Matemática Básica (UniFatecie)

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Apostila organizada por: 
Professor Mestre Arthur Ernandes Torres da Silva
MATEMÁTICA BÁSICA
AUTOR
 ● Bacharel em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
 ● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
 ● Mestre em Física pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
 ● Doutorando em Física - Universidade Estadual de Maringá (UEM).
 ● Professor Formador UniFatecie.
 ● Coordenador de Cursos do EAD UniFatecie.
Professor e pesquisador. Tem experiência na área de física da matéria condensada, 
impedância elétrica (teórica e experimental) e dinâmica de íons em células eletrolíticas. 
Possui experiência como docente no Ensino Médio e Ensino Superior. Nos cursos de 
Engenharia Civil, Engenharia de Produção e Arquitetura, já foi professor das disciplinas de 
Cálculo Diferencial e Integral, Física Geral e Laboratório de Física Geral. 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4605782782813159 
http://lattes.cnpq.br/4605782782813159
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APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
A matemática é a disciplina a qual temos o primeiro contato com números, desde o 
primário na escola. Como sabemos, à medida que evoluímos, a matemática se fragmenta 
em diversas partes, muitas vezes indo além de uma simples disciplina que aprendemos 
na escola. Independente do tempo que vocês não têm mais contato com essa disciplina, 
irei apresentar alguns tópicos para que você possa recordar alguns pontos importantes 
e revisar algumas regras como operações básicas, raízes e potencias, trigonometria e 
funções polinomiais de primeiro e segundo grau.
Espero que essa disciplina seja de excelente uso para seus primeiros passos no 
ensino superior.
Bons estudos!
Plano de Estudo:
 ● Conjuntos Numéricos e Operações Básicas; 
 ● Radiciação e Potenciação; 
 ● Trigonometria;
 ● Funções de Primeiro e Segundo Grau.
 
Objetivos de Aprendizagem:
 ● Revisar os conjuntos numéricos e as operações básicas;
 ● Estudar a trigonometria básica;
 ● Introduzir as funções de primeiro e segundo grau.
SUMÁRIO
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5TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS TÓPICO
A matemática é está presente em todas as ciências, quantificando resultados e 
medidas. Falar de matemática é falar de números e, por isso, você que está passando por 
esse nivelamento usará muita matemática em sua jornada acadêmica que está por vir. 
Sendo assim, vamos dedicar esse primeiro capítulo para definir os números e classifica-los 
em conjuntos. Depois vamos rever algumas das operações básicas mais utilizadas.
1.1 Conjuntos Numéricos
Os números são agrupados em conjuntos, tais conjuntos classificam os números 
com base em uma “regra”. Em outras palavras, existem conjuntos que só permitem números 
positivos, outros permitem positivos e negativos, e assim por diante. Vamos iniciar definindo 
o conjunto dos números naturais N:
Note que a adição de números naturais resulta em outro número natural, ou seja: 
Assim como a multiplicação dos números naturais resulta em outro natural:
Porém, a subtração de qualquer natural com outro resulta em um número natural?
Nesse caso, sim! Mas e se fizermos:
6TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
Com esse exemplo fica claro que para subtrações é necessário um conjunto que 
engloba números negativos também. Com isso, vem a necessidade de um novo conjunto 
numérico, os inteiros Z:
Note que esse novo conjunto engloba o conjunto dos números naturais N:
Observe que a adição, subtração e multiplicação de números inteiros pertencem 
aos números inteiros. Ou seja:
Contudo, e se a operação for uma divisão?
Nos dois primeiros exemplos o resultado foi um número inteiro, mas o terceiro 
resulta em um número inteiro? Não! Veja que é um número não inteiro. Portanto, isso exige 
um novo conjunto que englobe as divisões, a esse conjunto foi dado o nome de racionais Q.
A definição desse novo conjunto é dada por:
Ou seja, temos um numerador que pode assumir qualquer valor numérico contido 
no conjunto dos números inteiros. Entretanto, o denominador não pode ser igual a zero, 
pois não existe divisão por zero. Sendo assim, b deve pertencer aos inteiros, mas exceto o 
valor de zero, então . Vamos à alguns exemplos dos números racionais:
Dentro do conjunto dos racionais, podemos ter dois tipos de divisões:
7TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
Outro conjunto muito importante são dos números irracionais I, que são valores 
decimais não exatos que possuem uma representação infinita e não periódica:
Por fim, mas não menos importante, a união do conjunto dos números racionais Q 
com o conjunto dos irracionais I, gera o conjunto dos números reais R. A definição deste 
último conjunto pode ser escrita como:
FIGURA 1 – CONJUNTO DE NÚMEROS
 
Fonte: O Autor (2022).
A representação da junção dos conjuntos é essa, dessa forma, podemos mensurar 
o domínio de cada um dos conjuntos.
 
8TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
1.2 perações Básicas
Uma das operações mais básicas da matemática é a soma de dois números (ou 
algarismos) e a subtração dos mesmos. Esse procedimento obedece a seguinte regra:
I) Quando os sinais forem iguais, adicionamos os números para encontrar o valor absoluto.
II) No caso de sinais diferentes, subtraímos os números e prevalece no fim o sinal do maior.
Exemplo:
Já nas operações de multiplicação e divisão é necessário um pouco mais de atenção, 
pois os números obedecem a algumas regras de associatividade e comutatividade. 
I) Multiplicação/divisão de sinais iguais = valor positivo.
II) Multiplicação/divisão de sinais diferentes = valor negativo.
Exemplo:
No caso da divisão onde os números são chamados de dividendo (numerador) e 
divisor (denominador), os quais fornecem o quociente:
Nessa operação a mesma regra de sinais usada na multiplicação é válida.
Exemplo:
O elemento nulo é muito presente nas quatro operações básicas mostradas até 
agora e influenciam o resultado de maneira significante. Veja alguns exemplos:
I) Soma de elemento nulo: 7+0=7
II) Subtração de elemento nulo: 7-0=7
9TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
III) Multiplicação por elemento nulo: 7 .0=0
IV) Divisão de zero por um número: 
Chegamos em um ponto importante, que é a divisão de um número por zero! A 
divisão de qualquer número por zero é dita indefinida. 
Entretanto, na prática, tratando o dividendo como um valor absoluto, ao dividir o 
número por algo muito pequeno, o resultado tende a valores grandes, veja alguns exemplos:
Note que quando o número do numerador é mantido constante e o do denominador 
decresce, o resultado explode, ou seja, aumenta sem limites a medida que o dividendo 
tende a zero. Esse resultado nos fornece um objeto matemático denominado infinito.
Dessa forma, mesmo que 2/0 seja indefinido, no conjunto dos números pode ser 
definido através do objeto infinito. Após apresentado a soma, subtração, multiplicação e 
divisão, vamos calcular problemas que envolvem as quatro operações. No entanto, cuidado, 
existe uma sequência para o cálculo: Primeiro realiza-se a multiplicação e a divisão, somente 
depois efetua-se a soma e a subtração!
Ao efetuar a soma e/ou subtração de duas ou mais frações, é necessário fazer o 
mínimo múltiplo comum (mmc), que corresponde ao menor número inteiro positivo, não 
sendo zero, que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números. Para realizar a 
conta do mmc é necessário simplificar os números em relação aos números primos, que 
são: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… (de preferência na ordem crescente para facilitar o cálculo).
Existem alguns casos em que as frações aparecem no numerador e no denominador, 
ou seja, uma divisão de frações. Para obter o resultado é utilizado uma técnica de inversão 
de frações, veja alguns exemplos:10TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
Nos cálculos matemáticos é comum encontrar grandes expressões com parênteses 
(), colchetes [] e chaves {}. Contudo, além das 4 operações básicas que para serem 
executadas de maneira correta precisam ser feitas em ordem, esses símbolos matemáticos 
também possuem uma ordem de eliminação: Primeiro é calculado os números dentro dos 
parênteses, depois colchetes e por fim, a chaves. Observe no exemplo a seguir:
Resolvendo primeiro as multiplicações isoladas:
Resolvendo primeiro a divisão
1.3 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Renan é um atleta de maratona e está medindo sua evolução na corrida, ele busca 
manter um padrão de evolução, correndo cada vez mais. Sua evolução, de cada semana, 
pode ser observada na tabela a baixo, sendo cada tempo medido em um dia da semana:
11TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
TABELA 1 – PROPORÇÃO ENTRE TEMPO E DISTÂNCIA
Fonte: O Autor (2021).
Observe que a cada uma hora, a distância percorrida é de 10 km. A conta óbvia que 
você deve ter feito foi, por exemplo, entre os tempos de 1h e 2h:
Simplificando as unidades no denominado e numerador de cada fração:
Portanto, a proporção é a mesma, ou seja, ao duplicar o tempo também é duplicado 
o espaço percorrido. Nesse caso, em que as razões variam de acordo com as grandezas é 
dito que são diretamente proporcionais.
Agora, vamos supor que Renan comece a praticar a corrida de 100 metros rasos 
e tenta percorrer a distância cada treino em menos tempo, para isso, somente se sua 
velocidade evoluir também. Sendo assim, a tabela a baixo mostra seu crescimento em cada 
semana apresentando a velocidade (velocidade constante, em metros por segundo) que 
atingia durante todo o percurso e o tempo gasto (em segundos)
TABELA 2 – PROPORÇÃO ENTRE VELOCIDADE E TEMPO
Fonte: O Autor (2021).
À medida que a velocidade aumenta, o intervalo de tempo diminui, ou seja, as 
grandezas não são diretamente proporcionais. Isso pode ser verificado através da fórmula 
de velocidade média:
12TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
Em que ∆S é a variação de espaço, ∆t a variação de tempo e v_m a velocidade 
média. Isolando o espaço, que não se altera:
 
Para que o termo da direita se mantenha constante, somente se quando a velocidade 
aumentar, o intervalo de tempo diminuir!
Nesse caso, quando duas grandezas variam uma na razão inversa da outra, é 
denominado inversamente proporcionais.
 Exercícios Propostos:
 
 
13TÓPICO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES BÁSICAS
ARTIGO 1
O ENSINO DA MATEMÁTICA: ASPECTOS HISTÓRICOS
RESUMO
Este artigo apresenta uma discussão histórica acerca da matemática, desde os 
primórdios até o ensino no contexto atual, e suas relações com o ensino da disciplina na 
escola, destacando o papel do professor e os métodos de ensino, concebendo essa ciência 
para além da sala de aula. Historicamente esse conhecimento começou a ser desenvolvido 
a partir de uma necessidade da sociedade, desde o período paleolítico, antes de existir 
escrita ou civilizações como conhecemos hoje: o processo de contagem. Ao longo dos 
séculos, os processos rudimentares em torno dos cálculos foram sendo aperfeiçoados até a 
emersão e consolidação da ciência conhecida como matemática. Logo, tornou-se disciplina 
elementar nas escolas, exigindo, para tanto, habilidades didático-pedagógicas para o ensino, 
o qual vem passando por significativas mudanças. Por conta disso, é indispensável que 
estejamos aptos a redescobrir maneiras mais simples e dinâmicas de ensiná-la na sala de 
aula, devido a sua importância para as práticas cotidianas de nossos alunos. Esta pesquisa 
apresenta uma discussão teórica, de cunho qualitativo, pautada metodologicamente em 
uma revisão bibliográfica com autores que discutem a história da disciplina em questão e 
o ensino da mesma. Os resultados deste arcabouço teórico apontam para a necessidade 
de ressignificação do processo de ensino e aprendizagem, o que requer investimentos, 
capacitações e formações para que os profissionais, muitos ainda destes atrelados às 
técnicas básicas de ensino, possam oxigenar novas possibilidades de ensinar, com práticas 
de qualidade que objetivem o desenvolvimento real e satisfatório dos estudantes para além 
do contexto escolar.
 Palavras-Chave: História da matemática; Ensino da matemática; Formação docente.
 Acesse o artigo completo em: https://rsdjournal.org/index.php/rsd/article/
view/5850/5073 
 
https://rsdjournal.org/index.php/rsd/article/view/5850/5073 
https://rsdjournal.org/index.php/rsd/article/view/5850/5073 
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14TÓPICO 2 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO
 2 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃOTÓPICO
2.1 Potenciação
Potencialização significa multiplicar um número a, o qual chamaremos de base, por 
várias vezes ele mesmo, digamos n vezes, matematicamente fica an, onde n é o expoente, 
por exemplo:
Ou seja, multiplicamos a mesma base, que é o número 3, por 4 vezes, que é o 
expoente. Essa operação matemática tem algumas propriedades:
I) Toda potência de base 1 é igual à 1. 
II) Quando o expoente é par, o resultado é positivo. 
III) Quando o expoente é ímpar, mantem-se o sinal da base. 
IV) Toda potência de base zero é igual a zero. 
V) Quando o expoente é zero e a base é um número diferente de zero, o resultado 
é igual a unidade.
VI) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da base.
Além dessas, existem outras propriedades matemáticas importantes. Supondo que 
a e b sejam números reais e m e n números naturais.
15TÓPICO 2 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO
2.2 Radiciação
Suponha que ao invés de um número ser elevado à um expoente de número inteiro, 
como por exemplo , o valor da potência fosse uma fração, como por exemplo ?
 Nesse contexto, imagine dois números reais, não negativos a e b, e um outro 
número natural que seja n>1. É denominado raiz enésima de a o número b tal que:
 A operação inversa é elevar ambos os lados da equação ao mesmo número 
do índice da raiz, ficando da seguinte forma:
 Quando n=2 a raiz é chamada de raiz quadrada do número e é omitido o 
índice da raiz, por exemplo:
 Assim como na potencialização, existem algumas relações importantes. 
Supondo a e b números reais positivos e n, m dois números naturais:
Em alguns casos é possível fatorar o número para simplificar o resultado, veja 
alguns exemplos:
16TÓPICO 2 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO
Simplifique as expressões a baixo:
Podemos fatorar o número no interior da raiz para simplificar, como foi feito no 
segundo caso onde 27→3^3.
2.3 Racionalização 
A racionalização consiste quando temos um caso em que no denominador da 
fração tem um número irracional, como . Nesse caso é necessário fazer o processo de 
racionalização, que consiste em multiplicar essa fração por outra, porem no numerador e no 
denominador desta nova fração deverá ter o número irracional. Observe alguns exemplos:
Agora que foi apresentado as operações fundamentais para o cálculo algébrico 
matemático é necessário rever a ordem das manipulações:
 1°→Potências e radicais
 2°→Multiplicação e divisão
 3°→Adição e subtração
Além disso, em uma equação grande onde há uma variedade simbólica para 
organizar a expressão é feito na sequência:
 1°→Parênteses
 2°→Colchetes
 3°→Chaves
17TÓPICO 2 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO
2.4 Valor absoluto ou módulo
O módulo de qualquer número negativo é o seu valor positivo. Por outro lado, o 
módulo de qualquer número positivo ou zero, o resultado é o valor absoluto. Veja alguns 
exemplos:
No próximo capítulo será estudado mais especificamente a função móduloanalisando seu gráfico.
2.5 Potência de base 10 e simplificações
Quando a base for número 10, o resultado é mesmo número no expoente em zeros, 
observe alguns exemplos:
Na física, quando estudamos alguns assuntos como eletrostática, eletromagnetismo, 
física atômica, é comum depararmos com siglas que correspondem a um número na base 10.
FIGURA 2 – NOMENCLATURA PARA NOTAÇÕES CIENTÍFICAS
Fonte: O Autor (2022).
 
18TÓPICO 2 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO
Exercícios Propostos
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 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU TÓPICO
TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU 19
As funções são as principais ferramentas utilizadas pela física, química, engenharias, 
economia, medicina, biologia e muitas outras áreas que necessitam caracterizar uma 
grandeza em função de outra (ou mais de uma).
Por exemplo, quando você pretende trocar de automóvel, uma as primeiras questões 
a serem feitas é “Quantos que esse carro faz por litro?”. Veja que automaticamente você 
estipula uma função! O consumo em função da distância. Um carro é dito econômico 
quando faz mais de 12 ou 13 quilômetros por litro e o famoso carro que é “gastão”, realiza 
uma média de 5 a 7 quilômetros por litro (tratando-se de gasolina).
Outro exemplo é quando assistimos um filme ou vamos a uma trilha de um morro 
bem alto e escutamos “à medida que subimos a temperatura cai e o ar fica mais rarefeito”. 
Veja mais uma vez que estamos colocando a temperatura e pressão em função da altura 
da escalada!
Portanto, uma função é uma máquina que, quando colocamos uma moeda e 
apertamos o botão, a máquina fornece um valor. No entanto, cada máquina tem uma 
restrição para o tipo de moedas, bem como para os valores que ela pode produzir.
Entenda que máquina é uma função f(x) e que x (a “letra” que vai nos parênteses 
na frente da função) é a variável da função. As funções podem ser classificadas de acordo 
com o número de variáveis
20TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
Outra maneira de classificar as funções é de acordo com o seu grau. Para isso, 
basta que você identifique qual é a variável de maior exponente. Veja alguns exemplos.
Qual é o grau da função h(u)? Note que dos quatro termos, aquele em que a variável 
tem o maior expoente é o último, ou seja:
Então, nesse exemplo, a função h(u) é de terceiro grau (ou grau 3). Veja mais um caso:
Note que o grau dessa função é seis, pois a variável de menor exponente é o 
segundo termo. Independente do sinal do número (que chamaremos a partir de agora de 
constante) que acompanha a variável, vale somente o expoente.
Essa classificação com base no grau é voltada para as funções polinomiais, que 
são aquelas funções que as variáveis estão elevadas à expoentes. Existe também outras 
funções, como as trigonométricas:
As funções exponenciais
Funções logarítmicas
E outras funções também, como as hiperbólicas, as inversas e etc. Agora vamos 
focar nossos estudos nas funções polinomiais, de primeiro e segundo grau.
3.1 Função de Primeiro Grau
Como já mencionado, a função de primeiro grau é do tipo:
Note que a única variável (no caso é x, por isso primeiro grau) e o que significa os 
termos “a” e “b”? Para isso, vamos analisar o gráfico de um exemplo dessa função:
21TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
FIGURA 3 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
 
Fonte: Stewart (2016, p. 150).
Como pode ser observado na figura a cima, a forma gráfica da função de primeiro 
grau é uma reta, por isso, em algumas referências, é chamada de função linear! Ademais, 
observe que o gráfico intercepta o eixo das coordenadas (eixo y), somente uma vez. Não 
tem como essa reta cortar mais de uma vez o eixo y. Esse ponto de interceptação é o valor 
do coeficiente b, o qual é batizado de coeficiente linear.
Por outro lado, uma reta sempre possui uma inclinação em relação ao eixo das 
abcissas (eixo x).
FIGURA 4 – INCLINAÇÃO DE TRÊS DIFERENTES RETAS
 
Fonte: O Autor (2022).
Qual das três retas representadas na figura possuem uma maior inclinação? Em 
ordem, a reta três possui maior inclinação que a reta dois e está maior inclinação que a 
reta um. O parâmetro que mede a inclinação de uma reta é dado pelo coeficiente angular 
a. Dessa forma:
22TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
Para que você possa elaborar a função que descreve uma reta sempre é necessário 
que você saiba o coeficiente angular e o coeficiente linear. Vamos fazer alguns exemplos:
Exemplo:
Um cientista estava estudando a variação da temperatura ao longo de uma mon-
tanha no Chile. Ele constatou que no solo, a temperatura era de e a temperatura a 
uma altitude de mil metros a cima do solo passa a ser de . Como é a expressão da 
temperatura em função da altitude (em quilômetros), admitindo que o modelo seja linear? 
Como é o gráfico dessa função? Qual a temperatura a uma altitude de 3,2 quilômetros?
Resolução:
Resolvendo de uma forma simples, você pode começar desenhando em uma folha 
de papel um plano cartesiano, em que no lugar do eixo y é a temperatura T e no eixo das 
abcissas, a altura h.
Na sequência, pelo enunciado temos que quando a temperatura corresponde 
a e que quando a temperatura será de . Consequentemente, como o 
comportamento é linear, quando a temperatura será de . Ou seja:
Note que são dois pontos no plano cartesiano. Ou seja, marque esses dois pontos 
e trace uma reta que ligue os mesmos, como ilustra a figura abaixo:
FIGURA 5 – COORDENADAS NO PLANO CARTESIANO
 
Fonte: O Autor (2022).
23TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
Com isso já obtemos o gráfico da função, agora, como determinar a equação da 
reta? Bem, nitidamente, a reta corta o eixo das coordenadas em , logo . E 
o coeficiente angular? Existe uma estratégia a qual será revisada no próximo capítulo, mas 
já lhe adiantando, há um ângulo que se forma entre a reta e o eixo h, vamos nomeá-lo de 
alfa. Utilizando uma identidade trigonométrica, a tangente desse ângulo fornece o valor do 
coeficiente angular. Ou seja tg(α)=a:
FIGURA 6 – ÂNGULO Α FORMADO PELA RETA INCLINADA E O EIXO DAS ABCISSAS
 
Fonte: O Autor (2022).
A tangente de um ângulo é calculada da seguinte forma:
Em que C.O. é o cateto oposto ao ângulo (lado oposto ao ângulo) e C.A. é p cateto 
adjacente (lado adjunto ao ângulo que não seja a hipotenusa). Portanto:
Dessa forma, o valor do coeficiente angular é . . Agora é possível escrever 
a função da reta:
Esse resultado está correto? À medida que a altura aumenta a temperatura cresce 
ou diminui? A reta desce ou sobe? Está descendo! Portanto, o coeficiente angular é negativo! 
Caso a função estivesse crescendo com o aumento da variável (eixo das abcissas) o 
coeficiente angular seria positivo.
24TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
Portanto, a equação da função é:
Por fim, qual é a temperatura a uma altitude de 3,2 quilômetros? Basta substituir 
3,2 km no lugar de h:
O símbolo “ ” designa: Portanto.
Ademais, vale ressaltar que a função de primeiro grau é denominada função afim, 
e pode ser determinada de acordo com a marcação de dois pontos no plano cartesiano. 
Ou seja, suponha que um dado sistema tenha uma evolução linear, positiva ou negativa e, 
que no começo esteja localizado em um ponto até um ponto , como na 
figura a baixo:
FIGURA 7 – RETA QUE LIGA DOIS PONTOS P0 E P.
 
Fonte: o Autor (2022)
Nesse caso a equação da reta é dada por:
Em que m é o coeficiente angular da reta. Então, substituindo os valores na equação 
da reta, determinamos o coeficiente angular, depois reescrevemos a equação da reta como 
Substituindo m (que desempenha o mesmo papel do coeficiente a), e também o 
coeficiente angular b, deixando apenas x e y(x).
25TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
3.2 Função de Segundo Grau
 A funçãode segundo grau tem sua forma característica dada por:
Em que a é o coeficiente quadrático (pois está multiplicando a variável ao quadrado), 
b é o coeficiente linear (porque está multiplicando a variável elevado ao expoente um) e o 
terceiro termo é uma constante c. Graficamente essa função tem o formato de uma parábola:
FIGURA 8 – FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU
 
Fonte: Stewart (2016, p. 152).
Note que a função citada na imagem anterior é apenas (Caso não 
tenha ficado claro até aqui f(x) é a mesma coisa que y). A forma geral gráfica da função 
 pode ser entendida analisando uma comparação de e .
FIGURA 9 – GRÁFICOS DAS FUNÇÕES E 
Fonte: Stewart (2016, p. 152).
26TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
Note que quanto maior o valor do expoente par, a concavidade da função é mais 
robusta. 
3.3 Equação de Primeiro e Segundo Grau
Em ambos os casos, as curvas de primeiro e segundo grau podem ou não interceptar 
o eixo das abcissas. Visualmente isso fica claro observando o gráfico dessas funções. 
Mas e quando não temos o gráfico? Como saber em que ponto a função toca o eixo das 
abcissas? Além disso, você irá descobrir futuramente que saber o valor da variável quando 
a função é igual a zero sempre traz uma interpretação importante.
Vamos supor a seguinte função de primeiro grau:
Aprendemos até agora que essa reta intercepta o eixo das coordenadas em 
e tem uma inclinação igual a 5. No entanto, qual ponto que o gráfico passa pelo eixo das 
abcissas? Basta igual a função a zero.
Por outro lado, suponha que tenhamos a seguinte função de segundo grau:
Como saber em que ponto essa função passa pelo eixo das abcissas? Primeiro 
igualamos a função a zero.
E o próximo passo? Nesse caso, existem uma equação para resolver o problema 
bem conhecida na literatura, chamada de equação de Bhaskara. Para determinar as 
raízes da equação determinamos um parâmetro chamado de delta (∆). Atenção, esse 
delta não tem o mesmo significado que o delta usado em física para representar variação! 
Matematicamente o delta é dado por:
Depois disso, utilizamos uma fórmula para encontrar cada raiz.
27TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
A diferença entre essas duas equações são o sinal da raiz quadrada de delta. Por 
diferirem apenas nesse sinal, é comum encontrar a solução como uma combinação das duas:
Vamos resolver o nosso exercício começando pelo cálculo do delta, para isso, 
temos que identificar cada termo da equação de segundo grau.
O número que multiplica x^2 é o um, o que multiplica x é o número 3 e a constante 
(o termo que não tem nenhuma variável multiplicando) é o dois. Sendo assim
Logo, o delta fica:
As raízes serão:
Porém, o que significa encontrar as raízes da equação de segundo grau? Assim 
como ao igualar uma função de primeiro grau a zero e determinamos qual o valor da variável, 
a equação de segundo grau encontramos dois pontos os quais a parábola intercepta o eixo 
das abcissas. Veja o gráfico dessa função.
FIGURA 10 – GRÁFICO DA EQUAÇÃO 
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/
latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. Acesso em: 27 nov. 2022.
28TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
Isso é interessante, pois o grau de uma função lhe revela a quantidade de vezes que 
a curva toca o eixo das abcissas. Uma equação de primeiro grau, uma raiz, uma equação 
de segundo grau, duas raízes, uma equação de nono grau, nove raízes, e assim por diante.
Exercícios Propostos:
Simplifique na menor forma possível as expressões a baixo.
Determine o valor da(s) variáveis:
Encontre as raízes:
29TÓPICO 3 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
ARTIGO 2
HISTÓRIA E APLICAÇÕES DA FÓRMULA DE BHÁSKARA
RESUMO
Em meio a tantos problemas insolucionáveis na matemática e outros de difícil 
entendimento para quem está aprendendo sobre o mundo matemático, a Fórmula de 
Bháskara é um meio de compreender e encontrar facilmente a raiz de uma equação de 
segundo grau. Sendo válida apenas para esse tipo de equação a fórmula criada pelo 
matemático indiano Bháskara II, que procurou por meio apenas do uso dos coeficientes 
achar resultados satisfatórios para as raízes da equação. Tal equação, assim como outras 
essenciais aprendidas no ensino médio são importantes para o aprendizado do aluno. Para 
muitos, saber a base da matemática, principalmente para quem cursa ensino superior em 
um curso de exatas é necessário para resolver inúmeros problemas que na sua maioria 
necessita da Fórmula de Bháskara para a resolução. A história da fórmula e seu respectivo 
uso serão tratados neste artigo, assim também como as dificuldades para se aprender e 
entender o uso da fórmula por aqueles que a estão vendo pela primeira vez. 
Palavras-chave: Fórmula de Bháskara. Equações não-Lineares. Matemática Aplicada.
 Acesse o artigo completo em: https://periodicos.set.edu.br/cadernoexatas/article/
view/8424/3859 
https://periodicos.set.edu.br/cadernoexatas/article/view/8424/3859 
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 4 TRIGONOMETRIATÓPICO
TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA 30
A trigonometria faz parte de uma das áreas da matemática mais bem conhecidas. 
Desde o ensino fundamental lidamos com o cálculo de áreas de triângulos, ângulos e 
geometria. Além disso, um dos teoremas mais famosos da matemática, o Teorema de 
Pitágoras. Você já convive com trigonometria a muito tempo e, agora, nessa última parte da 
disciplina de nivelamento, vamos rever todos esses temas!
Bem, a trigonometria é o ramo da matemática que estuda relações e conceitos 
envolvendo triângulos e funções trigonométricas. Sendo assim, vamos começar estudando 
a classificação de triângulos e ângulos. Depois algumas funções trigonométricas e 
finalizamos com o Teorema de Pitágoras. 
4.1 Classificação de triângulo
Como o próprio nome afirma, o triângulo é um polígono (figura fechada) que tem 
três lados. Existem três tipos de triângulos com base na distribuição dos ângulos internos.
31TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA
FIGURA 11 – TRIÂNGULOS CLASSIFICADOS COM BASE NOS LADOS
 
Fonte: Tavares (2013, p. 50).
FIGURA 12 – TRIÂNGULOS CLASSIFICADOS COM BASE NOS ÂNGULOS
 
Fonte: Tavares (2013, p. 50).
Vamos focar nossos estudos no triângulo retângulo a partir de agora, para 
desenvolvermos as relações trigonométricas e o Teorema de Pitágoras.
Suponha o seguinte triângulo retângulo como está na figura abaixo:
32TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA
FIGURA 13 – TRIÂNGULO RETÂNGULO
 
Fonte: O Autor (2022).
Como já foi mencionado , onde α e β são dois ângulos menores 
que noventa graus. Sendo assim, existe uma relação entre os lados do triângulo com os 
dois ângulos desconhecidos, em geral
Nas equações a cima, é o seno de um ângulo qualquer, é 
o co-seno e é a tangente.
Como identificar o cateto oposto e o adjacente? Vamos tomar o ângulo β como 
referência, para esse ângulo, o cateto oposto é o cateto 1, ou seja, o cateto que está “do 
outro lado”, e o cateto adjacente é o cateto 2, que é o cateto que faz está junto ao ângulo. 
Olhando agora para o ângulo α, o cateto oposto para ele é o cateto 2, enquanto o cateto 
adjacente é o cateto 1. 
Existem tabelas que fornecem os diversos valores de senos, co-senos e tangentes 
dos mais diversos ângulos. Assim, conhecendo um dos ângulos do triângulo retângulo e um 
33TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA
dos lados, pode-se determinar os demais lados. A tabela a seguir contém os valores para 
alguns dos ângulos mais utilizados para as relações trigonométricas:
TABELA 1 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Fonte: O Autor (2022).
Vamos ver alguns exemplos:
Encontre o valor de , e no triângulo retângulo a seguir:
FIGURA 14 - TRIÂNGULO RETÂNGULO COM LADOS IGUAIS A √5, 1 E 2
 
Fonte: O Autor (2022).Resolução:
34TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA
Ex. 02
Determine o valor de , e no triângulo retângulo abaixo:
FIGURA 15 - TRIÂNGULO RETÂNGULO COM LADOS IGUAIS A 5, 3 E 4
 
Fonte: O Autor (2022).
Resolução:
4.2 Teorema de Pitágoras
Um dos mais famosos teoremas da matemática e que o ser humano conhece é o 
teorema de Pitágoras, o qual pode ser enunciado como: 
A soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos corresponde a área 
do quadrado construído sobre a hipotenusa.
Existem mais de 400 formas de demonstrar o teorema de Pitágoras, no entanto, 
esse não é objetivo da disciplina. Matematicamente é escrito como:
Vamos fazer alguns exemplos:
Exemplo
Dê o valor da hipotenusa
35TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA
FIGURA 16 – TRIÂNGULO RETÂNGULO COM LADOS IGUAIS A 3 E 4
 
Fonte: O Autor (2022).
Resolução:
Com base no Teorema de Pitágoras, tem-se que:
Exemplo
Calcule o valor de x, que equivale à hipotenusa do triângulo retângulo abaixo.
FIGURA 17 - TRIÂNGULO RETÂNGULO COM LADOS IGUAIS A 10 E 24
 
Fonte: O Autor (2022).
36TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA
Resolução:
Com base no Teorema de Pitágoras, tem-se que:
Exercícios Propostos
1. Calcule a medida da altura do prédio, sabendo que existe um observador a 
3m do prédio observando sob um ângulo de 60°.
2. Determine o valor da variável na figura a baixo usando o Teorema de Pitágoras
 
Fonte: O Autor (2022).
3. Determine o seno, cosseno e a tangente no triângulo a baixo.
 
Fonte: O Autor (2022).
4. Calcule o valor da variável desconhecida da figura a baixo.
Fonte: O Autor (2022).
37TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA
5. Determine o seno, cosseno e a tangente no triângulo a baixo.
 
Fonte: O Autor (2022).
ARTIGO 3
CONTANDO UM POUCO DA HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA
RESUMO
Este artigo tem como finalidade apresentar de um modo simples e objetivo como 
trabalhar a trigonometria no Ensino Fundamental, tendo a história desse tópico como 
recurso didático. Esse tema é de fundamental importância para o currículo do aluno 
do nesse nível de ensino, uma vez que o prepara para estudos posteriores e amplia a 
possibilidade de relacionar os conhecimentos matemáticos com o seu cotidiano. A história e 
os conceitos fundamentais da trigonometria foram escolhidos e trabalhados nas atividades 
aqui apresentadas em função do que é proposto nos Parâmetros Curriculares Nacionais 
no que se refere à pluralidade cultural. Metodologicamente, é feita uma fundamentação 
matemática, onde são apresentados teoremas, definições, propriedades e demonstrações 
de alguns elementos geométricos, tais como feixe de paralelas, segmentos proporcionais 
em duas transversais; além disso, semelhança de triângulos − os casos de semelhança 
e a trigonometria no triângulo retângulo. Espera-se que este artigo possa colaborar para 
incentivar jovens a seguir o caminho do desenvolvimento pleno da matemática e que possa 
empregar todo o seu poder em busca de novos conhecimentos e saberes. 
Palavras-chave: Ensino fundamental, História da Matemática. Trigonometria.
 Acesse o artigo completo em: https://rebena.emnuvens.com.br/revista/article/
view/11/3 
https://rebena.emnuvens.com.br/revista/article/view/11/3 
https://rebena.emnuvens.com.br/revista/article/view/11/3 
38TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA
ARTIGO 4
TEOREMA DE PITÁGORAS: EXTENSÕES E GENERALIZAÇÕES
RESUMO
O objetivo principal deste trabalho é estudar algumas extensões de um dos teoremas 
mais importantes e divulgados da matemática elementar: o Teorema de Pitágoras, que 
tem suas aplicações em diversas áreas do conhecimento. Inicialmente, realizamos um 
breve resgate histórico da vida de Pitágoras, o surgimento do teorema e suas aplicações. A 
seguir são apresentadas várias extensões do teorema, para polígonos regulares, polígonos 
semelhantes e figuras não retilíneas. A generalização de Polya também é enunciada e 
demonstrada, situação em que o padrão pitagórico (relação entre as áreas) é válido para 
quaisquer tipos de figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, 
sendo o Teorema de Pitágoras um caso particular, bem como a generalização de Pappus. 
Palavras-chave: Teorema de Pitágoras, Extensões do Teorema de Pitágoras, 
Generalização de Polya, Generalização de Pappus.
Acesse o artigo completo em: https://www.fc.unesp.br/Home/Departamentos/
Matematica/revistacqd2228/v06a03-teorema-de-pitagoras.pdf 
https://www.fc.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/revistacqd2228/v06a03-teorema-de-pitagoras.pdf
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Se você chegou até aqui, essa disciplina passou por temas elementares da 
matemática, como uma apresentação dos conjuntos numéricos, operações básicas, como 
soma e subtração de números inteiros e frações. Depois aprendemos algumas regras de 
radiciação e como manipular expoentes.
Ademais, outro assunto de muita importância é a notação científica, que é escrever um 
número na base 10. No terceiro capítulo revisamos as diferentes funções, como a polinomial, 
trigonométrica e outras, enfatizando nosso estudo nas funções de primeiro e segundo grau. 
Como resolver e interpretar geometricamente também foi escopo do nosso estudo.
Por fim, mas não menos importante, a trigonometria, passando pelas relações 
básicas da matemática e o Teorema de Pitágoras.
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de estudo. Até a 
próxima!
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
TAVARES J. N. Triângulo. Revista de Ciência Elementar, Vol. 1, 2013.
 
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