se o lojista aceitar a proposta de João,
quanto ele pagará?
A R$ 27.000
B R$ 2.500
C R$ 2.250
D R$ 2.125
E R$ 13.500,00
D = VF × iD × n
VF = 15.000
iD = 60% a.a. = 0, 60
n = 3 meses = 3/ 12 anos 
D = 15.000 × 0, 60 ×
3
12
= R$2.250
Parabéns! A alternativa D está correta.
Vamos aos cálculos:
4 - Equivalência de capitais
A R$ 960,00
B R$ 942,32
C R$ 980,39
D R$ 943,40
E R$ 950,00
VP =
VF
(1 + id × n)
VP =
1.000
(1 + 0, 02 × 3)
= R$943, 40
Ao �nal deste módulo, você será capaz de comparar valores monetários em diferentes
instantes de tempo.
Equivalência de capitais
Da mesma forma que vimos taxas equivalentes, dois capitais são
considerados equivalentes se produzem o mesmo resultado final para o
investidor/devedor, mesmo que estejam em diferentes instantes de
tempo.
Vamos imaginar um Capital de 1.000 reais aplicado a uma taxa de juros
de 10% a.a. Assim, o montante ao final de 1 ano será de:
Ou, graficamente:
Portanto, a uma taxa de 10% a.a., é indiferente receber 1.000 reais hoje
ou 1.100 reais em um ano. Dizemos, então, que esses dois capitais são
equivalentes, ou seja, 1.000 reais hoje equivalem a 1.100 reais em um
ano, a uma taxa de juros de 10% a.a.
Essa é a ideia por trás da equivalência de capitais: permitir comparar
valores monetários que estão expressos em datas diferentes, sob
determinada taxa de juros.
Notem que não podemos comparar os capitais apenas observando seus
Valores Nominais. Para compará-los, precisamos avaliá-los na mesma
data.
Assim, usamos a Capitalização para avaliar capitais em datas futuras e
os Descontos para avaliá-los em datas passadas.
Vamos agora aprofundar esse estudo de equivalência de capitais,
analisando os dois principais regimes de capitalização e descontos: o
M = 1.000 × (1 + 10%) = 1.100
Regime de Juros Simples e o Regime de Juros Compostos.
Equivalência de capitais sob juros
simples
Dizemos que dois capitais C1 e C2 são equivalentes, à mesma taxa de
juros e para a mesma data (data focal), se os seus valores, avaliados na
data focal, forem iguais.
Vamos analisar o exemplo:
Como verificamos se os capitais C1 e C2 apresentados são
equivalentes?
Para isso, precisamos definir uma data focal, na qual iremos avaliar os
dois capitais. Neste exemplo, vamos considerar a data focal como
sendo 2017.
Como estamos lidando com juros simples, podemos lembrar da
seguinte relação de capitalização em juros simples:
Assim, podemos avaliar o valor do capital C1 em 2017, fazendo:
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de C2, também
avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes na data
focal de 2017, a uma taxa de juros simples de ao ano.
V F = V P × (1 + i × n )
C 20171 = 1.000 × (1 + 10% × 2) = 1.200
10%
Da mesma forma, poderíamos ter descapitalizado C2 para trazê-lo à
data focal de 2015 :
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais e acima são equivalentes?
Veja a resposta a seguir:
Para verificar se os capitais e são equivalentes, definimos
novamente uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais.
Vamos considerar, agora, a data focal como sendo 2016.
Avaliando o valor do capital em 2016, temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de , também
avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes na data
focal de 2016, a uma taxa de juros composta de ao ano.
Vimos, então, que reais em 2015 equivalem, sob juros composto
de a.a., a reais em 2016 e a reais em 2017.
Notem o que acontece quando comparamos com :
C 20152 =
1.200
1 + 10% × 2
= 1.000
C1 C3
C1 C3
C1
C 20161 = 1.000 × (1 + 10%) = 1.100
C1 C3
10%
1.000
10% 1.100 1.210
C2 C3
Avaliando o valor do capital em 2017, temos:
Ou seja, os capitais não são equivalentes!
Esse problema não ocorre quando usamos juros compostos.
Equivalência de capitais sob juros
compostos
Vamos analisar um exemplo similar sob a ótica dos juros compostos.
Vamos verificar se os capitais e esão equivalentes:
Para juros compostos, temos:
Assim, podemos avaliar o valor do capital em 2017, fazendo:
C3
C 20173 = 1.100 × (1 + 10% × 1) = 1.210
C1 C2
V F = V P × (1 + i )n
C1
Como o valor de , avaliado em 2017, é igual ao valor de , também
avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes a uma
taxa de juros compostos de ao ano.
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais e , vistos anteriormente, são
equivalentes?
Para verificar se os capitais e são equivalentes, definimos
novamente uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais.
Vamos considerar, agora, a data focal como sendo 2016.
Avaliando o valor do capital em 2016 , temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de , também
avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes na data
focal de 2016 , a uma taxa de juros simples de ao ano.
Vimos, então, que reais em 2015 equivalem, sob juros simples de
10\% a.a., a reais em 2016 e a reais em 2017.
Apesar disso, notem o que acontece quando comparamos com ,o
que teremos? :
C 20171 = 1.000 × (1 + 10%)
2 = 1.210
C1 C2
10%
C1 C3
C1 C3
C1
C 20161 = 1.000 × (1 + 10% × 1) = 1.100
C1 C3
10%
1.000
1.100 1.200
C2 C3
Avaliando o valor do capital em 2017 , temos:
Ou seja, os capitais são equivalentes. Essa é uma propriedade
fundamental dos juros compostos, que os distinguem dos juros simples.
Se dois capitais são equivalentes em determinada data
focal e a certa taxa de juros, eles serão equivalentes
em qualquer data focal.
Por isso, sempre usaremos juros compostos para analisar equivalência
de capitais.
Equivalência de �uxos de caixa
Da mesma forma que podemos comparar dois valores monetários no
tempo, podemos comparar dois fluxos de caixa. Vamos analisar os dois
fluxos:
C3
C 20173 = 1.100 × (1 + 10%) = 1.210
Trazendo todas as entradas e saídas de caixa para 2018, temos os
seguintes valores presentes para os dois fluxos:
Como o valor presente dos dois fluxos de caixa são iguais, dizemos que
são equivalentes. E isso vale para qualquer data focal escolhida.
Por exemplo, poderíamos calcular o valor final dos fluxos da seguinte
forma:
Valores monetários em diferentes
instantes do tempo
Neste vídeo, entenda melhor como comparar valores monetários em
diferentes instantes do tempo
VP F C1 =
550
1 + 10%
+
1.210
(1 + 10%)2
= 1.500
VP F C2 = − 500 +
2.420
(1 + 10%)2
= 1.500
VF F C1 = 550 × (1 + 10%) + 1.210 = 1.815
VF F C2 = − 500 × (1 + 10%)2 + 2.420 = 1.815

Mão na massa
Questão 1
Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 10% ao ano,
equivalerá a que valor em 3 anos?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Após 3 anos, o montante da divida será dado por:
Questão 2

A R$ 13.310,00
B R$ 13.300,00
C R$ 13.130,00
D R$ 13.330,00
E R$ 13.500,00
VF = 10.000 × (1 + 10%)3 = R$13.310, 00
Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5% ao
semestre, equivalerá a que valor em 3 anos?
Parabéns! A alternativa B está correta.
Após 3 anos, ou 6 semestres, o montante da dívida será dado por:
Questão 3
Uma pessoa tomaR$ 2.000,00 emprestados, prometendo pagar
com juros de 4% a.m., em três prestações mensais. A primeira
prestação vence em 1 mês e será de R$ 1.080,00. A segunda será
de R$ 640,00. Pode-se afirmar que:
A R$ 13.300,46
B R$ 13.400,46
C R$ 13.500,46
D R$ 13.600,46
E R$ 13.700,46
VF = 10.000 × (1 + 5%)6 = R$13.400, 96
A A última prestação será igual a primeira.
B A última prestação será igual a segunda.
C A segunda prestação será a menor.
Parabéns! A alternativa D está correta.
A imagem a seguir ilustra o fluxo de pagamentos do empréstimo:
O valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor
inicial da dívida para que haja equivalência. Logo:
Multiplicando toda a expressão por:
Temos:
Questão 4
D A terceira prestação será a menor.
E A terceira prestação será a maior.
1.080
1 + 4%
+
640
(1 + 4%)2
+
P
(1 + 4%)3
= 2.000
(1 + 4%)3
1.080 × (1 + 4%)2 + 640 × (1 + 4%) + P = 2.000 × (1 + 4%)3
1.168, 128 + 665, 60 + P = 2.249, 728
P = 416, 00
Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo pagar
com juros de 3% a.m., em duas prestações mensais. A primeira
vence em 60 dias e será de R$ 600,00. Qual é o valor da segunda
prestação?
Parabéns! A alternativa C está correta.
Podemos usar o mesmo raciocínio do exercício anterior - a
diferença principal é que o primeiro pagamento já ocorre após o
segundo mês.
Novamente, o valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar
ao valor inicial da divida para que haja equivalência. Logo:
Multiplicando toda a expressão por:
Temos:
A R$ 414,73
B R$ 454,37
C R$ 474,73
D R$ 447,37
E R$ 434,73
600
(1 + 3%)2
+
P
(1 + 3%)3
= 1.000
(1 + 3%)3
600 × (1 + 3%) + P = 1.000 × (1 + 3%)3
P = R$474, 73
Questão 5
Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo pagar
com juros de 5% ao mês em duas prestações bimestrais, sendo a
primeira de R$ 1.500,00. Qual é o valor da segunda prestação?
Parabéns! A alternativa B está correta.
Usaremos novamente o raciocínio dos exercicios anteriores. Basta
prestar atenção ao fato de que os pagamentos são feitos a cada
dois meses (bimestrais), mas a taxa de juros ainda é dada ao mês.
Vamos igualar o valor presente do fluxo de pagamento ao valor
inicial da divida para que haja equivalência:
Multiplicando toda a expressão por:
Temos:
A R$ 1.982,67
B R$ 1.992,77
C R$ 1.952,67
D R$ 1.962,77
E R$ 1.952,77
1.500
(1 + 5%)2
+
P
(1 + 5%)4
= 3.000
(1 + 5%)4
1.500 × (1 + 5%)2 + P = 3.000 × (1 + 5%)4
Questão 6
Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais de R$
1.000,00 nos próximos 3 anos. Seu diretor financeiro, no entanto,
entende ser mais adequado substituir essa dívida por outra
equivalente, com 2 pagamentos iguais ao final do segundo e do
quarto anos. Se a taxa de juros é de 5% a.a., qual é o valor desses
dois pagamentos?
Parabéns! A alternativa A está correta.
A imagem a seguir ilustra os dois fluxos de pagamentos do
empréstimo. Em verde, está a situação atual, e em vermelho, a
proposta de substituição da empresa:
P = R$1.992, 77
A R$ 1.574,40
B R$ 1.547,50
C R$ 1.537,40
D R$ 1.537,50
E R$ 1.527,50
Para que os dois fluxos sejam equivalentes, seus valores, em
qualquer instante de tempo, devem ser os mesmos. Para facilitar as
contas, vamos igualar o valor dos dois fluxos em t=2 :
Teoria na prática
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 daqui a
um mês?
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem acesso.
Empresas tomam decisões como essa a todo momento, das mais
variadas formas.
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira:
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele costuma
receber um mês depois (ou em “D+30”, como esse arranjo é conhecido).
No resto do mundo, é comum que o lojista receba em apenas dois dias
(modelo “D+2”).
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra usada no
resto do mundo, mas nem todos os lojistas acharam isso uma boa ideia,
e a proposta não foi adiante. Por quê? Receber em apenas 2 dias não
seria melhor do que em 30 dias?
X +
X
(1 + 5%)2
= 1.000 × (1 + 5%) + 1.000 +
1.000
1 + 5%
X + 0, 907 × X = 1.050 + 1.000 + 952, 38
1, 907 × X = 3.002, 38
X =
3.002, 38
1, 907
= 1.574, 40
_black
Mostrar solução
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Observe a imagem a seguir:
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa
equivalentes às entradas, considerando uma taxa de juros de 4% ao
período, obteremos:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para que sejam equivalentes, o valor futuro das entradas de caixa
(setas verdes) deve ser igual ao valor futuro das saídas de caixa
(seta vermelha). Assim, considerando , temos:
A R$ 280,00
B R$ 1.000,00
C R$ 416,00
D R$ 216,00
E R$ 380,00
t = 3
Questão 2
Você pode pagar por determinado produto à vista, com desconto de
10%, ou parcelado em duas prestações iguais e mensais. A primeira
prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês depois.
Qual é a taxa de juros embutida nessa operação?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos os seguintes fluxos de pagamentos possíveis:
Como as duas formas de pagamento são equivalentes, os valores
presentes dos fluxos precisam ser iguais.
Logo:
1.080 × (1 + 4%)2 + 640 × (1 + 4%) + P = 2.000 × (1 + 4%)3
1.833, 728 + P = 2.249, 728
P = R$416, 00
A 25% a.m.
B 20% a.m.
C 15% a.m.
D 12,5% a.m.
E 17,5% a.m.
Considerações �nais
Aqui, você deu seus primeiros passos no campo da Matemática
Financeira, e agora sabe calcular o valor do dinheiro em diferentes
instantes do tempo. Isso é fundamental tanto para clientes de produtos
financeiros (qualquer pessoa com conta corrente no banco, por
exemplo) quanto para gerentes financeiros de grandes empresas.
Diversos profissionais trabalham cotidianamente com os conceitos que
aprendemos aqui: juros, capital, fluxos de caixa e regimes de
capitalização. Preste atenção e busque aplicações desses conceitos à
sua volta: de promoções em lojas a manchetes de jornais sobre
investimento ou política econômica. Você verá como os assuntos
tratados aqui estão presentes em seu dia a dia.
Podcast
Ouça agora um resumo do que foi estudado ao longo deste conteúdo.
P ⋅ (1 − 10%) = 0, 5 ⋅ P +
0, 5 ⋅ P
1 + i
0, 90 = 0, 50 +
0, 50
1 + i
0, 50
1 + i
= 0, 40
1 + i =
0, 50
0, 40
= 1, 25
i = 0, 25 = 25% a. m.

Explore +
Aprofunde os seus conhecimentos em Matemática Financeira lendo o
livro Princípios de Administração Financeira, de Lawrence J. Gitman,
que traz exemplos práticos aplicados a finanças pessoais.
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 4. ed. São
Paulo: Atlas, 1998.
GITMAN, L. J. Princípios de Administração Financeira. 7. ed. São Paulo:
Harbra, 2002.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo:
Atlas,1997.
ZIMA, P. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: McGraw-
Hill do Brasil, 1995.
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