EP 06 tutor

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Álgebra I - Soluções dos EP6
1a Questão: Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Prove as
que julgar verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas:
(a) Se o ideal Z ·m é maximal, então m é um número primo;
(b) Dados um número primo p e um inteiro a, se p - a, então mdc(a, p) = 1;
(c) Dados inteiros m, a e b se m | ab, então m | a ou m | b.
Solução:
(a) Verdadeira
Suponhamos que m não seja primo. Então existem inteiros a, b diferentes de m e 1 tais
que m = ab. Dessa forma, tem-se
Z ·m = Z · (ab) ⊂ Z · a 6= Z
e, portanto, Z ·m não é ideal maximal.
Conclusão: m é um número primo.
(b) Verdadeira
Como p é primo, então, por definição, D(p) = {1, p}. Como p - a, segue que o único
divisor comum entre a e p é 1 e, portanto, mdc(a, p) = 1.
(c) Falso.
Tomando m = 6, a = 4 e b = 9, tem-se que
6 | 4 · 9, mas 6 - 4 e 6 - 9.
2a Questão: Prove que quaisquer dois inteiros consecutivos são primos entre si.
Solução: Sejam a e a + 1 dois inteiros consecutivos e considere m = mdc(a, a + 1). Como
m | a e m | (a + 1), então m | [(a + 1)− a] = 1 e, portanto, m = 1. Logo, a e a + 1 são
primos entre si.
3a Questão: Prove que 2a + 1 e 4a2 + 1 são primos entre si, qualquer que seja o inteiro a.
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Solução: Seja m = mdc(2a + 1, 4a2 + 1). Então, existem inteiros p e q tais que
2a + 1 = mp e 4a2 + 1 = mq.
Dessa forma, tem-se que
(mp− 1)2 = mq − 1 =⇒ m2p2 − 2mp + 2 = mq =⇒ m(mp2 − 2p) + 2 = mq
e, portanto, m | [m(mp2 − 2p) + 2]. Como m | m(mp2 − 2p), segue que m | 2 (visto
que 2 = [m(mp2 − 2p) + 2]−m(mp2 − 2p)). Sendo m um inteiro, positivo, então m = 1 ou
m = 2. Como m é um divisor de 2a + 1, que é um número ı́mpar, conclui-se que m = 1 e,
portanto, 2a + 1 e 4a2 + 1 são primos entre si.
4a Questão: Sejam a, b e c inteiros positivos dados. Prove que
a ·mdc(b, c) = mdc(ab, ac).
Solução: Seja m = mdc(b, c). Então, pelo teorema 2 da aula 6, Z·m = Z·b+Z·c. Pelo mesmo
teorema, para mostrar que am = mdc(ab, ac), basta verificar que Z · (am) = Z · (ab)+Z · (ac)
• Se x ∈ Z · (am), então existe um inteiro p tal que x = amp. Como Z ·m = Z · b+Z · c,
então m ∈ Z · b + Z · c e, portanto, existem inteiros r e s tais que m = rb + sc. Logo
x = a(rb + sc)p = (rp)ab + (sp)ac,
ou seja, x ∈ Z · (ab) + Z · (ac).
• Por outro lado, se x ∈ Z · (ab) + Z · (ac), então existem inteiros r′ e s′ tais que
x = r′ab + s′ac = a(r′b + s′c). Como r′b + s′c ∈ Z · b + Z · c = Z ·m, existe um inteiro
p′ tal que r′b + s′c = mp′. Logo
x = amp′,
ou seja, x ∈ Z · (am).
Conclusão: Z · (am) = Z · (ab) + Z · (ac) e, portanto, a ·mdc(b, c) = mdc(ab, ac).
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5a Questão:
(a) Dados a, b e m inteiros tais que a e b são primos entre si, mostre que se a | m e b | m,
então ab | m.
(b) Dê inteiros a, b e m tais que a | m e b | m, então ab - m.
Solução:
(a) Como a e b são primos entre si, então mdc(a, b) = 1 e, portanto,
mmc(a, b) =
a · b
mdc(a, b)
= ab.
Dessa forma todo múltiplo comum de a e b é também um múltiplo de ab. Logo, se a | m
e b | m, então ab | m.
(b) Para a = 4, b = 6 e m = 12, tem-se
4 | 12 e 6 | 12, mas 4 · 6 = 24 - 12.
6a Questão: Na organização de uma festa de aniversário estão dispońıveis 180 balas de
caramelo, 252 balas de hortelã e 324 balas de iogurte. Pretende-se dividir as balas em pacotes
que só contenham um sabor, mas espera-se que cada pacote tenha a mesma quantidade e que
não sobre bala após a divisão. Quantas unidades, no máximo, pode haver em cada pacote?
Solução: Seja d o número de balas que devemos colocar em cada pacote. Como cada pacote
só tem um sabor de bala, se o número de pacotes de balas de caramelo, hortelã e iogurte
são, respectivamente, q1, q2 e q3, então vale
180 = q1 · d, 252 = q2 · d, 324 = q3 · d,
isto é, d divide os três número 180, 252 e 324. Queremos que o número de balas em cada
pacote seja o maior posśıvel, ou seja, queremos que d divida os três número e que seja máximo
nesta propriedade. Logo, d = mdc(180, 252, 324) = 36.
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