Estatística Descritiva 3

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Autoria: Joelma Iamac Nomura e Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
UNIDADE 3 -
PROBABILIDADE I
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Introdução
No estudo da estatística, tivemos a oportunidade de observar que as
informações coletadas, mesmo em condições igualitárias de experimentação,
oscilam, ou seja, variam e, por consequência, essa diversidade di�culta o
prenúncio de resultados possíveis e aceitáveis na matemática. Explicar tais
fenômenos é factível por intermédio da teoria que fundamenta a temática de
probabilidade; e aplicar esse conceito é mais comum do que imaginamos, pois
nos cercam constantemente.
Encontramos reportagens que declaram: “chance de ganhar na loteria estadual é
de um em quinhentos mil”; ou, “a probabilidade de contrair dengue é 45% maior
no verão, em comparação com outras estações do ano”; ou ainda, “a chance de
realizar uma cirurgia cardíaca com sucesso é de 86%”. Você se lembra de algum
discurso semelhante? Com certeza a resposta será sim, pois a probabilidade é
parte integrante de toda situação em que se deseja encontrar a chance de
determinado fato ocorrer. Diante desse cenário, estudaremos que a linguagem
da probabilidade é constantemente usada na linguagem cotidiana, em contextos
escritos e falados. Assim, no �nal desta unidade, você terá conhecimento
su�ciente para responder as seguintes questões: o que se entende por uma
situação experimental? É possível combinar probabilidades e consequências?
Qual o impacto da probabilidade frente às tomadas de decisões?
Nesse sentido, compreender os conceitos que constituem esta disciplina será a
essência desta unidade.
Bons estudos!
Os estudos da probabilidade e da estatística estão intimamente ligados, pois,
para compreender a inferência estatística, é fundamental compreender os
conceitos que fundamentam a teoria probabilística. Na estatística, analisamos o
conjunto de dados obtidos com as ferramentas pertencentes a tal ciência e
3.1 Probabilidade
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encontramos conclusões acerca da avaliação da qualidade, da mensuração da
quantidade e de como tais dados se associam entre si. Na teoria da
probabilidade, o objetivo é prever os resultados de um experimento ou processo
sistemático.
Vincular chances de determinado fenômeno acontecer a números é aplicar a
probabilidade. Larson e Farber (2016) a�rmam que um experimento de
probabilidade é uma ação, ou tentativa, pela qual respostas são encontradas, ou
em outras palavras, são encontradas as chances de um evento acontecer.
Assim, para entender a dinâmica dessa ciência é fundamental compreender dois
conceitos. Conheça, a seguir.
Freund e Simon (2009) relembram os três postulados relativos ao estudo da
teoria de probabilidade que se aplicam a um espaço amostral �nito. Conheça
esses postulados, a seguir.
I. As probabilidades obtidas são representadas por números reais ou zero.
Assim, a probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a
zero, porém menor ou igual a um, essa a�rmação é descrita por: ou,
em porcentagem, .
II. Qualquer espaço amostral S possui probabilidade equivalente a 1 que equivale
a 100%, dessa maneira, .
III. Se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos (não existe intersecção
entre os conjuntos), a probabilidade da união do evento A com o evento B, ou
vice-versa, equivale ao resultado da soma da probabilidade do evento A com a
Corresponde ao conjunto de todos os resultados possíveis em
um experimento de probabilidade.
É um subgrupo do espaço amostral em que são escolhidas
características especí�cas para de�ni-lo.
Espaço amostral (S)
Evento (E)
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probabilidade de ocorrência do evento B, ou seja, 
Vale ressaltar que o resultado provindo de um cálculo de probabilidade varia
entre um e zero. Se a probabilidade for igual a 1 (um), isso signi�ca dizer que
esse evento acontece com 100% de chance, porém, se a probabilidade for igual a
zero, o evento é impossível, ou seja, não existem chances de acontecer.
Vamos a um exemplo prático, admita um dado comum de seis faces, esse será
jogado determinadas vezes. Considerando esse contexto, qual é seu espaço
amostral? Agora se consideramos a possibilidade de um número par aparecer na
face superior desse mesmo dado, qual será o evento dessa outra situação
hipotética? Ou ainda, qual a probabilidade de lançar esse dado e encontrar um
número primo na face superior? Lembrando que um número é primo se os seus
divisores são apenas ele mesmo e 1 (um).
Respondendo ao primeiro questionamento é necessário determinar o espaço
amostral, ou seja, identi�carmos todos os casos possíveis, logo, nessa situação
especí�ca é . O evento de sair um número par no lançamento
de um dado é encontrado, compreendendo que em um dado de seis faces
 há três números pares. Logo, esse conjunto representa o evento:
 Finalmente, para determinar a solução da terceira indagação,
vamos ter que realizar a divisão entre o número que corresponde ao conjunto
dos números primos contidos em um dado {2, 3, 5} e o conjunto que se refere ao
espaço amostral , assim, a probabilidade requerida é dada por P
(número primo) = 3/6 = 1/2 = 50,00%.
Agora, formalizando a maneira de calcular a probabilidade de um evento, a
relação é dada por:
É importante salientar que o resultado obtido pelo cálculo de uma probabilidade
pode ser apresentado em formato fracionário, decimal ou percentual, todas
essas con�gurações são matematicamente aceitáveis, sendo necessária apenas
a percepção de tal distinção, porém os resultados em porcentagens são mais
comuns.
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Vamos discutir a seguinte questão, clássica no estudo de probabilidade
condicional: considere que, em uma urna há três bolas brancas, cinco bolas
vermelhas e sete bolas pretas, qual a probabilidade de se retirar ao acaso uma
bola preta?
Bem, já foi informado que há sete bolas pretas, assim, esse é o evento, pois
apresenta a quantidade de resultados possíveis para a situação proposta. Agora
é necessário determinar o espaço amostral, ou seja, todos os resultados
possíveis, que será obtido adicionando todas as bolas contidas na urna,
independentemente da cor, logo: . Agora, podemos encontrar a
probabilidade, que será dada por: .
Como a fração resultante é irredutível, ou seja, não é possível simpli�cá-la ou
reduzi-la, o resultado permanece o mesmo, isto é, continua inalterado.
Para determinar a probabilidade de um evento, é necessário especi�car o espaço
amostral, caso contrário deparamos com respostas distintas, porém válidas no
contexto estabelecido. Dessa forma, haverá situações em que será condicionado
um evento em relação à ocorrência de outro, nesse cenário, Larson e Farber
(2016) estabelecem que uma probabilidade condicional é a probabilidade de um
evento ocorrer, dado que outro evento já tenha ocorrido. Conforme os autores, a
probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o evento A tenha
ocorrido, é denotada por P(B|A) e lê-se “probabilidade de B dado A”.
Assim, a probabilidade condicional é expressa pela relação:
3.1.1 Probabilidade condicional
O treinador de beisebol Billy Beane �cou mundialmente famoso por
otimizar a performance do seu time por meio do uso da estatística e
análise de dados, sua história foi retratada no �lme Moneyball, baseado
no livro Moneyball: The Artof Winning an Unfair Game, de Michael Lewis.
Seu maior desa�o foi montar o time, em 2012, pois o clube enfrentava
di�culdades �nanceiras. Decidido a utilizar estatística e análise de dados
para basear as suas escolhas em dados reais, contratou um cientista para
analisar as porcentagens de acertos de seus jogadores.
VOCÊ SABIA?
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Para diferenciar e compreender esse novo conceito, considere que uma
universidade coletou dados referentes a mil alunos ingressantes em seus cursos
de graduação no primeiro semestre do ano, esses números foram separados e
classi�cados por gênero e por cursos pertencentes às áreas de: exatas,
humanas e biológicas. Esses números são apresentados na tabela a seguir.
Tabela 1 - Área de estudo versus gênero
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#PraCegoVer: tabela com três colunas e quatro linhas, distribuindo homens e
mulheres que frequentam cursos nas áreas de exatas, humanas e biológicas.
O símbolo ∩ representa a intersecção entre conjuntos, dessa maneira,
escrever 𝐴∩𝐵 (lê-se: A intersecção B) signi�ca determinar os elementos
que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente, ou seja, é comum
ao conjunto A e ao conjunto B. Já em um caso de intersecção de mais
conjuntos, por exemplo, 𝐴∩𝐵∩𝐶 (lê-se: A intersecção B intersecção C)
signi�ca determinar os elementos que pertencem aos três conjuntos ao
mesmo tempo.
VOCÊ SABIA?
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Nessas circunstâncias, qual seria a probabilidade de um aluno optar por um
curso que pertença à área de exatas? E qual a probabilidade de uma mulher ter
escolhido estudar em um curso da área de humanas? E, por �m, qual a
probabilidade de estudar em curso da área de biológicas, sendo homem?
Para facilitar nossos cálculos e visualizar os totais referentes a cada categoria,
será acrescentada à tabela anterior mais uma coluna, com os resultados
referentes aos somatórios de cada linha e adicionada outra linha, dispondo o
resultado das somas referentes aos gêneros, que estão dispostos em colunas.
Agora, observe a tabela que segue, com as novas informações e as
modi�cações indicadas.
Tabela 2 - Área de estudo versus gênero com respectivos totais
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#PraCegoVer: tabela com quatro colunas e cinco linhas, distribuindo homens e
mulheres que frequentam cursos nas áreas de exatas, humanas e biológicas,
além do total de homens, mulheres, homens e mulheres que frequentam as
áreas de exatas, humanas e biológicas.
Bem, agora será mais fácil responder aos questionamentos, lembrando que, para
cada situação apresentada, é necessário distinguir se ela se enquadra em uma
probabilidade condicional ou um caso de probabilidade comum. Para descobrir a
probabilidade de um aluno escolher um curso da área de exatas, é simples,
vamos pensar um pouco. Já que o sexo não foi especi�cado, basta realizar a
divisão entre o total de alunos que optaram por exatas e o total de alunos
ingressantes no primeiro semestre, logo, obtemos a seguinte razão:
, é perceptível que a probabilidade desse
evento ocorrer não depende de outro, ou seja, não está condicionado à
existência de nenhum outro.
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Qual a probabilidade de uma mulher estudar na área de humanas? Pois bem,
perceba que foi condicionado ao evento de estudar em um curso da área de
humanas e ser mulher (lê-se: ser da área de humanas dado que é mulher), logo, é
um caso que devemos utilizar da de�nição de probabilidade condicional. Nessa
situação, P(B) é a probabilidade de o evento ser da área de humanas, P(A) é a
probabilidade de o evento ser mulher e é a probabilidade de o evento
ser da área de humanas e ser mulher, assim teremos a relação:
Quando é solicitada a probabilidade de estudar na área de biológicas, dada a
condição de ser homem, também é uma situação em que é necessário utilizar o
conceito de probabilidade condicional, pois observe que a ocorrência de um
evento possui uma dependência com o acontecimento do outro. Adotaremos
P(B): probabilidade de o evento ser da área de biológicas; P(A): probabilidade de
o evento ser homem; e : probabilidade de o evento ser da área de
biológicas e ser homem. Assim: .
É possível perceber que esses dois casos, em que o sexo foi de�nido,
representariam uma probabilidade diferente caso não fosse imposta essa
condição. Qual é a probabilidade de um estudante ser de humanas? Note que
esse evento é independente de qualquer outro, logo, temos: .
Esses são os eventos denominados independentes, nosso próximo assunto.
Em alguns contextos que fundamentam eventos probabilísticos, encontramos
problemas em que a chance de determinado evento interfere ou não na
ocorrência de outros. Larson e Farber (2016) de�nem, formalmente, como
eventos independentes quando um deles não interfere na probabilidade de
ocorrência do outro, caso contrário, os eventos são ditos dependentes entre si.
Nesse contexto, os autores a�rmam que dois eventos são independentes
quando ou quando, . De acordo com Castanheira
(2013), um evento A é dito independente de um evento B se a probabilidade de A
3.1.2 Dependência e independência de eventos
(ATIVIDADE NÃO PONTUADA)
TESTE SUAS HABILIDADES
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equivale a probabilidade condicional de A, dado B, ou seja, 𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴/𝐵) e, por
consequência, se A é independente de B e B é independente de A, logo:
𝑃(𝐵)=𝑃(𝐵/𝐴). Em decorrência dessa conceituação estabelecida pela autora,
identi�ca-se que a maior aplicação do conceito de dependência e independência
de eventos está na igualdade expressa por: (lê-se
probabilidade de A intersecção B é igual a probabilidade de A vezes a
probabilidade de B), que reconhece que, sendo dois eventos independentes, a
intersecção entre eles é representada pelo produto entre a probabilidade do
evento A pela probabilidade de ocorrência do evento B.
Nesse momento, vamos praticar esse conceito, que é importantíssimo na
probabilidade e permite a fácil resolução de problemas que se adéquam a
diversos casos. Considere as situações a seguir.
Para classi�car tais acontecimentos e outros como eventos dependentes ou
eventos independentes, devemos analisar se a ocorrência de um vai interferir na
ocorrência do outro.
Jogar um dado de seis lados e cair na face dois (A) e jogar
uma moeda e sair cara (B).
Selecionar uma rainha em um baralho sem reposição (A) e
tirar uma carta de ouros do baralho (B).
Tirar uma bola preta em uma urna que contém dez bolas
pretas (A) e ganhar em um jogo de azar (B).
O evento A (tirar o número dois ao jogar um dado) não
interfere na ocorrência do evento B (sair cara ao jogar uma
moeda), sendo eventos independentes por não possuírem
qualquer relação.
Já o evento A (tirar uma rainha em um baralho) e o B (tirar
uma carta de ouros no baralho) estão relacionados ao
mesmo conjunto de cartas. Logo, se retirar uma carta, no
caso, uma rainha, esse acontecimento irá interferir no
outro, pois teremos uma carta a menos no espaço
amostral, assim, são ditos eventos dependentes.
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O teorema de Bayes é fundamentado no conceito de probabilidade condicional,
descrito e analisado anteriormente, pois relaciona raciocínios contrários, assim,
é necessário conhecer a base de um para compreender a dinâmica do outro.
A probabilidade condicional trabalha com a probabilidade de ocorrer um eventoB sob a condição de ocorrer seu antecedente A; enquanto o teorema de Bayes
trata da probabilidade de ocorrer o evento A sob a condição de ocorrer o evento
B que sucede A.
E, por último, retirar uma bola em uma urna, que
representa o evento A, e apostar em um jogo de azar
(evento B) são eventos distintos e não ocasionam
intervenção um no outro, logo, são classi�cados como
eventos independentes.
3.1.3 Teorema de Bayes
(ATIVIDADE NÃO PONTUADA)
TESTE SUAS HABILIDADES
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Freund e Simon (2009) descrevem que, formalmente, o teorema de Bayes é
utilizado quando são eventos mutuamente excludentes, dos
quais um deve ocorrer, ou seja, a intersecção é nula, logo:
Para .
Ainda segundo Freund e Simon (2009), a expressão do denominador é na
verdade P(A). Eles explicam que quando A é atingido a partir de um entre vários
passos intermediários, temos a regra da eliminação ou regra da probabilidade
total.
Observe que os símbolos e podem ter aparência similar, mas há
grande diferença no que eles representam e em seu signi�cado no contexto do
exercício proposto, por isso, atenção para identi�car e calcular seus valores.
Vamos colocar em prática esse importante e essencial conceito da teoria de
probabilidades? Para isso, vamos resolver a problemática sugerida a seguir,
como exemplo de aplicação.
Thomas Bayes (1701-1776) foi um reverendo presbiteriano que viveu na
Inglaterra. Em 1778, o �lósofo Richard Price (1723-1791) apresentou à
Royal Society um artigo que aparentemente encontrou entre os papéis de
Bayes, com o nome “An essay towards solving a problem in the doctrine
of chances” (Ensaio buscando resolver um problema na doutrina das
probabilidades). Nesse artigo constava a demonstração do famoso
teorema de Bayes; após sua publicação, o trabalho caiu no esquecimento
e só foi resgatado pelo matemático francês Pierre-Simon de Laplace
(1749-1827), que o revelou ao mundo (PENA, 2009).
VOCÊ O CONHECE?
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O teorema de Bayes é mais e�caz quando é utilizada uma série de dados
históricos para fundamentar as previsões. Por isso, é importante continuar
fazendo o acompanhamento e corrigir os possíveis erros de estruturação do
método aplicado, pois pequenos erros podem se tornar grandes erros quando
esse teorema é utilizado, uma vez que a determinação incorreta de uma das
probabilidades do teorema interfere no resultado �nal.
3.2 Variável aleatória contínua e discreta
Assuma que a probabilidade de diagnosticar com sucesso a presença de
determinada doença rara no organismo foi identi�cada como sendo 0,75.
Quando identi�cada essa patologia corretamente, a probabilidade de cura
é alterada para 0,85. Se não for detectada perfeitamente essa doença, a
probabilidade de cura é dada por 0,35. Considere que certo paciente com
essa doença é curado, assim qual é a probabilidade de que a doença
tenha sido diagnosticada corretamente?
Solução:
Temos os seguintes eventos:
: detectar de cura;
: diagnosticar com sucesso a doença;
: não diagnosticar com sucesso a doença;
De acordo com o teorema de Bayes, temos a seguinte relação:
Assim, de acordo com o resultado anterior, é possível inferir que, dentro
das circunstâncias apresentadas, aproximadamente 87,93% é a
probabilidade de que a doença seja diagnosticada corretamente.
ESTUDO DE CASO
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Montgomery e Runger (2016) de�nem variável aleatória discreta como uma
função que confere um número real a cada resultado no espaço amostral de um
experimento aleatório, em outras palavras, quando uma variável apresenta uma
quantidade enumerável de valores. Também de�nem variável aleatória contínua
como uma variável aleatória associada a um intervalo (�nito ou in�nito) de
números reais. Nesse caso, a variável pode assumir ou não in�nitos valores
sendo possível enumerar ou não a quantidade de valores que essa variável pode
assumir. Assim, caso a imagem da função de probabilidade seja �nita ou
contável, tem-se uma variável aleatória discreta; mas se a imagem dessa função
for o conjunto dos números reais, tem-se uma variável aleatória contínua.
Quando se lida com variáveis aleatórias discretas, é possível atribuir diretamente
valores de probabilidade aos valores numéricos estipulados.
São exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica, peso,
temperatura, tempo, altura, entre outros. Já os exemplos de variável aleatória
discreta são descritos por: número de moléculas em uma amostra de gás,
quantidade de votos recebidos em uma eleição, número de arranhões em uma
determinada área, grau de queimaduras na pele, pontos obtidos em uma prova
de vestibular, número de pessoas em �la de espera, entre outros
(MONTGOMERY; RUNGER, 2016).
3.2.1 Esperança matemática
No vídeo Estatística – Aula 08, ministrado pelo professor André Leme
Fleury, você poderá aprender mais sobre os conceitos aplicados às
variáveis aleatórias a partir de exercícios comentados.
Acesse (https://www.youtube.com/watch?v=rsbhyTtwHfg)
VOCÊ QUER VER?
https://www.youtube.com/watch?v=rsbhyTtwHfg
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No estudo da estatística e entre outros âmbitos da matemática, constantemente
trabalhamos com o conceito de média aritmética, agora, no contexto do estudo
de probabilidade, seremos apresentados ao conceito de esperança matemática.
Ambas as de�nições são consideradas equivalentes, no entanto, são aplicadas
em cenários diferentes.
Castanheira (2013) de�ne esperança matemática como a média aritmética de
uma variável aleatória, fenômeno ou experimento aleatório. Esse conceito é
importantíssimo em nossos estudos, pois representa a quantidade utilizada
como resumo do comportamento de uma variável aleatória. Nesse contexto a
média de uma distribuição de probabilidade é a esperança de sua variável
aleatória e sua interpretação consiste em um parâmetro que viabiliza
caracterizar distribuições de probabilidades.
O cálculo da esperança matemática é fácil de ser executado por meio da
fórmula: , em que representa a esperança matemática de
acontecer o evento 𝑥, ou seja, o valor médio que esperaríamos se o experimento
continuasse sendo repetido várias vezes, 𝑛 identi�ca o número de tentativas a
serem realizadas e 𝑝 a probabilidade de ocorrer o evento 𝑥 em uma tentativa
única.
Veremos agora um exemplo prático de como esse conceito é aplicado. Assuma
que em um aquário existem 100 peixes diferenciados pela cor predominante em
seu corpo. Dessa maneira, há 20 peixes vermelhos, 30 peixes amarelos, 25
peixes verdes e 25 peixes laranjas, assim, qual é a quantidade de peixes verdes
ao �nal de 28 tentativas, levando em consideração que a cada tentativa tira-se
apenas um peixe?
Bem, para solucionar essa questão temos que determinar a esperança
matemática, em que n equivale a 28 e p a probabilidade de retirar do aquário um
peixe verde, que é o número de casos favoráveis em que é retirado um peixe
verde do número total de possibilidades, logo:
Esse resultado retrata que
esperamos que nas 28 tentativas, 7 peixes sejam verdes.
De acordo com nossos estudos, a variância e desvio-padrão são medidas de
dispersão que identi�cam como a média dispõe-se no contexto dos dados. A
variância é caracterizada por avaliar o grau de homogeneidade dos valores em
torno da média aritmética e o desvio-padrão identi�ca e quanti�ca o “erro”
presente em um conjunto de dados, previamente determinado. Assim como a
esperança, a variância também tem importância signi�cativa na caracterização
de diversas distribuiçõesde probabilidade. Quando se identi�ca a esperança e a
variância de um modelo, ele �ca totalmente caracterizado, ou seja, sabemos seu
3.2.2 Variância e desvio-padrão de variável aleatória discreta
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formato geral e suas particularidades. No atual cenário, a fórmula para obter tais
medidas (variância e desvio-padrão) é diferente, logo, considerando n como o
número de tentativas em um experimento e x como o número de sucessos
obtidos, as fórmulas que permitem calcular a variância ( ) e o desvio-padrão (𝑠)
são sinalizados respectivamente por: . Vamos
aplicar essas fórmulas e entender como tais relações se aplicam? Considerando
o mesmo enunciado do exercício do aquário, que resolvemos anteriormente, e
baseando-se nas informações contidas nele, vamos determinar a variância e o
desvio-padrão. Bem, a variância é calculada por: 
 peixes ao quadrado e, como o desvio-padrão é
caracterizado por ser a raiz quadrada da variância, para encontrá-lo, basta
calcular a raiz quadrada do resultado anterior, observe:
peixes.
Nessa seção discutiremos sobre a distribuição de probabilidade de populações.
Distribuições de probabilidade podem ser contínuas ou discretas, dependendo
se são de�nidas probabilidades para variáveis contínuas ou discretas.
Montgomery e Runger (2016) conceituam a distribuição de probabilidade de
uma variável aleatória x como a descrição das probabilidades associadas aos
possíveis valores que a variável x assume. Existem muitas distribuições de
probabilidade que também podem ser chamadas de modelos probabilísticos,
mas algumas merecem destaque por sua importância prática.
Os modelos de probabilidade são utilizados para descrever vários fenômenos ou
situações que encontramos na natureza, ou experimentos por nós elaborados.
Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade
que depende de um ou vários parâmetros. O estereótipo deve necessariamente
representar, na medida do possível, a complexidade que envolve o mundo real da
população em estudo. Nesse sentido, abordaremos o conceito de distribuição de
probabilidade discreta que retrata a probabilidade de ocorrência de cada valor de
uma variável aleatória discreta, lembrando que esse tipo de variável tem valores
contábeis, como uma lista de inteiros não negativos, ou seja, somente valores
positivos e enumeráveis. Entre as distribuições de probabilidades discretas,
encontramos a distribuição de Bernoulli e a distribuição Binomial, nossos
próximos assuntos de discussão.
3.2.3 Distribuição de variável aleatória
3.3 Distribuição de Bernoulli
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A distribuição de Bernoulli é uma distribuição discreta que se relaciona com
diversas outras distribuições de probabilidade, como a distribuição binomial, e a
distribuição geométrica. A distribuição de Bernoulli simboliza o resultado de um
ensaio, dessa maneira, as sequências de ensaios independentes de Bernoulli
resultam em outras distribuições probabilísticas. Nesse contexto, a distribuição
binomial modela o número de sucessos em n ensaios, a distribuição geométrica
modela o número de falhas que antecedem o primeiro sucesso; assim, a
distribuição de Bernoulli é incorporada e, consequentemente, relacionada a
outras distribuições (CASTANHEIRA, 2013).
São exemplos de utilização da distribuição de Bernoulli: o lançamento de uma
moeda, em que existe a possibilidade de sucesso e, também de fracasso de
determinada face da moeda ser exibida; sexo de um bebê ou o resultado de um
teste de germinação, que pode obter um resultado de sucesso ou fracasso
relacionado à realização de tal procedimento.
Outros exemplos são apontados por Morettin e Bussab (2010), sendo eles: uma
peça é escolhida ao acaso em um lote contendo 500 peças, necessita-se saber
se essa peça é defeituosa ou não; uma pessoa é escolhida ao acaso entre os
moradores de uma cidade de maneira a veri�car quais pessoas são, ou não,
favoráveis de determinado decreto municipal.
Jacques Bernoulli (ou Jakob Bernoulli) foi um matemático suíço que
nasceu na Basileia, em 27 de dezembro de 1654, e faleceu na mesma
cidade, em 16 de agosto de 1705, aos 50 anos. Estudou teologia apenas
para atender ao desejo do pai, pois desde jovem manifestava
extraordinária vocação para a matemática. Foi o primeiro matemático a
desenvolver o cálculo in�nitesimal para além do que fora feito por Newton
e Leibniz, aplicando-o a novos problemas (JACQUES, 2017).
VOCÊ O CONHECE?
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Em ambas as situações anteriores expostas pelos autores, estamos
interessados na ocorrência de sucesso ou fracasso, sendo essa terminologia
(sucesso e fracasso) bastante utilizada. Nesse tipo de experimento, é de�nida
uma variável aleatória X, denominada de variável aleatória de Bernoulli, que
assume apenas os valores 0 para fracasso e 1 para sucesso, sendo a
probabilidade de sucesso . Assim, temos que:
Constantemente, os termos distribuição binomial e distribuição de Bernoulli são
confundidos e mal interpretados, logo, para impedir esse problema é importante
estabelecer que testes de Bernoulli levam à uma distribuição binomial. Dessa
maneira, a distribuição binomial é uma soma de vários ensaios Bernoulli
independentes e uniformemente distribuídos.
Castanheira (2013) informa que um ensaio de Bernoulli é um processo de
amostragem, que possui as seguintes condições de existência.
Agora, vamos estudar com mais detalhes a distribuição binomial e,
consequentemente, a aplicação dos ensaios de Bernoulli, uma vez que um
conceito está relacionado a outro. Vamos lá?
Para cada tentativa, é possível dois resultados mutuamente
exclusivos (não existe intersecção entre os eventos, ou seja,
intersecção nula), isto é, se um dado evento acontecer, exclui
totalmente a ocorrência do outro.
As observações ou séries de tentativas são formadas por
eventos independentes. 
O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso
é contínua e constante em cada tentativa executada. 
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Distribuição binomial pode ser de�nida como um modelo probabilístico de
determinado número de sucessos quando submetidos a n provas do mesmo
tipo, logo, esse experimento deve ser repetido n vezes, sendo que cada um
desses experimentos deve admitir somente dois resultados possíveis: sucesso
ou fracasso, uma vez que p deve representar o sucesso e q identi�ca o fracasso,
ambos resultados são de�nidos como constantes em cada um dos ensaios
(MARTINS; DOMINGUES, 2017).
A fórmula para o cálculo da probabilidade de certo número de sucessos em n
ensaios por intermédio de uma distribuição binomial é dada pela relação
descrita por:
3.4 Distribuição binomial
No trabalho "Algumas aplicações da distribuição binomial", Santos (2015)
apresenta a noção de probabilidade e algumas de suas propriedades e,
em particular, o Binômio de Newton aplicado a problemas das áreas de
ciências biológicas e ciências médicas.
Acesse
(https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalho
Conclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?
popup=true&id_trabalho=3982673)
VOCÊ QUER LER?
https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=3982673
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Em que x representa o número de sucessos; p é a probabilidade de sucesso em
cada prova,q é a probabilidade de fracasso de cada prova, n é o número de
repetições do mesmo experimento. Logo, é necessário identi�car corretamente
cada componente do exercício a ser resolvido por esse modelo probabilístico, de
modo a não cometer erros.
São exemplos de experiências binomiais: a população de um município que foi
vacinada ou não vacinada; gênero das crianças em uma creche; escolher uma
peça defeituosa ou não; respostas classi�cadas como verdadeiro ou falso em
um questionário, quantidade de fumantes e não fumantes em grupo de idosos
em um asilo, número de caras no lançamento de trinta moedas, número de
meninos entre um conjunto de cinquenta bebês, número de sementes
germinadas em duzentas sementes, entre outros inúmeros exemplos. No geral
podemos dizer que experiências binomiais são aquelas em que existem apenas
duas possibilidades de ocorrência ou não de determinado evento.
Martins e Domingues (2017) a�rmam que uma distribuição binomial pode ser
utilizada e manipulada algebricamente, se forem atendidas as seguintes
condições.
O número de ensaios é �xo e constante, ou seja, são
realizadas n provas do mesmo tipo.
Cada ensaio é independente dos outros ensaios.
O símbolo ! (lê-se fatorial), que aparece na fórmula de distribuição
binomial, representa no âmbito da matemática o produto de todos os
números inteiros de n a 1, logo n! (lê-se n fatorial) equivale a realizar as
operações de multiplicação:
VOCÊ SABIA?
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Durante o ano de 2017, na Bolsa de Valores de São Paulo, foi constatado que
60% de todas suas ações tiveram sua cotação acrescida, ou seja, valorizadas no
mercado �nanceiro; em contrapartida, 40% de todas as ações mantiveram-se
constantes ou diminuíram seu valor de mercado. Um serviço de assessoria
�nanceira optou por avaliar dez ações desse conjunto de ações administradas
pela bolsa de valores, que foram singularmente recomendadas. Qual a
probabilidade de que metade desse total de ações escolhidas tenham suas
cotações aumentadas? Vamos resolver esse problema referente à aplicação do
conceito de distribuição binomial?
Inicialmente, é preciso identi�car as informações, vamos lá? De acordo com o
enunciado do problema foram selecionadas dez ações ( ); é desejado que
metade das dez ações, ou seja, cinco das ações ( ) tenham aumentado suas
cotações, p equivale ao sucesso do evento, logo e, por consequência e
de�nição, o fracasso q é calculado por: .
Assim, substituindo tais informações:
O resultado encontrado permite inferir que a chance de que metade das dez
ações escolhidas tenham suas cotações valorizadas é de 20%.
Cada ensaio admite apenas dois resultados possíveis, um
chamado fracasso e outro como sucesso.
A probabilidade de um evento é a mesma para cada ensaio
realizado.
CONCLUSÃO
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No estudo dessa unidade, foi possível apresentar o panorama no qual se insere
a teoria das probabilidades, a partir de conceitos e de�nições básicas e
fundamentais. Foram discutidas as regras que moldam e sustentam a
probabilidade condicional, bem como os princípios que a caracterizam e
diferenciam do teorema de Bayes; em relação a esse teorema foi discutido sua
fundamentação teórica e aplicabilidade. Também foram desenvolvidos diversos
cálculos para solucionar situações cotidianas que envolvem a aplicabilidade de
tais conceitos de probabilidade.
Foi explanado o conceito geral de distribuição de probabilidade de uma variável
aleatória discreta, bem como sua utilização no contexto estatístico e
probabilístico. Também foi possível de�nir e caracterizar a distribuição de
Bernoulli e a distribuição binomial, dispondo de diversos parâmetros próprios de
cada distribuição e diferenciando cada experimento probabilístico por
intermédio da resolução de exercícios diversos.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
compreender o conceito de probabilidade e aplicar sua
funcionalidade na resolução de exercícios;
conhecer a de�nição de probabilidade condicional e
resolver exercícios associados ao conceito de
dependência;
conhecer a de�nição de dependência e independência de
eventos e sua aplicabilidade em probabilidade;
interpretar e analisar os cálculos dos parâmetros
estatísticos diversos;
tomar decisões com base nas análises das
representações e dos resultados analisados;
calcular a esperança matemática, variância e desvio-
padrão e diferenciar tais conceitos no contexto associado
da variável aleatória discreta;
interpretar e analisar os cálculos dos parâmetros
estatísticos: esperança matemática, variância e desvio-
padrão;
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reconhecer e de�nir distribuição de Bernoulli;
resolver problemas utilizando as distribuições de variável
aleatória: distribuição de Bernoulli e distribuição binomial;
compreender a dinâmica das distribuições de variável
aleatória;
reconhecer uma distribuição binomial;
resolver exercícios por intermédio de uma distribuição
binomial.
Clique para baixar conteúdo deste tema.
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba:
Intersaberes, 2013. 
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências.
São Paulo: Cengage, 2018.
ESTATÍSTICA – Aula 08. 2017. 1 vídeo (17 min.). Publicado no canal
UNIVESP. Disponível em: (https://www.youtube.com/watch?
v=rsbhyTtwHfg)https://www.youtube.com/watch?v=rsbhyTtwHfg
(https://www.youtube.com/watch?v=rsbhyTtwHfg). Acesso em: 30 dez.
2020.
Referências
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https://www.youtube.com/watch?v=rsbhyTtwHfg
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FREUND, J. E.; SIMON, G.  A. Estatística Aplicada: economia,
administração e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
JACQUES Bernoulli. Só Matemática, [s. l.] .Disponível em:
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Acesso em: 14 jan. 2021.    
LARSON, R; FARBER, B. Estatística Aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson,
2016. 
MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo:
Atlas, 2017. 
MONTGOMERY, D. C; RUNGER, G. C. Estatística Básica e Probabilidade
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MORETTIN, P. A., BUSSAB, W.O. Estatística Básica, 8. ed. São Paulo:
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PENA, S. D. Thomas Bayes: o cara! Ciência Hoje, Belo Horizonte, jul. 2009.
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SANTOS, F. N. Algumas aplicações da distribuição
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Conclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?
popup=true&id_trabalho=3982673)https://sucupira.capes.gov.br/sucupira
/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?
popup=true&id_trabalho=3982673
(https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalho
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popup=true&id_trabalho=3982673). Acesso em: 15 dez. 2020.
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https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=3982673
https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=3982673