PROBLEMAS MATEMATICOS LIBRO8

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LIBRO 8
PROBLEMAS 
MATEMÁTICAS
 
Una heladería tiene un repertorio de sabores diferentes de helados. Cuando Diego 
compra un cono con dos bolas de sabores diferentes lo puede elegir de 153 maneras 
diferentes. 
Recientemente, el día que cumplió 22 años, compró un cono gigante de 15 bolas de 
sabores diferentes. 
¿De cuantas formas lo pudo elegir? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean n la cantidad de sabores diferentes de que dispone la heladería. La cantidad de combinaciones de dos 
sabores serán ( )
( )
180306153
22
1
!2!2
!
153
2
2
2
=⇒=−−⇒=−=−×=
−×
⇒=





nnn
nnnn
n
nn
 sabores 
diferentes, pues se desecha la solución negativa de la ecuación por el contexto del problema. 
Entonces, las posibilidades que tuvo Diego en su cumpleaños fueron =××=
×
=





6
161718
!3!15
!18
15
18
 
816 
 
En una empresa de reparación de ordenadores Juan repara tres ordenadores 
mientras María repara dos. 
Ángela es más rápida que los dos: mientras María repara un ordenador ella 
repara tres. 
En el tiempo en que Juan repara nueve ordenadores, ¿cuántos ordenadores 
habrán reparado entre los tres? 
 
 
SOLUCIÓN 
Mientras que Juan repare 9 ordenadores María habrá reparado 6 pues la proporción es 2:3 
Pero si María ha reparado 6 ordenadores, Ángela habrá reparado 18 ya que la proporción es 3:1 
En resumen, habrán reparado en total =++ 1869 
33 ordenadores 
 
Halla el menor número natural que es suma de 9 naturales consecutivos, es suma de 
10 naturales consecutivos y es suma de 11 naturales consecutivos, teniendo en cuenta 
que ninguna de las tres sumas está contenida en las otras. 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea N el número buscado. Entonces, 
( ) ( ) ( ) ( ) AaaaaaaN 9493698...21 =+×=+=+++++++= siendo 4>A 
( ) ( ) ( ) ( ) BbbbbbbN 592545109...21 =+×=+=+++++++= siendo 10>B impar 
( ) ( ) ( ) ( ) CccccccN 11511551110...21 =+×=+=+++++++= siendo 5>C 
De lo anterior deducimos que N es múltiplo de 5 , 9 y 11 con las condiciones indicadas- 
El menor número es =××= 1195N 
495 
 
Tres amigas que van a una pizzería piden una pizza y la 
dividen, para comérsela, en tres partes iguales. 
Antes de empezar a comer llega otra amiga y deciden 
compartir la pizza con ella de manera que las cuatro coman 
la misma cantidad. 
¿Qué porcentaje de su trozo de pizza deben aportar cada 
una de las tres a su amiga? 
 
 
SOLUCIÓN 
En un primer momento deben las amigas tienen, cada una 
3
1
 de pizza y, cuando reparta a la amiga, le 
quedará 
4
1
 de pizza. 
Según lo anterior, el trozo que aporta a la amiga es 
12
1
4
1
3
1 =− de pizza. 
Y 
12
1
 de 
3
1
 es ==×=× %
4
100
%100
12
3
%100
3
1
12
1
 
25 % 
 
Halla todas las ternas de números enteros (x,y,z) tales que 
 
 
SOLUCIÓN 
Está claro que, si x , y , z son enteros, 2
11
0
22
≤=+< z
yx
 
Entonces, 1=z o 2=z 
• Si 2222
22
1
11
1 yxyx
yx
z ×=+⇒=+⇒= , siendo ambos cuadrados enteros positivos. La única 
posibilidad es que yxyx ,222 ⇒== no son enteros: ¡imposible por contradicción con la hipótesis 
del enunciado! 
• Si ( ) ⇒=−=××−+⇒××=+⇒=+⇒= 0222112 22222222222
22
yxyxyxyxyx
yx
z 
10 2222 ==⇒=−⇒ yxyx según las condiciones del enunciado al ser ambos cuadrados enteros 
positivos. De ahí se obtiene que 1,1 ±=±= yx 
Las ternas son, entonces, 
(-1,-1,2), (-1,1,2), (1,-1,2), (1,1,2) 
 
Si 11x = 7y = 77, halla 
 
 
SOLUCIÓN 
Como 
11ln
77ln
77ln11ln77ln11ln7711 =⇒=×⇒=⇒= xxxx y ⇒=⇒= 77ln7ln777 yy 
7ln
77ln
77ln7ln =⇒=×⇒ yy , basándonos en las propiedades de los logaritmos. 
De todo lo anterior se deduce, teniendo en cuenta también las propiedades de los logaritmos, que 
( ) ==×=+=+=+=+
77ln
77ln
77ln
711ln
77ln
7ln11ln
77ln
7ln
77ln
11ln
7ln
77ln
1
11ln
77ln
111
yx
 
1 
 
Si cada ángulo interior de un polígono mide 172o o 173o, ¿cuál es la mayor cantidad posible 
de lados del polígono? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si n son los lados del polígono y α el ángulo interior genérico, según se ve en la 
imagen se verificará que ( ) º360º180 =−× αn 
Entonces, según los límites establecidos, si ( ) ⇒=−×⇒= º360º172º180º172 nα 
45
º8
º360
º360º8 ==⇒=⇒ nn , y si ( ) ⇒=−×⇒= º360º173º180º173 nα 
4,51
º7
º360
º360º7 ==⇒=⇒ nn 
De lo anterior, 51454,5145 ≤≤⇒≤≤⇒ nn 
El mayor número de lados del polígono será 51 si es factible con los ángulos que se indican. Y sí lo es, 
obteniéndose la cantidad de ángulos de cada tipo resolviendo el sistema 
483
35777
36078
51
36078
=⇒=⇒



=+
=+
⇒



=+
=+
ba
ba
ba
ba
ba
: ( ) ( ) º360º173º18048º172º1803 =−×+−× 
Esto quiere decir que hay 3 ángulos de º172 y 48 ángulos de º173 en los polígonos que resuelven el 
problema. 
El mayor número de lados del polígono es, entonces, 
51 
 
Si x e y son dos números naturales tales que x > y, x + xy = 391, ¿cuánto vale x + y? 
 
 
SOLUCIÓN 
2317391 ×= por lo que ( ) 23173911 ×==+×=+ yxxyx 
Como ( ) 23171 ×=+× yx y 16,23171,23 ==⇒=+=⇒> yxyxyx 
Por lo tanto, =+=+ 1623yx 
39 
 
Encuentra el mayor número natural N que cumple las siguientes condiciones: 
• E(N/3) es un número de tres cifras iguales, 
• E(N/3) = 1 + 2 + … + n, para algún número natural n, 
donde E(x) representa la parte entera de x. 
 
 
SOLUCIÓN 
La primera condición establece que aaaa
N
E 11110100
3
=++=





, siendo 100 << a , y la segunda indica 
que 
( )
2
1
...21
3
+×=+++=




 nnn
N
E , para algún número natural n 
De lo anterior se deduce que 
( ) ( ) ( ) annannann ×××=+×⇒=+×⇒=+× 373212221111
2
1
, siendo 
100 << a 
El primer miembro indica que la multiplicación se debe poder expresar como producto de dos números 
consecutivos y esto se produce únicamente, según las condiciones del problema, cuando ⇒= 6a 
( ) 3736637321 ×=×××=+×⇒ nn 
Entonces, 2001199866736663666111
3
<≤⇒×<≤×⇒==




 NNa
N
E 
El mayor valor posible de N es 
2000 
 
Sea el trapecio de la figura en donde la longitud de su base mayor es 
tres veces la longitud de su base menor. Los puntos M y N son los 
puntos medios respectivos de los lados BC y CD. 
Si el área del trapecio es 32 cm2, ¿cuánto vale el área del triángulo 
AMN ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos ADb = a la base menor, por lo que la base mayor bBC 3= , y h a la altura del trapecio. 
Adjuntamos al trapecio original una copia del mismo 
girada º180 con lo que obtenemos el paralelogramo 
que se aprecia en la figura, con una base de b4 cm y 
una altura de h cm 
Su superficie es el doble de la del trapecio: 64 cm2 
Entonces, 16
4
64
643224 ==⇒=×= bhbh 
Por otro lado, la superficie sombreada es la diferencia entre el área del paralelogramo y el doble de la suma 
de las áreas de los triángulos ABM y 'MNA pues observamos que, en la figura, hay dos parejas de 
triángulos idénticos. 
Hallamos las áreas de esos triángulos: 
• 12
4
163
4
3
2
2
3
2
=×==
×
=×= bh
h
b
hBM
ÁreaABM cm
2
 
• 
( )
10
8
165
8
5
2
22
5
2
22
3
2
2
'
2
2
'
' =
×==
×
=
×




 +
=
×+
=
×
= bh
hbhb
bh
CAMC
h
MA
ÁreaMNA cm
2
 
De lo anterior, ( ) ( ) 2010122642 'log =+×−=+×−= MNAABMramoparaleverde ÁreaÁreaÁreaÁrea cm2 
Por lo tanto, el área del triángulo AMN es la mitad: 
10 cm2 
 
El rectángulo ABCD tiene adosado un triángulo rectángulo isósceles AEB de 
hipotenusa AB = 4 cm. 
Si BC = 3 cm, ¿cuál es el valor del área del triángulo AEC ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Teniendo en cuenta las condiciones del problema dibujamos los segmentos 'BB 
(prolongación de CB), 'AA (prolongación de DA ) y el perpendicular a ambos ''BA 
pasando por E , formando un rectángulo CDBA '' 
Evidentemente, si el triángulo AEB es rectángulo e isósceles los triángulos BEB' y 
AEA' también lo son y sus catetos miden 2
2
'''' ===== ABEBBBEAAA cm 
Entonces 532'' =+=+= BCBBCB cm y el área del rectángulo es 2045''' =×=×= ABCBÁrea CDBA cm
2
 
Podemos observar que el área del triángulo AEC es la diferencia entre el área del rectángulo construido y la 
suma de las de los triángulos rectángulosCEB' , AEA' y ADC 
Entonces ( ) ⇒




 ×+×+×−=++−=
2
43
2
22
2
25
20'''' ADCAEACEBCDBAAEC ÁreaÁreaÁreaÁreaÁrea 
( ) =−=++−==⇒ 132062520AECÁrea 
7 cm2 
 
Se tiran consecutivamente tres dados y se forman, con ellos, 
un número A de tres cifras: la primera tirada nos da las 
centenas de A, la segunda las decenas y la tercera las 
unidades. 
Repetimos el proceso obteniendo otro número B de tres 
cifras. 
Calcula la probabilidad de que A > B. 
 
 
SOLUCIÓN 
La ocurrencia de cada cifra es independiente de la anterior ocurrencia, por lo que la probabilidad p de que 
BA > es la misma de que AB > 
Si llamamos q a la probabilidad de que BA = tendremos que 121 =+⇒=++ qpqpp 
Pero, evidentemente, una vez que se han realizado las tres primera tiradas la probabilidad de que la cara de 
la cuarta tirada sea igual que la de la primera es de 
6
1
, la misma que la de la quinta tirada sea igual a la de la 
segunda y de que la de la sexta igual que la de la tercera. 
Por lo tanto, 
432
215
216
215
216
1
1
6
1
121
6
1
22
6
1
6
1
6
1
6
1
333 =⇒=−=−=⇒=+=+⇒=××= pppqpq 
Es decir, la probabilidad de que BA > es 
215/432 = 0,4977 
 
Cada día enciendo una de las 100 velas que he comprado. Cuando se consume guardo la 
cera sobrante y hago otra vela nueva con la cera de 7 velas ya usadas, añadiéndola al 
conjunto de velas para encender. 
¿Durante cuántos días podré encender velas? 
 
 
SOLUCIÓN 
Cuando haya consumido las primeras 100 velas (100 días) habré guardado 100 restos y, con ellos, creadas 
14
7
100 =



E nuevas velas, sobrándome 298100147100
7
100
7100 =−=×−=


×− E restos. 
Después de los primeros 100 podré encender 14 velas más que me dejarán 14 restos que, añadidos a los 2 
que me han quedado anteriormente, permitirán crear 2
7
16
7
214 =


=


 + EE nuevas velas para encender y 
me sobrarán 214162716
7
16
716 =−=×−=


×− E restos. 
Sl final, me quedarán 4222
7
16 =+=+


E restos, insuficientes para crear alguna vela nueva. 
Definitivamente, tengo velas para =++ 214100 
116 días 
 
[ ]xE es la función ”parte entera” 
 
Joaquín, recorriendo un camino en bici, hace la primera mitad a 6 km/h y la 
segunda mitad a 12 km/h. 
José Luis hace el primer tercio del mismo camino a 5 km/h y los dos tercios 
siguientes a 15 km/h. 
¿Cuál es la proporción entre los tiempos que han tardado cada uno? 
 
 
SOLUCIÓN 
Consideramos la fórmula 
velocidad
espacio
tiempo = 
Si la longitud del camino es L , el tiempo que tarda Joaquín en hacer el camino completo es 
824
3
12
2
3
12
2
12
2
6
2 LL
LL
L
LL
===
+
=+ horas y el tiempo que tarda José Luis en hacer el camino completo es 
945
5
15
3
5
15
3
2
15
3
2
5
3 LL
LL
L
LL
===
+
=+ horas 
Entonces, la porporción entre los tiempos es ==
L
L
L
L
8
9
9
8 
9/8 
 
Hallar todos los números enteros n tales que 
es un cuadrado perfecto. 
 
 
SOLUCIÓN 
Como ( ) ( ) ( ) ( ) 222342222 222 babnnbaannbannbannbann ++×+++=++×++=++ , identificando los 
dos primeros coeficientes no unitarios con los correspondientes del polinomio 1836224 234 +−+− nnnn , 
dado en el enunciado tenemos que 



=
−=
⇒



=+
−=
9
2
222
42
2 b
a
ba
a
 con lo que ( ) 81362249281362 234222 +−+−=+−⇒=−= nnnnnnbyab 
Entonces, ⇒−+−+−=+−+− 6381362241836224 234234 nnnnnnnn 
( ) 63921836224 22234 −+−=+−+−⇒ nnnnnn 
El primer número es un cuadrado entero perfecto 1836224 2342 +−+−= nnnnx y, evidentemente, 
xkxnn >+=+− 922 para que, así, ( ) ( ) 6363921836224 2222342 −+=−+−=+−+−= kxnnnnnnx 
siendo kx, dos enteros positivos. 
Tenemos, pues, ( ) ( ) ( ) 736326363 22222 ×==×+⇒=−+⇒−+= kkxxkxkxx 
Estudiamos las posibilidades, teniendo en cuenta que kkx >+2 : 
• ⇒=−−⇒=+−⇒=⇒=+⇒= 02323292316321 22 nnnnxkxk 
Ζ∉±=+±=⇒ 2412311n 
• ⇒=−−⇒=+−⇒=⇒=+⇒= 032129292123 22 nnnnxkxk 



−=
=
⇒±=+±=⇒
1
3
21311
n
n
n 
• 1011110128921927 22 =⇒±=−±=⇒=+−⇒=+−⇒=⇒=+⇒= nnnnnnxkxk 
Tres números cumplen el enunciado: 
n = -1, n = 1, n = 3 
 
Cada uno de los habitantes de un extraño planeta tiene, al 
menos, dos ojos. 
Tres de ellos, Disi, Isi, y Trisi, se encuentran sólos en el interior de 
un cráter del planeta y comentan: 
“veo 8 ojos”, dice Isi 
“veo 7 ojos”, añade Disi 
“veo sólo 5 ojos”, apostilla Trisi 
Si ninguno de ellos puede ver sus propios ojos, ¿cuántos tiene 
Trisi? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean zyx ,, el número de ojos respectivos de Isi, Disi y Trisi. 
Según el enunciado, ( ) ( ) ( ) 5102578
5
7
8
ª3ª2ª1
=⇒=⇒−+=+−+++⇒





=+
=+
=+
−+
zzyxzxzy
yx
zx
zy
ececec
 
Trisi tiene 5 ojos 
 
Se eligen dos números distintos de entre los cinco del conjunto {-3, -1, 0, 2, 4} y se 
multiplican. 
¿Cuál es la probabilidad de que ese producto sea 0 ? 
 
 
SOLUCIÓN 
La cantidad de posibilidades de elección es el número de combinaciones distintas de dos elementos del 
conjunto: 10
!312
!345
!3!2
!5
2
5
2,5 =××
××=
×
=





=C 
La cantidad de pares tales que el producto de ambos números sea 0 equivale a la cantidad de pares que 
contengan al número 0 : 4
!31
!34
!3!1
!4
1
4
1,4 =×
×=
×
=





=C 
En conclusión, la probabilidad pedida es ===
5
2
10
4
P 
0,4 
 
Se ordenan de menor a mayor todos los números que se forman reordenando de 
alguna forma los dígitos del 1 al 7 sin repetir ninguno. 
Concretamente, el menor de todos estos números es 1234567 y el mayor es 
7654321. 
Halla el número que ocupa la posición 2016. 
 
 
SOLUCIÓN 
La cantidad de números que pueden escribirse es el número de permutaciones de siete cifras distintas: 
5040!77 ==P números. 
La misma cantidad hay que empiecen por cada cifra concreta, pues se reordenarán las seis restantes: 
720!66 ==P 
Como 57672022016 +×= , el número citado estará en la posición 576 de los empezados por 3 ya que 
antes estarán todos los empezados por 1 y por 2 : 
1234567 … 1765432 2134567 … 2765431 3124567 … ??????3 … 
La misma cantidad hay que empiecen 3 y tengan en tercer lugar otra cifra concreta, pues se reordenarán las 
cuatro restantes: 24!44 ==P 
Como 024496 +×= , el número citado estará en la posición última posición de los empezados por 365 ya 
que antes estarán todos los empezados por 1, por 2 , por 4 y por 5 excepto el último. 
El número que ocupa la posición 2016 es 
3657421 
 
Hoy, el producto de las edades de Manolo y de su hijo Luis es 2015. 
Si Manolo cumple los años en febrero y Luis en abril, ¿qué edad tenía Manolo cuando 
nació Luis? 
 
 
SOLUCIÓN 
El dato de los meses de nacimiento es para que los dos tengan las edades adecuadas al año (este problema 
está propuesto en un mes posterior a abril). 
Como 311352015 ××= , la única solución factible es que Manolo tenga 65135 =× años y Luis tenga 31 
años. 
La diferencia entre las edades es 343165 =− , que es la edad que tenía Manolo en el nacimiento de Luis. 
34 años 
 
En una granja hay gallinas y cerdos. El número de patas que se cuentan son 28 
más que el doble del número de cabezas. 
¿Cuántos cerdos hay? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si llamamos x al número de gallinas e y al número de cerdos, el número de cabezas es yx + y el número 
de patas es yx 42 + 
El enunciado nos dice que ( ) 1428222284222842 =⇒=⇒++=+⇒+×+=+ yyyxyxyxyx 
Hay 14 cerdos 
 
¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un número al azar entre 1000 y 9999, el producto de sus 
cifras sea múltiplo de 3? 
 
 
SOLUCIÓN 
Hay 9000 números y vamos a hallar aquellos en los que el producto de sus cifras no es múltiplo de 3 : son 
todos los de cuatro cifras que pueden formarse con las cifras 8,7,5,4,2,1,0 y tales que su primera cifra no 
sea nula, porque no pueden tener ninguna de las cifras 9,6,3 
Que empiecen por cada una de las cifras anteriores hay una cantidad igual al número de variaciones con 
repetición de siete cifras tomadas de tres en tres: 343733,7 ==VR 
Como pueden escribirse con seis cifras diferentesrepresentando las unidades de millar, números de cuatro 
cifras cuyo producto de sus cifras no es múltiplo de 3 hay, en total, 205834366 3,7 =×=×VR 
Por lo tanto, como la probabilidad de elegir al azar un número de cuatro cifras cuyo producto de sus cifras no 
sea múltiplo de 3 es 
1500
1157
532
8913
532
891332
9000
6942
9000
2058
1
9000
2058
' 32323 =××
×=
××
×××==−=⇒= PP es la 
probabilidad de elegir al azar un número de cuatro cifras cuyo producto de sus cifras sea múltiplo de 3 
1157/1500 = 0,77 
 
En un triángulo rectángulo la bisectriz de uno de sus ángulos agudos divide 
al lado opuesto en dos segmentos de longitudes 1 y 2 
¿Cuál es la longitud de la bisectriz? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos x a la longitud de la bisectriz y c al cateto adyacente al ángulo 
donde dibujamos la bisectriz, cuyo valor es α2 . El otro cateto vale 321 =+ 
En los dos triángulos rectángulos que aparecen se verifica que 
c
tg
1=α y 
c
tg
3
2 =α 
Entonces, 32332
3
3
1
1
1
23
1
2
2 2222
2
2 =⇒=−⇒=−⇒
−
×
=⇒
−
×= ccc
c
c
c
ctg
tg
tg
α
αα 
Y, por el teorema de Pitágoras, 24311 222 =⇒=+=+= xcx 
La bisectriz mide 2 unidades lineales 
 
¿Cuántos números naturales verifican que, al quitarles la cifra de las unidades, el nuevo 
número formado con esta operación es 14 veces más pequeño que el original? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos Ac al número inicial donde c es la última cifra. 
Es evidente que al quitarle a cAAc += 10 la última cifra se transforma en el número A 
El enunciado nos dice que cAcAA
cA
A =⇒+=⇒+= 41014
14
10
 
Como c es una cifra, y múltiplo de 4 , las únicas posibilidades son 



=⇒==
=⇒==
282,8
141,4
AcAc
AcAc
 por lo que la 
condición del problema la cumplen 
2 números naturales 
 
Si 
calcula S2016 en forma de fracción irreducible 
 
 
SOLUCIÓN 
Tenemos en cuenta que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒+×+×=+×+×
−+=
+×+
−
+× 21
2
21
2
21
1
1
1
nnnnnn
nn
nnnn
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )




+×+
−
+×
×=
+×+×
⇒
21
1
1
1
2
1
21
1
nnnnnnn
 
Entonces, 





×
−
×
×=
×× 32
1
21
1
2
1
321
1
, 





×
−
×
×=
×× 43
1
32
1
2
1
432
1
, 





×
−
×
×=
×× 54
1
43
1
2
1
543
1
, … 
De lo anterior se deduce que ( ) ( ) =+×+×++××+××= 21
1
.........
432
1
321
1
nnn
Sn 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )




+×+
−
+×
+
+×
−
×−
++
×
−
×
+
×
−
×
+
×
−
×
×=
21
1
1
1
1
1
1
1
......
54
1
43
1
43
1
32
1
32
1
21
1
2
1
nnnnnnnn
 y, simplificando, queda ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⇒+×+×
+=
+×+×
−+×+×=





+×+
−
×
×=
214
3
212
221
2
1
21
1
21
1
2
1 2
nn
nn
nn
nn
nn
Sn 
( )
( ) ( )214
3
+×+×
+×=
nn
nn
Sn 
Por lo tanto, =
×
×××=
×××
××××=
××
×=
10092017
673732
1009220172
6733732
201820174
20192016 32
2
25
2016S 
508788 / 2035153 
 
Si las dos raices de la ecuación 
 son números primos, ¿cuál es la suma de las cifras de n ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si las raices de 0852 =+− nxx son a y b se cumple que aba ⇒=+ 85 y b tienen distinta paridad, por lo 
que uno de ellos es primo y par: 832 =⇒= ba 
Entonces, como el producto de las raices es el término independiente, =++⇒=×=×= 661166832ban 
13 
 
Sean tres números naturales distintos entre sí tales que la suma de los 
productos de cada uno de los pares que pueden formarse es igual al 
producto de los tres. 
¿Qué valores puede tomar la suma de los tres? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean zyx ,, tres números naturales distintos entre sí. 
Suponemos que zyx >> y establecemos esta condición para evitar repetición de análisis de posibles 
resultados, dada la simetría entre las tres variables. 
Según el enunciado, xyzyzxzxy =++ 
1=z es imposible, porque implicaría que 0=+ yx . Por la misma razón, 1≠x e 1≠y . Los tres números 
son mayores que 1 
• Si ( )
2
2
2222222222
−
=⇒=−⇒=−⇒=+⇒=++⇒=
y
y
xyxyyxxyxyyxxyyxxyz 
o Si 63 =⇒= xy 
o Si yxy ==⇒= 44 : No cumple que yx ≠ 
o Si yxy <⇒> 4 , por lo que no se cumplen las condiciones 
• Si ( )
32
3
3323322333333
−
=⇒=−⇒=−⇒=+⇒=++⇒=
y
y
xyxyyxxyxyyxxyyxxyz 
o Si yxy <⇒> 3 , por lo que no se cumplen las condiciones 
• Si ( ) ⇒=−−⇒=−−⇒−=+⇒=++⇒> yzxzyyzyzxzxyxyzxyxyzyzxzxyzyzxzxyz 3 
( )( ) ( ) zzy
yz
xyzxzzy
−−
=⇒=−−⇒
1
1 y se verifica siempre que si yxy <⇒> 4 , no 
cumpliéndose las condiciones 
Por lo tanto, los únicos valores posibles son 6,3,2 === xyz y su suma es =++=++ 236zyx 
11 
 
En una reunión de 500 diplomáticos sabemos que 450 de ellos hablan inglés, 390 
hablan francés, 380 hablan español y 290 hablan alemán. 
¿Cuál es el mínimo número de diplomáticos que podemos asegurar que hablan los 
cuatro idiomas? 
 
 
SOLUCIÓN 
Vamos a analizar, en todo momento, la situación más adversa en cuanto al conocimiento de idiomas: 
Supongamos que los 50450500 =− diplomáticos que no saben inglés saben, sin embargo, francés y los 
110390500 =− diplomáticos que no saben francés saben, sin embargo, inglés. 
Deducimos entonces que hay 16011050 =+ diplomáticos que no saben francés e inglés simultáneamente. 
Si los 120380500 =− diplomáticos que no saben español se encuentran entre los 340160500 =− que 
saben, a la vez, francés e inglés tendremos 28012011050 =++ diplomáticos que no conocen, a la vez, 
inglés, francés y español. 
Por último, y siguiendo un razonamiento similar a los anteriores, si los 210290500 =− diplomáticos que no 
saben alemán se encuentran entre los 220280500 =− que saben, a la vez, francés, inglés y español 
tendremos 49021012011050 =+++ diplomáticos que no conocen, a la vez, inglés, francés, español y 
alemán. 
Por tanto sólo podemos asegurar que hablan los cuatro idiomas, como mínimo, 
10 diplomáticos 
 
La figura adjunta muestra siete regiones delimitadas por las intersecciones de 
tres círculos. 
Se escribe un número entero en cada región de manera que sea la suma de 
los números escritos en las regiones contíguas, que son las que tienen algún 
arco común con la indicada. 
Teniendo en cuenta los dos números ya señalados, ¿qué número hay que 
colocar en la región central, pintada de rojo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Señalando todas las regiones tenemos que 
( ) =−+=⇒



+=
−=
⇒



+=
=+
⇒





+=
+=
+=+
⇒







++=
+=
+=
+=
33
3
3
3
23
3
23
21
2
1
x
yx
y
yx
yy
yx
tsy
yts
yx
tsy
yt
ys
 
0 
 
¿Cuál es mayor capicúa de cuatro cifras divisible por 15? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si es divisible por 15 lo es por 5 y como es capicúa necesariamente debe acabar y empezar por 5 para que 
tenga cuatro dígitos. 
Debe ser, entonces, de la forma 55aa 
Al ser divisible por 15 lo es por 
3
102
31023553
+=⇒=+⇒=+++⇒ annanaa , número natural. 
El mayor valor de la cifra a que hace que n sea natural es 8
3
1072
7 =+×=⇒= na 
En conclusión, el capicúa pedido es 
5775 
 
Sean a , b , c , d números naturales tales que ad = b 2 + bc + c 2 
Demuestra que 
 
es un número compuesto. 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea 02222 >+++= dcbaN , número natural por ser suma de potencias de números naturales. 
Teniendo en cuenta el enunciado, ⇒+−+=⇒−=+⇒++= 222222 dbcadaNbcadcbcbcbad 
( )⇒++−++=−−−−++=⇒−−++=⇒ 2222222222 2222 cbcbdadacbcbbcdadaNadbcdadaN 
( ) ( )22 cbdaN +−+=⇒ 
O sea, ( ) ( ) ( )( )cbdacbdacbdaN −−++++=+−+= 22 , por lo que 
N = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 es compuesto 
 
Sabiendo que 3-y = 2 y que 2x+1 = 18, halla el valor exacto de la expresión 
 
 
SOLUCIÓN 
Como 
3log
2log
2log3log23 −=⇒=×−⇒=− yyy 
Además, ( ) ( ) ⇒+×=+×=×==+⇒=×+⇒=+ 1
2log
3log2
2log
2log3log2
2log
23log
2log
18log
118log2log1182
2
1 xxx 
2log
3log2×=⇒ x 
Entonces, ==+−=





−××−





−××
=−
2
3
2
2
1
3log
2log
2log
3log2
3log
2log
2log
3log2
11
xy
xy
 
1,5 
 
Un círculo de radio unidad posee, en su interior, cuatro arcos del mismo radio 
que encierran un cuadrado cuyos vértices son los puntos medios de los arcos 
como se ve en la figura adjunta. 
¿Cuál es la longitud del lado delcuadrado? 
 
 
SOLUCIÓN 
Dibujamos el cuadrado cuyos lados son tangentes al círculo en los puntos de intersección de los arcos y cuyos 
vértices son los centros de los citados arcos, dividiéndolo entonces en cuatro cuadrados iguales todos de 
lado unidad: 
 
Tomamos uno de ellos y llamamos x a la longitud del lado del cuadradito azul 
que contiene 
Si d es la longitud de la diagonal del cuadradito azul, d+1 es la longitud de 
la diagonal del cuadrado. 
Aplicando entonces el teorema de Pitágoras en el cuadrado al triángulo 
rectángulo formado por lados y diagonal tenemos ( ) ⇒=+=+ 2111 222d 
1221 −=⇒=+⇒ dd 
Volvemos a usar el teorema de Pitágoras en el cuadradito azul en el triángulo 
rectángulo formado por lados y diagonal y obtenemos ( ) ( ) ⇒−=⇒−=+=
2
12
12
2
22222 xxxd 
( )
2
22
2
122
2
12 −=⇒−×=−=⇒ xx 
Como el lado del cuadrado azul original es el doble del anterior, la longitud de su lado es =−×=
2
22
22x 
2 – √2 
 
Halla todos los números naturales m tales que 
 
es un cuadrado perfecto 
 
 
SOLUCIÓN 
Si 2121 1 =+×⇒= −mmm , que no es cuadrado perfecto. 
Si 
21 121 amm m =+×⇒> − es impar, por lo que a es impar. Supongamos que 12 += xa , siendo x un 
número natural. 
Entonces, ( ) ( ) ( )⇒+××=+×=×⇒++=+==+×⇒> −− 124214412121 2212221 xxxxmxxxamm mm 
( )12 3 +×=×⇒ − xxm m 
Es decir, el número 
32 −× mm es producto de dos números naturales consecutivos. Al ser impar uno de ellos 
m no puede ser una potencia de 2 y, además, uno de los dos factores consecutivos debe ser un divisor 
impar de m 
• Si 132323 333 ×=×=×⇒= −−mmm 
• Si 452525 353 ×=×=×⇒= −−mmm , que cumple las condiciones del enunciado, pues 
2415 9811162125125 ==+×=+×=+× − 
• Si 163862626 363 ×=×=×=×⇒= −−mmm 
• Si 1672727 373 ×=×=×⇒= −−mmm 
• Si 3292929 393 ×=×=×⇒= −−mmm 
• … 
y vemos que, aun eligiendo como factor impar al máximo divisor impar de m , el otro factor es cada vez más 
grande que el indicado. 
Por lo tanto el único valor de m , para el que la expresión dada es un cuadrado perfecto, es 
5 
 
Eliminando uno de los n primeros números naturales, el promedio de los restantes es 
4,75. 
¿Qué número se ha eliminado? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos nx ≤≤1 al número buscado. 
Como la suma de la progresión aritmética formada por los n primeros números naturales es 
( )
2
1
...321
+×=++++ nnn , el enunciado dice que 
( )
75,4
1
2
1
75,4
1
...321 =
−
−+×
⇒=
−
−++++
n
x
nn
n
xn
 
Entonces, 
019417205,925,85,95,9275,4
22
2 222
2
=+−−⇒=+−−⇒−=−+⇒=
−
−+
xnnxnnnxnn
n
xnn
 
Ahora debemos imponer que n y x deben ser naturales tales que nx ≤≤1 
Aplicando la fórmula de las soluciones de una ecuación de segundo grado obtenemos 
( )
4
3213717
4
19481717 2 x
n
x
n
+±=⇒+−×−±= 
El radicando debe ser cuadrado perfecto impar: 
32
137
32137
2
2 −=⇒=+ axax y 13≥a impar y del tipo 
34 += ka para el signo positivo de la fórmula o 14 += ka para el signo negativo de la fórmula hasta 
17<a 
Posibilidades: 
• 1
4
1317
1
32
137169
13 =−=⇒=−=⇒= nxa . No tiene sentido porque no habría números para 
hacer el promedio 
• 8
4
1517
75,2
32
137225
15 =+=⇒=−=⇒= nxa . No tiene sentido al no ser x natural 
• 9
4
1917
7
32
137361
19 =+=⇒=−=⇒= nxa . Valores todos válidos y coherentes con el 
enunciado 
• 10
4
2317
25,12
32
137529
23 =+=⇒=−=⇒= nxa . No tiene sentido al no ser x natural y, 
además, sucede que nx > para este valor y los siguientes 
En resumen, el número eliminado es el 
7 
 
Dado un trapecio ABCD se dibuja el segmento BE paralelo al lado 
CD del trapecio. 
Si la superficie del trapecio ABCE es de 12 cm2, calcula la 
superficie del triángulo ACD 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos h a la altura común del trapecio ABCE y del triángulo ACD 
La superficie del trapecio ABCE es 12
2
=×+= hAEBCSABCE cm
2
 y la superficie del triángulo ACD es 
h
EDAE
h
AD
SACD ×
+=×=
22
 
Como CDBE // y EDBC // se verifica que ABCEACD Sh
BCAE
h
EDAE
SBCED =×+=×+=⇒=
22
, por lo 
que la superficie del triángulo es == ABCEACD SS 
12 cm2 
 
Descompón en factores primos el número 
 
 
SOLUCIÓN 
Evidentemente podemos operar y, siendo 8059981865320201320071995 =+××=N , obtener los 
factores probando por sucesivos primos, pero esto nos llevaría excesivo tiempo. Lo hacemos de otra manera. 
Si hacemos ( ) ( ) ⇒+−+−=++××−=⇒= 320726123206122007 223 aaaaaaaNa 
320726 23 +−−=⇒ aaaN 
Probamos por la regla de Ruffini para los divisores de 320 y obtenemos, en el primer caso de éxito, que 
 
De lo anterior, ( ) ( )8024320726 223 −−×−=+−−= aaaaaaN 
Resolviendo 08022 =−− aa obtenemos que 



=
−=
⇒±=+±=
10
8
918011
a
a
a son las raíces del polinomio 
de segundo grado, por lo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10848024320726 223 −×+×−=−−×−=+−−= aaaaaaaaaN 
En resumen, como hemos hecho 2007=a , una primera descomposición factorial es 
( ) ( ) ( ) 1997201520031020078200742007 ××=−×+×−=N 
Los números anteriores son sencillos de factorizar: 
• 2003 es primo 
• 311352015 ××= 
• 1997 es primo 
Por lo tanto, 
N = 5 x 13 x 31 x 1997 x 2003 
 
Se marcan varios puntos, todos distintos, en una recta y se consideran todos los intervalos abiertos que 
pueden construirse con cada par de esos puntos. 
Si uno de los puntos está en el interior de 80 de esos intervalos y otro de los puntos está en el interior de 90, 
¿cuántos puntos se han marcado en la recta? 
 
 
SOLUCIÓN 
Marcamos n puntos distintos (ordenados de menor a mayor) naaaa ,,...,, 321 en una recta: 
A la vista del esquema, está claro que 
• 1a no está en ningún intervalo 
• 2a está en los intervalos ( )31 , aa , ( )41 , aa , …, ( )naa ,1 . Es decir, en 2−n intervalos 
• 3a está en los intervalos ( )41 , aa , ( )51 , aa , …, ( )naa ,1 y ( )42 , aa , ( )52 , aa , …, ( )naa ,2 . Es decir, 
en ( )22 −× n intervalos 
• … 
• ma está en los intervalos ( )11 , +maa , ( )21 , +maa , …, ( )naa ,1 ; ( )12 , +maa , ( )22 , +maa , …, ( )naa ,2 ; ...; 
( )11 , +− mm aa , ( )21 , +− mm aa , …, ( )nm aa ,1+ . Es decir, en ( ) ( )mnm −×−1 intervalos, siendo nm ≤≤1 
Entonces, consideramos dos puntos xa , contenido en 80 intervalos, y ya , contenido en 90 intervalos. 
Se verifica que 
( ) ( )
( ) ( ) 

=−×−
=−×−
901
801
yny
xnx
. Veamos las posibilidades: 
• ( ) ( ) 0172839082182;280;11 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante 
de esta ecuación 62011724832 =×−=∆ no es cuadrado perfecto y⇒ no es entero: imposible 
• ( ) ( ) 0133449043143;340;21 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante 
de esta ecuación 14041334442 =×−=∆ no es cuadrado perfecto y⇒ no es entero: imposible 
• ( ) ( ) 0115269025125;520;41 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante 
de esta ecuación 2161154262 =×−=∆ no es cuadrado perfecto y⇒ no es entero: imposible 
• ( ) ( ) 0112239022122;616;51 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante 
de esta ecuación 





=−=
=+=
⇒
±=⇒=×−=∆
7
2
923
16
2
923
2
8123
811124232
y
y
y , coherentes ambas 
• ( ) ( ) 0109209019119;910;81 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante 
de esta ecuación 361094202 −=×−=∆ es negativo y⇒ no es entero: imposible 
Las posibilidades 8;101 =−=− xnx ; 5;161 =−=− xnx ; 4;201 =−=− xnx ; 2;401 =−=− xnx y 
1;801 =−=− xnx repiten los valores de n , por lo que su estudio saca las mismas conclusiones que en los 
cinco casos anteriores. 
La única posibilidad coherente es, entonces, que 22=n con 6=x o 17=x (que se obtiene en el análisis de 
uno de los cinco últimos casos) e 7=y o 16=y 
En resumen, el número de puntos que se han marcado en la recta en todos los casos factibles es 
22 
 
N es el menor número entero positivo cuyas cifras suman 2015. 
¿Cuánto suman las cifras del número N + 1 ? 
 
 
SOLUCIÓN 
El menor número debe tener la menor cantidad posible de cifras por lo que deberá tener la mayor cantidad 
de cifras iguales a 9 
Dividimos 2015 entre 9 y obtenemos 223 de cociente y 8 de resto. 
Por lo tanto el menor número debetener 223 nueves y un 8 . Será el número 9......98
2231 cifras+
 
De lo anterior, 0......0919......981
22312231 cifrascifras
N
++
=+=+ y la suma de sus cifras es 
9 
 
Halla todos los pares de números reales (x,y) que verifican la ecuación 
 
 
SOLUCIÓN 
Completamos cuadrados en el polinomio: ( ) ( ) ( ) ( ) =−+++=++ xysenxysenxysenxxxysenxx 2222 1212 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xyxysenxxysenxysenxysenxx 22222 cos12 ++=−+++= 
La ecuación queda, entonces, ( )( ) ( ) ( )( ) 

=
=+
⇒=++
0cos
0
0cos22
xy
xysenx
xyxysenx , cumpliéndose ambas 
afirmaciones a la vez. 
Si ( ) Zkkxyxy ∈∀+=⇒= ,
2
0cos ππ 
Estudiamos los casos para la primera igualdad deducida: 
• Si nk 2= es par, ( ) ⇒=+⇒=




+⇒=




 ++⇒=+ 010
2
02
2
0 xsenxnsenxxysenx
πππ 
1−=⇒ x . Entonces, Znnynynynxy ∈∀+=⇒+−=⇒+=−⇒+= ,2
2
3
2
2
2
2
2
2
ππππππππ 
• Si 12 += nk es impar, ( ) ( ) ⇒=




 ×+++⇒=+ 012
2
0 ππ nsenxxysenx 
10
2
3
02
2
3 =⇒=




+⇒=




 ++⇒ xsenxnsenx πππ . Entonces, 
( ) Znnynynxy ∈∀+=⇒+=⇒×++= ,2
2
3
2
2
3
12
2
ππππππ 
Concluyendo, los pares pedidos son 
(±1 , 3π/2 + 2nπ), para cualquier n entero 
 
En el aula de Plástica se están haciendo insectos voladores de papel. Con un 
cuadrado, de 6 cm de lado, se hacen las alas azules de uno de ellos. 
La zona azul, que forma las alas, del cuadrado está limitada por un semicírculo y 
dos arcos de cuadrante. 
Halla la superficie de una de las alas. 
 
 
SOLUCIÓN 
Si dividimos la figura en los cuatro cuadraditos iguales que se ven vemos que cada 
uno de ellos está formado por una parte azul y otra roja rotuladas con los dígitos 
1 y 2 que designan, respectivamente, a partes de la misma superficie que hay en 
todo el cuadrado. 
Como hay dos partes 1 y dos partes 2 de cada color, la superficie blanca y la 
superficie azul, encerradas por el cuadrado, tendrán el mismo área. 
De ahí, el área de la parte azul es la mitad de la del cuadrado: 18
2
66 =× cm2 
Por consiguiente la superficie de una de las alas será =
2
18
 
9 cm2 
 
La función representada en la figura adjunta es y = f (x ) 
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f (f (f (x ))) = 0 ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Es fácil deducir que la función que nos muestra la gráfica es 





>
≤<−−
−≤+
=
0
02
24
)(
xsix
xsix
xsix
xf 
Entonces, ( )
( )
( ) ( ) ⇒





>
≤<−
−≤+
=





⇒
>
≤<−−−
−≤++
=
0
02
28
)(
0
02
244
)(
xsix
xsix
xsix
xff
xsix
xsix
xsix
xff 
( )( )
( )
( )( )





>
≤<−−
−≤+
=⇒





>
≤<−−
−≤++
=⇒
0
02
212
)(
0
02
248
)(
xsix
xsix
xsix
xfff
xsix
xsix
xsix
xfff 
( )( ) 0)( =xfff se cumple si 
• ( )( ) 12012)( −=⇒=+= xxxfff cuando 2−≤x 
• ( )( ) 00)( =⇒=−= xxxfff cuando 02 ≤<− x 
• ( )( ) 0)( == xxfff cuando 0>x (¡imposible!) 
• 40404)( −=⇒=+⇒=+= xxxxf cuando 2−≤x y, asi, ( )( ) ( )( ) ( ) 000)4( ===− ffffff 
• ( ) 80808)( −=⇒=+⇒=+= xxxxff cuando 2−≤x y, asi, ( )( ) ( ) 00)8( ==− ffff 
Las soluciones de la ecuación son 12− , 8− , 4− y 0 : 
4 soluciones 
 
Encuentra todas las funciones naturales de variable natural f tales que 
para todo número natural n 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ( )( ) ( )( )( ) ⇒=++ nnfffnffnf 3 
Si hacemos ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 11113131111 ===⇒=×=++⇒= ffffffffffffn al ser las 
imágenes tres números naturales que suman 3 
Si hacemos ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 22226232222 ===⇒=×=++⇒= ffffffffffffn al ser las 
imágenes tres números naturales que suman 6 y, necesariamente, ( ) ( )12 ff ≠ : si fueran iguales 
( ) ( )( ) ( )( )( )222 ffffff ++ valdría 3 y no 6 . 
Siguiendo el mismo razonamiento obtenemos que ( ) 11 =f , ( ) 22 =f , ( ) 33 =f , …, ( ) Nnnnf ∈∀= , 
La única función que cumple la condición del problema es 
la función natural de variable natural IDENTIDAD: f (n ) = n 
 
Estamos en el año 2016. 
Calcula, DE MEMORIA, la raiz cuadrada de las sumas de las cuatro operaciones 
básicas donde intervenga exclusivamente, dos veces en cada operación, ese año. 
 
 
SOLUCIÓN 
Si hacemos 2016=n , en general ( ) ( ) ( ) ( ) =++=+++=+×+−++ 12102/ 22 nnnnnnnnnnnn 
( ) Nnnn ∈∀+=+= ,11 2 
Por tanto, el resultado de la operación es 
2017 
 
Las distancias de un punto P a tres de los vértices de un rectángulo son, como 
se ve en la figura, 3, 6 y 10 cm. 
Halla la distancia de P al cuarto vértice. 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos x a la distancia pedida en centímetros. 
Dividimos el rectángulo en cuatro rectángulos al dibujar dos segmentos, desde 
un lado al opuesto, paralelos a los lados pasando por P . Señalamos las 
longitudes de sus lados con los correspondientes valores dcba ,,, 
Esos cuatro rectángulos tienen, como diagonales, a los segmentos con las 
distancias dadas y con la pedida. 
Aplicando el teorema de Pitágoras en cada uno de ellos obtenemos: 
( ) ( ) ( )
⇒



=+
=+
⇒



=+
−+=−+=+−+++
⇒







=+
=+
=+
=+
−+
222
22
222
222222222ª2ª3ª1
222
222
222
222
1279361003610
6
3
10
xcb
cb
xcb
dadbca
xcb
db
da
ca
ec
 
==⇒=⇒ 1271272 xx 
11,27 cm 
 
Halla los pares de números enteros ( x , y ) que verifican la ecuación 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ( ) 4745202720542754 =−×−⇒+=+−−⇒=−− yxyxxyyxxy 
Como 47 es primo, las posibilidades existentes es que uno de los factores sea 1± y el otro 47± 
Entonces: 
• ⇒



=
=
⇒



=−
=−
51
6
474
15
y
x
y
x
el par ( )51,6 verifica la ecuación 
• ⇒



−=
=
⇒



−=−
−=−
43
4
474
15
y
x
y
x
el par ( )43,4 − verifica la ecuación 
• ⇒



=
=
⇒



=−
=−
5
52
14
475
y
x
y
x
el par ( )5,52 verifica la ecuación 
• ⇒



=
−=
⇒



−=−
−=−
3
42
14
475
y
x
y
x
el par ( )3,42− verifica la ecuación 
(-42 , 3); (4 , -43); (6 , 51); (52 , 5) 
 
Halla x sabiendo que 
 
 
SOLUCIÓN 
Teniendo en cuenta que 
( )
55
2
10101
10...21 =×+=+++ según la fórmula de la suma de una progresión 
geométrica, ⇒=×++×+⇒=+++ 11010log10...10log210log11010log...10log10log 102 xxxxxx 
( ) ⇒=⇒==⇒=×⇒=×+++⇒ 102
55
110
10log11010log5511010log10...21 2xxxx 
x = √10 
 
Rellena los huecos que faltan: 
 
 
SOLUCIÓN 
La solución es cuestión de lógica. Empezando por las veces que aparece el cero y casi todas las demás cifras 
(una vez, en la mayoría de los casos es lo más lógico),…. Se llega a 
 
Escribimos todos los números del 1 al 9999 de forma consecutiva formando el número 
Halla la cifra que ocupa el lugar 2016 en dicho número. 
 
 
SOLUCIÓN 
El número N está formado por 9 números de una cifra, 90 números de dos cifras, 900 números de tres 
cifras y 9000 números de cuatro cifras. En total, tiene 3888949000390029019 =×+×+×+× cifras, y a 
partir de la siguiente cifra a la que ocupa el lugar 18929019 =×+× y hasta la cifra que ocupa el lugar 
2889390029019 =×+×+× son todos los valores añadidos de tres cifras y la cifra que ocupa el lugar 2016 
está en el lugar 18271892016 =− desde el inicio de esos valores. 
Hay 900 valores de tres cifras añadidos ( 2700 cifras) y, cada 3009/2700 = cifras cambia la de las centenas. 
Visto que se trata del que ocupa el lugar 2730061827 +×= , la cifra de las centenas en donde esta la cifra 
buscada es un 7 . A partir de ahí, deberíamos marcar 93/27 = números completos, siendo la cifra de las 
unidades del último ( 708700,708 ade ) el que nos indica la buscada. 
La cifra es 
8 
 
La media geométrica de tres números es 3 y la media 
geométrica de otros tres es 12. 
¿Cuál es la media geométrica de los seis? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean cba ,, los tres primeros números: 33 =×× cba 
Sean fed ,, los otros tres números: 123 =×× fed 
Entonces, =×=×=×××××=×××××=××××× 12312333666 fedcbafedcbafedcba 
== 36 
6 
 
Halla 
 
 
SOLUCIÓN 
01616...16161616...161616 22 =−−⇒+=++++=⇒+++= xxxxx 
Entonces, 
( )
2
651
2
16411
0162
±=
−×−±
=⇒=−− xxx 
En el contexto del enunciado, como =+=⇒>
2
651
0 xx 
4,5311Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, 
y las longitudes de sus alturas también. 
Si un lado del triángulo mide 4 cm, halla las longitudes de los otros dos. 
 
 
SOLUCIÓN 
Nombrando lados y alturas del triángulo con las correspondientes letras 
tenemos, según indica el enunciado y si x es la diferencia de la progresión 
aritmética de los lados e y es la diferencia de la progresión aritmética de 
las alturas, que 



+=
+=
xac
xab
2
 y 



+=
+=
ymp
ymn
2
 según la correspondencia 
(proporción inversa: x e y deben tener distinto signo) entre lados y 
alturas. 
El área del triángulo puede escribirse así: 
( ) ( ) ( ) ( )
⇒
+×+=+×+=×⇒×=×=×
2
22
22222
ymxaymxamapcnbma
 
⇒=++=++⇒+++=+++=⇒ 0422
2
422
22
xyxmayxyxmay
xyxmayamxyxmayamam
 
00 =⇒=⇒ xxy o 0=y , pero en ambos casos se deduce que el otro parámetro debe ser también nulo. 
Por tanto 0== yx y los tres lados son iguales, siendo el triángulo equilátero. Los otros lados miden 
4 cm y 4 cm 
 
Blanca tiene un dado clásico, con las caras numeradas con 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 
Lourdes tiene un dado especial: sus seis caras están numeradas con 2, 2, 2, 5, 
5, 5. 
Si lanzan los dos dados a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que Blanca saque 
un número superior al que saque Lourdes? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si llamamos Bn al suceso “saca Blanca el número n” y nL < al suceso “saca Lourdes un número menor que 
n”, la probabilidad de que gane Blanca será ( ) ( ) +<×+<×= )2(2)1(1)( LPBPLPBPBlancaganarP 
( ) ( ) ( ) ( ) =<×+<×+<×+<×+ )6(6)5(5)4(4)3(3 LPBPLPBPLPBPLPBP 
=+=+×+×+×=×+×+×+×+×+×=
6
1
12
3
6
1
2
1
6
1
2
1
6
1
2
1
6
1
1
6
1
6
3
6
1
6
3
6
1
6
3
6
1
0
6
1
0
6
1
 
5/12 
 
Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son x cm e y cm, y 
la hipotenusa mide x + y – 4 cm 
Halla la longitud del radio de su circunferencia inscrita. 
 
 
SOLUCIÓN 
Nombramos los vértices y el incentro, centro de la circunferencia 
inscrita, y llamamos r a su radio. 
En el dibujo aparecen tres triángulos CIBBIAAIC ,, tales quye la 
siuma de sus áreas es igual al área del triángulo rectángulo ABC , 
rectángulo en A : ⇒=++ ABCCIBBIAAIC ÁreaÁreaÁreaÁrea 
( ) ( )
422
4
22
4
22 −+
=⇒×=×−+++⇒×=×−++×+×⇒
yx
xy
ryxryxyx
yxryxryrx
 
Por otro lado, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC , ( ) ⇒+=−+ 2224 yxyx 
8441688288216 2222 −+=⇒−+=⇒+=−−+++⇒ yxxyyxxyyxyxxyyx 
Ssustituyendo esta última expresión en la obtenida para r , 
( )
⇒
−+
−+×=
−+
−+=
−+
=
422
4222
422
844
422 yx
yx
yx
yx
yx
xy
r 
r = 2 cm 
 
Halla la función real de variable real tal que 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea ( ) { }1,0,
1
1 −∈∀=





−
+ Rxx
x
fxf [1] 
Si tomamos el valor 
x−1
1
, ⇒
−
=












−
−−+




−
⇒
−
=












−
−
+





− x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
f
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 
xx
x
f
x
f
xx
x
f
x
f
−
=




 −+





−
⇒
−
=





−
−+





−
⇒
1
11
1
1
1
11
1
1
 [2] 
Y tomando el valor 
x
x 1−
, ⇒
−=












+−+



 −
⇒
−=












−−
+




 −
x
x
x
xx
f
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
1
1
111
1
1
11
 
( )
x
x
xf
x
x
f
11 −=+




 −
⇒ [3] 
Operamos ahora las tres expresiones: 
[1]+[3]-[2] ( ) ( ) ⇒
−
−−+=




 −−





−
−+




 −+





−
+⇒
xx
x
x
x
x
f
x
fxf
x
x
f
x
fxf
1
111
1
11
1
1
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) xx
xx
xf
xx
xx
xx
xxxxx
xx
xxxxx
xf
22
1112
1
111
2
2
3
2
3
2
2322
−
+−=⇒
−
+−=
−
−−+−−=
−×
−−×−+−×=⇒ 
La función es 
f (x) = (x3-x+1)/(2x2-2x) para xєIR, x≠0, x≠1 
 
¿Cuáles, de las siguientes proposiciones, son ciertas?: 
A) “C es cierta” 
B) “A es cierta” 
C) “E es falsa” 
D) “B es falsa” 
E) “1 + 1 = 2” 
 
 
SOLUCIÓN 
Si A fuera cierta, C sería cierta y, por tanto, E falsa. Esto es absurdo porque E es, evidentemente, cierta. 
De lo anterior se deduce que A es falsa, por lo que B y C también son falsas y D , por tanto, cierta. 
Son ciertas D y E 
 
Tres circunferencias de igual radio, tangentes entre sí, están inscritas en otra 
circunferencia de radio unidad. 
¿Cuánto miden los radios de esas circunferencias? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamando r al radio de los círculos interiores y dibujando las líneas que se 
muestran en la imagen aparece un triángulo equilátero de r2 unidades de 
lado y cuyo baricentro coincide con el centro de la circunferencia exterior. 
La longitud de la altura del triángulo la calculamos aplicando el teorema 
de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos mitades del equilátero: 
( ) rrrraltura ×==−= 332 222 
Por otro lado, como la distancia del baricentro a cada vértice son dos 
tercios de la mediana correspondiente, que en este caso coincide con la 
altura, ⇒=+××⇒××=×=− 13
3
2
3
3
2
3
2
1 rrralturar 
( ) ( )( ) ( )
( )
⇒
−××=
−××+×
−××=
+×
=⇒=×+×⇒=+××⇒
3
3323
332332
3323
332
3
333213
3
2
rrrr 
332 −×=r 
2 x √3 – 3 unidades de longitud 
 
Calcula las soluciones reales de la ecuación 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea 597 44 =+− xx . Hacemos 497 yx =− y 



=+
=+
⇒=
97
5
44
4
zy
zy
zx 
Entonces, ( ) yzzyyzzyzy 225252 22222 −=+⇒=++=+ 
Por otro lado, ( ) ( ) ⇒==++×++=++++=+ 625564644 42222442233444 zyzyyzzyzyyzzyzyzy 
( ) ⇒=+−+−⇒=+−×+⇒ 097625681006256225497 222222 zyzyyzzyyzyz 
( ) ( ) 192536125264252502645005281002 2222 ±=±=−±=⇒=+−⇒=+−⇒ yzyzyzyzzy 
De lo anterior salen las siguientes posibilidades: 
• 61925 =−=yz 
o 1=y , 6=z ; 6=y , 1=z : no cumplen la primera ecuación 5=+ zy 
o 2=y , 8133 4 ==⇒= xz y se cumplen todas las condiciones iniciales 
o 3=y , 1622 4 ==⇒= xz y se cumplen todas las condiciones iniciales 
• 441925 =+=yz 
o No hay valores de y , z que cumplan la primera ecuación 5=+ zy 
Por lo tanto, las únicas soluciones son 
x = 16, x = 81 
 
¿Cuántos polígonos regulares hay, obviado la longitud del lado, cuyos ángulos (en 
grados sexagesimales) interiores son números enteros? 
 
 
SOLUCIÓN 
El ángulo de un polígono regular de n lados mide exactamente 
n
º360
º180 − 
(según se puede ver en la imagen adjunta) por lo que el número de lados, para 
que el ángulo sea un valor entero positivo, debe ser cualquier divisor de º360 
mayor que 2 
Como 532360 23 ××= , los divisores de 360 mayores de 2 son 
360,180,120,90,72,60,45,40,36,30,24,20,18,15,12,10,9,8,6,5,4,3 
22 polígonos 
 
En un bombo de lotería quedan cuatro bolas, dos con número par y dos con número 
impar. 
Si damos vueltas al bombo y extraemos dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de que la 
suma sea impar? 
 
 
SOLUCIÓN 
Habrá suma impar si sacamos dos números de distinta paridad. Por lo tanto, llamando I a ‘sacar impar’ y P 
a ‘sacar par’ la probabilidad que nos piden es 
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
3
2
4
2
2
3
2
4
2
3
2
4
2
|| =××=×+×=×+×= IPPIPPIPPPP 
2/3 
 
Dado un número real a, se define el polinomio 
Halla todas sus raíces sabiendo que son reales y están en progresión aritmética. 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean dmmdm +− ,, las tres raíces, en progresión aritmética, del polinomio. Entonces 
( ) ( ) ( ) ( ) =−−×−×+−=+−+= dmxmxdmxaxaxxxP 102 23 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dmmdmxdmmdmdmmdmmxx +××−−×+×++×−+×−+−= 23 3 , de donde se obtiene 
que 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
⇒





−=−
−=−
−=
⇒





−=−
−=−
−=
⇒





=+××−−
−=+×++×−+×−
=−
×→
10
3
23
10
3
23
10
23
23
23
ª2ª2
23
22
mdm
mamdm
am
mdm
adm
am
dmmdm
admmdmdmmdm
am
m
 
020342034
2024
23
102
23 2323ª1ª2
3
2ª22ª2
ª1ª1
3
ª3ª2
=−−⇒=−⇒



+−=
−=
⇒



+−=
−=
⇒
−×→
×→
−
mmmm
mam
mam
mam
am
m
 
Probando por Ruffini se obtiene que ( ) ( )105422034 223 ++×−=−− mmmmm , y la única solución real de 
la ecuación obtenida es 2=m 
Como 39102810 22
2
23 ±=⇒=⇒−=−⇒−=−
=
dddmdm
m
 
En ambos casos las raíces pedidasson, entonces, dmmdm +− ,, cuyos valores son 
-1, 2, 5 
 
En el rectángulo ABCD de la figura P1 es el punto medio de 
DC ; P2 es el punto medio de AP1 ; P3 es el punto medio de 
BP2 , y P4 es el punto medio de CP3 
Halla la razón entre las áreas del cuadrilátero P1P2P3P4 y del 
rectángulo ABCD 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean a y b las dimensiones de los lados del rectángulo. 
Al ser 1P el punto medio de 
21
b
DPDC =⇒ 
Por lo tanto, 
42
2
1
ab
b
a
ÁreaADP =
×
= 
Como 2P es el punto medio de ⇒1AP la distancia de 2P al 
lado AB es 
2
a
 por lo que 
42
2
2
ab
a
b
Área BAP =
×
= 
También, por la razón anterior, la distancia de 2P al lado AD es ⇒
4
b
 la distancia de 2P al lado BC es 
⇒
4
3b
 la distancia de 3P al lado BC es 8
3b
 al ser 3P el punto medio de 2BP . Entonces, 
16
3
2
8
3
3
ab
b
a
Área CBP =
×
= 
Por último, la distancia de 2P al lado AB es ⇒
2
a
 la distancia de 3P al lado AB es 4
a
 al ser 3P el punto 
medio de 2BP , por lo que la distancia de 3P al lado DC es 4
3a
 y la distancia de 4P al lado DC es 
8
3a
 al ser 
4P el punto medio de 3CP . Por ello, 32
3
2
8
3
2
14
ab
ab
Área PCP =
×
= 
La superficie del cuadrilátero interior es, entonces, 
⇒−−−−=−−−−=
32
3
16
3
44143214321
abababab
abÁreaÁreaÁreaÁreaÁreaÁrea PCPCBPBAPADPABCDPPPP 
32
7
32
368832
4321
ab
abÁrea PPPP =
−−−−=⇒ 
La razón entre las dos superficies es 
7/32 
 
Si 
¿cuál es el mayor factor primo de n ? 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒××××=×+×+×+=+⇒×××=+ !13732!123!313732
!
!3 3333 nnnnnn
n
n
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+⇒××=××××=×××=+×+×+⇒ 26126272813237213732123 3233 nnnn 
2525 ==⇒ n 
El mayor factor primo de 25=n es 
5 
 
En un triángulo rectángulo se traza la altura que parte del ángulo recto y 
el triángulo queda dividido en dos triángulos, uno de los cuales tiene el 
triple de área que el otro. 
Si la hipotenusa del triángulo original mide 1 cm, ¿cuánto miden sus 
catetos? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean a y b los dos catetos, h la altura y x e y los segmentos en que 
queda dividida la hipotenusa por la altura citada: 1=+ yx 
Según el enunciado, xy
xhyh
3
2
3
2
=⇒××=× 
Entonces, 





=
=
⇒



=
=
⇒



=
=+
⇒



=
=+
cmy
cmx
xy
x
xy
xx
xy
yx
4
3
4
1
3
14
3
13
3
1
 
Según el teorema de la altura, cmhyxh
4
3
16
3
4
3
4
12 =⇒=×=×= 
En las condiciones anteriores aplicamos a sendos triángulos rectángulos el teorema de Pitágoras y 
obtenemos 
cmaahxa
2
1
4
1
16
4
16
3
16
1
4
3
4
1
22
2222 =⇒==+=






+




=⇒+= 
cmbbhyb
2
3
4
3
16
12
16
3
16
9
4
3
4
3
22
2222 =⇒==+=






+




=⇒+= 
1/2 cm y √3/2 cm 
 
Eli está haciendo un cuadrado mágico multiplicativo utilizando los números 1, 2, 4, 
5, 10, 20, 25, 50 y 100. 
Los productos de los números situados en cada fila, en cada columna y en las dos 
diagonales deben ser todos iguales. 
Ha comenzado como se ve en la figura. 
¿Qué número debe poner Eli en la casilla marcada con el signo de interrogación? 
 
 
SOLUCIÓN 
Como 100010000000001000000000100502520105421 3 =⇒=×××××××× es el valor de los 
productos de cada fila, columna o diagonal. 
De ahí, el último número de la primera fila debe ser 50
120
1000 =
×
 
Evidentemente, el 100 no puede estar nunca alineado ni con 20 ni con 50 , pues su 
producto con cualquiera de ellos rebasaría el valor común de los productos. En 
consecuencia, 100 debe estar en la casilla central de la última fila. 
Siguiendo la lógica, el valor de la casilla central es 10
1100
1000 =
×
de donde el valor de 
la primera casilla de la tercera fila es 2
5010
1000 =
×
 y el de la última casilla de la 
tercera fila es 5
2100
1000 =
×
 
Para acabar, los valores que faltan por rellenar en las dos casillas de la fila central 
son, respectivamente, 25
220
1000 =
×
 y 4
505
1000 =
×
, con lo que queda completado el cuadrado mágico: 
El valor pedido es 
4 
 
El hexágono regular inscrito en la estrella tiene un área de 12 cm2 
¿Cuál es el valor del área, en cm2, de la estrella? 
 
 
SOLUCIÓN 
Observamos que el hexágono está compuesto de 6 triángulos equiláteros iguales 
(en verde), por lo que el área de cada uno será de 2
6
12 = cm2 
Si a mide cada lado de dichos triángulos y h la altura, aplicando el teorema de 
Pitágoras a uno de los triángulos rectángulos en los que la altura divide a cada 
equilátero obtenemos que 
2
3
4
3
42
22
2
2
22 ah
aa
a
a
ah
×=⇒=−=




−= cm 
De ahí, 32
4
3
8
3
3
8
2
4
3
2
2
3
2
22
2
×=
×
=⇒=⇒=×=
××
=× haa
a
aha
 
Se observa que h es, precisamente, el lado cada triángulo equilátero (en naranja) formado por el centro del 
hexágono y dos vértices consecutivos suyos. 
Por un razonamiento idéntico al caso anterior, el área de cada uno de estos triángulos equiláteros es 
2
3
4
323
4
3 2 =××=× h cm2 
Teniendo en cuenta que la estrella se descompone en 12 de tales triángulos equiláteros marrones, su área 
será =×12
2
3
 
18 cm2 
 
Hallar todos los números enteros n para los que 
es un número primo 
 
 
SOLUCIÓN 
Como ( ) ( ) ( ) 112111 2422422222 ++=−++=−+=+−×++ nnnnnnnnnnn , el número 124 ++ nn es 
primo sólo si, en todo caso, el factor ( )



±=
=
⇒=±×⇒=±⇒=+±
1
0
01011 22
n
n
nnnnnn 
Ahora bien, si 0=n obtendríamos 1100 24 =++ , número no primo, por lo que los valores enteros que 
hacen que la expresión sea número primo 
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 




=+−+−=×=+−−−×+−+−
=++=×=+−×++
311131111111
311113111111
2422
2422
 
son 
n = ±1 
 
Ocho sobres sin marca alguna en el exterior contienen los números 1, 2, 4, 8, 16, 
32, 64, 128. 
Presen elige unos cuantos sobres al azar y Roque toma los que quedan. 
Ambos suman los números que hay dentro de los sobres, y la suma de Presen es 
31 unidades más que la de Roque. 
¿Cuántos sobres cogió Presen? 
 
 
SOLUCIÓN 
Se hacemos la suma total de los contenidos de los sobres obtenemos 2551286432168421 =+++++++ 
Si a y b son las sumas que corresponden a cada uno (Presen y Roque, respectivamente) se debe cumplir 
que 



=
=
⇒



=−
=+
112
143
31
255
b
a
ba
ba
 
De esta manera, como 



++=+==
++++=+==
1632644864112
124812815128143
b
a
 se deduce inmediatemente que Roque cogió 
3 sobres y Presen cogió 
5 sobres 
 
El área de un hexágono regular en cm2 viene dada por el mismo número que su 
perímetro en cm. 
¿Cuántos centímetros mide su lado? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si el lado del hexágono es a , el área es 2
4
3
6 a×× cm2, seis veces el área de un triángulo equilátero de lado 
a cm. 
El perímetro es, evidentemente, a6 cm. 
Entonces, como debe ser =×==⇒=×⇒=××
3
34
3
4
1
4
3
6
4
3
6 2 aaaa 
2,31 cm 
 
Sea la sucesión dada por a1 = a2 = 1 y 
 Halla a2016 
 
 
SOLUCIÓN 
NnaaaaNna
a
a nnnnn
n
n ∈∀+×=×⇒∈∀+= +++
+
+ ,1,
1
112
1
2
 y como Nnnaaaa nn ∈∀=×⇒== + ,1 121 
Entonces, ⇒=
×
×=×==⇒−=>∀⇒−=×>∀
−
− ...2014
20132015
2014
201520151
,11,1
2013
2014
2015
2016
1
1 a
a
a
a
a
n
annaan
n
nnn
 
( ) ( ) ( ) ⇒×=××××=××××
××××=⇒ 21007222016 2!1007
!2015
2...201020122014
!2015
2...201020122014
3...201120132015
a 
( )2!100720142
!2015
2016 ×
=a 
 
La figura muestra un cubo en el que hay marcados cuatro ángulos. 
¿Cuánto vale la suma de esos ángulos? 
 
 
SOLUCIÓN 
Según se ve en la figura está claro que hay tres ángulos de º90 
El cuarto, en el vértice A mide º60 si observamos que es uno de los del 
triángulo equilátero ABC 
La suma de los ángulos es, entonces, =+++ º60º90º90º90 
330o 
 
Un comerciante desea etiquetar un producto para que al hacer un 
descuento del 20 % obtenga un beneficio del 25 %. 
Si el producto le costó 200 €, ¿qué precio debe poner en la etiqueta? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si desea obtener un beneficio del %25 sobre los €200 de coste debería obtener €250€20025,1 =× 
efectivos. 
Si quiere hacer un%20 de descuento respecto del precio etiquetado deberá indicar un precio tal que su 
%80 sean los €250 que quiere obtener de ganancia. 
Por lo tanto, el etiquetado del producto debe ser de =×
80
100250
 
312,5 € 
 
Escribe la expresión más simplificada del número 
 
 
SOLUCIÓN 
Si observamos, 
( )
Nn
n
nn
n
nn
n
n
n
∈∀×−=−=−=− ,212242424
22
2
 
De ahí, =




 ×××




 ××




 ××




 ×=




 −××




 −×




 −×




 −
2222 2016
40324031
...
3
65
2
43
1
21
2016
2
4...
3
2
4
2
2
4
1
2
4 
( ) ( ) =×==××××
××××××××=
!2016!2016
!4032
!2016
!4032
2016...321
40324031...654321
22
 






2016
4032
 
 
Un barco de motor tarda 4 horas en navegar, corriente abajo, de Iquitos a 
Tabatinga. 
El retorno, contra corriente, de Tabatinga a Iquitos, le lleva 6 horas. 
¿Cuántas horas tardaría un tronco de madera en llegar desde Iquitos a 
Tabatinga, llevado sólo por la corriente, suponiendo que no encuentra ningún 
obstáculo en su camino? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos d a la distancia entre Iquitos y Tabatinga y v a la velocidad del barco en km/h. 
Si w es la velocidad de la corriente del río, también en km/h, se cumple que, corriente abajo, ambas 
velocidades se suman por lo que 
4
d
wv =+ y corriente arriba deberán restarse: 
6
d
wv =− 
Restando ambas igualdades tenemos que ( ) ( ) ⇒=⇒−=+−+⇒−=−−+
12
2
12
23
64
d
w
dd
wvwv
dd
wvwv 
24
d
w =⇒ , velocidad de la corriente. 
En conclusión, el tronco de madera tardará en hacer el trayecto 
24 horas 
 
En una progresión aritmética de nueve términos el quinto es 4. 
¿Cuánto suman los nueve términos? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si d es la diferencia de la progresión, tenemos que daadaadaadaa −=−=−=−= 54535251 ;2;3;4 y 
daadaadaadaa 4;3;2; 59585756 +=+=+=+= 
Por lo tanto, ++++−+−+−+−=++++++++ daadadadadaaaaaaaaaa 555555987654321 234 
=×==++++++ 499432 5555 adadada 
36 
 
Calcula todas las sucesiones finitas de números naturales consecutivos cuya suma es 484 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea la sucesión maaaa +++ ...,,2,1, de 1+m de números naturales consecutivos, 
progresión aritmética. 
Como la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es 
( )
2
1 naaS n
×+= , la suma de la 
propuesta es 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 96812484
2
12
2
1 =+×+⇒=+×+=+×++ mammammmaa 
Teniendo en cuenta que amm 21 +<+ (por ser m y a números naturales) y que 23 112968 ×= podemos 
analizar las siguientes posibilidades: 
• 483248421;14842;21 =⇒=+=⇒=+=+ aamamm , imposible porque Na ∈ 
• 239224223;32422;41 =⇒=+=⇒=+=+ aamamm , imposible porque Na ∈ 
• 57114212127;71212;81 =⇒=⇒=+=⇒=+=+ aaamamm : 
sucesión 64,63,62,61,60,59,58,57 
• 3978288210;10882;111 =⇒=⇒=+=⇒=+=+ aaamamm : 
sucesión 49,48,47,46,45,44,43,42,41,40,39 
• 23244221;21442;221 =⇒=+=⇒=+=+ aamamm , imposible porque Na ∈ 
Por lo tanto, hay 2 sucesiones que cumplen las condiciones del problema: 
57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64 
39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 
 
Félix escribe cuatro números naturales consecutivos. 
A continuación, calcula las cuatro sumas posibles con tres 
de ellos y ninguna de ellas es un número primo. 
¿Cuál es el menor número que puede escribir Félix? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean los números naturales consecutivos 
3,2,1, +++ nnnn 
Las cuatro sumas posibles, según el enunciado, son: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 63321
5332
4331
3321
+=+++++
+=++++
+=++++
+=++++
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
 
Se obtienen, así, cuatro números consecutivos con el primero y el cuarto múltiplos de 3 
Se trata de ver cuando es la primera vez que sucede que entre dos múltiplos sucesivos de3 hay dos números 
compuestos. 
Rodeando de rojo los múltiplos de 3 en la tabla donde están señalados los primos con fondo amarillo, se 
observa que es en la secuencia 27,26,25,24 que se corresponde con 673,573,473,373 +×+×+×+× , 
por lo que el menor número que puede escribir Félix es el 
7 
 
Cada uno de los siete días de la semana, José Luis hace exactamente un 
deporte. 
Corre tres días pero nunca dos días consecutivos. Los lunes hace 
piragüísmo y los miércoles, voley. 
 También hace natación y ciclismo pero nunca va en bicicleta el día 
siguiente de correr o nadar. 
¿Qué día de la semana hace natación? 
 
 
SOLUCIÓN 
Según el enunciado, los martes y los jueves o viernes debe correr, siendo el sábado o el domingo el otro día 
que tiene para correr. 
Si fuera el jueves quedarían tres días para natación, correr y bicicleta, lo cual es imposible según la condición 
de no ir en bicicleta un día después de correr o nadar, y si hiciera natación el jueves quedarían tres días para 
correr y bicicleta y también sería imposible. 
Por lo tanto hará ciclismo el jueves, correrá viernes y domingo y hará natación el 
sábado 
 
Calcula todos los números naturales de cuatro cifras que sean iguales al cubo de la 
suma de sus cifras. 
 
 
SOLUCIÓN 
Como el número ha de ser de cuatro cifras, la suma de sus cifras se reduce a un valor entre 10=s 
( )1000103 = y 21=s ( )9261213 = 
Además, el número pedido y el que resulta de la suma de sus cifras deben dar el mismo resto al dividirlos por 
9 por lo que, si el resto es r , se debe cumplir que ( )9mod3rr ≡ . 
De ahí, necesariamente debe ser 







=+++==⇒=



≠=+++==
≠=+++==
⇒=
=+++==⇒=
173194;491317:178
19289586;685919:19
1010001;100010:10
1
182385;583218:180
3
3
3
3
sr
s
s
r
sr
 
En resumen, los únicos números que cumplen la condición son 
4913 y 5832 
 
Se pueden escribir las fechas en la forma DD-MM-AAAA. 
Si llamamos sorprendente a una fecha en la que los 8 dígitos escritos de esta 
manera son diferentes (por ejemplo, 17-03-2016 no es sorprendente ), ¿en qué 
día se dará por primera vez, a partir de ahora, una fecha sorprendente ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si nos mantenemos en el segundo milenio (primera cifra del año igual a 2 ), el año no puede contener las 
cifras 0 ni 1 porque éstas aparecerán, necesariamente, una en día y otra en mes. 
Por lo tanto, el primer año posible es 2345 
A partir de ahí, es fácil deducir que el 0 debe aparecer en el mes y, por tanto, el 1 en el día. El primer día 
sorprendente es el 
17-06-2345: 17 de junio de 2345 
 
Una lista de 5 números naturales verifica las siguientes propiedades: 
• El único número de la lista que aparece más de una vez es el 8 
• La mediana es 9 
• La media es 10 
¿Cuál es el mayor número natural que puede aparecer en dicha lista? 
 
SOLUCIÓN 
Tenemos cinco números naturales de los cuales hay, al menos, dos 8 y también un 9 , que es el valor central 
de la lista ordenándolos de menor a mayor. 
Si llamamos a los otros números x e y ( yx < ), deberán ser mayores de 9 para que este sea la mediana del 
conjunto. 
Además, xyyxyx
yx −=⇒=+⇒=++⇒=++++ 2525502510
5
988
 
El menor valor posible para x es 910 >=x , por lo que el mayor valor para y debe ser =−= 1025y 
15 
 
Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión geométrica 
de razón r > 0. 
¿Para qué valores de r es rectángulo el triángulo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean 2, aryara los tres lados del triángulo, siendo 0>a . 
• Si 1>r , la hipotenusa es 2ar y, aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que 
( ) ( ) ⇒=−−⇒+=⇒+=⇒+= ≠ 011 24240222422222 rrrrraaraaraar a 
( )
27202,1
2
15
2
15
2
51
2
411 *202
2
=⇒=+=⇒+=⇒
±=+±=⇒
>
rrrr
r
φ 
• Es imposible que 1=r , pues los tres lados serían iguales y estaríamos hablando de un triángulo 
equilátero. 
• Si 1<r , la hipotenusa es a y, aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que 
( ) ( ) ⇒=−+⇒+=⇒+=⇒+= ≠ 011 24240224222222 rrrrraraaarara a 
( )
78615,0
1
2
15
2
15
2
51
2
411
*
2
0
2
2
=⇒=−=⇒−=⇒
±−=+±−=⇒
>
rrrr
r
φ
 
Son dos los valores de r los que hacen al triángulo rectángulo, 
1,27202 y 0,78615 
 
(*) Los valores de r son, precisamente, φ=r y 
φ
1=r , siendo φ la razón aúrea. 
 
En una conferencia,los 2016 asistentes están registrados 
desde A1 hasta A2016 
Cada participante desde A1 hasta A2015 estrecha la mano 
de un número de participantes igual a su propio número 
de registro. 
¿Cuántas manos ha estrechado el participante A2016? 
 
 
SOLUCIÓN 
El participante 2015A debe estrechar la mano de todos los restantes, incluidos 2016A y 1A . Para este último, 
según las condiciones propuestas, será su único saludo. 
El participante 2014A debe estrechar la mano de todos los restantes excepto 1A , incluidos 2016A y 2A . Este 
último, según las condiciones propuestas, no tendrá más saludos que con los dos citados. 
El participante 2013A debe estrechar la mano de todos los restantes excepto 1A y 2A , incluidos 2016A y 3A . 
Este último, según las condiciones propuestas, no tendrá más saludos que con los tres citados. 
Por inducción, el participante nA −2016 debe estrechar la mano de todos los restantes excepto 1A , 2A , …, 1−nA , 
y esto sucederá siempre que 10085,1008
2
2017
2017220161 ≤⇒=<⇒<⇒−<− nnnnn 
Por lo tanto llegaremos a la afirmación de que el participante 1008A estrechará la mano de todos excepto de 
los 1A , 2A , …, 1007A y aquí se acabará el razonamiento porque ya se habrán efectuado todos los saludos. 
De lo anterior se deduce que 2016A realiza 
1008 saludos 
 
Se divide el rectángulo PQRS en ocho cuadrados como muestra la figura. 
El lado de cada cuadrado sombreado es 10. 
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado grande PTVZ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos x a la longitud del cuadrado PTVZ e y a la longitud del lado de cada uno de los cuatro 
cuadrados pequeños. 
Por las condiciones del problema, 24
6
4
305
4
30
4
=⇒



=
=
⇒



=
=
⇒



=+
=
⇒



=+=
=
x
y
yx
y
yx
yx
yx
QRZSPZPS
PTPZ
 
24 
 
Halla los valores reales a y b tales que el polinomio 
sea divisible por 
 
 
SOLUCIÓN 
Como ( )22 112 +=++ xxx , aplicando Ruffini se verifica que el resto de la división de 134 ++ bxax por 1+x 
es :0 
01
1
)1
100
=+−⇒







+−−−−
−−−−−
ba
baabbaaba
baabbaa
ba
 
y el resto de la división del cociente obtenido ( ) ( ) abxbaxabax −+−+−+ 23 por 1+x también debe ser 
:0 
043
43232
322)1 =−⇒







−−−
−−−−
−−−
ab
abbaaba
abbaa
abbaaba
 
Por consiguiente, 



=
=
⇒



=
−=
⇒



=+−
=+−
⇒



=−
=+−
⇒



=−
=+− +×
4
3
4
1
04
01
043
0444
043
01 ª2ª1ª14
b
a
b
ba
b
ba
ab
ba
ab
ba ecec
 
a = 3, b = 4 
 
El número natural N tiene exactamente seis divisores positivos distintos, 
incluyendo a 1 y a N. El producto de cinco de ellos es 648. 
¿Cuales son los divisores de N ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Como 
43 32648 ×= , es inevitable que 2 y 3 sean divisores de N y, además, lo será 632 =× 
Tenemos entonces cinco divisores conocidos de N : baNN 32,6,3,2,1 ×=⇒ , donde 1, ≥ba 
Apreciamos que si multiplicamos estos cinco valores obtenemos ya 
32 , por lo que el divisor desconocido será 
únicamente potencia de 3 : necesariamente 932 = y 1832 2 =×=N 
Como 58321896321 =××××× , el divisor que falta es 9
648
5832 = y los divisores son 
1, 2, 3, 6, 9, 18 
 
a, b y c son tres números que verifican que 
¿Cuál es el valor de c ? 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ⇒=⇒=+⇒

=+++
=+
⇒



=+++
=+
⇒





=+
=+
=+
+
2132433
24
3
24
3
6
18
3
ª3ª2
cc
abcba
ba
abcbac
ba
abc
bac
ba
ec
 
c = 7 
 
Halla todos los números naturales m y n que cumplan que 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ( ) ( )2!!11!!1!1! 22 −×=−−=⇒−=+ mmmnmn . De lo anterior se deduce que nm <<2 
Entonces, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!!!12...212!!! −×=×+×+××−×−×⇒−×= mmmmmnnnmmn y, simplificando por !m , 
obtenemos que ( ) ( ) ( ) ( ) 2!12...21 −=+×+××−×−× mmmnnn 
Es evidente que !m es divisible por 3 al ser 2!2 −⇒> mm no es divisible por 3 
Se sigue que el miembro derecho de la última igualdad , formado por un producto de números consecutivos, 
no es divisible por 3 y, en consecuencia, deberá tener, uno o dos factores únicamente y no divisible(s) por 3 
Hay, por ello, dos posibilidades: 
• 433!2!11 =⇒=⇒+=⇒−=+⇒+= nmmmmmmn , valores que verifican la ecuación inicial: 
( )21!3251!4 −==+ 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−=+×⇒−=+++×⇒−=+×+⇒+= 4!32!222!122 mmmmmmmmmmmn 
( ) 43! =+×−⇒ mmm . Se deduce de la expresión que m es divisor de 4 , y como ⇒=⇒> 42 mm 
6=⇒ n , valores que no verifican la ecuación inicial: ( ) 5291!47211!6 2 =−≠=+ 
Entonces, los únicos valores posibles son 
m = 3, n = 4 
 
Las longitudes de los arcos AP y BP de la figura son 20 cm y 16 cm 
respectivamente. 
¿Cuánto mide, en grados sexagesimales, el ángulo AXP ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Trazamos el radio OP perpendicular a la tangente PX y 
construímos el triángulo rectángulo OPX con el ángulo 
α=BOP 
Es evidente que la longitud de la circunferencia es 
( ) ( ) 72162022 =+×=+×= BPAPL cm 
Por lo tanto se cumple que, midiendo los ángulos en grados 
sexagesimales, la longitud del arco º80
72
36016
16
360
72
360
=×=⇒=⇒×= αααLBP 
Entonces el otro ángulo del triángulo rectángulo, cuyo valor se pide, es =−=−= º80º90º90 αAXP 
10o 
 
En la figura adjunta, O es el centro de la semicircunferencia y OD es 
perpendicular al diámetro AB. 
Si AC = a y CB = b, ¿cuánto vale DC ? 
 
 
SOLUCIÓN 
El radio de la semicircunferencia es 
22
baCBAC
OBOAOD
+=+=== 
Por tanto, aplicando el teorema de Pitagoras en el triángulo rectángulo DOC , tenemos que 
( ) ( ) ⇒




 −++=




 −++




 +=⇒−+=+=
2222
222222
2422
baba
b
baba
DCCBOBODOCODDC 
( ) ( ) ( )
⇒
+=+×=+−+++=−++=⇒
24
2
4
22
44
2222222222
2 babababababababaDC 
2
22 ba
DC
+= 
 
Cien números, en progresión aritmética, verifican que su suma es 52 y que la suma 
de los términos pares es 1. 
Calcula la suma de los cuadrados de los cien números 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean los números { }1002 ...,,,1 aaa en progresión aritmética de diferencia ⇒d los términos pares también 
forman una progresión aritmética 
Por tanto, según el enunciado, 
( )
( )
( )
( ) ⇒

=+
−=
⇒



=+
=+
⇒





=×+++
=×++
⇒





=×+
=×+ −×
25000100
100100
25000100
1049900200
1
2
5099
52
2
10099
1
2
50
52
2
100
1
ª1ª22
1
1
11
11
1002
1001
da
d
da
da
dada
daa
aa
aa
ecec
 




+=+===
−=
⇒
50
1
50
50
150
50
2501
100
5002
1
2
1a
d
 
La sucesión es, entonces, 





 +++
50
1
1...,,
50
1
49,
50
1
50 y la suma de sus cuadrados es 
( )
2
222
222
50
1
501...4950
50
1
21...4950
50
1
1...
50
1
49
50
1
50 




×++++××++++=




 +++




 ++




 +=S
 
Se sabe que la suma de los cuadrados de los n primeros naturales es igual a 
( ) ( )
6
121 +×+× nnn
 (en la Red 
existen variadas páginas que demuestran esta afirmación) por lo que 
( ) ( ) ⇒+×+××+××=




×++++××++++=
50
1
2
50501
50
1
2
6
1015150
50
1
501...4950
50
1
21...4950
2
222S
 =+=++××=
50
1
42976
50
1
511011725S 
2148801/50 
 
En la pirámide de bloques de la derecha cada uno tiene un número 
que es el producto de los dos en los que se apoya. 
¿Cuál de los cinco siguientes números no puede aparecer en el bloque 
superior si los tres números de la fila inferior son números naturales 
mayores que 1? 
56 – 84 – 90 – 105 – 220 
 
 
SOLUCIÓN 
Si llamamos cba ,, a los números, mayores que la unidad, situados en 
los bloques inferiores de la pirámide, el número que se encuntra en el 
bloque superior debe ajustarse a la descomposición numérica indicada: 
cab2 
Veamos si los números propuestos si se ajustan a ese modelo: 
• 7,2,27227256 23 ===⇒××=×= cba 
• 7,2,372373284 22 ===⇒××=××= cba 
• 5,3,253290 2 ===⇒××= cba 
• 753105 ××= 
• 11,2,511251152220 22 ===⇒××=××= cba 
Y apreciamos que el único que no se ajusta al modelo es 
105 
 
Joaquín tiene un terreno con forma de triángulo equilátero de 1 km de lado como 
el de la figura. 
Desea construir una casa en el punto A y caminos perpendicularesa cada lado 
desde dicho punto. 
¿Cuál es, en km, la longitud total de los tres caminos? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean yx, las distintas longitudes de los caminos en kilómetros. Se pide, 
entonces, la longitud yx 2+ 
Como el triángulo ABC es rectángulo en A e isósceles, está claro que la 
altura mide 
2
1=x km al ser 1º45 =tg 
Además, podemos distinguir dos triángulos rectángulos de las mismas 
dimensiones, AEB y AFC . Tengamos en cuenta el primero de ellos. Su 
hipotenusa AB coincide con el cateto del triángulo ABC 
Por el teorema de Pitágoras, 
2
2
2
1
2
1
121 2222 ==⇒=⇒=⇒=+
=
ABABABACAB
ACAB
 km 
Además, el ángulo º15º45º60 =−=−= CBACBEABE
)))
, por lo que, en el triángulo AEB , ⇒=
AB
EA
sen º15 
º15
2
2
º15 senysenABEAy ×=⇒×==⇒ km 
En resumen, la longitud pedida es º152
2
1
º15
2
2
2
2
1
2 sensenyx ×+=××+=+ km y como 
( ) ( )⇒−×=×−×=×−×=−=
4
132
2
2
2
1
2
2
2
3
º45º60cosº45cosº60º45º60º15 sensensensen
( ) =−+=−××+=+⇒
2
13
2
1
4
132
2
2
1
2yx 
√3/2 km 
 
Para cada número natural n consideremos an como el número cuya expresión decimal está formada por n 
treses. Es decir, a1 = 3, a2 = 33, a3 = 333, etc,... formando así una sucesión. 
Halla, en función de n, la expresión más simplificada de la suma 
 
 
SOLUCIÓN 
Evidentemente, 
3
110
9
110
3
9
9...99999
31...1111133...33333
)(
)()( −=−×=×=×==
nn
vecesn
vecesnvecesn
na 
O sea, 
3
10...101010
3
110
...
3
110
3
110
3
110
....
3232
321
n
aaaa
nn
n
−++++=−++−+−+−=++++ y, 
aplicando la fórmula de la suma de los n términos de la progresión geométrica n10,...,10,10,10 32 , se 
obtiene que =
×
−−=
−
−
−×
=++++
+
39
91010
3
110
101010
....
1
321
nn
aaaa
n
n
n 
27
10910 1 −−+ nn
 
 
En el rectángulo ABCD la longitud del lado BC es la mitad de la 
longitud de la diagonal AC. 
Si M es un punto de CD tal que AM = MC, ¿cuál es la medida en 
grados del ángulo CAM ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Dibujamos los elementos descritos en el enunciado y designamos las 
longitudes y medidas de ángulos. 
Como MCAM = , el triángulo AMC es isósceles y el ángulo pedido 
es MCAMAC
))
==α , complementario al ángulo BCA
)
=β del 
triángulo rectángulo ABC 
En este último triángulo se verifica que ⇒==
AC
BC
BCA
)
coscosβ 
º60
2
1
2
cos =⇒==⇒ ββ
x
x
 
Entonces, =−=−= º60º90º90 βα 
30o 
 
La figura adjunta muestra un rectángulo ABCD inscrito en una 
semicircunferencia y su diámetro. 
Las dimensiones del rectángulo son AB = 12 cm y BC = 28 cm. 
Se ha construido un cuadrado DEFG como se ve en la figura. 
¿Cuánto vale el área del cuadrado DEFG ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos r a la longitud del radio de la semicircunferencia y x a la 
del lado del cuadrado DEFG , ambas medidas en centímetros. 
Si O es el centro de la semicircunferencia aplicamos el teorema de 
Pitágoras en el triángulo rectángulo OAB y obtenemos que 
3401412
2
222
2
22222 =+=⇒




+=⇒+= rBCABOBOAABOB 
Observamos ahora el triángulo rectángulo OGF y aplicamos en él, también, el teorema de Pitágoras: 
( ) ( ) ⇒+++=⇒++=⇒++=⇒+= 1962834014 22222222222 xxxxxrDGODFGOFOGFGOF 
41177277072140144282 222 =⇒±−=+±−=⇒=−+⇒=−+⇒ xxxxxx cm pues rechazamos, 
según el contexto del problema, el valor negativo. 
Entonces, la superficie del cuadrado DEFG es == 22 4x 
16 cm2 
 
Diego corta un rectángulo de área 2016 en 56 cuadrados iguales, siendo valores 
enteros las longitudes de los lados del rectángulo y de los cuadrados. 
¿En cuántos rectángulos diferentes puede hacer esto? 
 
 
SOLUCIÓN 
El área de cada cuadrado es 22 3236
56
2016 ×== por lo que su lado mide 632 =× y esta longitud debe ser 
divisor común de ambos lados del rectángulo. 
Como 7322016 25 ××= , las posibilidades que aparecen son 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )






×=××××
×=××××
×=××××
×=××××
424873232
842473232
1681273232
336673232
4
23
32
4
 medidas de 
rectángulos distintos de área 2016 descomponibles en 56 cuadrados. 
Las mallas respectivas serían de 











×=×
×=×
×=×
×=×
78
6
42
6
48
144
6
84
6
24
282
6
168
6
12
561
6
336
6
6
 cuadrados 
En resumen, la descomposición citada puede hacerse en 
4 rectángulos diferentes 
 
Una progresión aritmética de n términos verifica las siguientes 
propiedades: 
• La suma de los términos primero, tercero, quinto y así 
sucesivamente hasta llegar al último de la progresión 
original, es 320. 
• La suma de los términos primero, cuarto, séptimo, décimo 
y así sucesivamente hasta el último de la progresión 
original, es 224. 
¿Cuál es la suma de todos los términos de la progresión? 
 
 
SOLUCIÓN 
Consideramos la progresión aritmética { }na de n términos y de diferencia d . Como en las dos sumas 
descritas se llega al último término se deberá cumplir que 16 += mn 
Si xa =1 , tenemos que ⇒



=+++++++
=+++++++
⇒



=++++
=++++
+
+
2246...63
3206...42
224...
320...
16741
16531
mdxdxdxx
mdxdxdxx
aaaa
aaaa
m
m
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⇒





=×+×+×+
=×+×+×+
⇒



=+++×+×+
=+++×+×+
⇒
224
2
221
312
320
2
331
213
2242...21312
3203...21213
mm
dxm
mm
dxm
mdxm
mdxm
 
( ) ( )
( ) ( )

=+×+
=+×+
⇒
224312
320313
mdxm
mdxm
 y, dividiendo miembro a miembro, 3
7
10
224
320
12
13 =⇒==
+
+
m
m
m
 
El número de términos es, entonces, 19136 =+×=n 
Además, tomando una de las ecuaciones obtenidas, ( ) ( ) ( ) ⇒=+×⇒=+×+ 22497224312 dxmdxm 
32
7
224
9 ==+⇒ dx 
La suma pedida es 
( ) ( ) ( ) ( ) =×=×+=×+=×++=×+= 1932199
2
19182
2
1918
2
19191 dx
dxdxxaa
S 
608 
 
Cada uno de los habitantes de la Isla de los Caballeros y 
Escuderos es un caballero (que siempre dice la verdad) o un 
escudero (que siempre miente). 
Durante tu viaje a la isla encuentras a 7 personas en torno a 
una fogata y los siete te dicen: “Estoy sentado entre dos 
escuderos”. 
¿Cuántos escuderos hay en el grupo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Necesariamente debe haber, al menos, un caballero alrededor de la hoguera 
porque, en caso contrario, habría escuderos diciendo la verdad. 
Señalamos, entonces, un caballero y, a ambos lados, sendos escuderos como se 
ve en la figura inicial y llamamos 1, 2, 3 y 4 a las restantes personas alrededor de 
la hoguera. 
 
Empezamos ahora estudiando los casos posibles de la persona 1, teniendo en cuenta que el escudero 
adyacente miente y no puede tener, a ambos lados, dos escuderos: 
• 1 es caballero ⇒ 2 es escudero y puede suceder que 
� 3 es caballero ⇒ 4 es escudero y verifica que está 
mintiendo al no tener, a ambos lados, dos 
escuderos 
� 3 es escudero ⇒ 4 es caballero y verifica que está 
diciendo la verdad al tener, a ambos lados, dos 
escuderos 
• 1 es escudero ⇒ 2 es caballero ⇒ 3 es escudero y puede suceder 
que 
� 4 es caballero y verifica que está diciendo la 
verdad al tener, a ambos lados, dos escuderos 
� 4 es escudero: ¡imposible!, porque a ambos lados 
tendría sendos escuderos y diría la verdad 
 
Como se ve, de cuatro casos posibles los tres primeros son coherentes con el enunciado y todos describen 
una situación de 3 caballeros y 
4 escuderos 
 
Si 
¿cuál es es valor de a ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Observemos que c
cc
aa a
aa
ac
log
log
1
1
log
log
1
log
1 === por la propiedad de cambio de base logarítmica. 
Debido a ello, ( ) 1432log14log3log2log1
log
1
log
1
log
1
432
=××⇒=++⇒=++ aaaaaaa
, por la 
propiedad de la suma de logaritmos de la misma base. 
En resumen, ⇒=⇒=++ 124log1
log
1
log
1
log
1
432
aaaa
 
a = 24 
 
Las ecuaciones x2 + ax + b = 0 y x2 + bx + a = 0 tienen, ambas, raíces reales. 
Se sabe que la suma de los cuadrados de las raíces de la primera ecuación es igual a la suma de los 
cuadrados de las raíces de la segunda, y a es distinto de b 
Calcula 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean 21, αα las raíces de la ecuación 



=×
−=+
⇒=++
b
a
baxx
21
212 0
αα
αα
 y sean 21, ββ las raíces de la ecuación 



=×
−=+