a10 - Introdução à Probabilidade (1)

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Introdução à Probabilidade
Introdução à 
Probabilidade
• Objetivos:
• Compreender o conceito de probabilidade
• Aprender a calcular probabilidades simples
• Entender eventos independentes e dependentes
• Conhecer as regras
Conceito de probabilidade
A probabilidade é uma medida que descreve a chance de um evento ocorrer. 
Ela é expressa como um número entre 0 e 1, sendo 0 para um evento 
impossível e 1 para um evento certo. 
A probabilidade é frequentemente representada pela letra P e pode ser 
escrita como uma fração, um decimal ou uma porcentagem.
Cálculo de probabilidades simples
• Para calcular a probabilidade de um evento,
divida o número de resultados favoráveis
pelo número total de resultados possíveis no
espaço amostral.
• P(E) = (número de resultados favoráveis) /
(número total de resultados possíveis)
Considere uma moeda com duas faces: cara e coroa. Qual 
a probabilidade de obter cara em um lançamento?
Resposta: Há 1 resultado favorável (cara) e 2
resultados possíveis (cara e coroa). Portanto,
P(cara) = 1/2 = 0,5 ou 50%.
Eventos independentes e dependentes
• Dois eventos são independentes se a ocorrência de um evento
não afeta a probabilidade do outro evento.
• Por outro lado, eventos dependentes são aqueles em que a
ocorrência de um evento influencia a probabilidade do outro.
• Exemplo: Em uma urna com 5 bolas vermelhas e 3 azuis, a
probabilidade de pegar uma bola vermelha (evento A) e depois
outra vermelha (evento B) sem reposição é um exemplo de
eventos dependentes, pois a probabilidade de pegar a segunda
bola vermelha depende da primeira extração.
Regra da soma
• A regra da soma é usada para calcular a probabilidade de
pelo menos um de dois eventos ocorrer. Se os eventos são
mutuamente exclusivos (ou seja, não podem ocorrer ao
mesmo tempo), some as probabilidades individuais.
• P(A ou B) = P(A) + P(B)
• Se os eventos não são mutuamente exclusivos, subtraia a
probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos:
• P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
Regra da multiplicação
• A regra da multiplicação é usada para calcular a
probabilidade de dois eventos ocorrerem juntos. Se os
eventos são independentes, multiplique as probabilidades
individuais:
• P(A e B) = P(A) * P(B)
• Se os eventos são dependentes, multiplique a
probabilidade do primeiro evento pela probabilidade
condicional do segundo evento:
• P(A e B) = P(A) * P(B|A)
Exemplo: Em uma urna com 5 bolas vermelhas e 3 azuis, qual a 
probabilidade de pegar duas bolas vermelhas consecutivas sem reposição?
•Resposta:
•P(A) = 5/8 (probabilidade de pegar a primeira bola
vermelha)
•P(B|A) = 4/7 (probabilidade de pegar a segunda bola
vermelha, dado que a primeira foi vermelha)
•P(A e B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7)
Exercício
1. Uma moeda é lançada duas vezes. Determine a probabilidade
de obter duas caras consecutivas.
2. Em um baralho padrão de 52 cartas, qual é a probabilidade de
escolher uma carta aleatoriamente e ela ser um rei?
3. Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Se duas
bolas são retiradas consecutivamente e sem reposição, qual é a
probabilidade de ambas serem vermelhas?
4. Em um dado de seis faces, qual é a probabilidade de obter um
número par ou um número maior que 4?
Valor Esperado
Introdução ao valor esperado
O valor esperado é uma medida estatística que representa a média 
ponderada dos possíveis resultados de uma variável aleatória, levando 
em consideração as probabilidades associadas a cada resultado. 
O valor esperado é uma maneira de resumir a distribuição de 
probabilidade de uma variável e é comumente usado para prever 
resultados futuros com base em probabilidades conhecidas.
Cálculo do valor esperado
• Para calcular o valor esperado (E) de uma variável aleatória
X, multiplique cada possível resultado (xi) pela
probabilidade correspondente (pi) e some os produtos:
• E(X) = Σ [xi * pi]
Exemplo de valor esperado
• Suponha que você esteja jogando um jogo em que rola um dado justo de
seis faces e ganha o valor do resultado em dólares. O que você pode
esperar ganhar, em média, a cada jogada?
• Para responder a esta pergunta, podemos calcular o valor esperado:
1.Liste os possíveis resultados e suas probabilidades:
1.xi: 1, 2, 3, 4, 5, 6
2.pi: 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6
Exemplo de valor esperado
2. Multiplique cada resultado pela probabilidade correspondente e some os
produtos:
1. E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)
2. E(X) = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6
3. E(X) = 21/6 = 3,5
• Portanto, o valor esperado é $3,50, o que significa que você pode esperar
ganhar, em média, $3,50 a cada jogada.
Aplicações do valor esperado
• O conceito de valor esperado é amplamente utilizado em diversas áreas, como economia,
finanças, seguros e jogos de azar.
• Por exemplo, em finanças, o valor esperado pode ser usado para determinar o retorno
esperado de um investimento, levando em consideração diferentes cenários e suas respectivas
probabilidades.
• Em seguros, o valor esperado é usado para calcular prêmios, considerando a probabilidade e a
magnitude das perdas potenciais.
Propriedades do valor esperado
• a. E(c) = c, onde c é uma constante. O valor esperado de uma
constante é sempre a própria constante.
• b. E(cX) = c * E(X), onde c é uma constante e X é uma variável
aleatória. O valor esperado de uma constante vezes uma variável
aleatória é a constante vezes o valor esperado da variável
aleatória.
• c. E(X + Y) = E(X) + E(Y), onde X e Y são variáveis aleatórias. O valor
esperado da soma de duas variáveis aleatórias é a soma dos
valores esperados de cada variável aleatória. Essa propriedade é
válida mesmo que X e Y não sejam independentes.
Limitações do valor esperado
• a. O valor esperado nem sempre é um resultado possível. Por
exemplo, no caso do lançamento de um dado, o valor esperado é
3,5, mas você nunca pode realmente obter esse valor em uma
única jogada.
• b. O valor esperado não considera a dispersão dos resultados. Em
situações em que a distribuição dos resultados é muito dispersa,
o valor esperado pode ser enganoso.
• c. O valor esperado não leva em consideração a aversão ao risco.
Por exemplo, em situações de investimento, o valor esperado
pode não ser uma medida adequada para avaliar o risco
envolvido.
Exercícios
1. Você está participando de um jogo de loteria. As probabilidades de ganhar são as
seguintes: prêmio de $500 com probabilidade de 0,001; prêmio de $50 com
probabilidade de 0,01; prêmio de $5 com probabilidade de 0,1; e não ganhar nada
com probabilidade de 0,889. Qual é o valor esperado de ganhar nesse jogo?
2. Em um teste de múltipla escolha com 4 alternativas, cada resposta correta vale 3
pontos e cada resposta errada resulta em uma penalidade de 1 ponto. Se um aluno
responde aleatoriamente a uma pergunta, qual é o valor esperado dos pontos que
ele receberá?
Exercícios
3. Suponha que você esteja considerando investir em dois ativos diferentes. O ativo A
tem um retorno esperado de 8% e o ativo B tem um retorno esperado de 12%. Se você
investir 60% de seu dinheiro no ativo A e 40% no ativo B, qual é o retorno esperado de
seu investimento?
4. Uma empresa está considerando dois projetos de investimento diferentes. O projeto
A tem uma probabilidade de 50% de gerar um lucro de $10.000 e uma probabilidade de
50% de gerar um lucro de $5.000. O projeto B tem uma probabilidade de 70% de gerar
um lucro de $8.000 e uma probabilidade de 30% de gerar um lucro de $2.000. Qual
projeto tem um maior valor esperado de lucro?
Probabilidade Condicional
	Slide 1
	Slide 2: Introdução à Probabilidade
	Slide 3: Conceito de probabilidade
	Slide 4: Cálculo de probabilidades simples
	Slide 5: Considere uma moeda com duas faces: cara e coroa. Qual a probabilidade de obter cara em um lançamento?
	Slide 6: Eventos independentes e dependentes
	Slide 7: Regra da soma
	Slide 8: Regra da multiplicação
	Slide 9: Exemplo: Em uma urna com 5 bolas vermelhas e 3 azuis, qual a probabilidadede pegar duas bolas vermelhas consecutivas sem reposição?
	Slide 10: Exercício
	Slide 11: Valor Esperado
	Slide 12: Introdução ao valor esperado
	Slide 13: Cálculo do valor esperado
	Slide 14: Exemplo de valor esperado
	Slide 15: Exemplo de valor esperado
	Slide 16: Aplicações do valor esperado
	Slide 17: Propriedades do valor esperado
	Slide 18: Limitações do valor esperado
	Slide 19: Exercícios
	Slide 20: Exercícios
	Slide 21