ALGORITMO EM FORTRAN PARA ANÁLISE TERMOMECÂNICA BASEADO NO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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Revista Técnico-Científica do CREA-PR - ISSN 2358-5420 - xª edição – Data da publicação - página 1 de 6 
 ALGORITMO EM FORTRAN PARA ANÁLISE TERMOMECÂNICA 
BASEADO NO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
Resumo: O presente trabalho tem como objetivo apresentar o algoritmo em Fortran capaz de 
realizar o acoplamento termomecânico para análise de problemas de transferência de calor 
por condução em sólidos bidimensionais empregando o método dos elementos finitos. 
Propõe-se o acoplamento do campo de temperatura como condição de carregamento nodal 
na análise mecânica a partir da deformação térmica inicial. Para validar o algoritmo, utiliza-se 
o programa comercial ANSYS® cuja eficiência é comprovadamente reconhecida na literatura 
técnica. Os resultados obtidos a partir da comparação entre o algoritmo de acoplamento e o 
programa comercial são satisfatórios, indicando grande aplicabilidade do mesmo. Novos 
aprimoramentos estão sendo implementados a fim de considerar a análise transiente e os 
fenômenos de transferência como convecção e irradiação para sólidos 2D e 3D. 
 
Palavras-chave: Método dos elementos finitos, acoplamento termomecânico, condução 
térmica, sólidos bidimensionais. 
 
 FORTRAN ALGORITHM FOR THERMOMECHANICAL ANALYSIS 
BASED ON THE FINITE ELEMENT METHOD 
 
Abstract: This work aims to present the algorithm in Fortran capable to perform 
thermomechanical coupling analysis of heat transfer problems by conduction in two-
dimensional solids using the finite element method. It is proposed to couple the temperature 
field as a nodal loading condition in the mechanical analysis based on the initial thermal 
deformation. To validate the algorithm, the commercial program ANSYS® is used. The results 
obtained from the comparison between the coupling algorithm and the commercial program 
are satisfactory, indicating its great applicability. New enhancements are being implemented 
to consider transient analysis and transfer phenomena such as convection and irradiation for 
2D and 3D solids. 
 
Keywords: Finite element method, thermomechanical coupling, thermal conduction, two-
dimensional solids. 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
Quando um material é submetido à variação de temperatura apresenta deformações 
provenientes do surgimento de esforços internos. Tais esforços podem causar importantes 
impactos no estado de tensão, resultado no surgimento de trincas, fissuras e podendo até, 
causar o colapso da estrutura. Por isso, um estudo aprofundado do comportamento térmico 
deve ser considerado nos projetos de estruturas da construção civil como aço, concreto, 
concreto armado e protendido (ZHU BUFANG, 2004). 
 
1.1. EQUAÇÃO QUE DESCREVE O PROBLEMA DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
Segundo INCROPERA (1998), o calor é definido como a forma de energia que se transfere 
de um sistema para outro devido a diferença de temperatura entre eles. Quando existe um 
gradiente de temperatura estacionário, ou seja, sem variações no tempo, em um meio sólido 
ou fluído, considera-se a condução para se referir à transferência de calor. A equação da taxa 
de transferência de calor é conhecida como a Lei de Fourier. Considerando um material 
isotrópico e homogêneo, após realizar simplificações, a equação governante da transferência 
de calor em um meio bidimensional pode ser escrita conforme a Equação 1. 
 
 Equação 1 
Sendo k o coeficiente de condutividade térmica, Q a fonte de calor e T a temperatura. 
 
1.2. EQUAÇÃO d O COMPORTAMENTO MECÂNICO ELÁSTICO DO SÓLIDO 
A tensão e a deformação são relacionadas através da equação constitutiva, apresentada na 
Equação 2. A forma mais simples da equação constitutiva é a da elasticidade linear, que é 
uma generalização da Lei de Hooke. 
 Equação 2 
Sendo σ a tensão, C a constante elástica e ϵ a deformação. 
 
Se o material for isotrópico, as propriedades são simétricas em relação aos três planos. Nesse 
caso, são necessárias apenas duas constantes independentes para definir as equações 
fundamentais da elasticidade. Essas constantes são o Módulo de Young (E) e o coeficiente 
de Poisson (υ). 
 
 
 
 
 
 
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1.3. DEFORMAÇÕES EM SÓLIDOS DEVIDO A VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 
De acordo com LOGAN (2006), quando não há carregamento em um corpo, este também não 
apresenta deformações. No entanto, há uma situação onde ocorre deformações que devem 
ser consideradas. A situação mais comum é causada pela deformação devido a variação 
térmica. 
O aumento da temperatura (∆T) resulta em uma deformação que depende do coeficiente 
térmico de expansão (α) do material. 
A mudança de temperatura não causa tensões cisalhantes. Assim, o vetor de deformação 
inicial devido a variação de temperatura pode ser escrito conforme a Equação 3. 
 
 Equação 3 
Sendo 0 a deformação inicial do material devido a variação de temperatura, α o coeficiente de 
dilatação térmica, ∆T a variação de temperatura, xy, yz, zx são as tensões cisalhantes. 
 
1.4. ELEMENTO FINITO TRIANGULAR DE TRÊS NÓS 
De acordo com ASGHAR (2005), um elemento triangular é simples e versátil para a resolução 
de problemas bidimensionais. Quase todas as formas podem ser discretizadas utilizando esse 
tipo de elemento. Na Figura 1 é apresentado um elemento triangular com graus de liberdade 
para a resolução do problema térmico-estrutural. Cada nó possui um grau de liberdade de 
temperatura e dois graus de liberdade de deslocamento (x e y). 
 
Figura 1 – Elemento Triangular de Três Nós 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.5. MEF (Método dos Elementos Finitos) NA RESOLUÇÃO DO CAMPO DE 
TEMPERATURA 2D 
No caso do problema de campo de temperatura, cada nó possui um grau de liberdade, a 
temperatura. Considerando uma temperatura de borda como condição de contorno e que o 
modelo não possui fonte de calor, a equação do elemento, assume a forma apresentada na 
Equação 4. 
 Equação 4 
Sendo T o vetor de temperatura nodal e kk a matriz de condução de calor (rigidez), ilustrada 
na Equação 5. 
 Equação 5 
Sendo B a matriz de transformação e C é a matriz constituinte. 
 
Considerando um elemento triangular de três nós, a matriz de rigidez fica conforme a Eq.6. 
 
 
 Equação 6 
Sendo A a área do elemento, b1, b2 e b3 variáveis relacionadas com as coordenadas nodais 
do elemento, kx e ky são os coeficientes de condutividade térmica do material na direção X e 
Y, respectivamente. 
 
1.6. MEF NA RESOLUÇÃO DO ACOPLAMENTO TÉRMO-MECÂNICO 
A formulação das equações do elemento finito para o problema Térmo-Mecânico, 
considerando somente a deformação inicial devido a variação de temperatura é apresentado 
na Equação 7. 
 Equação 7 
Sendo k a matriz de rigidez, apresentada na Eq.8. 
 
 Equação 8 
e B a matriz de transformação e C é a matriz constitutiva considerando o estado plano de 
deformação, apresentadas na Equação 9. 
 
 
 
 
 
 
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 Equação 9 
 
O acoplamento entre o problema térmico e o mecânico foi baseado na Eq.7. 
Declara-se um valor de temperatura ambiente padrão (T padrão), no qual o material não 
apresenta deformações térmicas. Em seguida, subtrai-se a temperatura padrão das 
temperaturas nodais resultante do problema térmico. O resultado é um vetor com a variação 
de temperatura nodal (∆T), conforme a Equação 10 
 Equação 10 
 
Em seguida, multiplica-se o vetor ∆T pelo coeficiente de dilatação térmica do material (α) para 
se obter a deformação inicial devido a variação de temperatura, conforme a Equação 11.Equação 11 
Sendo o vetor de deformação térmica e α, o coeficiente de dilatação térmica. 
 
Finalmente, é possível deduzir a força sentida pela estrutura devido a deformação térmica. 
No caso do MEF, o vetor de forças nodais do elemento deduzido a partir da variação de 
temperatura é apresentado na Equação 12. 
 Equação 12 
Sendo r o vetor de forças nodais, h a espessura do elemento, B a matriz de transformação, C 
a matriz constitutiva da elasticidade, 0 a deformação e h a espessura unitária do elemento. 
 
2. METODOLOGIA 
O algoritmo, apresentado no trabalho de Silva Junior (2018), foi desenvolvido na linguagem 
de programação FORTRAN 95 utilizando o compilador CODEBLOCKS, uma plataforma de 
programação open source. Para exibição gráfica dos resultados foi utilizado o Programa 
 
 
 
 
 
 
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GNUPLOT, um pacote de múltiplas plataformas gráficas que funciona por meio de linhas de 
comando. A metodologia foi dividida em três etapas: pré-processamento, processamento e 
pós-processamento. 
 
Pré-Processamento. 
Nessa etapa, define-se o domínio geométrico, as condições de contorno e a malha do modelo. 
Posteriormente, todas essas informações são compiladas em um arquivo .txt de entrada. 
 
Processamento 
No processamento, o algoritmo lê o arquivo de entrada e aloca as variáveis. Em seguida, 
processa-se o problema térmico. O vetor de temperaturas nodais, resultados do problema 
térmico é aplicado automaticamente no vetor de carregamento nodal do problema mecânico. 
No final do processamento o algoritmo escreve um arquivo .txt de saída, constituído por uma 
matriz onde cada elemento matricial representa o valor do domínio 2D do modelo. Na Figura 2 
é apresentado o diagrama esquemático geral do algoritmo. 
 
Figura 2. Diagrama Esquemático geral do algoritmo 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pós-Processamento 
Finalmente, o arquivo .txt de saída é lido pelo programa Gnuplot onde cada valor matriz é 
convertido em uma cor de acordo com a configuração. Normalmente, utiliza-se a cor azul para 
representar valores baixos e a cor vermelha para valores altos. Na Figura 3 é ilustrado o 
procedimento para se obter os campos de resultados. 
 
Figura 3. Conversão dos valores da matriz de resultado do domínio 2D em escalas de cores 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Validação do Algoritmo 
Para validar o algoritmo, inicialmente, calibrou-se o código aplicando vários exercícios 
resolvidos e comparando os resultados. 
Um dos problemas de validação do algoritmo foi a análise térmica estrutural de uma placa de 
aço e alumínio, ilustrada na Figura 4. Devido a dupla simetria, é possível simplificar o 
problema. 
 
Figura 4. Placa de alumínio e aço submetida à variação de temperatura e malha simplificada 
 
 
 
 
 
 
 
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Nesse caso, considerou-se uma variação de temperatura uniforme em todo o domínio de 
70 ºC. As propriedades dos materiais são apresentadas na 
 
Tabela 1. Propriedades dos materiais do problema de validação 
Material Aço Alumínio 
Módulo de Elasticidade (E) [GPa] 200 70 
Coeficiente de Poisson (v) 0.3 0.33 
Coeficiente de Dilatação térmica [/ºC] 12x10-6 23x10-6 
 
Inicialmente a chapa não possui restrição ao movimento. Porém, no modelo simplificado, com 
um quarto do domínio, deve-se considerar condições de contorno para representar o 
comportamento real. Na Figura 5 são apresentadas as condições essenciais de contorno do 
problema. A letra u representa o descolamento horizontal e v o deslocamento vertical. 
 
Figura 5. Condições de restrição ao movimento 
 
Os resultados disponíveis na literatura bem como os resultados do algoritmo são 
apresentados na Figura 6. 
 
Figura 6. Comparação dos resultados de deslocamentos nodais do problema de validação 
 
 
 
 
 
 
 
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Comparação de resultados entre o algoritmo e o software comercial 
Após a validação do algoritmo, realizou-se a análise termomecânica de uma placa submetida 
a diferentes temperaturas e engastada em um dos vértices, ilustrado na Figura 7. A mesma 
análise utilizando o programa Ansys®17.2 foi realizada para verificação da convergência do 
resultado. 
 
Figura 7. Placa engastada submetida a diferentes temperaturas nas bordas 
 
 
Os resultados são apresentados nas Figura 8 a Figura 13. 
Figura 8. Campo de Temperatura (Algoritmo) 
 
Figura 9. Campo de Temperatura (Ansys®)
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 10. Campo de Deslocamento Vertical. 
(Algoritmo) 
 
 
Figura 11. Campo de Deslocamento Vertical. 
(Ansys®) 
 
 Figura 12. Campo de Deslocamento Horizontal. 
(Algoritmo) 
 
 
Figura 13. Campo de Deslocamento 
Horizontal. (Ansys®) 
 
 
4. CONCLUSÕES 
Como primeira conclusão, pode-se notar a concordância entre os resultados obtidos pelo 
algoritmo desenvolvido e o programa Ansys®. 
Em relação à análise térmica, a maior diferença de temperatura entre os resultados do 
algoritmo e do Ansys® foi de 0,5 ºC. Considerando o comportamento mecânico, os modelos 
apresentaram um comportamento fisicamente coerente. Embora o algoritmo tenha sido 
validado, o algoritmo é capaz de simular apenas o regime estacionário de transferência de 
calor, podendo representar muito bem os materiais metálicos, que apresentam alta 
condutividade térmica. Já para os materiais cerâmicos ou cimentícios apresentam baixa 
condutividade térmica e consequentemente, alta inércia térmica. Sendo necessário a 
realização de uma análise térmica transiente. Dessa forma, a próxima versão do algoritmo 
apresentará a possibilidade de simulação termomecânica transiente. 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
ASGHAR, B. M. Fundamental Finite Element Analysis and Applications. Hoboken:John Wiley 
& Sons. 2005. 
 
Silva Junior, E. J. Análise Térmo-Mecânica 2d da Barragem de Contraforte da Itaipu Pelo 
Método dos Elementos Finitos em Fortran. Universidade Federal da Integração Latino-
Americana. 2018. 
 
INCROPERA, FRANK P.; DEWITT, DAVID P. Fundamentos de Transferência de Calor e 
Massa. 4a Edição. LTC Editora. 1998. 
 
LOGAN, D. L. A First Course in the Finite Element Method. Ed. CL-Engineering, 4th edition, 
2006. 
 
ZHU BUFANG. Thermal Stresses and Temperature Control of Mass Concrete. Elsevier. First 
Edition. China Institute of Water Resources and Hydropower Research and Chinese Academy 
of Engineering. 2004.