Supletivo Matemática

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CADERNO
DE ESTUDOS
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PREFÁCIO
Este livro de estudos foi elaborado especialmente para você que precisará obter
conhecimento afim de que possa realizar o Exame de Suplência da CANAL
EDUCACIONALSUPLETIVOS.
O objetivo Principal deste Livro de Estudos, é atualizar seu conhecimento referen te
as matérias que serão abordadas no Exame de Suplência e dar condições para queo
leitor possa responder os questionamentos propostos e obter sucesso na conclusão
do Exame.
Dessa maneira todos os assuntos abordados neste Livro de Estudos estão ligados
diretamente ao Exame de Suplência.
Com isso este Livro tem a intensão de colaborar para que o leitor possa obter
ou aperfeiçoar seus conhecimentos e possa estar preparado não somente para o
Exame de Suplência, bem como está preparado para qualquer outro tipo de Avaliação.
Dessa maneira a leitura atenta deste material irá sem dúvida ser de grande ajuda
para a resolução dasquestões contidas no Examede Suplência.
Esta parceria visa ajudar alunos a alcançarem seus objetivos acadêmicos através de
materiaisde estudos elaborados e de fácil compreensão para todos os leitores.
Esperamos que através deste Livro o Leitor possa alcançar o objetivo de concluir com
sucesso o Exame de Suplência.
Bons Estudos
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x y
-2 3
-1 2
0 1
1 0
MATEMÁTICA
GRÁFICO DE FUNÇÃO DE 1º GRAU
Toda função pode ser representada graficamente, e a
função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode
ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.
Quando a > 0
Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a
função: f(x) = 2x – 1 ou y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1.
Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores
reais para x, para que possamos achar os valores
correspondentes em y.
Quando a < 0
Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a
função f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1.
Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores
reais para x, para que possamos achar os valores
correspondentes em y.
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Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o
valor de y também aumenta, então dizemos que quando
a > 0 a função é crescente.
Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que
são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta. Veja:
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo 
horizontal colocamos os valores de x.
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o
valor de y diminui, então dizemos que quando a < 0 a
função é decrescente.
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que
são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano
para formar a reta. Veja:
x y
- 2 - 5
- 1 - 3
0 - 1
1/2 0
1 1
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No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo 
horizontal colocamos os valores de x.
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Características de um gráfico de uma função do 1º 
grau
• Com a > 0 o gráfico será crescente.
• Com a < 0 o gráfico será decrescente.
•O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será 
agudo (menor que 90°) quando a > 0.
• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será
obtuso (maior que 90º) quando a < 0.
•Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau
basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é
uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.
•Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz
da função.
•Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor
de b.
CONJUNTOS
A compreensão de conjuntos é a principal base para o
estudo da álgebra e de conceitos de grande importância
na Matemática, como funções e inequações. A notação
que usamos para conjuntosé sempre uma letra maiúscula
do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto
B).
Em se tratando da representação dos conjuntos, ela
pode ser feita pelo diagrama de Venn, pela simples
descrição das características dos seus elementos, pela
enumeração dos elementos ou pela descrição das suas
propriedades. Ao trabalhar com problemas que
envolvem conjuntos, existem situações que exigem a
realização de operações entre os conjuntos, sendo elas
a união, a intersecção e a diferença. Vamos estudar tudo
isso detalhadamente?
Notação e representação de conjuntos
Para representação de um conjunto, utilizamos sempre
uma letra maiúscula do alfabeto, e os elementos estão
sempre entre chaves e são separados por vírgula. Para
representar o conjunto dos números pares maiores que 1
e menores que 20, por exemplo, usamos a seguinte
notação: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
 Formas de representação dos conjuntos
1. Representação por enumeração: podemos
enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma lista,
sempre entre chaves. Veja um exemplo:
A = {1,5,9,12,14,20}
2. Descrevendo as características: podemos
simplesmente descrever a característica do
conjunto. Por exemplo, seja X um conjunto, temos
que X = {x é um número positivo múltiplo de 5}; Y:
é o conjunto dos meses do ano.
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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
3. Diagrama de Venn: os conjuntos também podem
ser representados na forma de um diagrama,
conhecido como diagrama de Venn, que é uma
representação mais eficiente para a realização das
operações.
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Exemplo:
Dado o conjunto A = {1,2,3,4,5}, podemos representá-
lo no diagrama de Venn a seguir:
Diagrama do conjunto A.
ELEMENTOS DE UM CONJUNTO E RELAÇÃO 
DE PERTINÊNCIA
Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com
diversas relações, e uma delas é a relação de inclusão.
Para essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos:
⊃→ contém⊂→ está contido
⊅→ não contém⊄→ não está contido
Dica: o lado da abertura do símbolo sempre ficará virado 
para o conjunto maior.
Quando todos os elementos de um conjunto Apertencem 
também a um conjunto B, dizemos que A ⊂B ou que A
está contido em B. Por exemplo, A= {1,2,3} e
B={1,2,3,4,5,6}. É possível também fazer a 
representação pelo diagrama de Venn, que ficaria assim:
 A está contido em B:
Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o
elemento pertence ao conjunto ou não pertente a esse
conjunto. Para representar essa relação de pertinência de
forma mais rápida, utilizamos os símbolos (lê-se
pertence) e ∉ (lê-se não pertente). Por exemplo, seja P o SUBCONJUNTOS
A⊂ B
conjunto dos números pares, podemos dizer que o 7 ∉ P
e que 12 P.
IGUALDADE DE CONJUNTOS
É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo
assim, podemos afirmar que dois conjuntos são iguais ou
não verificando cada um dos seus elementos. Seja A = {
0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, ainda que os elementos
estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os
conjuntos A e B são iguais: A = B.
RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o 
conjunto A está contido no conjunto B, podemos 
dizemos que A é subconjunto de B. O subconjunto
continua sendo um conjunto, e um conjunto pode ter 
vários subconjuntos, construídos a partir doselementos 
pertencentes a ele.
Por exemplo: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tem como
subconjuntos os conjuntos B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D:
{1} e, até mesmo, o conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ou 
seja, A é subconjunto dele mesmo.
CONJUNTO UNITÁRIO
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Como o nome já sugere, é aquele conjunto que possui
somente um elemento, como o conjunto D: {1}
mostrado anteriormente. Dado o conjunto B: {1,2,3},
temos os subconjuntos {1}, {2} e {3}, que são todos
conjuntos unitários.ATENÇÃO: O conjunto E: {0} também é um conjunto
unitário, pois ele possui um único elemento, o “0”, não
se tratando de um conjunto vazio.
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CONJUNTO VAZIO
Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio
não possui nenhum elemento e é subconjunto de
qualquer conjunto. Para representar o conjunto vazio, há
duas representações possíveis, sendo elas V: { } ou o
símbolo Ø.
CONJUNTOS DAS PARTES
Conhecemos como conjuntos das partes todos os
subconjuntos possíveis de um determinado conjunto.
Seja A: {1,2,3,4}, podemos listar todos os subconjuntos
desse conjunto A começando com os conjuntos que
possuem nenhum elemento (vazios) e, depois, os que
possuem um, dois, três e quatro elementos,
respectivamente.
 Conjunto vazio: { };
 Conjuntos unitários: {1}; {2};{3}; {4}.
 Conjuntos com dois elementos: {1,2}; {1,3};
{1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
 Conjuntos com três elementos: {1,2,3}; {1,3,4};
{1,2,4}; {2,3,4}.
Conjunto com quatro elementos: {1,2,3,4}. Sendo 
assim, podemos descrever o conjunto das partes de A
desta forma:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3},
{2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4},
{1,2,3,4} }
Para saber a quantidade de partes em que é possível
dividir um conjunto, usamos a fórmula:
n[ P(A)] = 2n
O número de partes de A é calculado por uma
potência de base 2 elevada a n, em que n é a quantidade
de elementos do conjunto.
Considere o conjunto A: {1,2,3,4}, que possui quatro
elementos. O total de subconjuntos possíveis desse
conjunto é 24 =16.
CONJUNTO FINITO E INFINITO
Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntos que
são limitados (finitos) e aqueles que são ilimitados
(infinitos). O conjunto dos números pares ou ímpares,
por exemplo, é infinito e, para representá-lo,
descrevemos alguns dos seus elementos em sequência,
de forma que seja possível prever quais serão os
próximos elementos, e colocamos reticências no final.
I: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências 
no final, pois ele possui começo e final definidos.
A: {1,2,3,4}.
CONJUNTO UNIVERSO
O conjunto universo, denotado por U, é definido como
o conjunto formado por todos os elementos que devem
ser consideradosdentro de um problema. Todo elemento
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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-pares-impares.htm
pertence ao conjunto universo e todo conjunto está 
contido no conjunto universo.
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OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
As operações com conjuntos são: união, intersecção e 
diferença.
 Intersecção de conjuntos
Representação de conjuntos disjuntos.
A∩B = Ø
 Diferença entre conjuntos
A intersecção é uma das operações entre conjuntos.
Ocorre uma intersecção quando os elementos pertencem
simultaneamente a um ou mais conjuntos. Ao escrever
A∩B, estamos procurando os elementos que pertencem
tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.
Exemplo:
Considere A= {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6,7,8}, os
elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao
conjunto B são: A∩B = {2,4,6}. A representação dessa
operação é feita da seguinte forma:
A∩B
Quando os conjuntos não possuem nenhum elemento em 
comum, são conhecidos como conjuntos disjuntos.
Diferença entre os conjuntos (A – B)
Calcular a diferença entre dois conjuntos é procurar os
elementos que pertencem a somente um dos dois
conjuntos. Por exemplo, A – B tem como resposta um
conjunto composto por elementos que pertencem ao
conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Exemplo: A: {1,2,3,4,5,6} e B: {2,4,6,7,8}. Note que A
∩B ={2,4,6}, então temos que:
a) A – B = { 1,3,5 }
b) B –A = { 7,8 }
 União
A união de dois ou mais conjuntos é a junção dos seus
termos. Caso haja elementos que se repitam nos dois
conjuntos, eles são escritos uma única vez. Por exemplo:
A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,10,14}. Para representar a
união, usamos o símbolo (lê-se: A união com B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
LEIS DE MORGAN
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Sejam A e B doisconjuntos e seja U o conjunto universo,
existem duas propriedades que são dadas pelas Leis de
Morgan, sendo elas:
(A U B)c = Ac∩Bc 
(A∩ B)c = Ac U Bc
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Exemplo:
Dados os conjuntos:
 U:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,2
0}
 A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
 B: {5,10,15,20}
Vamos verificar que (A U B)c = Ac ∩ Bc . Assim, temos 
que:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Logo, (A U B)c={1,3,7,9,11,13,17,19}
Para verificar a veracidade da igualdade, vamos analisar 
a operação Ac∩ Bc:
Ac:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} 
Bc:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Então, Ac∩ Bc ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)c = Ac ∩ Bc 
Exercícios resolvidos
01) Considere U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A:
{1,2,3,4,5,6} e B: {4,5,6,7,8,9}. Mostre que (A ∩ B)c =
AcUBc. 
Resolução:
 1º passo: encontrar (A ∩ B)c. Para isso, temos que 
A∩ B = {4,5,6} , então (A∩ B)c ={1,2,3,7,8,9,10}.
 2º passo: encontrar Ac U Bc. Ac:{7,8,9,10} e 
Bc:{1,2,3,10}, então Ac U Bc = {1,2,3,7,8,9,19}.
Fica demonstrado que (A∩ B)c = Ac U Bc.
02) Sabendo que A é o conjunto dos números pares de 1 
até 20, qual é a quantidade totaldesubconjuntosque 
podemos construir a partir dos elementos desse 
conjunto?
Resolução:
Seja P o conjunto descrito, temos que P:
{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Sendo assim, o número de 
elementos de P é 10.
Pela teoria do conjunto das partes, o número de 
subconjuntos possíveis de P é:
210=1024
O QUE É DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E 
IMAGEM?
Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de 
um conjunto A a um único elemento de um conjunto B.
De acordo com essa definição, as funções
necessariamente devem relacionar todos os elementos do
primeiro conjunto, mas nem todos os elementos do
segundo conjunto serão “usados”. São nesses dois
conjuntos que podemos encontrar o domínio, o
contradomínio e a imagem de uma função.
Algebricamente, uma função é definida da seguinte
maneira:
f: A → B
y = f(x)
Em que f é a letra escolhida para representar a função, e
y = f(x) é a regra da função.
O símbolo A → B quer dizer que os elementos do
conjunto A serão avaliados na regra f(x) e terãocomo
resultado um elemento do conjunto B. A letra x, em uma
função, representa um elemento qualquer do conjunto
A, por isso, é chamada de variável: pode
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assumir qualquer valor, desdeque esse valor seja um dos 
elementos de A.
Além disso, x também é variável independente, pois é 
essa variável que determina qual elemento do
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conjunto B será relacionado ao elemento do conjunto A
por meio da regra y = f(x).
A variável y é dependente da variável x, por essa razão,
é nomeada como variável dependente. Em resumo, a
variável x representa um elemento qualquer do conjunto
A, e a variável y refere-se a um elemento qualquer do
conjunto B.
Dada a função y = f(x) que relaciona os elementos do
conjunto A aos elementos do conjunto B, podemos
definir:
1 – O conjunto A é conhecido como domínio. Esse
nome é escolhido para esse conjunto devido ao papel dos
seus elementos na função. Lembre-se de que o conjunto
A é que determina a variável independente. Portanto, os
elementos do conjunto A possuem o “domínio” sobre os
resultados da função, uma vez que os resultados de y
obtidos dependem do valor x escolhido.
Exemplo – dada a função:
f: N→ Z 
y = 2x
O conjunto dos números naturais é o domínio,portanto,
os números que poderão ser relacionados 
conjunto:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, …}
estão no
2 – O conjunto B é conhecido como contradomínio.
Esse nome é escolhido pelo fato de que nem todos os
elementos do conjunto B precisam ser usados para que
a função seja válida. Além disso, esse nome remete à
dependência que existe entre os conjuntos A e B.
O contradomínio é o conjunto em que encontraremos
todos os números que podem ser relacionados aos
elementos do domínio por meio da função f. Tomando
novamente o exemplo anterior:
f: N → Z 
y = 2x
O contradomínio é o conjunto formado por todosos
números inteiros. Note que alguns números inteiros
nunca poderão ser resultados de uma multiplicação de
um número natural por 2, como o número 7. Assim,
embora o número 7 pertença ao contradomínio, ele não
pode ser relacionado a nenhum número no domínio.
3 – O subconjunto do contradomínio, formado por 
todos os seus elementos que se relacionam a algum 
elemento do domínio, é denominado de imagem. 
Assim, na função anterior:
f: N → Z 
y = 2x
Embora o conjunto de todos os números inteiros seja 
o contradomínio dessa função, apenas os números
pares serão resultados de algum elemento do
domínio aplicado na regra da função. Portanto, o
conjunto imagem dessa função é o conjunto dos números
pares.
REFERENCIAS
MOREIRA, Luiz. O que é domínio, contradomínio e imagem? 
Brasil Escola. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/o-
que-e/matematica/o-que-e-dominio-contradominio-imagem.htm>. 
Acesso em 12 ago. 2020.
OLIVEIRA, Raul. Conjuntos. Brasil Escola. Disponível em:
<https://brasilescola .uol.com.br/matematica/conjunto.htm >. 
Acesso em 12 ago. 2020.
RAMOS, Danielle. Gráfico de Função do 1º grau. Brasil Escola.
em:Disponível
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-1-
grau.htm>. Acesso em 12 ago. 2020.
http://www.canaleducacional.com.br/
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-dominio-contradominio-imagem.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-dominio-contradominio-imagem.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-1-grau.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-1-grau.htm