lista grupos

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
A´lgebra
Licenciatura em Matema´tica
Prof. Josimar da Silva Rocha
LISTA DE EXERCI´CIOS SOBRE GRUPOS
1) Seja G um conjunto na˜o-vazio, fechado para um produto associativo, satisfazendo as
seguintes condic¸o˜es:
(a) Existe um e ∈ G tal que a · e = a para todo a ∈ G.
(b) Dado a ∈ G, existe um elemento y(a) ∈ G tal que a · y(a) = e.
Prove que (G, ·) e´ um grupo.
2) Mostre que se H ≤ G e K ≤ G, enta˜o H ∩K ≤ G.
3) Seja G um grupo e x um elemento de G. Provar que N(x) = {y ∈ G | xy = yx} e´ um
subgrupo de G.
4) Mostre que se H e K sa˜o subgrupo de um grupo abeliano G, enta˜o
{hk | h ∈ H e k ∈ K}
e´ um subgrupo de G.
5) Fac¸a a ta´bua e encontre os subgrupos do grupo (Z6,+).
6) Determine os elementos do grupo (U·(Z12), ·) e todos os subgrupos deste grupo.
7) Mostre que todo subgrupo de um grupo c´ıclico e´ c´ıclico.
8) Seja G um grupo finito com ooo(G) = n e g ∈ G. Mostre que ooo(g) | ooo(G).
9) Sejam N e M subgrupo normais abelianos de um grupo G tais que N ∩M = {e} e
G = MN.
(a) Mostre que mn = nm,∀m ∈M e ∀n ∈ N.
(b) Mostre que G e´ abeliano.
10) Considere o subgrupo H = {0, 3, 6} do grupo aditivo Z9. Determine as classes laterais
de Z9 mo´dulo H.
11) Mostre que um grupo G tem ordem prima se, e somente se, os u´nicos subgrupos de G
sa˜o {e} e G.
12) Seja G um grupo multiplicativo abeliano. Mostre que a func¸a˜o ϕ : G→ G definida por
g 7→ gm e´ um homomorfismo.
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2 Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Prof. Josimar da Silva Rocha
(a) Deˆ exemplo de um grupo abeliano G de forma que a func¸a˜o definida acima seja um
isomorfismo.
(b) Deˆ exemplo de um grupo abeliano G de forma que a func¸a˜o definida acima na˜o
seja um isomorfismo e encontre o nu´cleo deste homomorfismo.
13) Mostre que
N CG⇔ (∀a, b ∈ G) ((Na) (Nb) = Nab)
14) Mostre que
N CG⇔ G/N e´ um grupo.
15) Sejam (G1, ∗) e (G2, ?) grupos e f : G1 → G2 um homomorfismo de G1 em G2. Mostre
que a aplicac¸a˜o ϕ : G1/N → Im(f) definida por ϕ(Na) = f(a), onde N = Ker(f) e´
um isomorfismo.
16) Mostre que se todo elemento de um grupo G e´ seu pro´prio inverso, enta˜o G e´ abeliano.
17) Sejam G um grupo e g ∈ G. Mostre que a aplicac¸a˜o ϕ : G → G definida por ϕ(x) =
g−1xg para todo x ∈ G e´ um automorfismo de G.
18) Seja T um subgrupo c´ıclico e normal de G. Mostre que todo subgrupo de T e´ subgrupo
normal de G.
19) Seja G um grupo, H um subgrupo de G e N um subgrupo normal de G. Mostre que
NH e´ um subgrupo de G e NH = HN.
20) Sejam M e N subgrupos normais de G. Mostre que M ∩N e MN tambe´m o sa˜o.
21) Seja G um grupo finito de ordem par. Mostre que o nu´mero de elementos de G de
ordem 2 e´ ı´mpar.
22) Mostre que todo grupo c´ıclico infinito tem dois e somente dois geradores.
23) Mostre que todo subgrupo H 6= {e} de um grupo c´ıclico infinito e´ tambe´m infinito.
24) Seja D2n = 〈ρ, τ | ρn = I, τ 2 = I, τ−1ρτ = ρ−1〉 o grupo diedral. Mostre que H =
{1, ρ, ρ2, · · · , ρn−1} e´ um subgrupo normal de D2n.
25) Mostre que h e´ um automorfismo do grupo aditivo dos racionais se, e somente se, existe
c ∈ Q∗ de forma que h(x) = cx,∀x ∈ Q∗
26) Mostrar o grupo das matrizes 2 × 2 diagonais invers´ıveis e´ um subgrupo do grupo das
matrizes 2× 2 invers´ıveis, mas este subgrupo na˜o e´ normal.
27) Mostre que G = {2m3n | m,n ∈ Z} e J = {m+ ni | n,m ∈ Z}sa˜o subgrupos de (R∗+, ·)
e de (C,+), respectivamente, e que sa˜o isomorfos.
28) Mostre que o grupo (Q,+) na˜o e´ gerado por um conjunto finito.
29) Seja G um grupo e H = 〈[x, y] = x−1y−1xy | x, y ∈ G〉. Mostre que H C G e G/H e´
abeliano.
30) Sejam a e b elementos de um grupo G tais que o(b) = m e abr = bra para algum r ∈ Z
tal que (m, r) = 1. Prove que ab = ba.