Lista 01 - GRUPOS

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Instituto de Matemática e Estat́ıstica
Universidade Federal da Bahia
Grupos e Anéis
Lista de exerćıcios 1
Limite de entrega no dia 6 de setembro as 16:00, por email (nsambonet@gmail.com), a
confirmação do recebimento será publicada no mural do curso. Os exerćıcios deverão ser
escritos a mão e enviados em um único arquivo pdf. Outros formados não serão aceitos.
Questão 1. Considere o grupo afim da reta
G = {g : R→ R , g : x 7→ ax + b | a, b ∈ R , a 6= 0} .
Seja
H = {h : x 7→ x + z | z ∈ Z} .
Mostre que todo sugrupo não trivial de H é conjugado com H em G.
Questão 2. Seja H um subgrupo próprio de um grupo finito G. Demonstre que existe
pelo menos uma classe de conjugação de G cuja interseção com H é vazia.
Dica: utilize a equação das classes
|G| =
r∑
i=1
|G : CG(gi)|
onde Cl(G) = {gG1 , . . . , gGr } são as classes de conjugação distintas de G.
Questão 3. O subgrupo de Frattini Φ(G) é a interseção de todos os subgrupos maximais
de um grupo G. Um elemeto g ∈ G é um non-gerador se toda vez que 〈X, g〉 = G tem-se
〈X〉 = G, onde X ⊆ G. Mostre que se G é finito, Φ(G) é o conjunto dos não geradores.
Questão 4. Sejam H ≤ K ≤ G e N E G. Mostre que se HN = KN e H ∩N = K ∩N ,
tem que ser H = K.
Questão 5. Seja G um grupo finito, e seja N E G tal que |N | e |G : N | são primos entre
si. Podem existir outros subgrupos de G da mesma ordem de N?
Questão 6. Mostre que um grupo G possui exatamente 3 subgrupos se e somente se é
ciclico de ordem p2, para algum primo p.