Av1 - Cálculo Diferencial e Integral III

Prévia do material em texto

1) As superfícies podem ser definidas como conjuntos de pontos (x,y,z) do espaço cartesiano que satisfazem a uma equação da forma f(x,y,z) = 0, sendo f uma função contínua. A partir dessas estruturas, podemos fazer diversos estudos, como por exemplo o do plano tangente.
Seja uma superfície S descrita pela equação z = 3x² + y².
Qual é a equação do plano tangente a essa superfície, passando pelo ponto P(0,-1,2)?
Alternativas:
a) 3x + 2y + z = 0
b) y - z + 2 = 0
c) -2y + z - 4 = 0
d) x - 2y - z + 4 = 0
e) 6x + 2y + 1 = 0
Para encontrar a equação do plano tangente à superfície S no ponto P(0, -1, 2), primeiro precisamos calcular o gradiente da função f(x, y, z) = z - 3x²y². O gradiente de uma função é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x, y e z.
O gradiente de f(x, y, z) é dado por:
∇f(x, y, z) = (df/dx, df/dy, df/dz)
Calculando as derivadas parciais da função f(x, y, z):
df/dx = -6xy²
df/dy = -6x²y
df/dz = 1
Agora, avaliamos o gradiente no ponto P(0, -1, 2):
∇f(0, -1, 2) = (0, 0, 1)
O vetor normal ao plano tangente é o gradiente avaliado no ponto P. Então, o vetor normal ao plano tangente é (0, 0, 1).
A equação do plano tangente em um ponto P (x₀, y₀, z₀) é dada por:
a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0
onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano.
Substituindo os valores do ponto P(0, -1, 2) e o vetor normal (0, 0, 1) na equação do plano tangente, temos:
0(x - 0) + 0(y + 1) + 1(z - 2) = 0
z - 2 = 0
z = 2
Portanto, a equação do plano tangente é z = 2, que corresponde à alternativa d) x - 2y - z + 4 = 0.
2) As integrais triplas são estudadas a partir de funções de três variáveis e de regiões definidas no espaço cartesiano. Para o cálculo desse tipo de integral, utilizamos as técnicas e resultados das integrais definidas em conjunto com integrais iteradas.
Considere a função de três variáveis definida por f(x,y,z) = 2x - y + 4z.
Qual é o resultado da integral tripla da função f(x,y,z) calculada sobre a região de integração R = [0,1]x[2,3]x[-1,1]?
Alternativas:
a) -3
b) -1
c) 0
d) 4
e) 9
Resolvendo a integral tripla descrita na questão, obtemos o resultado -3, alternativa A.
Integral tripla
Para calcular a integral tripla, vamos estabelecer os limites de integração em cada uma das três variáveis (x, y, z) dentro da região de integração R. A região de integração R é um paralelepípedo retangular com lados de comprimento 1, 1 e 2 ao longo das direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Os limites de integração são: 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3 e -1 ≤ z ≤ 1. Agora, realizamos a integral tripla usando os limites de integração estabelecidos, considerando cada variável em sequência: primeiro, integramos em z, depois em y e, por fim, em x.
A integral da função f(x, y, z) = 2x - y + 4z sobre a região R resulta em -3. Observe que, pelo teorema de Fubini, temos que, podemos realizar a integral tripla acima em outras ordens, mas sempre iremos obter o mesmo resultado.
3) Para o cálculo de integrais triplas podemos empregar o sistema de coordenadas cartesianas tradicionais, mas também podemos optar pelo uso de coordenadas cilíndricas ou esféricas, de acordo com o formato da região de integração.
Considere um cilindro construído ao longo do eixo z, de equação x² + y² = 9. Limita-se esse cilindro inferiormente pelo plano xy e superiormente pelo plano 2x + 2y + 5z = 10.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que indica corretamente o volume da região limitada pelo cilindro e pelos planos apresentados:
Alternativas:
a) 2π
b) 18π
c) 18/5
d) π/108
e) 108π/5 – SEGUNDO CHAT GPT ESSA É A RESPOSTA CORRETA
4) Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e centro de massa associados a regiões multidimensionais.
Nesse contexto, seja, no espaço cartesiano, a região S limitada superiormente pelo plano 2x + 3y + z - 6 = 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy e dentro da região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
Se a densidade dessa região S é dada por ρ(x,y,z) = 3xy, qual é a massa dessa região S?
Alternativas:
a) -4
b) 0
c) 1
d) 2
e) 6
5) Uma das aplicações da integral tripla consiste no cálculo do volume de regiões tridimensionais. Para isso, é necessário construir corretamente a descrição para os limites de integração conforme a estrutura da região em estudo.
Diante desse tema, considere o sólido tridimensional limitado superiormente pela superfície z = 4 - x² - y², inferiormente pelo plano coordenado xy, e dentro do círculo de centro na origem e raio 2.
Qual é o volume ocupado pelo sólido descrito?
Alternativas:
a) 32/3
b) 16/3
c) 4π
d) 8π
e) 4
EXTRA: