REVISA GOIÁS 3 MAT Estudante Junho

Prévia do material em texto

Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
1
Matemática
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Junho | 2023
3ª Série
Estudante
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
2
Semana 1
► Máximos e mínimos de funções 
 polinomiais do 2° Grau
Relembrando
Máximo ou mínimo de uma função quadrática
Vértice da parábola 
Os gráficos a seguir representam uma função qua-
drática, que de forma genérica, é representada por: 
f(x) = ax² + b + c:
O ponto V, representado nos gráfi cos, chama-se vértice 
da parábola.
As coordenadas do vértice são:
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎 e 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
Então 𝑉 = − 𝑏2𝑎 ,−
∆
4𝑎 .
Exemplo: 
Calcule as coordenadas do vértice da parábola que re-
presenta a seguinte função:
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 − 3
Como
𝑎 = 1, 𝑏 = 2
e 𝑐 = −3, então ∆ = 2² − 4 � 1 � (−3) = 16
→ 𝑦𝑣 = −4
Logo 𝑉 = (−1,−4).
Ponto de máximo e de mínimo da função.
Observe o gráfi co da função f(x) = x² + 2x - 3, em que a > 0: 
Como o coefi ciente a é maior do que zero (a > 0), a con-
cavidade da parábola é voltada para cima. Analisando 
o gráfi co da esquerda para a direita, observa-se que os 
valores de y vão diminuindo até chegar ao vértice, depois 
esses valores vão aumentando. Quando isso acontece, 
diz-se que o vértice é o ponto de mínimo.
Observe agora o gráfi co da função f(x) = -x² + 4x -5, em 
que a<0:
Como o coefi ciente a é menor do que zero (a<0) a con-
cavidade da parábola é voltada para baixo. Analisando o 
gráfi co da esquerda para a direita, observa-se que os va-
lores de y vão aumentando até chegar ao vértice, depois 
esses valores vão diminuindo. Quando isso acontece, 
diz-se que o vértice é o ponto de máximo.
Nota-se que: 
Se a > 0, a função f(x) = ax² + bx + c assume um 
valor mínimo, e o vértice é o ponto de mínimo.
Se a < 0, a função f(x) = ax² + bx + c assume um 
valor máximo e o vértice é o ponto de máximo.
a)
b)
Para calcular o valor de máximo ou de mínimo de uma 
função, utiliza-se o mesmo procedimento do cálculo da 
ordenada y do vértice, mostrado anteriormente, ou seja:
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
3
Exemplos:
As funções a seguir admitem um ponto de máximo ou 
um ponto de mínimo? Calcule-os. 
 𝑦 = 5𝑥² − 3𝑥 − 2 (𝑎 = 5, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = −2)
Sendo a = 5 (a > 0), então a função admite um mínimo, 
calculando tem-se:

 𝑦 = −𝑥² + 2𝑥 − 2 (𝑎 = −1, 𝑏 = 2 𝑒 𝑐 = −2)
Sendo a = ̶ 1 (a < 0), então a função admite um máximo. 
Calculando tem-se:
1. Leia a situação a seguir e resolva o que é proposto.
A equação do 2º tem várias aplicações. Na Física, por 
exemplo, ela possui um papel importante na análise dos 
movimentos uniformemente variados (MUV), pois em ra-
zão da aceleração, ocorre a variação da velocidade e do 
espaço dos corpos em função do tempo.
Na Física, a sentença que relaciona o espaço em função 
do tempo é dada por:
𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
Onde, a: aceleração, S: espaço ou posição, S0: posição 
inicial, V0: velocidade inicial e t: tempo.
Um exemplo de um móvel realizando um MUV é dado 
pela função: S = 2t2 ̶ 18t + 36, sendo S medido em 
metros e t em segundos.
a) Qual é a variável dependente e a variável independen-
te da função apresentada nesse texto?
b) Comparando termo a termo 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 
com 𝑆 = 2𝑡2 − 18𝑡 + 36, indique o valor de:
• S0 = _____
• V0 = _____
• a = _____
c) Reescreva a função: S = 2t2 - 18t + 36 utilizando y 
em função de x.
d) Qual o grau da função: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
f) Faça o esboço do gráfico que representa a função 
S = 2t2 ̶ 18t + 36.
e) Qual é o nome do gráfi co que representa a situação 
descrita no texto?
2. Leia a situação descrita no texto a seguir:
Em uma brincadeira chamada "Stop", o jogador deve 
lançar a bola verticalmente para cima e gritar o nome 
de alguma pessoa que esteja na brincadeira. Quando a 
bola retornar ao chão, o jogador chamado deve segurar 
a bola e gritar: "Stop", e todos os outros devem parar, 
assim a pessoa chamada deve "caçar" os outros joga-
dores. Durante a brincadeira, uma das crianças lança a 
bola para cima, esta chega a uma altura de 9 metros em 
3 segundos. Sabe-se que a altura h percorrida pela bola 
pode ser descrita em função do tempo por:
ℎ(𝑡) = 𝑣0𝑡 −
1
2𝑔𝑡
2
em que g = 10m/s2 é a aceleração da gravidade.
Responda:
a) Qual é a variável dependente e a variável independen-
te da função apresentada nesse texto?
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
4
e) Qual o nome do gráfico que representa a situação des-
crita no texto?
f) Faça o esboço do gráfico da função do item b.
3. Uma fofoca em uma determinada rede social tem um 
público definido e desenvolve-se com rapidez. Em geral, 
essa rapidez é diretamente proporcional ao número de 
pessoas que o fofoqueiro(a) tem na rede e também di-
retamente proporcional ao número de pessoas que não 
pertencem a sua rede social. Em outras palavras, sendo 
Y a rapidez de propagação, P o público-alvo (pessoas 
que não pertencem a sua rede social) e x o número de 
pessoas que pertencem a rede social do fofoqueiro(a), 
tem-se: Y(x) = c · x · (P–x), em que c é uma constante 
positiva característica do boato.
O gráfico cartesiano que melhor representa a função 
Y(x), para x real, é
ℎ(𝑡) = 𝑣0𝑡 −
1
2𝑔𝑡
2
b) Considerando v0 = 18 m/s e as informações contidas 
no texto sobre o valor de g, escreva a função que repre-
senta essa situação descrita.
c) Reescreva a função do item b utilizando y em função 
de x.
d) Qual é o grau da função: 
(A)
(B)
(C)
(D)
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
5
(E)
4. Observe os quatro gráficos seguintes e realize as ati-
vidades relacionadas a eles.
Gráfico I
Gráfico II
Gráfico III
Gráfico IV
a) Pesquise e escreva o significado de “valor máximo” 
na matemática.
b) Pesquise e escreva o significado de “valor mínimo” 
na matemática.
c) O valor máximo ou o valor mínimo em uma repre-
sentação gráfica de uma função quadrática é indicado 
em qual eixo?
d) Indique, nos gráficos I, II, III e IV, o valor máximo 
com uma seta, e o valor mínimo, com um círculo.
e) Quais desses gráficos possuem um valor máximo?
f) Quais desses gráficos possuem um valor mínimo?
g) Complete as lacunas a seguir:
• O gráfico I apresenta um valor 
___________________ igual a _______.
 (máximo / mínimo)
• O gráfico II apresenta um valor 
___________________ igual a _______.
 (máximo / mínimo)
• O gráfico III apresenta um valor 
___________________ igual a _______.
(máximo / mínimo)
• O gráfico IV apresenta um valor 
___________________ igual a _______.
(máximo / mínimo)
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
6
6. A quantidade de água, em quilolitro, do reservatório de 
uma cidade varia em função do tempo, em horas, confor-
me ilustra o gráfico da função quadrática a seguir.
Considerando as informações sobre o reservatório de 
água e o gráfico, em quantas horas esse reservatório 
atinge sua capacidade máxima?
7. O gráfico a seguir corresponde ao registro das tempe-
raturas em certa cidade, no período entre meia-noite e 5 
horas da manhã.
Considerando que esse gráfico obedece à lei de forma-
ção de uma função do 2º grau, em qual horário foi regis-
trada a temperatura mínima, nesse período? E qual foi a 
temperatura mínima atingida?
5. Determine o maior ou o menor valor que cada uma 
das funções a seguir pode assumir e justifique o porquê 
desse valor ser o maior ou o menor.
a) f(x) = 2x2 ̶ 11
b) S = 15 + 10t + 2t²
c) y= ̶ x2 + 11x ̶ 1
d) S = 5 + 6t ̶ t²
e) f(x) = 2x2 ̶ 10x
f) S = ̶ 6 ̶ 9t ̶ 3t²
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
7
8. Responda às duas situações-problema a seguir.
a) Testesfeitos por especialistas, em laboratório, mos-
traram que a concentração de certo medicamento, no 
sangue de voluntários, obedece à função y = 6x ̶ x2, em 
que x corresponde ao tempo decorrido, em horas, após a 
ingestão desse medicamento.
Considerando essas informações, determine o tempo 
necessário para o medicamento atingir o nível máximo 
de concentração no sangue dos voluntários.
b) Em uma competição aérea na modalidade de acroba-
cias, um avião realiza uma manobra que descreve uma 
parábola que obedece à seguinte função y = ̶ x2 + 80x, 
em que y corresponde à altura atingida pelo avião, em 
metros. Qual a altura máxima atingida por esse avião na 
execução dessa manobra?
9. O custo médio de produção da empresa “FAZ BEM” 
é definido pela função C(x) = x2 ̶ 40x + 1500, em que 
C corresponde ao custo em reais e x à quantidade de 
unidades produzidas.
Considerando essas informações, quantas unidades de-
vem ser produzidas para que o custo seja o mínimo? E 
qual é esse custo mínimo?
10. Em jogos de futebol, é usual o zagueiro dar um balão, 
que é um chute para evitar o perigo de gol. Um jogador 
de uma equipe consegue dar um balão que atinge uma 
grande altura.
Certo dia, seu balão foi registrado e analisado por um 
programa computacional e gerou o seguinte gráfico pa-
rabólico, que descreveu a trajetória da bola.
O coeficiente a da fórmula da função que corresponde a 
essa parábola é igual a −
1
6
Qual a altura máxima que a bola atingiu?
(A) 11,80 m
(B) 18 m
(C) 36 m
(D) 54 m
(E) 66,50 m
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
8
11. (ENEM 2015 – questão 178 – 2º dia – caderno cin-
za) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento 
de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza 
uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura 
no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela 
expressão T(h) = ̶ h2 + 22h ̶ 85, em que h representa 
as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é 
o maior possível quando a estufa atinge sua tempera-
tura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da 
estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em 
graus Celsius, com as classifi cações: muito baixa, baixa, 
média, alta e muito alta.
Quando o estudante obtém o maior número possível de 
bactérias, a temperatura no interior da estufa está clas-
sifi cada como
(A) muito baixa.
(B) baixa.
(C) média.
(D) alta.
(E) muito alta.
► Equação da circunferência
Relembrando
Circunferência
Circunferência é uma fi gura geométrica com formato 
circular que faz parte dos estudos da geometria. É im-
portante notar que todos os pontos de uma circunferên-
cia são equidistantes de um único ponto, que se chama 
centro. Por isso, se diz que a circunferência é o lugar 
geométrico do conjunto de todos os pontos que estão a 
uma distância fi xa de um ponto central.
Também, perceba que a circunferência é diferente do 
círculo, pois ela é uma fi gura plana, fechada e formada 
apenas por uma “linha” (contorno). Já o círculo é com-
posto por essa “linha” e a região interna a ela. Embora 
sejam conceitos diferentes, estão interligados e possuem 
propriedades em comum.
Raio e diâmetro da circunferência
Lembre-se que o raio da circunferência é todo segmento 
que liga o seu centro a um ponto dessa circunferência.
Já o diâmetro da circunferência é um segmento de reta 
que passa pelo centro da fi gura, dividindo-a em duas 
metades. Por isso, o diâmetro equivale a duas vezes o 
raio (D = 2r).
A corda é qualquer segmento de reta interno à circunfe-
rência que une dois pontos dessa circunferência.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
9
Equação Reduzida da Circunferência 
A equação reduzida da circunferência corresponde à 
representação algébrica da relação entre as coordena-
das de um ponto qualquer e as coordenadas do centro 
dessa circunferência. Essa relação é caracterizada pela 
distância entre uma medida constante (raio) e os pontos 
equidistantes a essa medida. Ela é representada pela 
seguinte sentença:
Lembre-se que as coordenadas de um ponto qualquer da 
circunferência são denotadas por (x, y) e que o ponto do cen-
tro é denotado por C(a ;b). Na equação, r é a medida do raio.
Equação Geral da Circunferência
A equação geral da circunferência é dada a partir do de-
senvolvimento da equação reduzida.
1. Observe as quatros equações e suas representações 
geométricas a seguir
2𝑦2 + 2𝑥2 − 4 = 0
equação I
2𝑦 + 2𝑥2 − 4 = 0
equação II
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
equação III
𝑥2 + 𝑦 − 3 = 0
equação IV
Responda:
a) Comparando termo a termo, as equações I e II são 
iguais? Justifi que.
b) Qual é grau (expoente) do termo que contém y nas 
equações I e II?
c) Qual é o maior grau (expoente) do termo que con-
tém y nas equações III e IV?
d) Quais dessas equações representam gráfi cos de 
parábolas?
e) Quais dessas equações representam gráfi cos de 
circunferências?
f) Isole o termo com y das equações que representam 
uma parábola.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
10
2. Escreva nos espaços a seguir se as equações repre-
sentam uma reta, uma parábola ou uma circunferência.
3. Utilize as palavras chave a seguir para preencher as 
lacunas do texto e depois realize o que é solicitado.
Equação reduzida da circunferência 
_______________________________é o lugar 
geométrico dos pontos de um plano que distam 
______________________ de um ponto central. 
A distância de qualquer ponto da circunferência até o 
seu ________________ possui a mesma medida e é 
chamada de _______________. 
Lembre-se que a circunferência é uma linha, enquanto o 
_____________________ é a região plana delimita-
da pela circunferência.
A dedução da equação da circunferência parte da de-
finição de circunferência que é o lugar geométrico dos 
pontos (x ,y) equidistantes do centro C(a ,b) da medida 
r. Então a sentença (x ̶ a)2 + (y ̶ b)2 = r2 é a chamada 
equação ____________________ da circunferência.
Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência 
de raio 8 e centro (3, ̶ 7) será:
(x ̶ ___)2 + (y ̶ (_____))2 = ____2
(x ̶ ___)2 + (y +___)2 = 82
(x ̶ ___)2 + (y + 7)2 = ____
Agora, escreva a equação reduzida da circunferência 
para cada caso a seguir.
a) raio 4 e centro ( ̶ 2,3)
b) raio 3 e centro (1,1)
c) raio 1
2
 e centro ( ̶ 2, ̶ 5)
d) raio 2
5
e centro 1
3 ,
1
4
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
11
4. Analise o procedimento a seguir utilizado para escre-
ver a equação geral da circunferência.
Para o raio medindo 2 e centro ( ̶ 1,2)
1º passo: escrever a equação reduzida da circunferência.
A equação reduzida é dada por:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
Sendo 𝐶(𝑎 , 𝑏) o centro da circunferência e r o raio, a
equação reduzida será:
(𝑥 − (−1))² + (𝑦 − 2)² = 2²
(𝑥 + 1)² + (𝑦 − 2)² = 4
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para encontrar
a equação geral.
𝑥 + 1 2 = 𝑥2 + 2𝑥 + 12 = 𝑥² + 2𝑥 + 1
𝑦 − 2 2 = 𝑦2 − 4𝑦 + 22 = 𝑦2 − 4𝑦 + 4
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥−𝑎 2
+ 𝑦2 − 4𝑦 + 4
𝑦−𝑏 2
= 4⏟
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 1 + 4 = 4
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 1 + 4 − 4 = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0
a) raio 4 e centro ( ̶ 2,3)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 (𝑥 + ____)² + (𝑦 − ____)² = ____²
(𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = _____
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
(𝑥 + ____)² = ____² + 2 � 𝑥 � ____ + ____² 
→ ___________________
𝑦 − ____ 2 = ____²− 2 � 𝑦 � ____ + ____² 
→ ___________________
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
_________________𝑥−𝑎 2
+ _________________
𝑦−𝑏 2
= ____�
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
___________________________ = ______
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
_____________________________ = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
_____________________________ = 0
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 (𝑥 + ____)² + (𝑦 − ____)² = ____²
(𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = _____
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
(𝑥 + ____)² = ____² + 2 � 𝑥 � ____ + ____² 
→ ___________________
𝑦 − ____ 2 = ____²− 2 � 𝑦 � ____ + ____² 
→ ___________________
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
_________________
𝑥−𝑎 2
+ _________________
𝑦−𝑏 2
= ____�
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
___________________________ = ______
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
_____________________________ = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
_____________________________ = 0
b) raio 25 e centro (
1
3 ,
1
4)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 (𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = ____²
(𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = _____
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
(𝑥 − ____)² = ____²− 2 � 𝑥 � ____ + ____² 
→ ___________________
𝑦 − ____ 2 = ____² − 2 � 𝑦 � ____ + ____² 
→ ___________________
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
_________________
𝑥−𝑎 2
+ _________________
𝑦−𝑏 2
= ____�
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
___________________________ = ______
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
_____________________________ = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
_____________________________ = 0
b) raio 25 e centro (
1
3 ,
1
4)
1º passo: escrever a equação reduzida da reta.
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
 (𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = ____²
(𝑥 − ____)² + (𝑦 − ____)² = _____
2º passo: desenvolver os produtos notáveis para
encontrar a equação geral.
(𝑥 − ____)² = ____²− 2 � 𝑥 � ____ + ____² 
→ ___________________
𝑦 − ____ 2 = ____² − 2 � 𝑦 � ____ + ____² 
→ ___________________
3º passo: reescrever a equação da circunferência da
seguinte maneira:
_________________
𝑥−𝑎 2
+ _________________
𝑦−𝑏 2
= ____�
𝑟2
4º passo: ordenar os termos da equação pelo grau:
___________________________ = ______
5º passo: Igualar o segundo membro da equação a zero:
_____________________________ = 0
6º passo: Reduzir os termos sem variável:
_____________________________ = 0
c) raio 3 e centro (3,5) 
1º passo:
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
12
2º passo:
3º passo:
4º passo:
5º passo:
6º passo:
5. Utilize as palavras chave a seguir para preencher as 
lacunas do texto e depois realize o que é solicitado.
Como encontrar o centro e o raio da circunferência dada 
a sua equação geral.
Para encontrar o _________ e o ______________ 
de uma _____________________ por meio de sua 
equação ______________, pode-se usar o método da 
comparação ou o método de completar quadrados.
Método da comparação
O método da __________________________ é o 
mais rápido quando o interesse é somente descobrir qual 
é o valor do raio e do centro da circunferência. Como o 
nosso objetivo é encontrar o valor do centro C(a ,b) e do 
raio r, dada a equação geral da circunferência, deve-se 
comparar a sua equação geral com a equação geral de 
uma circunferência __________________.
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0.
Sabe-se que a equação geral da circunferência pode ser
escrita como:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥2 − _____ + ____ + 𝑦2 − _____ + ____ = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (________________) = 0
Agora, faz-se uma comparação termo a termo entre as
duas equações:
𝒙² + 𝒚²–𝟐𝒂𝒙–𝟐𝒃𝒚+ (𝒃²+ 𝒂²–𝒓²)
= 𝒙² + 𝒚²–𝟒𝒙–𝟐𝒚–𝟒
Comparando termo a termo, pode-se encontrar o valor
de 𝒂 sabendo que:
−𝟐𝒂𝒙 = ______ × ( −𝟏 )
_____ = 𝟒𝒙
𝟐𝒂 = 𝟒
𝒂 =
𝟒
𝟐
𝒂 = _____
Para encontrar o valor de 𝒃, sabe-se que:
______ = −𝟐𝒚 × (−𝟏)
_____ = ____
𝟐𝒃 = 𝟐
____ =
𝟐
𝟐
𝒃 = ____
Para encontrar o valor de 𝑟 , analise o termo
independente, sabendo que 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2.
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐 − 𝒓𝟐 = _________
________ − 𝒓𝟐 = −𝟒
−𝒓𝟐 = __________ × (−𝟏)
_____ = 𝟗
𝒓 = ± ____
𝒓 = ±𝟑
Por se tratar de medida, adota-se 𝒓 = 𝟑.
Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto
𝐶 2 , 1 e o seu raio é 3.
A equação reduzida dessa circunferência é:
________ 2 + ________ 2 = ____2
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
13
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0.
Sabe-se que a equação geral da circunferência pode ser
escrita como:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥2 − _____ + ____ + 𝑦2 − _____ + ____ = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (________________) = 0
Agora, faz-se uma comparação termo a termo entre as
duas equações:
𝒙² + 𝒚²–𝟐𝒂𝒙–𝟐𝒃𝒚+ (𝒃²+ 𝒂²–𝒓²)
= 𝒙² + 𝒚²–𝟒𝒙–𝟐𝒚–𝟒
Comparando termo a termo, pode-se encontrar o valor
de 𝒂 sabendo que:
−𝟐𝒂𝒙 = ______ × ( −𝟏 )
_____ = 𝟒𝒙
𝟐𝒂 = 𝟒
𝒂 =
𝟒
𝟐
𝒂 = _____
Para encontrar o valor de 𝒃, sabe-se que:
______ = −𝟐𝒚 × (−𝟏)
_____ = ____
𝟐𝒃 = 𝟐
____ =
𝟐
𝟐
𝒃 = ____
Para encontrar o valor de 𝑟 , analise o termo
independente, sabendo que 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2.
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐 − 𝒓𝟐 = _________
________ − 𝒓𝟐 = −𝟒
−𝒓𝟐 = __________ × (−𝟏)
_____ = 𝟗
𝒓 = ± ____
𝒓 = ±𝟑
Por se tratar de medida, adota-se 𝒓 = 𝟑.
Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto
𝐶 2 , 1 e o seu raio é 3.
A equação reduzida dessa circunferência é:
________ 2 + ________ 2 = ____2
Método de completar quadrado
Esse segundo método consiste em encontrar a equação
reduzida da circunferência para que seja possível
encontrar o seu centro e o seu raio. Para
isso, completam-se quadrados.
Lembre-se que completar quadrado nada mais é do que
transformar a equação:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑏2 + 𝑎2 − 𝑟²) = 0
Em uma equação reduzida do tipo (________)² +
(________)² = ____².
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0.
Para transformar a equação geral na equação reduzida,
deve-se reordenar a equação geral, agrupando termos de
mesma variável:
𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
Sabe-se que 𝑥 − 𝑎 2 = ___________________ e que
2𝑎𝑥 = _______, daí
_________ = 6
𝑎 =
6
2 = ____
Agora, tem-se que:
_______ 2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
Note que o termo +9 não aparece na equação, então
deve-se somar e subtrair o 9 na equação geral da
seguinte maneira:
𝑥2–6𝑥 + 9− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
_________________
𝑥−3 2
− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
No passo anterior, note que: +9− 9 é igual a zero, o que
não altera a equação.
Agora, analisando a variável 𝑦, tem-se que:
𝑦 − 𝑏 2 = ________________
Então, 2𝑏𝑦 = 4𝑦, daí
_______ = _____
2𝑏 = 4
𝑏 =
4
2 = 2
Método de completar quadrado
Esse segundo método consiste em encontrar a equação
reduzida da circunferência para que seja possível
encontrar o seu centro e o seu raio. Para
isso, completam-se quadrados.
Lembre-se que completar quadrado nada mais é do que
transformar a equação:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑏2 + 𝑎2 − 𝑟²) = 0
Em uma equação reduzida do tipo (________)² +
(________)² = ____².
Exemplo: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0.
Para transformar a equação geral na equação reduzida,
deve-se reordenar a equação geral, agrupando termos de
mesma variável:
𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
Sabe-se que 𝑥 − 𝑎 2 = ___________________ e que
2𝑎𝑥 = _______, daí
_________ = 6
𝑎 =
6
2 = ____
Agora, tem-se que:
_______ 2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
Note que o termo +9 não aparece na equação, então
deve-se somar e subtrair o 9 na equação geral da
seguinte maneira:
𝑥2–6𝑥 + 9− 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
_________________
𝑥−3 2
− 9 +𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 − 12 = 0
No passo anterior, note que: +9− 9 é igual a zero, o que
não altera a equação.
Agora, analisando a variável 𝑦, tem-se que:
𝑦 − 𝑏 2 = ________________
Então, 2𝑏𝑦 = 4𝑦, daí
_______ = _____
2𝑏 = 4
𝑏 =
4
2 = 2
O que leva a:
________ 2 = _______________
Completando o quadrado, reescreve-se a equação da
maneira a seguir, e lembre como, anteriormente, o termo
+ 4 não aparece na equação, então deve-se somar e
subtrair o 4 na equação geral da seguinte maneira:
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + _________− 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4
(𝑦−2)²
− 4 − 12 = 0
𝑥 − 3 2 − 9 + (_______)²− 4 − 12 = 0
Passando os termos independentes para segundo
membro da equação, encontra-se a equação:
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 2)² = __________________
(𝑥 − 3)² + (𝑦 − 2)² = _____
Sendo assim, o centro é o ponto 𝐶(3 ; 2) e o raio 𝑟² =
____ → 𝑟 = ± ____ = ±___ , por se tratar de uma
medida adota-se o valor positivo, ou seja, 𝑟 = 5.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
14
6. Enumere as equações da segunda coluna de acordo 
com suas representações gráficas na primeira coluna.
(1)
(2)
(3)
(4)
( )
( )
( )
( ) 𝑥 +
1
2
2
+ 𝑦 −
1
3
2
= 4
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 4
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
7. Observe a circunferência representada no plano car-
tesiano a seguir.
Qual é a representação algébrica dessa circunferência?
(A) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0
(B) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
(C) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
(D) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0
(E) 𝑥2 + 𝑦2 + 4 = 0
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
15
8. Analise as equações do 2° grau a seguir.
I. 2y2 + 2x2 ̶ 18 = 0
II. 3y + 3x2 ̶ 6 = 0
III. x2 + y2 ̶ 4x + 2y + 1 = 0
IV. x2 ̶ y2 + 5 = 0
Dentre essas equações, as que representam circunfe-
rências, são
A) I e II.
B) I e III.
C) II e III.
D) II e IV.
E) I e IV.
Semana 2
► Raízes de um polinômio 
Relembrando
Raízes de um polinômio
Considere um polinômio P(x). Se P(x1) = 0, o número 
x_1 é chamado de raiz ou zero de P(x), ou seja, é o 
valor de x que faz com que o polinômio seja igual a zero. 
Nessa aula vamos relembrar como associar as possíveis 
raízes de um polinômio a sua forma fatorada, além de 
relembrar como fatorar um polinômio de 2º ou 3º grau.
Polinômio de 2º grau
O polinômio de 2º grau, 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que
admite raízes 𝑥1 e 𝑥2 pode ser decomposto em fatores do
1º grau da seguinte forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 � (𝑥 −
𝑥1) � (𝑥 − 𝑥2)
Exemplo 1:
𝑃(𝑥) = 𝑥² − 9
Igualando 𝑥2 − 9 = 0, obtém-se as raízes 𝑥1 = −3 e
𝑥2 = 3.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 1 � (𝑥 − 3) � (𝑥 + 3)
Nesse exemplo, pode-se utilizar o processo de fatoração
pela diferença entre dois quadrados.
Exemplo 2:
𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
Igualando 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0, obtém-se as raízes 𝑥1 =
2 e 𝑥2 = 3.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 1 � (𝑥 − 2) � (𝑥 − 3)
Nesse exemplo, pode-se utilizar a fórmula resolutiva
(Bháskara) para determinar as raízes ou o processo de
fatoração conhecido como Produto de Stevin: (𝑥 + 𝑎) �
(𝑥 + 𝑏) = 𝑥² + (𝑎 + 𝑏) � 𝑥 + 𝑎 � 𝑏
Polinômio de 2º grau
O polinômio de 2º grau, 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que
admite raízes 𝑥1 e 𝑥2 pode ser decomposto em fatores do
1º grau da seguinte forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 � (𝑥 −
𝑥1) � (𝑥 − 𝑥2)
Exemplo 1:
𝑃(𝑥) = 𝑥² − 9
Igualando 𝑥2 − 9 = 0, obtém-se as raízes 𝑥1 = −3 e
𝑥2 = 3.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 1 � (𝑥 − 3) � (𝑥 + 3)
Nesse exemplo, pode-se utilizar o processo de fatoração
pela diferença entre dois quadrados.
Exemplo 2:
𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
Igualando 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0, obtém-se as raízes 𝑥1 =
2 e 𝑥2 = 3.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 1 � (𝑥 − 2) � (𝑥 − 3)
Nesse exemplo, pode-se utilizar a fórmula resolutiva
(Bháskara) para determinar as raízes ou o processo de
fatoração conhecido como Produto de Stevin: (𝑥 + 𝑎) �
(𝑥 + 𝑏) = 𝑥² + (𝑎 + 𝑏) � 𝑥 + 𝑎 � 𝑏
Polinômio de 3º grau
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau,
pode-se decompô-lo em um produto de um polinômio de
1º grau por um de 2º grau, e em seguida, decompô-lo em
um produto de três polinômios de 1º grau.
Exemplo 3:
𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥² + 35𝑥
Em 𝑥3 − 12𝑥2 + 35𝑥 pode-se colocar o fator x em
evidência obtendo 𝑥 � (𝑥2 − 12𝑥 + 35)
Igualando 𝑥 � (𝑥2 − 12𝑥 + 35) = 0 obtém-se uma das
raízes 𝑥1 = 0 (produto igual a zero) e as outras duas
obtemos a partir de 𝑥2 − 12𝑥 + 35 = 0, ou seja, 𝑥2 =
5 e 𝑥3 = 7.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 𝑥 � (𝑥 − 5) � (𝑥 − 7)
Em se tratando de polinômios do 3º grau, pode-se fatorar
pelo método do agrupamento, quando for possível.
Exemplo 4:
𝑃(𝑥) = 2𝑥³ + 4𝑥² − 8𝑥 – 16
𝑃 𝑥 = 2𝑥² � (𝑥 + 2) − 8 � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = (2𝑥2 − 8) � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = 2(𝑥2 − 4) � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = 2(𝑥 − 2) � (𝑥 + 2) � (𝑥 + 2)
Observe que esse polinômio tem raízes 𝑥1 = 2 e 𝑥2 =
𝑥3 = −2 (raiz dupla)
Observações:
I) Se duas, três ou mais raízes forem iguais, essas raízes
são conhecidas como duplas, triplas e assim por diante.
II) Uma raiz 𝑥1 do polinômio 𝑃(𝑥) é dita raiz dupla (ou de
multiplicidade 2) se o polinômio 𝑃 𝑥 é divisível por
(𝑥 − 𝑥1)2 . Uma raiz 𝑥1 do polinômio 𝑃(𝑥) é dita raiz
tripla (ou de multiplicidade 3) se o polinômio 𝑃 𝑥 é
divisível por (𝑥 − 𝑥1)3, e assim por diante.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
16
Polinômio de 3º grau
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau,
pode-se decompô-lo em um produto de um polinômio de
1º grau por um de 2º grau, e em seguida, decompô-lo em
um produto de três polinômios de 1º grau.
Exemplo 3:
𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥² + 35𝑥
Em 𝑥3 − 12𝑥2 + 35𝑥 pode-se colocar o fator x em
evidência obtendo 𝑥 � (𝑥2 − 12𝑥 + 35)
Igualando 𝑥 � (𝑥2 − 12𝑥 + 35) = 0 obtém-se uma das
raízes 𝑥1 = 0 (produto igual a zero) e as outras duas
obtemos a partir de 𝑥2 − 12𝑥 + 35 = 0, ou seja, 𝑥2 =
5 e 𝑥3 = 7.
Dessa forma tem-se:
𝑃(𝑥) = 𝑥 � (𝑥 − 5) � (𝑥 − 7)
Em se tratando de polinômios do 3º grau, pode-se fatorar
pelo método do agrupamento, quando for possível.
Exemplo 4:
𝑃(𝑥) = 2𝑥³ + 4𝑥² − 8𝑥 – 16
𝑃 𝑥 = 2𝑥² � (𝑥 + 2) − 8 � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = (2𝑥2 − 8) � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = 2(𝑥2 − 4) � (𝑥 + 2)
𝑃 𝑥 = 2(𝑥 − 2) � (𝑥 + 2) � (𝑥 + 2)
Observe que esse polinômio tem raízes 𝑥1 = 2 e 𝑥2 =
𝑥3 = −2 (raiz dupla)
Observações:
I) Se duas, três ou mais raízes forem iguais, essas raízes
são conhecidas como duplas, triplas e assim por diante.
II) Uma raiz 𝑥1 do polinômio 𝑃(𝑥) é dita raiz dupla (ou de
multiplicidade 2) se o polinômio 𝑃 𝑥 é divisível por
(𝑥 − 𝑥1)2 . Uma raiz 𝑥1 do polinômio 𝑃(𝑥) é dita raiz
tripla (ou de multiplicidade 3) se o polinômio 𝑃 𝑥 é
divisível por (𝑥 − 𝑥1)3, e assim por diante.
Generalização:
Se um polinômio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 � 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 � 𝑥𝑛−1 +
𝑎𝑛−2 � 𝑥𝑛−2 + ⋯+ +𝑎0 � 𝑥0, admite raízes 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 então 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 � 𝑥 − 𝑥1 �
𝑥 − 𝑥2 � 𝑥 − 𝑥3 � ⋯ � � (𝑥 − 𝑥𝑛).
1. Decomponha os polinômios a seguir em fatores do 1º 
grau.
a) P(x) = 10x² ̶ 50x + 60
b) P(x) = ̶ 4x² + 8x + 12
2. Um polinômio de terceiro grau possui raízes iguais a 5, 
- 3 e 2. Escreva esse polinômio obedecendo a expressão 
𝑃 𝑥 = 𝛼𝑛 � 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 � 𝑥 − 𝑥1 com 𝑎𝑛 = 1.
3. Sendo ̶ 10, 4 e 6 as raízes de um polinômio P(x) de 
terceiro grau, escreva esse polinômio na forma de um 
produto entre polinômios de primeiro grau.
4. Sabe-se que os números -3, -1, 1, 3 são raízes de 
um polinômio de quarto grau. Escreva esse polinômio na 
forma reduzida.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
17
5. A figura mostra uma casa que ocupa uma área retan-
gular de frente x ̶ 20 e comprimento 2x ̶ 50.
a) A partir dessas informações, escreva um polinômio P(x) 
que representa a área desse terreno na forma reduzida.
b) Sabendoque a área desse terreno é igual a 1 000 
metros quadrados, calcule suas dimensões. 
6. Deseja-se estabelecer um polinômio que verifica a me-
dida da superfície da sala de uma residência, de formato 
retangular com dimensões x-4 e 2x-6, conforme a figura 
a seguir. 
a) Determine o polinômio que representa a área do 
piso dessa sala.
b) Sabendo que a área dessa sala é igual a 24 metros 
quadrados, calcule suas dimensões.
7. Um polinômio de terceiro grau possui como raízes os 
números ̶1, 1 e 2.
Qual é a expressão algébrica que representa esse poli-
nômio?
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Matemática - Junho/2023
18
8. Observe, no quadro a seguir, um polinômio escrito na 
forma fatorada em fatores de 1° grau.
As raízes reais desse polinômio são
(A) ̶ 15, ̶ 5 e 3.
(B) ̶ 5,0 e 1.
(C) ̶ 1,0 e 5.
(D) ̶ 1,3 e 5.
(E) 0,1 e 5.
9. (ENEM 2012 – questão 141 – 2º dia – caderno azul) 
Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a infor-
mação de que encolherá após a primeira lavagem man-
tendo, entretanto, seu formato. A fi gura a seguir mostra 
as medidas originais do forro e o tamanho do encolhi-
mento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão 
algébrica que representa a área do forro após ser lavado 
é (5 – x)(3 – y).
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primei-
ra lavagem, será expressa por
(A) 2xy.
(B) 15 – 3x.
(C) 15 – 5y.
(D) -5y – 3x.
(E) 5y + 3x – xy.
𝑃 𝑥 = 3𝑥 � (𝑥 + 1) � (𝑥 − 5)