gabarito_p1-1

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Gabarito da primeira prova de A´lgebra III - 29/04/2010
Prof. - Juliana Coelho
QUESTA˜O 1 (2,5 pts) - Seja G um grupo e considere seu centro
Z(G) = {a ∈ G | ab = ba para todo b ∈ G}.
(a) Seja H um subgrupo de Z(G). Mostre que H e´ subgrupo normal de G;
Resp.: Tome a ∈ H e b ∈ G. Precisamos mostrar que bab−1 ∈ H. Como
a ∈ H ⊂ Z(G) enta˜o ab = ba e logo
bab−1 = abb−1 = ae = a,
em particular, bab−1 ∈ H, mostrando que H ¢G.
(b) Mostre que se o quociente G/Z(G) e´ c´ıclico enta˜o G e´ abeliano.
Resp.: Suponha que G/Z(G) e´ c´ıclico e tome α ∈ G tal que a classe lateral
Z(G)α e´ um gerador de G/Z(G). Enta˜o para todo x ∈ G existe n ≥ 0 tal que
Z(G)x = (Z(G)α)n = Z(G)αn.
Mas enta˜o Z(G)x(αn)−1 = Z(G), o que ocorre se e so´ se x(αn)−1 esta´ em Z(G).
Assim x(αn)−1 e´ igual a algum elemento a ∈ Z(G) , ou seja, x(αn)−1 = a, implicando
que x = aαn. Vemos enta˜o que todo x ∈ G se escreve como x = aαn, para algum
n ≥ 0 e a ∈ Z(G).
Seja y ∈ G, digamos y = bαm com m ≥ 0 e b ∈ Z(G). Enta˜o
xy = (aαn)(bαm) = a(αnb)αm
∗
= a(bαn)αm
= (ab)(αnαm)
∗
= (ba)(αm+n) = (ba)(αmαn)
= b(aαm)αn
∗
= b(αma)αn = (bαm)(aαn)
= yx,
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onde nas igualdades marcadas com ∗ usamos que a e b esta˜o em Z(G).
QUESTA˜O 2 (2,5 pts) - Seja G um grupo de ordem |G| = pq onde p e q sa˜o nu´meros
primos tais que p < q e p na˜o divide q − 1. Mostre que G e´ c´ıclico.
Resp.: Mostraremos que G e´ c´ıclico exibindo um gerador para G, isto e´, um
elemento de ordem igual a |G|. Para isso, vamos examinar os subgrupos de Sylow
de G. Sendo np o nu´mero de p-Sylow subgrupos de G, temos
np ≡ 1 (mod p) e np divide q.
Como q e´ primo e np divide q, temos que ter np = 1 ou np = q. Mas q 6≡ 1 mo´dulo
p pois, por hipo´tese, p na˜o divide q − 1. Assim temos que ter np = 1. Enta˜o G tem
um u´nico p-Sylow subgrupo e este e´ normal em G, digamos |H| = p e H ¢G.
De modo ana´logo, sendo nq o nu´mero de q-Sylow subgrupos de G, temos
nq ≡ 1 (mod q) e nq divide p.
Novamente, como p e´ primo e nq divide p, temos que ter nq = 1 ou nq = p. Mas
p < q e logo p 6≡ 1 mo´dulo q. Deste modo, temos nq = 1 e G tem um u´nico q-Sylow
subgrupo e este e´ normal em G, digamos |N | = q e N ¢G.
Agora vamos examinar os elementos de G. Pelo teorema de Lagrange, a ordem de
um elemento de G divide |G| = pq. Assim, como p e q sa˜o primos, os elementos de G
so´ podem ter ordem 1, p, q ou pq. O u´nico elemento de ordem 1 e´ o elemento neutro
e. Os elementos de ordens p e q geram subgrupos de ordens p e q, respectivamente.
Vimos que o u´nico subgrupo de ordem p e´ H e o u´nico subgrupo de ordem q e´ N .
Deste modo, todos os elementos de G de ordem p esta˜o contidos em H e os de ordem
q esta˜o contidos em N . Mais ainda, como H tem ordem prima p, seus elementos
teˆm ordens 1 ou p e logo H possui p − 1 elementos de ordem p (sa˜o os elementos
de H diferentes de e). Do mesmo modo, como |N | = q e´ primo, os elementos de N
teˆm ordens 1 ou q e logo N possui q − 1 elementos de ordem q.
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Vimos enta˜o que G possui:
1 elemento de ordem 1 (que e´ e)
p− 1 elementos de ordem p (os elementos de H distintos de e);
q − 1 elementos de ordem q (os elementos de N distintos de e),
o que nos da´ 1+ (p− 1)+ (q− 1) elementos de ordem diferente de pq. Como G tem
pq elementos e
1 + (p− 1) + (q − 1) = p+ q − 1 < pq
se p, q ≥ 2, enta˜o G deve possuir algum elemento de ordem pq. Este elemento e´ um
gerador de G, mostrando que G e´ c´ıclico.
Obs: Alternativamente, esta questa˜o poderia ser resolvida mostrando-se que
G = HN ∼= H ×N ∼= Zp × Zq ∼= Zpq.
QUESTA˜O 3 (2,5 pts) - Seja G um grupo de ordem |G| = mn onde mdc(m,n) = 1.
Seja H um subgrupo de G de ordem n.
(a) Mostre que, se H e´ o u´nico subgrupo de G de ordem n, enta˜o H ¢G;
Resp.: Para ver isto mostraremos que, para todo a ∈ G, o conjunto aHa−1 e´ um
subgrupo de G de ordem n. Tome a ∈ G qualquer. Lembre que
aHa−1 = {aha−1 |h ∈ H}.
Enta˜o, para aha−1, ah′a−1 ∈ aHa−1, temos
• e ∈ aHa−1 pois podemos escrever e = aea−1 com e ∈ H;
• (aha−1)(ah′a−1) ∈ aHa−1 pois (aha−1)(ah′a−1) = ahh′a−1;
• (aha−1)−1 ∈ aHa−1 pois (aha−1)−1 = (a−1)−1h−1a−1 = ah−1a−1;
mostrando que aHa−1 e´ subgrupo de G.
Agora note que |aHa−1| = |H| = n. De fato, a func¸a˜o
ϕ : H → aHa−1
h 7→ aha−1
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e´ claramente sobrejetora e e´ injetora pois se aha−1 = ah′a−1 enta˜o, multiplicando
por a e a−1 apropriadamente, obtemos que h = h′. Assim ϕ e´ bijetora e portanto
aHa−1 tem o mesmo nu´mero de elementos que H. Mas, por hipo´tese, H e´ o u´nico
subgrupo de G de ordem n, implicando que aHa−1 = H. Como isso vale para qual-
quer a ∈ G, enta˜o H e´ normal em G.
(b) Mostre que se H ¢G enta˜o H e´ o u´nico subgrupo de G de ordem n. (Dica:
suponha que existe K < G com |K| = n e considere HK.)
Resp.: Suponha que existe K < G distinto de H e de ordem |K| = n. Como
H ¢G enta˜o HK e´ subgrupo de G. Vejamos qual e´ a ordem deste subgrupo. Seja
r = |H ∩K|. Como K 6= H enta˜o r < n e como H ∩K e´ subgrupo de H enta˜o r
divide n, digamos n = rs com s > 1. Portanto
|HK| = |H| |K||H ∩K| =
nn
r
= sn.
Agora, HK e´ subgrupo de G e, pelo teorema de Lagrange, sua ordem divide a or-
dem de G. Assim sn divide mn, implicando que s divide m. Mas s tambe´m divide
n, o que contraria o fato de mdc(m,n) = 1. Vemos enta˜o que na˜o existem subgru-
pos de G de ordem n distintos de H, ou seja, H e´ o u´nico subgrupo de G de ordem n.
QUESTA˜O 4 (2,5 pts) - Sejam H e K subgrupos de um grupo G tais que HK = G
e H ∩K = {e}. Mostre que se H¢G enta˜o K e´ isomorfo ao quociente G/H. (Dica:
mostre que φ : K → G/H dada por φ(a) = Ha e´ isomorfismo de grupos.)
Resp.: Consideramos a func¸a˜o dada no enunciado
φ : K → G/H
a 7→ Ha
Para ver que φ e´ homomorfismo de grupos, precisamos ver que φ(ab) = φ(a)φ(b)
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para quaisquer a, b ∈ K. Pela definic¸a˜o da estrutura de grupo no quociente, temos
φ(a)φ(b) = (Ha)(Hb) = Hab = φ(ab),
mostrando que φ e´ homomorfismo de grupos.
Vejamos agora que φ e´ injetora. O nu´cleo Nuc(φ) de φ consiste dos elementos
a ∈ K tais que φ(a) e´ o elemento neutro de G/H. Ora, o elemento neutro do
quociente G/H e´ a classe lateral do elemento neutro e ∈ G, ou seja, eG/H = He = H.
Assim, a ∈ Nuc(φ) se e somente se Ha = H, o que ocorre se e somente se a ∈ H.
Portanto Nuc(φ) = {a ∈ K | a ∈ H} = H ∩K. Como por hipo´tese, H ∩K = {e},
vemos que φ e´ injetora.
Para mostrar que φ e´ sobrejetora, precisamos ver que toda classe lateral de H
em G tem um representante em K, ou seja, que para todo b ∈ G existe a ∈ K tal
que Hb = Ha. Agora lembre que G = HK e logo todo elemento b ∈ G se escreve
como b = ha com h ∈ H e a ∈ K. Portanto Hb = Hha = Ha. Vemos assim que
φ e´ sobrejetora e portanto bijetora. Deste modo, φ e´ um homomorfismo bijetor, ou
seja, e´ um isomorfismo. Logo K e´ isomorfo a G/H.
(No caso de G ser finito, podemos ver a sobrejetividade de φ notando que |G| =
|HK| = |H| |K|/|H ∩K| = |H| |K| e logo |G/H| = |G|/|H| = |K|. Assim φ e´ uma
func¸a˜o injetora entre dois conjuntos finitos com o mesmo nu´mero de elementos e
portanto tem que ser tambe´m sobrejetora. )
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