APLICAÇÃO DE INTEGRAIS

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APLICAÇÃO DE INTEGRAIS
As aplicações de integrais permite encontrar a área de uma figura plana usando uma integral definida e outra aplicação, mais importante, é o cálculo do volume de um corpo de revolução . Em geral, existem muitas aplicações interessantes no cálculo integral, com a ajuda de uma integral definida, você pode calcular a área de uma figura, o volume de um corpo de revolução, o comprimento do arco , a área da superfície de rotação e muito mais. 
A aplicação de integrais ao cálculo de áreas no plano pode estender-se ao cálculo de determinados volumes no espaço, nomeadamente de sólidos de revolução. Um sólido de revolução surge da revolução da região abaixo do gráfico de uma função f(x) em torno do eixo x - ou y - do plano. Um cone surge assim de uma região triangular, uma esfera de uma região semicircular e um cilindro de uma região retangular. Estas são apenas algumas das possibilidades de sólidos de revolução.
Considere uma porta giratória estacionária. A porta em si é um retângulo. Conforme as pessoas entram pela porta giratória, a porta gira em um círculo, girando em torno de um poste central. Conforme a porta gira, ela cria uma forma cilíndrica. Em geral, se girarmos um retângulo em torno de uma linha fixa, produzimos um cilindro.
Existem dois métodos principais para encontrar o volume de um sólido de revolução. O método da casca é aplicado a um sólido obtido pela revolução da região abaixo do gráfico de uma função f(x) de a até b em torno do eixo y . Ele aproxima o sólido com um número de cascas cilíndricas finas, obtidas girando em torno do eixo y as regiões retangulares finas usadas para aproximar a região correspondente no plano. 
Se somarmos os volumes de uma família dessas cascas cilíndricas, cobrindo todo o intervalo de a até b , e tomarmos o limite como Δx → 0 (e, consequentemente, conforme o número de cascas cilíndricas se aproxima do infinito), acabamos com a integral:
 V = 2 1.1
O método do disco para encontrar volumes se aplica a um sólido obtido pela revolução da região abaixo do gráfico de uma função f ( x ) de a para b em torno do eixo x . Aqui o sólido é aproximado por um número de discos muito finos, posicionados lateralmente com o eixo x passando por seus centros. Esses discos são obtidos girando em torno do eixo x as finas regiões retangulares usadas para aproximar a área da região correspondente no plano. Isto é ilustrado na figura abaixo.
O volume desse disco é (exatamente) a área da base vezes a altura; portanto, se o retângulo correspondente tem largura Δx e altura f(x) , o volume é igual a .f(x)².Δx . Tomando a soma dos volumes de todos os discos (cobrindo todo o intervalo de a até b ) e tomando o limite como Δx → 0 dá a integral:
 V = . 1.2
	Para exemplificar esta aplicação, imagine que temos uma função y = , o gráfico que define os limites:
	Realizando o giro em torno do eixo – x, obtemos uma esfera de raio 1:
Aplicando a fórmula 1.2, temos:
V = .
	Outra aplicação dos sólidos em revolução, é no cálculo da área da superfície do sólido formado pela rotação. Para isso utiliza-se a seguinte fórmula:
 S = 1.3
	Para entender sua aplicação imagine que uma indústria quer construir um cone com uma altura de 3 metros, ela esta definida pela função y = x, com isso é necessário saber a quantidade de material que será usado, então para isso:
S = 
S = 9
	Esta aplicação das integrais, para calculo de volume e áreas de superfícies em revolução, permite calcular, independente da forma da figura, qualquer sólido. Superfícies de revolução são certamente muito comuns na vida cotidiana. Como você observou, qualquer coisa feita em um torno consistirá principalmente em superfícies de revolução. Além disso, qualquer forma feita por furação ou mandrilamento será cilíndrica, e os escareadores são sempre cônicos — ambas as superfícies de revolução. A fresa de uma fresadora geralmente é conduzida ao longo de um caminho circular, e isso produzirá novamente superfícies de revolução.
Referências
MACEDO, Maria J. GUEDES, Felipe. Cálculo II. Mossoró : EdUFERSA, 2013