Calculo Zero

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CÁLCULO ZERO
Alexandra Cemin
SUMÁRIO
Esta é uma obra coletiva organizada por iniciativa e direção do CENTRO SU-
PERIOR DE TECNOLOGIA TECBRASIL LTDA – Faculdades Ftec que, na for-
ma do art. 5º, VIII, h, da Lei nº 9.610/98, a publica sob sua marca e detém os 
direitos de exploração comercial e todos os demais previstos em contrato. É 
proibida a reprodução parcial ou integral sem autorização expressa e escrita.
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETOR DE ENSINO A DISTÂNCIA (EAD) 
Rafael Giovanella
Desenvolvido pela equipe de Criações para o Ensino a Distância (CREAD)
Coordenadora e Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Igor Zattera, Thaís Munhoz 
Revisora
Thais Piccoli Dalzochio
NÚMEROS 5
FRAÇÕES 6
POTENCIAÇÃO 8
RADICIAÇÃO 10
LOGARITMOS 12
RESUMO 14
ÁLGEBRA 18
PRODUTO NOTÁVEL 19
FATORAÇÃO 20
EQUACÕES 22
FUNÇÕES 24
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 26
RESUMO 29
GEOMETRIA 32
SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO 33
ÂNGULOS NOTÁVEIS 34
RADIANO, UNIDADE DE MEDIDA DE ARCO E DE ÂNGULO 34
SENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO 36
 COSSENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO 38
RAZÕES RECÍPROCAS DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE 40
TEOREMA DE PITÁGORAS 41
RESUMO 43
GRANDEZAS E MEDIDAS 46
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 47
GRANDEZAS FÍSICAS 49
CONVERSÃO DE UNIDADES DE MEDIDA 51
RESUMO 51
3CÁLCULO ZERO
APRESENTAÇÃO
Perceba a beleza do cálculo na natureza. Permita-se encantar-se pela 
harmonia e sequência das informações geradas.
4CÁLCULO ZERO
APRESENTAÇÃO
Olá, prezado(a) aluno(a)! Abordaremos na disciplina de Cálculo Zero as se-
guintes temáticas: números, álgebra, geometria, grandezas e medidas. 
Você deve estar aí questionando: onde usarei tudo isso? Deixa que eu res-
pondo: não faço a mínima ideia! Mas tenho certeza de que todo o conhecimento 
matemático que você tem será atuante na sua forma de agir, pensar e raciocinar. 
Quando você observa a natureza e percebe a beleza da sequência de Fibonacci¹, 
deve também questionar-se onde isso é aplicado. Posso ajudar! Essa sequência de 
números é uma das responsáveis pelo tamanho da tela do seu smartphone - mais 
especificamente do iPhone -, pela forma como você visualiza uma página na in-
ternet, pela supervalorização do quadro da Mona Lisa de Leonardo da Vinci, entre 
outros. As áreas que mais aplicaram a proporção fizeram com que produtos, mar-
cas e prédios que vemos no cotidiano tivessem muita relevância. Talvez agora te-
nha vindo à sua mente que entender sobre números significa alto valor agregado; 
ou seja, preciso saber mais sobre isso!
Permita-se encantar-se pela matemática e perceba a infinidade de mecanis-
mos que ela permitiu ao longo da evolução da humanidade. Este material foi divi-
dido em quatro capítulos, nos quais buscaremos dialogar sobre as unidades citadas 
anteriormente. Ao final de cada capítulo, você encontrará um resumo que poderá 
ser em forma de diagrama, de mapa mental, de tabela, entre outras possibilidades. 
Anote as suas aprendizagens e responda às atividades propostas. As questões discursivas de-
vem nortear a sua busca e curiosidade; além delas, disponibilizei questões objetivas, as quais usam 
o modelo do ENADE – Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes - e podem ser de asserção e 
razão, complementação simples (resposta única), interpretação e resposta múltipla. 
Veja a seguir uma breve explicação sobre as questões objetivas modelo ENADE.
A questão de interpretação é formulada a partir de uma situação estímulo que compõe o enunciado. 
Essa situação integra o problema e, a partir dela, você organiza as ideias, dados e informações para resol-
vê-la. São exemplos de situação-estímulo: texto, caso, tabela, diagrama, gráfico, figura, mapa, ilustração.
A questão de resposta única tem estrutura semelhante à da questão de complementação sim-
ples. O enunciado é redigido em forma de pergunta e as alternativas devem respondê-la.
A composição da questão de resposta múltipla contempla três ou quatro afirmações relaciona-
das ao tema explicitado no enunciado e uma chave de respostas, na qual são apresentadas as alter-
nativas de resposta, propriamente ditas, sendo que em cada uma delas consta(m) qual(is) afirma-
ção(ões) dentre as apresentadas é (são) verdadeira(s) em relação à proposta da questão. 
A questão asserção-razão consiste na análise de relações, na qual duas proposições são ligadas 
pela palavra “porque”, sendo que a segunda proposição pode ser (ou não) a razão ou justificativa da 
primeira proposição. 
As atividades disponibilizadas ao final de cada capítulo têm como função facilitar a compreen-
são e auxiliá-lo nos estudos. O intuito é ativar as suas aprendizagens.
1 É uma sucessão de números que aparece codificada em muitos fenômenos da natureza. Descrita no final 
do século 12 pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números 
seguintes são sempre a soma dos dois números anteriores.
5
NÚMEROS
Aprenda a operar, potenciar e racionalizar os números. Isso facilitará a 
compreensão resolutiva dos problemas aplicados.
6CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
A unidade temática “Números” tem como finalidade desenvolver o pensa-
mento numérico, que implica no conhecimento das operações numéricas, em espe-
cial da soma, subtração, multiplicação e divisão de frações, além das propriedades 
da potenciação e da radiciação, bem como as propriedades dos logaritmos.
FRAÇÕES
Fração é um modo de ex-
pressar uma quantidade a partir de 
uma razão entre dois números in-
teiros. A palavra “fração” vem do 
latim fractus e significa “partido”, 
“dividido” ou “quebrado”. Vamos 
aprender a operar as frações?
Definição: Fração 
é um quociente 
indicado onde 
o dividendo é 
o numerador 
e o divisor é o 
denominador.
Veja a seguir que podemos representar uma fração também na sua forma decimal. Para isso 
basta, como visto na definição, dividir o numerador pelo denominador:
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador.
Exemplos:
A fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível repre-
sentá-la por um número misto e reciprocamente.
Exemplos:
Em qualquer fração, ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mes-
mo número, o que se altera é apenas a escrita do número, seu valor é preservado. 
7CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
A fração resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fração por um 
número natural diferente de zero é chamada de fração equivalente.
A partir de uma determinada fração chamada irredutível, podemos encon-
trar infinitas frações equivalentes.
Exemplos:
SOMA E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
Na soma e subtração algébrica de frações, reduzem-se ao menor denomi-
nador comum as frações a serem somadas e somam-se algebricamente os nu-
meradores das frações equivalentes encontradas.
Obs.: O menor denominador comum é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) 
dos denominadores.
Exemplos:
 
Veja que nessa soma o mmc (3,5) = 15. As frações equivalentes às frações citadas, que têm deno-
minador 15, são trocadas pelas primeiras. Assim obtemos:
Na subtração o processo é o mesmo, veja:
O mmc (3,2) = 6. As frações equivalentes a dois terços e um meio que tem denominador seis são 
respectivamente , logo obtemos:
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Na multiplicação de frações, “multiplica-se numerador com numerador e denominador com 
denominador”. Veja:
Obs.: Ao se fazer uma multiplicação com várias frações, é possível, em alguns casos, fazermos 
algumas simplificações antes de obter o produto para que o cálculo se torne menor.
8CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Na divisão de frações, multiplicamos a primeira fração (dividendo) pelo inverso 
da segunda fração, a fração divisora.
 Exemplos:
POTENCIAÇÃO
Você já se perguntou o motivo peloqual devemos explorar as propriedades da 
potenciação? Já se deu conta de que o conhecimento sobre as operações algébricas vai 
além das instituições de ensino? Em caso afirmativo, “você é um dos meus”; em caso 
negativo, gostaria de lhe ajudar a perceber que o cálculo descreve fenômenos incríveis. 
Veja aqui a definição de potenciação: 
Definição: é uma multiplicação em série de um 
número por si mesmo. 
Essa linha lhe parece simples? Veja a sua representação através de símbolos ma-
temáticos nos exemplos.
Exemplos: 
APLICAÇÕES
Como exigência para prevenção de incêndios, a empresa “New plásticos” construiu um reser-
vatório de água no formato de um cubo, com 4 metros de aresta. Qual é o volume do reservatório? 
O volume é obtido multiplicando-se a largura pela altura e pelo comprimento, ou elevan-
do-se a aresta ao cubo, ou seja: V= 43=4.4.4=64 m³
 Vale a pena lembrar que 1 m³ corresponde a 1.000 litros de água e, portanto, no reserva-
tório cabem 64.000 litros de água. 
Obs.: essa relação só é válida para a água, outros líquidos se comportam de outra maneira 
em função de suas propriedades, especialmente a densidade. 
Cubo
9CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
PROPRIEDADES
A seguir veremos algumas propriedades da potenciação. 
Base 1: potências de base 1 são iguais a 1. 
Exemplos:
16=1 110=1
Potência 1: potências de expoente 1 são iguais à base. 
Exemplos: 
61=6 81=8 x1=x
POTÊNCIA DE BASES IGUAIS
• Multiplicação de base igual: conservamos a base e somamos o expoente. 
Exemplos: 
32.35= 37 53.59=512 
• Divisão de base igual: conservamos a base e diminuímos o expoente. 
Exemplos: 
23:21=2² 613:6-2=615
• Potência de expoentes iguais: multiplicamos as bases e conservamos o expoente comum.
Exemplos: 
33.23=(3.2)3=63=216
• Expoente de base zero: quando a base de nosso expoente for zero, o resultado será sempre zero para 
qualquer valor que seja colocado no expoente, com exceção do zero. 
Exemplos:
08=0
045=0
0-1= indefinido
00= indeterminado
• Base negativa: devemos observar o expoente. O expoente par produz um resultado positivo, um ex-
poente ímpar, um resultado negativo. 
Exemplos: 
a. (-12)2=+144
b. (-3)3=-27
10CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
• Expoente negativo: devemos trocar o numerador pelo denominador da fração e resolver 
o cálculo. 
Exemplos: 
RADICIAÇÃO
Na perspectiva de Demana et al. (2013), se b²=a, então b é a raiz quadrada de a. Assim, 
-3 e 3 são raízes quadradas de 9, uma vez que (-3)² = (3)² = 9. Do mesmo modo, se b³=a, en-
tão b é a raiz cúbica de a. Destarte, 3 é a raiz cúbica de 27, pois 3³=27. 
O autor ainda enfatiza que em , se n for ímpar, qualquer número apresentará uma 
única raiz enésima. Se n for par, os números reais positivos apresentarão duas raízes enésima. 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
EXPOENTE FRACIONÁRIO 
Temos a possibilidade de converter o radical em um expoente fracionário e vice-versa. 
Exemplos: 
RAIZ DE UM PRODUTO 
A raiz de um produto é dada pelo produto das raízes. Para fazer o produto de radicais, 
é preciso que eles tenham o mesmo índice no radical ou o mesmo radicando. 
Exemplo: 
a. √6.√5=√30 
RAIZ DO QUOCIENTE 
A raiz de um quociente é dada pelo quociente das raízes. Para fazer o quociente de ra-
dicais, é preciso que eles tenham o mesmo índice no radical ou o mesmo radicando.
Exemplo:
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A adição e a subtração de radicais só serão possíveis quando forem semelhantes. De-
vemos colocar os radicais em evidência e somar apenas a parte racional. 
11CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Exemplos: 
a. 5√2+3√2-4√2=(5+3-4) √2 =4√2
b. 3√5+2√7 -2√5-9√7= √5-7√7
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
É um recurso matemático com o intuito de eliminar do de-
nominador de uma fração um radical. 
Exemplos: 
Perceba que o processo matemático consistiu em multipli-
car o numerador e o denominador da fração por √5.
Perceba que multiplicamos numerador e denominador por 
, com a intenção de que o próximo passo produzisse 
=2, possibilitando assim a extração do radical do denominador.
Perceba que multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo termo, porém com o sinal do meio trocado. 
Isso possibilita uma simplificação que extrai o radical do denominador.
CURIOSIDADES
Qual é a ciência que estuda as relações existentes entre números, formas geométricas, figuras e 
funções?
Que tal ajudar o ser humano a resolver problemas cotidianos? 
Quem sugeriu a Matemática para responder ao primeiro questionamento acertou. E quanto à se-
gunda questão, vamos aprender um pouco mais sobre o cálculo. Veja que interessantes os núme-
ros mágicos.
O número 1089 ficou conhecido como número mágico por um motivo bem óbvio: 1089 é um nú-
mero mágico.
Para perceber isso, anote um número qualquer que possua três algarismos diferentes, por exem-
plo, 345. Escreva esse mesmo número ao contrário e subtraia o menor do maior:
543 – 345 = 198
Agora, some o resultado da subtração com o inverso desse número:
198 + 891 = 1089
Essa propriedade é válida para qualquer número com três dígitos diferentes.
Você ainda está se questionando sobre essa propriedade? Esse era o intuito!
12CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
LOGARITMOS
Logaritmo é uma função matemática que está baseada nas propriedades da poten-
ciação e exponenciação. O valor do logaritmo corresponde ao expoente a que se deve ele-
var uma determinada base, positiva e diferente de 1, para que o resultado seja igual a um 
número positivo b.
Veja os nomes dados para cada componente:
O desenvolvimento dos logaritmos nasceu da necessidade de simplificação de alguns 
cálculos matemáticos. Veja algumas consequências da definição:
PROPRIEDADES
Veja as propriedades dos logaritmos:
1. Logaritmo de um produto:
2. Logaritmo de um quociente:
3. Logaritmo de uma potência:
4. Logaritmo de uma raiz: 
5. Logaritmo com expoente na base: 
6. Mudança de base de logaritmos:
7. Logaritmo neperiano:
13CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
e = número de Eule ≅ 2,718281.....
Exemplos: 
I. Aplicando a definição de logaritmos em:
a. 
b. 
c. 
II. Calcule o valor de x, aplicando a definição de logaritmos:
a. 
b. 
c. 
14CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
APLICAÇÕES
RESUMO
As tabelas sintetizam as regras da potenciação e da radiciação apresentadas neste capítulo: 
15CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
1. Resolva as expressões:
a. 
b. 
c. 
2. Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas apro-
ximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante 
em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, 
são dadas respectivamente pelas funções:
a. Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e 
do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores quando 
são plantadas.
b. A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproxi-
mado do tronco dessa árvore, em centímetros.
3. Usando a definição de logaritmos, calcule o valor da variável x:
4. Resolva as equações:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
5. O resultado da equação log3 (2x + 1) – log3 (5x -3) = -1 é: 
a. 12 b. 10 c. 8 d. -6 
16CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
6. Analise as afirmações, de acordo com as propriedades da potenciação, da 
radiciação e dos logaritmos.
I. Na multiplicação de logaritmos log (a . b) = log a . log b.
II. Na potência dos logaritmos log am = m . log a
III. Para transformar potência em raiz, temos que 
Está correto apenas o que se afirma em:
a. I
b. I e II
c. II e III
d. I e III
e. I, II e III
7. Radiciação é a operação matemática inversa à potenciação. Enquanto 
a potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais, 
a radiciação procura descobrir que fatores são esses, dando o resulta-
do dessa multiplicação.
A partir das ideias sugeridas de potenciação e radiciação, avalie as as-
serções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A radiciação calcula o número que, elevado a determinado expoente 
PORQUE
II. produz oresultado inverso da potenciação.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
Respostas:
1. a. b. c.
2. a. H(0) = 1m e D(0) = 0,1 m b. D(7)= 0,2m ou 20 cm
3. a. 2 b. c. 2 d. -6 e. f. -2
4. a. {3} b. {81} c. {10} d. e.
5. d 6. c 7. a 
17CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
8. Em uma calculadora científica de 12 dígitos, quando se aperta a tecla log, aparece no visor 
o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece 
no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve aper-
tar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é:
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
Respostas: 8. d 
Já sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é indicado por log N, que representa o 
logaritmo de N na base 10.
Já sabemos que se log N > 0 então N > 1 e que se log N < 0 então 0 < N < 1.
Seja Ai o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo toque na tecla LOG, ou seja, no toque 
de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A1, no segundo toque, A2, no terceiro toque, 
A3 e assim sucessivamente.
Vamos considerar que o número introduzido na calculadora para o cálculo do log seja:
A0 = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.1010.
Teremos então: 
A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010
A1 = log A0 = log (4,8.1010) = log 4,8 + log 1010 = 10 + log 4,8
Então: A2 = log A1 = log 10 + log 4,8
Ora, como 10° < 4,8 < 10¹, podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e 1 e, portanto, da 
forma 0,m (um número decimal entre 0 e 1).
Então, A1 = 10 + log 4,8 = 10 + 0,m = 10,m , que é um número entre 10 = 10¹ e 100 = 10².
Nessas condições, teremos: A2 = log A1 = log (10,m).
Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja,
log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um número decimal entre 1 e 2), ou 
seja log A2 = 1,n.
Portanto, A3 = log A2 = log (1,n).
Como 1,n é um número decimal entre 1 = 100 e 10 = 101, podemos afirmar que:
log (1,n) será um número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p .
Portanto, A3 = 0, p A4 = log A3 = log (0,p).
Ora, como 0, p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já sabemos que o resultado será 
um número negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A4 é 
menor do que zero, ou seja, um número negativo.
Logo, A5 = log A4 e como A4 é negativo (menor do que zero) e já sabemos que não existe logaritmo 
decimal de número negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO. Portanto, na quinta 
vez - o que corresponde a A5 - ao teclar LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva 
tranquilamente à alternativa D.
18
ÁLGEBRA
Variáveis, equações, funções e gráficos. Você percebe em seu cotidiano 
alguma aplicação algébrica?
19CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Na unidade temática “Álgebra”, trataremos especificamente sobre produto notável e 
equações do 1o grau e do 2o grau, além das funções afim, quadrática, exponencial e logarít-
mica. Vamos aprender um pouco mais? Vem comigo!
PRODUTO NOTÁVEL
Vamos aprender as regras do produto notável?
Veja o quadrado da soma de dois termos:
Exemplo:
 (x + 3y)2= x2 + 2.x.(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
O quadrado da diferença de dois termos:
 
Exemplo: 
(7x – 4)2= (7x)2 – 2.(7x).4 + 42 = 49x2 – 56x + 16
Produto da soma pela diferença de dois termos:
Exemplo:
 (3a + x) . (3a – x)= (3a)2 – (x)2 = 9a2 – x2
Cubo da soma de dois termos:
Exemplo:
 (a+b)3=(a+b) (a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2 )=a3+3a2 b+3ab2+b3
20CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Cubo da diferença de dois termos:
Exemplo:
(a-b)3=(a-b) (a-b)2=(a-b)(a2-2ab+b2 )=a^3-3a2 b+3ab2-b3
FATORAÇÃO
Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais nú-
meros. Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo 
em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que é obtido 
dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.
DIFERENÇA DE QUADRADOS
Considere o polinômio x2 – y2. Nos produtos notáveis, vimos que essa diferença de 
quadrados é o resultado de (x + y).(x – y). Portanto,
x2 – y2 = (x + y).(x – y).
Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como exposto. 
Exemplo: 
Fatore x2 – 25. Como 25 = 52, x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5)(x – 5).
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
O polinômio x2 +2xy + y2 é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio porque tem 
três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de (x + y), ou seja, é o re-
sultado de (x + y)2. Outro trinômio quadrado perfeito é x2 – 2xy + y2, que é o resultado de 
(x – y)2. Assim, temos mais dois polinômios que sabemos fatorar:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2.
Exemplo: 
Fatore x2 + 12x + 36. Neste caso x2 e 36 são quadrados e suas bases são x e 6 e, além 
disso, 12x = 2.x.6. Assim, x2 + 12x + 36 = (x + 6)2.
FATOR COMUM
Vamos efetuar esta multiplicação: 3x(y + 3z + 2)
3x(y + 3z + 2) = 3xy + 9xz + 6x.
21CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Agora, queremos fatorar 3xy + 9xz + 6x. Observe que em 3xy + 9xz + 6x, o termo 3x 
está presente em todos os monômios, isto é,
3xy + 9xz + 6x = (3x)y + (3x).3z + (3x).2
ou seja,
3xy + 9xz + 6x = 3x.(y + 3z + 2)
Ao fazer isso, dizemos que 3x foi colocado em evidência.
Exemplo: 
Fatore 6x3 + 8x2. O fator comum é 2x2. Assim, colocando 2x2 em evidência, temos:
6x3 + 8x2 = 2x2(3x + 4).
FATORANDO POR AGRUPAMENTO
Vamos fatorar ax + ay + bx + by. Neste caso, não temos um fator comum a todas as 
parcelas. No entanto, a é o fator comum às duas primeiras parcelas e b é o fator comum às 
duas últimas. Por isso, podemos separar a expressão em dois grupos e colocar em evidência 
o fator comum de cada grupo:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)
Agora, cada parcela do 2° membro tem o fator comum (x + y). Colocando (x + y) em 
evidência, obtemos:
ax + ay + bx + by = (x + y).(a + b)
Exemplos: 
I. Vamos fatorar x2 – ay + xy – ax.
x2 – ay + xy – ax = x2 + xy – ay – ax = x(x + y) – a(y + x) = (x + y)(x – a)
II. Fatore x3 – ax2 – 3bx + 3ab.
x3 – ax2 – 3bx + 3ab = x2(x – a) + 3b(a – x)
Observe que a expressão (a – x) é a oposta de (x – a), isto é, a – x = – (x – a). Então:
x2(x – a) + 3b(a – x) = x2(x – a) – 3b(x – a) = (x – a)(x2 – 3b)
Quando todos os termos de uma expressão algébrica têm um 
fator comum, podemos colocá-lo em evidência.
Fatoração por agrupamento
Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento,
1. formamos grupos com os termos da expressão;
2. em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência;
3. colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir).
22CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
III. Vamos ver outro caso de fatoração. Primeiro observe:
(x + 2)(x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10
Então, para fatorar x2 + 7x + 10 procuramos dois números de soma 7 e produto 10. 
Por tentativas, vemos que esses números são 2 e 5. Portanto,
x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)
EQUACÕES
Equações possuem uma vasta aplicabilidade e são muito importantes em nosso 
dia a dia, visto que nos permitem estabelecer relações em diversas atividades produ-
tivas, através de incógnitas. Usando propriedades matemáticas, determinamos os va-
lores das variáveis desconhecidas.
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Denomina-se equação do 1º grau na incógnita x toda equação da forma:
em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com a ≠ 
0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação. 
Exemplo:
Vamos resolver as seguintes equações do 1º grau, sendo U = Q.
Resolvera equação do 1º grau significa determinar o valor de x que satisfaça a igualdade. 
a. 5x – 40 = 2 – x 
5x + x = 2 + 40
6x = 42
x = 42/6 x = 7
A solução da equação do 1º grau é S = {7}
b. 3,5x + 1 = 3 + 3,1x 
3,5x-3,1x = 3-1
0,4 x = 2
x = 2/0,4 x = 5
A solução da equação do 1º grau é S = {5}
c. 6(4 – t) – 55 = - 5(2t+ 3) 
24 – 6t – 55 = -10t -15
-6t + 10t = -15 +55
4t = 40
t = 40/4 t = 10
A solução da equação do 1º grau é S = {10}
Equação: é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, 
em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. 
ax+b=0.a e b ∈R,com a≠0
23CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Uma equação do segundo grau é aquela que está descrita na forma:
Quando b ou c forem iguais a zero, dizemos que a equação do segundo grau é incompleta. 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS
1. Quando b=0 
Exemplos: 
I. x2-9=0
x2=9
x=±√9
x=±3
S={-3,+3}
II. Uma tela retangular tem uma área de 9.600 cm². Sabemos que o comprimento corresponde 
a uma vez e meia a sua altura. Quais são as medidas do comprimento e da largura da tela?
Seja x a medida das dimensões da tela, então 1,5x será o comprimento, e x a altura. Va-
mos lembrar que a área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Logo: 
x.1,5x=9.600
1,5x2=9.600
x2=9.600/1,5
x=±√6.400
x=±80 
Como estamos falando de medidas, vamos considerar apenas o valor positivo. Assim, 
o comprimento vale 80 cm e a largura 120 cm. 
2. Quando c = 0 
Exemplos: 
I. x2-6x=0
x(x-6)=0
x1=0
x-6=0
x2=6
S={0,6}
ax2+bx+c=0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.
24CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU COMPLETAS
Uma equação do segundo grau completa é aquela que possui os termos 
a, b e c diferentes de zero. Para a resolução, utilizamos a fórmula de Bháskara: 
Exemplos: 
III. Um senhor tem um terreno retangular que mede 26 m de comprimento por 16 m de largura. Ele de-
seja aumentar a área de seu terreno para 816m², acrescentando duas faixas de terra com a mesma 
largura em um dos lados e nos fundos. Qual deve ser a largura dessas faixas? 
Como estamos falando de medidas, vamos considerar apenas o valor positivo; logo, as faixas de-
verão ter 8 m de largura. 
FUNÇÕES
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustra-
ções. Esses são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações é 
muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas 
que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de pro-
dutos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, nos 
relatórios das empresas... enfim, em todos os lugares. 
Definimos função com a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de forma-
ção, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser relacionados com os elementos de 
outro grupo através de uma lei.
I. II. 
25CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
Pense na seguinte situação: 
Um taxista cobra R$ 2,50 por uma corrida de taxi, mais R$ 5,00 para cada 
quilômetro rodado. 
Perceba que existe uma relação matemática entre dois conjuntos (A e B), ou 
seja, entre os quilômetros rodados e o preço a ser cobrado. Essa relação pode ser ex-
pressa matematicamente, em que P é o preço a ser pago e x os quilômetros rodados: 
P(x)=2,50+5x
Agora pense no seguinte:
a. Quanto vou gastar para rodar 2km?
P(2)=2,50+5.2
P(2)=2,50+10=12,50
b. Disponho de apenas R$ 10,00, quanto posso rodar no máximo?
2,50+5x=10
5x=10-2,50
x=7,50/5=1,5 km
Observações: 
a. O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta.
b. O conjunto imagem da função do primeiro grau é o conjunto dos reais.
c. A função do primeiro grau com b=0 é chamada de linear. 
COEFICIENTES A E B DE UMA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Na função polinomial do primeiro grau, o número real a é chamado de coeficiente angular e 
está relacionado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 
Se a > 0, então a função é crescente.
Se a < 0, então a função é decrescente.
Já o termo b é chamado de coeficiente linear e indica o ponto em que a reta corta o eixo Oy.
FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU OU QUADRÁTICAS 
DEFINIÇÃO DE UMA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
Uma função do segundo grau é qualquer função especificada por uma regra da forma f(x) = ax² 
+ bx + c, em que a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠0.
26CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Observações:
• O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola.
• Se a > 0, então a função é crescente. Se a < 0, a função é decrescente. 
• As raízes da função são os pontos onde a parábola intercepta o eixo Ox.
• O termo c é o ponto onde a parábola intercepta o eixo Oy.
Exemplos: 
I. f(x)=x2-4x+3
Observe que a função é crescente. Nesse caso, afirmamos que ela apre-
senta um ponto de mínimo. 
II. f(x)=-x2+10x-25
Observe que a função é decrescente. Nesse caso, afirmamos que ela apresenta um ponto de máximo.
VÉRTICE DA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
Podemos encontrar o ponto de máximo ou de mínimo de uma função encontrando o vértice. 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Bianchini e Paccola (1998) definem a função exponencial como uma expressão matemática em que a 
variável é uma potência, e a base é uma constante. 
 Vejamos as principais características da função exponencial:
1. f é contínua, o seu domínio é R e o seu contradomínio é R+;
2. f é crescente se b > 1 e é decrescente se b < 1;
Gráfico da função do segundo grau
Gráfico da função do segundo grau
27CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
3. f (0) = 1 e f (1) = b.
Exemplo:
Considere uma cultura de bactérias na qual o número de indivíduo se duplica a cada mi-
nuto. Para uma população inicial de 10 bactérias, teremos (BIANCHINI, PACCOLA, 1998, p. 109):
1. Ao final de um minuto = y1=10.2=20 bactérias
2. Ao final de dois minutos = y2=(10.2).2=10.22=40 bactérias
3. Ao final de três minutos = y3=(10.22).2=10.23=80 bactérias
Percebemos que a lei da função é definida por y=10.2x.
O gráfico dessa função será dado por:
No entanto, perceba que, no eixo x, os valores negativos são apenas representativos 
pois, na nossa situação, o x inicial é igual a zero. 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A expressão matemática que define a função logarítmica é um logaritmo. No logarit-
mo, a base é constante, e o valor de x é o termo variável.
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada 
função logarítmica de base a. Nesse tipo de função, o domínio é representado pelo conjunto 
dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
Exemplos: 
I. f(x) = log2x
II. f(x) = log3x
GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
O gráfico de uma função logarítmica apresenta as seguintes características: 
• o gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0;
• intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1;
• a imagem corresponde ao conjunto dos reais; 
• é uma função inversa da exponencial;
• é uma função contínua e crescente. 
Gráfico de função exponencial
28CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Retome a definição de logaritmos e veja que também podem ser definidos de forma 
mais “aritmética”, de maneira a facilitar o seu cálculo. Temos que o logaritmo de um núme-
ro, em uma base b > 1, é o expoente a que se deve elevar a base para obter o número, isto é: 
logbx=a↔bª=x
Confira alguns exemplos de gráficos de funções.
Gráfico da função logarítmica
Fo
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o
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/
CURIOSIDADES
Números triangulares são naturais que representam quantidades que 
podem ser organizadas na forma de triângulo equilátero. Exemplos: 1, 
3, 6 e 10. Observe os triângulos equiláteros que podem ser formados 
por esses números:
A sequência de números triangularesnão para aí: é infinita! Para 
encontrar um número triangular qualquer, podemos continuar 
desenhando os triângulos equiláteros e contando seus elementos, ou 
usar a seguinte fórmula:
Tn = n(n + 1)/2
Nessa fórmula, n é a “posição” do número triangular. Assim, o quarto 
número triangular é 10, logo n = 4. Se quisermos encontrar o vigésimo 
número triangular, basta substituir n por 20 na fórmula.
Isso também é uma função? Reponde aí!
Fonte: https://mundoeducacao.uol.com.br/
29CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
RESUMO
Produtos notáveis: 
Equações – Métodos resolutivos
• Equações do 1º grau
Isolar a incógnita, usando propriedades matemáticas.
• Equações do 2º grau
ax² + bx + c=0, em que a, b, c ∈ R e a ≠ 0. 
Aplicar a fórmula:
30CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
1. Em que diferem uma equação e uma função?
2. Cite um exemplo de uma equação do 1o grau e de uma função do 2o grau.
3. Quais as possibilidades da concavidade de uma função quadrática? Justifique de acordo 
com o termo a.
4. Quais as diferenças entre uma função exponencial e uma função logarítmica? Explique 
em termos gráficos. 
5. Com base no método resolutivo das equações, avalie as afirmações a seguir:
I. O valor de x que satisfaz a igualdade na equação 3x + 12 = 27 é 5.
II. O valor da incógnita na equação 5 – (4x + 2) = 8 + 2(x – 1) é igual a ½.
III. A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os coeficientes a, 
b e c são números reais, com a ≠ 0. Pode-se aplicar a fórmula para de-
terminar as raízes.
IV. A solução da equação x2 – x – 12 = 0 é S={-3,4}
É correto apenas o que se afirma em:
a. II. b. I e IV. c. II e III. d. III e IV. e. I, III e IV.
6. Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu 
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram 
vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 
1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o va-
lor, em reais, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
a. V = 10.000 + 50x – x².
b. V = 10.000 + 50x + x².
c. V = 15.000 – 50x – x².
d. V = 15.000 + 50x – x².
e. V = 15.000 – 50x + x².
7. Analise o gráfico da função quadrática y(x)= -x²+ 12x – 20.
Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. 
O lucro obtido é dado pela expressão y(x), onde x representa a quantidade de bonés contidos no 
pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo lucro máximo.
Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de 
bonés igual a:
a. 2 b. 4 c. 6 d. 9 e. 14
31CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
Respostas:
1. Uma equação é uma igualdade entre os elementos de dois membros, em que esses elementos são resultados de operações 
matemáticas entre números conhecidos e desconhecidos. Uma função é uma regra matemática que relaciona cada elemento 
de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B.
2. Resposta pessoal, a equação do 1º grau precisa ser do tipo ax+b=0 e a função do 2º grau do tipo f(x) = ax2 +bx+c.
3. Concavidade voltada para cima quando a > 0 e concavidade voltada para baixo quando a < 0.
4. A função exponencial é aquela em que a variável está no expoente, e a base é sempre maior do que 0 e diferente de 1. A 
inversa da função exponencial é a chamada função logarítmica. Ela é definida basicamente como f(x) = log ax, em que a é um 
número real positivo e diferente de 1.
5. E
6. D 
7. C
8. A 
8. O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número eleva-
do a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.
A partir das ideias sugeridas pelas funções exponenciais, avalie as as-
serções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Na função exponencial, a base é sempre maior que zero
PORQUE
II. A função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta 
pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma jus-
tificativa correta da I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
32
GEOMETRIA
A geometria auxilia nas construções, composições, encaixes e obras de 
arte.
33CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
A Geometria é o ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e 
posição relativa de figuras e com as propriedades dos espaços. Um matemático que trabalha 
no campo da geometria é denominado de geômetra. Nesta unidade, trataremos mais espe-
cificamente da trigonometria, uma área da geometria plana euclidiana que analisa a relação 
existente entre os ângulos de um triângulo e o comprimento dos seus lados. As razões tri-
gonométricas principais são o seno, o cosseno e a tangente. 
As dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aris-
tarco de Samos (310 a.C. – 230 a.C.) foi um dos primeiros a calcular as distâncias que sepa-
ram a Terra, a Lua e o Sol; para isso, ele usou relações entre as medidas dos lados e as me-
didas dos ângulos internos de triângulos retângulos. 
Para o cálculo da medida r do raio da Lua, inicialmente, mede-se o ângulo formado pelas 
duas retas tangentes AT e AT’ a um círculo máximo do satélite, conforme a figura a seguir:
Conhecendo-se a distância d entre os pontos A e L, obtém-se:
O termo trigonometria vem do grego trigono (triângulo) e metria (medida), e surgiu da 
necessidade de medir distâncias inacessíveis. 
SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO
As razões (trigonométricas) r1, r2 e r3, são chamadas, respectivamente de: seno do 
ângulo � (sen �), cosseno do ângulo � (cos �) e tangente do ângulo � (tg �).
Em resumo, temos:
Exemplo:
Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para 
isso, fixa um ponto A na margem em que está e um ponto B 
na margem oposta (conforme figura). A seguir, desloca-se 
40 m perpendicularmente à reta AB até o ponto C e mede o 
ângulo AĈB, obtendo 44º. Calcule a largura do rio. Dados: 
sen 44° = 0,69; cos 44° = 0,71; tg 44° = 0,96.
34CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Resolução:
Usando a relação métrica da tangente, pois dispomos apenas dos catetos, temos que:
Sendo assim, temos que a largura do rio é de 38,4m.
ÂNGULOS NOTÁVEIS
Em termos práticos, convém conhecermos o seno, o cosseno e a tangente de alguns 
ângulos. Escolhemos, pela facilidade das demonstrações, os ângulos de 30°, 45° e 60°, que 
chamaremos de ângulos notáveis.
ÂNGULO DE 45°
A medida de cada diagonal de um quadrado de lado a é a 2, e cada ângulo interno do 
quadrado é dividido por uma diagonal em dois ângulos de 45°. Assim, temos:
ÂNGULOS DE 30° E 60°
A medida de cada altura de um triângulo equilátero de lado a é . Cada altura desse 
tipo de triângulo também é bissetriz interna e mediana. Como cada ângulo interno do triân-
gulo equilátero mede 60°, temos:
Tabela dos ângulos notáveis
RADIANO, UNIDADE DE MEDIDA DE ARCO E DE ÂNGULO
Estudaremos uma outra unidade para medir ângulo e arco: o radiano, definido a seguir.
35CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Consideremos um arco AB, contido numa cir-
cunferência de raio r, tal que o comprimento do arco 
AB seja igual a r. 
Dizemos que a medida do arco AB é 1 radiano (1 rad).
MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA EM RADIANOS
Sabemos que uma circunferência mede 360°. Qual será a sua me-
dida em radianos?
Consideremos uma circunferência cujo raio tenha medida r. Como 
o comprimento dessa circunferência é 2πr, podemos obter a sua medida 
x, em radianos, por meio de uma regra de três:
A medida de uma circunferência é 2πrad.
TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES
Dizemos que umamedida em radianos é equivalente a uma medida em graus se são medidas de um mes-
mo arco; por exemplo, 2π rad é equivalente a 360°, pois ambas são medidas de um arco de uma volta completa. 
Consequentemente, temos:
Essa equivalência nos permite transformar unidades, ou seja, dada a medida de um arco em graus, pode-
mos obter a medida desse arco em radianos e vice-versa.
CONSTRUÇÃO
Consideremos uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro coincida com a origem de um sis-
tema cartesiano ortogonal.
Essa estrutura, com as convenções a seguir, constitui a circunferência trigonométrica.
• O ponto A(1,0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência.
• Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (–).
• Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).
• Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões, chamadas de quadrantes (Q); esses 
quadrantes são numerados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.
Definição: Um radiano (1 rad) é um arco cujo 
comprimento é igual ao do raio da circunferência 
que o contém.
π rad é equivalente a 180°
36CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
SENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO
Consideremos, na circunferência trigonométrica, um arco AM de medida � , 
com 0° < � < 90°. No triângulo retângulo OMP, temos: 
Note que a medida MP é a ordenada do ponto M.
Veremos a seguir como ampliar o conceito de seno de um ângulo para qual-
quer arco trigonométrico.
FUNÇÃO SENO
Definimos a função seno como:
Partindo do ponto A, vamos dar uma volta completa no ciclo. Dessa forma, observando as orde-
nadas dos pontos A, B, A’ e B’, podemos informar os valores da função seno para alguns arcos. Veja:
• O domínio da função f(x) = sen x é dom f = ◻.
• A imagem da função f(x) = sen x é Im f = [-1,1].
• A função é periódica com período 2◻.
Definição: Dado um arco trigonométrico AM de medida 
�, chama-se seno de � a ordenada do ponto M.
sen � = ordenada de M = yM
f: ℜ → ℜ tal que f(x) = sen x.
37CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
VARIAÇÃO DE SINAL DO SENO
O seno de um arco é a ordenada da extremidade desse arco. 
Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1° e os do 2° 
quadrante, e os pontos de ordenadas negativas são os do 3° e os 
do 4° quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o seno:
Gráfico da Função y = sen x
Resumindo, temos:
Exemplo:
Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e o período das funções definidas por:
a. f(x) = 2 sen x
Dom = ℜ
Im = [-2,2]
Gráfico:
 
b. y = –3 + sen x
Dom = ℜ
Im = [-4,-2]
Gráfico:
38CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
 COSSENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO
Consideremos, na circunferência trigonométrica, um 
arco AM de medida α, com 0° < α < 90°. No triângulo retân-
gulo OMP, temos:
Note que a medida OP é a abscissa do ponto M.
Veremos a seguir como ampliar o conceito de cosseno de um ângulo para qual-
quer arco trigonométrico.
FUNÇÃO COSSENO
Definimos a função cosseno como:
Partindo do ponto A, vamos dar uma volta completa no ciclo. Dessa forma, observando as abs-
cissas dos pontos A, B, A’ e B’, podemos informar os valores da função cosseno para alguns arcos. Veja:
• O domínio da função f(x) = cos x é dom f = ℜ.
• A imagem da função f(x) = cos x é Im f = [-1,1].
• A função é periódica com período 2π.
VARIAÇÃO DE SINAL DO COSSENO
O cosseno de um arco é a abscissa da extremidade desse arco. Como os pontos de abscissas 
positivas são os do 1° e os do 4° quadrante, e os pontos de abscissas negativas são os do 2° e os do 
3° quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o cosseno:
Definição: Dado um arco trigonométrico 
AM de medida α, chama-se cosseno de α 
a abscissa do ponto M. 
cos α = abscissa de M = xM
f: ℜ → ℜ tal que f(x) = cos x 
39CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Gráfico da Função y = cos x
Resumindo, temos:
Exemplos: 
 Determinar o domínio, a imagem e o gráfico das funções definidas por:
a. f(x) = 2 cos x
Dom = ℜ 
Im = [-2,2]
Gráfico:
b. y = –3 + cos x
Dom = ℜ 
Im = [-2,-4]
Gráfico:
De forma análoga a seno e cosseno, obtemos o gráfico da Função y = tg x
40CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Resumindo, temos:
Exemplos: 
Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e o período das funções definidas por:
a. f(x) = 2 tg x 
Dom = {x Dom={x ∈ R |x ≠ π/2 + k*π, k ∈ Z ℜ}
Im = ℜ
Gráfico:
b. y = –3 + tg x
Dom = {x Dom = {x ∈ R | x ≠ π/2 + k*π, k ∈ Z ℜ}
Im = ℜ
Gráfico:
RAZÕES RECÍPROCAS DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE
Quando estudamos o triangulo retângulo, definimos as seguintes razões entre os lados:
As recíprocas (inversas) dessas razões também são chamadas de razões trigonométri-
cas e recebem nomes especiais: a recíproca do seno é chamada de cossecante (cossec), a do 
cosseno é chamada de secante (sec) e a da tangente é chamada de cotangente (cotg), ou seja:
41CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
O elemento de composição co nas palavras cosseno, cossecante e cotangente significa 
“complemento”, ou seja, o cosseno de α é o seno do complementar de α; a cossecante de α é a se-
cante do complementar de α; e a cotangente de α é a tangente do complementar de α. Lembrando 
que o complementar de α é 90° – α. Observe essas afirmações com símbolos matemáticos:
Generalizando, dado um arco trigonométrico de medida α, podemos definir as razões 
recíprocas do seno, cosseno e tangente desse arco, desde que seja obedecida a condição de 
existência de cada razão, da seguinte maneira:
Observe, pela definição de cotg α, que, se além de sen α≠0 tivermos também cos α≠0, então:
Exemplos: 
Calcular (usando uma calculadora científica):
a. cotg 30°;
Resolução: 
b. sec 180°;
Resolução: 
c. cossec 90°. 
Resolução: 
Vamos estudar um pouco sobre o Teorema de Pitágoras?
TEOREMA DE PITÁGORAS
O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de 
qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que “em qualquer 
42CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
comprimentos dos catetos.”
Analise a figura:
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o 
formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado 
como uma relação entre áreas:
Para ambos os enunciados, pode-se equacionar:
Onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos 
outros dois lados.
“Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a 
hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.”
c2= a2+b2
Exemplo:
Em uma oficina mecânica, será necessário construir uma rampa para carros, 
de modo a vencer um desnível de 2,1m.
Se o ângulo de inclinação deve ter, no máximo, 25o, qual deve ser o compri-
mento mínimo da rampa? Considere para a rampa comprimentos representados 
com uma casa decimal.
Resolução (use uma calculadora científica):
Vamos usar o máximo do ângulo e considerar sen 25°= 0,42 e x sendo o compri-
mento da rampa.
Logo, pela relação métrica no triângulo retângulo, temos que sen 25º=2,1/x 
A rampa terá comprimento de 5m.
43CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
RESUMO
Neste capítulo foi apresentada a tri-
gonometria, um dos ramos da geometria. 
Veja o resumo das fórmulas.
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44CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
1. O esquema seguinte representa o projeto de uma escada com 5 
degraus de mesma altura. De acordo com os dados da figura, qual 
é o comprimento de todo o corrimão?
2. Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que 
restou em pé forma um ângulo reto com o solo. Se a altura da 
árvore antes de se quebrar era de 9 m, e sabendo que a ponta 
da parte quebrada está a 3 m da base da árvore, qual a altura 
do tronco que restou em pé?
3. Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo. Algumas de suasmedidas estão in-
dicadas, em metros, na figura. Determine as medidas x e y dos lados desse terreno.
4. Milena, diante da configuração representada abaixo, 
pede ajuda aos graduandos de engenharia e de matemá-
tica para calcular o comprimento da sombra x do poste, 
mas, para isso, ela informa que o sen α = 0,6. Calcule o 
comprimento da sombra x.
5. Um disco voador é avistado, numa região plana, a uma certa 
altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se despren-
de da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura. 
A que altitude se encontra esse disco voador? 
Condição 1: a distância d é conhecida 
Condição 2: a medida do ângulo α e a tg do mesmo ângulo são conhecidas.
Com base nas relações métricas no triângulo retângulo, avalie as afirmações a seguir.
I. A condição 1 sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a 2 sozinha, não.
II. As condições 1 e 2, juntas, são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma de-
las, sozinha, não é.
III. A pergunta não pode ser respondida por falta de dados.
É correto apenas o que se afirma em:
a. II.
b. I e II.
c. II e III.
d. I e III.
e. I, II e III.
45CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
Respostas:
1. 2,1m
2. 4,0 m
3. x = 24 e y = 12
4. x ≈ 13,33 m
5. A
6. B
7. C
8. B
6. A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte apare-
cem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal. 
A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é:
a. 44,7. b. 48,8. c. 54,6. d. 60,0. e. 65,3. 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justi-
ficativa correta da I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
a. 7 cm b. 11 cm c. 12 cm d. 14 cm e. 16 cm
7. Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ân-
gulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A 
altura aproximada da torre, em metros, é: 
8. Seno, cosseno e tangente são resultados da divisão dos comprimentos de dois lados de um triângu-
lo retângulo. Para definir essas divisões, é necessário saber que, em um triângulo retângulo, o lado 
oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e que os outros dois lados são chamados de catetos.
A partir das ideias sugeridas pelo texto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A tangente é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo 
de um triângulo retângulo,
PORQUE
II. o cateto adjacente é o cateto do triângulo que se encontra ao lado do ângulo que está sendo observado.
46
GRANDEZAS E 
MEDIDAS
Compreender as unidades de medidas e interpretar corretamente os 
dados é fundamental para o avanço tecnológico.
47CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Neste capítulo, abordaremos o sistema métrico decimal e as transformações de uni-
dades de medida. As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais 
para a compreensão da realidade. Uma das habilidades necessárias é interpretar e compre-
ender textos científicos ou divulgados pelas mídias, que empregam unidades de medida de 
diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas ou não pelo Sistema 
Internacional (SI), como as de armazenamento e velocidade de transferência de dados, li-
gadas aos avanços tecnológicos.
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Existem várias formas de se medir quantidades. Basicamente, o sistema métrico en-
volve medidas de comprimento, medidas de superfície (área) e medidas de volume ou ca-
pacidade. Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso.
MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade padrão de medida é o metro. A partir dele, temos os múltiplos e submúlti-
plos do metro. Observe no esquema:
Vemos no esquema que, se tivermos uma medida expressa em algum múltiplo do me-
tro, para converter para uma unidade inferior, basta multiplicar o resultado por 10. Ao con-
trário, se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passá-la para uma maior, 
teremos que dividir por 10. 
Exemplos:
• 12 hm = 1200 m
• 300 dm = 3 dam
• 1000 mm = 1 m
• 3 cm = 0,03 m
Obs.: Para efetuar operações matemáticas com as unidades de medida, é preciso que 
todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade.
UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE (ÁREA)
Nas medidas de superfície (medidas quadradas), para passar de uma medida para ou-
tra, devemos multiplicar ou dividir por 100, seguindo o esquema abaixo:
48CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUME
Cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, 
isto é, as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000.
Obs.: Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os cálculos.
Há países como os Estados Unidos que não utilizam o sistema métrico internacional, 
mas outras medidas, como as descritas abaixo:
• Polegadas (pol.) – inches (in.)
1 in = 2,54 cm 
• Pé – foot (ft.) – equivalente a 12 polegadas
1 ft. = 12 in = 30,48 cm
• Jarda – yard (yd.) – equivalente a 3 pés
1 yd. = 3 ft = 91,44 cm
• Milha – mile (mi.) – equivalente a 1760 jardas
1 mi. = 1609,34 m ≈ 1,61 km
• Légua americana – US league (USlea.)
1 USlea. = 4828 m
Medidas utilizadas na física e na astronomia, para grandes distâncias:
• 11 anos-luz = 9,4605284.1015 m
• 11 parsec = 3,08567758.1016 m
• 11 parsec ≈ 3,26 ≈ 3,26 anos luz
UNIDADES DE MEDIDA DE CAPACIDADE
A unidade fundamental de capacidade é o litro, po-
rém existem também seus múltiplos e submúltiplos. Veja:
49CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade. Por exemplo: 
UNIDADES DE MEDIDA DE MASSA
A unidade principal nas medidas de massa é o grama. A partir dela, temos seus múlti-
plos e submúltiplos. Veja:
GRANDEZAS FÍSICAS
Em Física, todo o fenômeno que tenta ser explicado passa por uma etapa importante 
que é a quantificação matemática, ou seja, a criação de grandezas para tal explicação. Essas 
são chamadas, em Física, de GRANDEZAS FÍSICAS. As GRANDEZAS FÍSICAS possuem ME-
DIDAS. As MEDIDAS possuem, por sua vez, UNIDADES simbolizadas por abreviações.
Veja a tabela a seguir, que representa algumas GRANDEZAS FÍSICAS comuns:
As unidades, porém, possuem valores menores e maiores que seus referenciais. Esses 
valores são denominados MÚLTIPLOS e SUBMÚLTIPLOS. 
• O grama, por exemplo, é a unidade padrão de massa. Porém, podemos trabalhar com 
o miligrama (mg), com o quilograma (kg), com a tonelada (t), com o micrograma (µg) 
e assim por diante. Da mesma forma, o metro é a unidade padrão de comprimento. 
Porém, podemos trabalhar com o milímetro (mm), com o quilômetro (km), com o mi-
crômetro (µm) etc. Veja:
50CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
Assim:
• um milímetro (mm) → é mil vezes menor que um metro (0,001);
• um centímetro (cm) → é cem vezes menor que um metro (0,01);
• um decalitro (daL) → vale dez vezes mais que um litro (10);
• um quilograma (kg) → vale mil gramas (1.000);
• um megâmetro (Mm) → vale um milhão de metros (1.000.000);
• um gigagrama (Gg) → vale um bilhão de gramas (1.000.000.000).
ATENÇÃO: A escrita dos valores acima pode tornar-se extremamente longa, es-
pecialmente quando se trabalha com várias casas antes da vírgula (como o número 
0,00001, por exemplo) ou com vários “zeros” (como o número 1.000.000.000.000.000, 
por exemplo). Nesse caso, a Matemática, a Física, a Química, a Biologia etc. dispõem 
de um artifício muito importante, denominado NOTAÇÃO CIENTÍFICA.
E o que vem a ser, afinal, a tal da NOTAÇÃO CIENTÍFICA?
Trata-se de uma maneira de representar um número através de uma forma pa-
drão, simplificandoa escrita matemática quando os valores são muito grandes ou 
muito pequenos. Essa forma é: 
Onde o x é um número entre 1 e 9, o 10 é a base e o y é o número de casas decimais deslocadas.
Exemplos:
I. 1.000 = 1.103; 100 = 1.102; 1.000.000.000 = 1.109
II. 2.500 = 2,5.103; 3.400.000 = 3,4.105; 6.000.000.000 = 6.109
III. 0,1 = 1.10-1; 0,001 = 1.10-3; 0,000001 = 1.10-6
IV. 0,00245 = 2,45.10-3; 0,012 = 1,2.10-2; 0,000004 = 4.10-6
• Portanto, podemos dizer que os números 3.104 e 30.000 são idênticos.
Assim, os MÚLTIPLOS e SUBMÚLTIPLOS estudados anteriormente assumem, também, di-
ferentes medidas expressas em NOTAÇÃO CIENTÍFICA:
x.10y 
51CÁLCULO ZERO
 SUMÁRIO
CONVERSÃO DE UNIDADES DE MEDIDA
APLICAÇÃO COTIDIANA
A lei n° 9.503 do Código de Trânsito Brasileiro, no artigo 252, proíbe, entre outras coisas, 
o uso de aparelho celular ao volante. O uso do telefone celular pode tirar a atenção do condutor 
e gerar graves acidentes. As unidades de medida de velocidade podem mostrar esse perigo.
Imagine que um motorista esteja trafegando por uma avenida com velocidade cons-
tante de 72 km/h no momento em que recebe uma mensagem em seu celular. Se esse mo-
torista gastar apenas 3 s para ler a mensagem, ele se locomoverá às cegas por 60 m! Como 
transformar 72 km/h em m/s?
Veja que se dividirmos 72 por 3,6 o resultado é 20. Sendo assim, 72 km/h correspon-
dem a 20 m/s, ou seja, a cada segundo o carro se desloca por 20 m. Sendo assim, 3 s de olho 
no celular fazem com que o motorista se desloque por 60 m sem ver nada na pista, espaço 
suficiente para que vários imprevistos possam ocorrer.
Por que 3,6?
O fator de conversão utilizado é o 3,6 em virtude das correspondências entre as uni-
dades de medida de espaço e tempo, sendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s. Veja o exemplo da 
transformação de 72 km/h para m/s.
Vemos que 72 km/h correspondem a 20 m/s, ou seja, um móvel que se desloca 72 km 
em 1h move-se 20 m a cada segundo.
RESUMO 
Neste capítulo, vimos grandezas e medidas. Aprofunde seus estudos e invista em no-
vas formas de ensinar e aprender. 
G
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52CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
1. A soma de 25 dam + 3,5 km + 72 m + 78,7 dm equivale a quantos metros?
2. Selecione o que for correto:
É correto apenas o que se afirma em:
a. 124 mm equivalem a 12,4 cm
b. 29,4 kg equivalem a 29.500 g.
c. 1 ml equivale a 10 cm³.
3. Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 50 dm³ de ar de um recipiente. Se o volume 
inicial do recipiente é de 1 m³, após o quinto golpe da bomba, qual o volume de ar que 
permanece no recipiente?
4. Uma garrafa térmica, totalmente cheia, contém 1,5072 litro de café. Sabendo que numa 
xícara cabem 31,4 cm³ de café, quantas xícaras poderão ser servidas?
5. Analise a seguinte situação prática: “Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com 
o tanque pela metade. Coloquei 30 litros e enchi o tanque.”
Com base na situação acima e nas conversões de unidades, avalie as afirmações a seguir:
I. A capacidade do tanque do carro é 30 m³.
II. A capacidade do tanque do carro é 60 m³.
III. A capacidade do tanque do carro é 45.000 cm³.
IV. A capacidade do tanque do carro é 30.000 cm³.
a. I.
b. II.
c. II e III.
d. I, II e III.
e. I, II e IV.
6. Muitos remédios são tomados em doses menores que o mg. Um comprimido de certo 
remédio tem 0,025 mg de uma certa substância. Com 1 kg dessa substância, quantos 
comprimidos podem ser feitos?
a. menos de um 
b. 40 
c. 40.000 
d. 40.000.000
e. 100.000.000
7. Comprei 12 m de tecido por R$ 30,00. Quanto custa 80 cm do mesmo tecido?
a. R$ 0,20.
b. R$ 2,50.
c. R$ 2,00.
d. R$ 0,25
e. R$ 0,10
53CÁLCULO ZERO
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
8. Entre as unidades de medida de comprimento existentes, a que é considerada oficial pelo 
Sistema Internacional de Unidades (SI) é o metro. Essa medida apresenta seus múltiplos e 
submúltiplos. Os múltiplos do metro são quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro 
(dam), e os submúltiplos são decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
A partir das ideias sugeridas pelo texto, avalie as asserções a seguir e a relação pro-
posta entre elas.
I. Para converter quilômetros em metros, basta multiplicar por 1000,
PORQUE
II. na tabela de conversão, o quilômetro dista apenas três casas anteriores ao metro. 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
Respostas:
1. 3829,87m
2. 01
3. 0,75 m3
4. 48 xícaras
5. B
6. D
7. C
8. A
54CÁLCULO ZERO
REFERÊNCIAS SUMÁRIO
ADAMI, Adriana Miorelli; DORNELLES FILHO, Adalberto Ayja-
ra; LORANDIL, Magda Mantovani. Pré Cálculo [recurso eletrô-
nico]. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Vol. I. Porto Alegre: 
Bookman, 2005.
BASSANEZI, R.C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Ma-
temática. São Paulo: Contexto, 2009. 
BUSSAB, W.O. Introdução ao cálculo. São Paulo: Saraiva, 2009.
DORNELLES FILHO, Adalberto Ayjara. Fundamentos de Cálculo 
numérico [recurso eletrônico]. Porto Alegre: Bookman, 2016.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. vol. I. Rio de Janeiro: 
LTC, 2005.
	Números
	Frações
	Potenciação
	Radiciação
	Logaritmos
	Resumo
	Álgebra
	PRODUTO NOTÁVEL
	FATORAÇÃO
	EQUACÕES
	FUNÇÕES
	FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
	Resumo
	Geometria
	SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO
	ÂNGULOS NOTÁVEIS
	RADIANO, UNIDADE DE MEDIDA DE ARCO E DE ÂNGULO
	SENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO
	 COSSENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO
	RAZÕES RECÍPROCAS DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE
	TEOREMA DE PITÁGORAS
	Resumo
	Grandezas e medidas
	SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
	GRANDEZAS FÍSICAS
	CONVERSÃO DE UNIDADES DE MEDIDA
	Resumo