Eng_Producao_P7-1_gabarito_r1

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avaliação presencial
Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando em cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. Evite escrever 
no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova!
ra:
curso: Engenharia de Produção bimestre:  11o bimestre data:  / /2017
P7-1polo: mediador  responsável: grupo (dia da semana,  período, no):
nome: ra:
Avaliação Presencial 1Abril /2017
disciplina Economia II nOTa (0-10):
Leia atentamente todas as questões.
É permitido o uso de calculadora.
questão 1 (3,0 pontos)
Avalie as seguintes afirmações, atribuindo (V) quando 
verdadeira ou (F) quando falsa:
( ) a. (1 ponto) Bens normais possuem elasticidade de 
renda da demanda positiva. Dentre estes, os bens 
de luxo apresentam elasticidade superior a 1. 
( ) b. (1 ponto) O conceito de rendimentos de esca-
la se refere à taxa de crescimento do produto 
conforme crescem proporcionalmente os insu-
mos utilizados na produção. Portanto, a função 
de produção F(K,L) = 3K + 4L apresenta retornos 
constantes de escala.
( ) c. (1 ponto) Nem sempre os mercados são eficien-
tes na alocação de recursos. Poder de mercado, 
informações assimétricas, bens públicos e ex-
ternalidades são todos exemplos de falhas de 
mercado.
questão 2 (2,0 pontos)
Considere as seguintes afirmações:
a. Para o cálculo do Valor Presente Líquido (VPL), é 
necessário conhecer apenas os retornos esperados 
em cada período.
b. A estratégia de discriminação de preços é bastante 
comum. A venda casada se caracteriza pela exigên-
cia de que um consumidor adquira um produto para 
poder adquirir outro, enquanto a venda em pacote 
se refere à prática de vender dois ou mais produtos 
em conjunto.
c. As inovações podem dar ganhos de competitivida-
de às empresas inovadoras por meio da redução 
de custos ou mudança da tecnologia de produção, 
porém não conseguem alterar as estruturas de mer-
cado nem tampouco criar, por exemplo, barreiras à 
entrada contra novos concorrentes.
d. A formação de cadeias globais de valor está asso-
ciada à atuação das corporações transnacionais 
durante o período de globalização. Movimentos de 
“fragmentação” e “deslocalização” geográfica da pro-
dução se contrapõem à antiga integração vertical 
das empresas.
Indique as duas afirmações verdadeiras (1 ponto 
cada): ( ) ( )
questão 3 (2,0 pontos)
Suponha que a curva de demanda por um determina-
do produto seja dada por QD = 150 – 3P e a curva de 
oferta corresponda a QS = P – 30:
a. (1 ponto) Calcule o preço (P) e a quantidade (Q) de 
equilíbrio de mercado para esse produto.
b. (1 ponto) Se, por qualquer razão, o preço fosse fixa-
do em $ 40, quais seriam as novas quantidades ofer-
tadas e demandadas no mercado? Haveria excesso 
de oferta ou excesso de demanda neste caso?
questão 4 (3,0 pontos)
Sobre mercados competitivos e concentrados, responda:
a. (1 ponto) Em mercados perfeitamente competitivos, 
qual o valor do poder de mercado das empresas? E 
o que isso significa?
b. (1 ponto) Suponha que a função de custo marginal 
de uma empresa competitiva seja dada por: CMg(q) 
= 30 + 2q. Se o preço de mercado fosse P = 80, qual 
seria o nível de produção da empresa (q*) que ma-
ximizaria seus lucros?
c. (1 ponto) Oligopólios são estruturas de mercado 
com poucas empresas ofertantes. O que se pode 
dizer em relação à diferenciação de produtos e às 
barreiras à entrada/saída nesse tipo de mercado?
2 Avaliação Presencial Abril/2017
disciplina Modelagem e Simulação nOTa (0-10):
questão 1 (2,0 pontos)
Para a Cadeia de Markov dada a seguir:










=
1,8.,1,
04,6,
5,5,0
1P
a. Determine seu grafo.
b. Se é ou não ergódica e justifique. 
questão 2 (2,0 pontos)
Para a Cadeia de Markov determine as probabilidades 
de estado estacionário.
 






8,02,0
11,089,0
. 
 
3) (4,0 pontos) Os serviços de tratamento de solo devem passar por uma análise 
em um laboratório e depois duas máquinas são empregadas para finalização do 
mesmo de modo que devem passar por dois estágios conforme a configuração 
de atendimento de cada estágio dada na Figura 1. 
 
Figura 1: No primeiro estágio só existe um servidor e no segundo existem dois. 
 
O problema pode ser modelado como um sistema de filas em série conforme 
dado na Figura 2. 
 
 
Figura 2: Sistema de filas em série com dois estágios. 
 
Os dados do sistema são dados na Tabela 1. 
 
Tabela 1: Parâmetros do sistema de filas em série. 
Parâmetro Valor (serviços/hora) 
λ 8 
Estágio 1: µ1 14 
Estágio 2: µ2 8 
 
 
questão 3 (4,0 pontos)
Os serviços de tratamento de solo devem passar por 
uma análise em um laboratório e depois duas máqui-
nas são empregadas para finalização do mesmo de 
modo que devem passar por dois estágios conforme 
a configuração de atendimento de cada estágio dada 
na Figura 1.
Figura 1: No primeiro estágio só existe um servidor e 
no segundo existem dois.
O problema pode ser modelado como um sistema de 
filas em série conforme dado na Figura 2.
Figura 2: Sistema de filas em série com dois estágios.
Os dados do sistema são dados na Tabela 1.
 






8,02,0
11,089,0
. 
 
3) (4,0 pontos) Os serviços de tratamento de solo devem passar por uma análise 
em um laboratório e depois duas máquinas são empregadas para finalização do 
mesmo de modo que devem passar por dois estágios conforme a configuração 
de atendimento de cada estágio dada na Figura 1. 
 
Figura 1: No primeiro estágio só existe um servidor e no segundo existem dois. 
 
O problema pode ser modelado como um sistema de filas em série conforme 
dado na Figura 2. 
 
 
Figura 2: Sistema de filas em série com dois estágios. 
 
Os dados do sistema são dados na Tabela 1. 
 
Tabela 1: Parâmetros do sistema de filas em série. 
Parâmetro Valor (serviços/hora) 
λ 8 
Estágio 1: µ1 14 
Estágio 2: µ2 8 
 
Tabela 1: Parâmetros do sistema de filas em série.
a. Calcular a probabilidade de haver dois ou mais ser-
viços na fila do estágio 1.
b. Calcular o tempo médio de fila no estágio 2.
c. Em um novo modelo é considerado que existe uma 
probabilidade de haver retrabalho em cada estágio 
e no estágio 2 existe apenas 1 servidor conforme 
dados da Figura 3 e da Tabela 2.
Figura 3: Modelo novo que emprega redes de filas.
Os dados do modelo novo são fornecidos na Tabela 2.
Item (A): Calcular a probabilidade de haver duas ou mais obras de pavimentação 
na fila do estágio 1. 
 
Item (B): Calcular o tempo médio de fila no estágio 2. 
 
Item (C):Em um novo modelo é considerado que existe uma probabilidade de 
haver retrabalho em cada estágio e no estágio 2 existe apenas 1 servidor 
conforme dados da Figura 3 e da Tabela 2. 
 
Figura 3: Modelo novo que emprega redes de filas. 
 
Os dados do modelo novo são fornecidos na Tabela 2. 
 
Tabela 2: Parâmetros do sistema de filas em série. 
Estágio Parâmetro Valor (serviços/hora) 
1 r1 5 
 µ1 20 
 p12 1/2 (só %) 
2 r2 15 
 µ2 30 
 p21 1/4 (só %) 
 
Considerando o novo modelo, pede-se: 
 
Item (c.1): A fração de tempo que cada servidor está ocupado. 
 
Item (c.2): O tempo médio que uma peça gasta no sistema. 
 
4) (2,0 pontos) Em cada mês, um posto de combustível vende 1.000 litros de 
gasolina. A cada vez que a distribuidora reabastece os tanques do posto, custa 
Tabela 2: Parâmetros do sistema de filas em série.
Considerando o novo modelo, pede-se:
c1. A fração de tempo que cada servidor está ocupado.
c2. O tempo médio que uma peça gasta no sistema.
questão 4 (2,0 pontos)
Em cada mês, um posto de combustível vende 1.000 
litros de gasolina. A cada vez que a distribuidora rea-
bastece os tanques do posto, custa R$ 50 mais R$ 0,7 
por litro. O custo anual de armazenamento de um litro 
de gasolina é de R$ 0,2. 
a. Quão grande devem ser as ordens de compra?
b. Quanto tempo se passa entre duas ordens?
Avaliação Presencial 3Abril /2017
FORMULÁRIO
Cadeia de Markov
∑
=
=
S
k
kjkj p
1
ππ
 
 
121 =+++ sπππ 
Modelo M/M/1/Gd/∞/∞
µlr /= )1(0 rπ -= 
)1( rrπ -= jjlµ
l
r
r
-
=
-
=
)1(
L
r
rr
-
=-=
1
2
LLq
01 π-=sL l
LW =
 l
q
q
L
W =
Modelo M/M/1/Gd/C/∞
µlr /= 
FORMULÁRIO 
CADEIA DE MARKOV 
∑
=
=
S
k
kjkj p
1
ππ
 
121 =+++ sπππ 
 
Modelo M/M/1/GD/∞/∞: 
µλρ /=
, 
)1(0 ρπ −=
, 
)1( ρρπ −= jj
,
λµ
λ
ρ
ρ
−
=
−
=
)1(
L
, 
ρ
ρρ
−
=−=
1
2
LLq
, 
01 π−=sL
, 
λ
LW =
, 
λ
q
q
L
W =
 
Modelo M/M/1/GD/C/∞: 
µλρ /=
, 
)1/()1( 10
+−−= cρρπ , Cj
j
j ,...,1,0 == πρπ , ,...,1,0 +== Cjjπ 
)1)(1(
])1(1[
1
1
ρρ
ρρρ
−−
++−
= +
+
C
CC CCL
, 01 π−=sL
, 
sq LLL −=
, 
)1( C
LW
πλ −
=
 e 
)1( C
q
q
L
W
πλ −
=
 
Modelo M/M/S/GD/∞/∞: 
µλρ s/=
, 
∑
−
= −
+
= 1
0
0
)1(!
)(
!
)(
1
s
i
si
s
s
i
s
ρ
ρρ
π
sj
j
s j
j ,...,1,!
)( 0 == πρπ
,
,...1,
!
)( 0 +== − sjss
s
sj
j
j
πρπ
, 
)1(!
)()( 0
ρ
πρ
−
=≥
s
ssjP
s
, 
ρ
ρ
−
≥
=
1
)( sjPLq
, 
λµ −
≥
=
s
sjPWq
)(
, 
λ
q
q
L
W =
, 
µ
λ
+= qLL
, 
λ
LW =
, 
, 
 
 
[ ]






−−
−−−−
≥+=> −
ρ
ρµµ
1
)1(exp1)(1)(
s
sstsjPetWP t
, 
[ ]tssjPtWP )1(exp)()( ρµ −−≥=>
 
Sistemas de Filas em Série: 
Usar equacionamento dos modelos anteriores. 
 
Redes de Filas Abertas: 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
 kLLLL +++= ...21 krrr +++= ...21λ λ
LW =
 
 
Lote Econômico: 1/2
h
2KD
q* 




=
 q*/D 
Cjjj ,...,1,0 == πrπ 
,...,1,0 +== Cjjπ
FORMULÁRIO 
CADEIA DE MARKOV 
∑
=
=
S
k
kjkj p
1
ππ
 
121 =+++ sπππ 
 
Modelo M/M/1/GD/∞/∞: 
µλρ /=
, 
)1(0 ρπ −=
, 
)1( ρρπ −= jj
,
λµ
λ
ρ
ρ
−
=
−
=
)1(
L
, 
ρ
ρρ
−
=−=
1
2
LLq
, 
01 π−=sL
, 
λ
LW =
, 
λ
q
q
L
W =
 
Modelo M/M/1/GD/C/∞: 
µλρ /=
, 
)1/()1( 10
+−−= cρρπ , Cj
j
j ,...,1,0 == πρπ , ,...,1,0 +== Cjjπ 
)1)(1(
])1(1[
1
1
ρρ
ρρρ
−−
++−
= +
+
C
CC CCL
, 01 π−=sL
, 
sq LLL −=
, 
)1( C
LW
πλ −
=
 e 
)1( C
q
q
L
W
πλ −
=
 
Modelo M/M/S/GD/∞/∞: 
µλρ s/=
, 
∑
−
= −
+
= 1
0
0
)1(!
)(
!
)(
1
s
i
si
s
s
i
s
ρ
ρρ
π
sj
j
s j
j ,...,1,!
)( 0 == πρπ
,
,...1,
!
)( 0 +== − sjss
s
sj
j
j
πρπ
, 
)1(!
)()( 0
ρ
πρ
−
=≥
s
ssjP
s
, 
ρ
ρ
−
≥
=
1
)( sjPLq
, 
λµ −
≥
=
s
sjPWq
)(
, 
λ
q
q
L
W =
, 
µ
λ
+= qLL
, 
λ
LW =
, 
, 
 
 
[ ]






−−
−−−−
≥+=> −
ρ
ρµµ
1
)1(exp1)(1)(
s
sstsjPetWP t
, 
[ ]tssjPtWP )1(exp)()( ρµ −−≥=>
 
Sistemas de Filas em Série: 
Usar equacionamento dos modelos anteriores. 
 
Redes de Filas Abertas: 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
 kLLLL +++= ...21 krrr +++= ...21λ λ
LW =
 
 
Lote Econômico: 1/2
h
2KD
q* 




=
 q*/D 
 
01 π-=sL sq LLL -=
 )1( C
LW
πl -
=
 
)1( C
q
q
L
W
πl -
=
Modelo M/M/s/Gd/∞/∞
 
∑
-
= -
+
= 1
0
0
)1(!
)(
!
)(
1
s
i
si
s
s
i
s
r
rr
π
sj
j
s j
j ,...,1,!
)( 0 == πrπ
 
,...1,
!
)( 0 +== - sjss
s
sj
j
j
πrπ
)1(!
)()( 0
r
πr
-
=≥
s
ssjP
s
 r
r
-
≥
=
1
)( sjPLq
 lµ -
≥
=
s
sjPWq
)(
 l
q
q
L
W =
 
µ
l
+= qLL
 l
LW =
[ ]






--
----
≥+=> -
r
rµµ
1
)1(exp1)(1)(
s
sstsjPetWP t
[ ]tssjPtWP )1(exp)()( rµ --≥=>
sisteMas de Filas eM série
Usar equacionamento dos modelos anteriores.
redes de Filas abertas
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
ll
 
kLLLL +++= ...21 
krrr +++= ...21l l
LW =
lote eConôMiCo
q* 
1/2
h
2KD
q* 




= q*/D 
µlr s/=
4
gabaRItO
disciplina Economia II nOTa (0-10):
Na correção das provas, atentar para o seguinte:
1. Pontuação de cada questão encontra-se nos res-
pectivos enunciados. Questões 1 e 4 valem 3 pontos 
cada e questões 2 e 3 valem 2 pontos cada, soman-
do 10 pontos no total.
2. Para informações específicas sobre atribuição de 
notas no caso das questões dissertativas 3 e 4, ver 
gabarito abaixo.”
questão 1 (3,0 pontos)
a. ( V )
b. ( V )
c. ( V )
questão 2 (2,0 pontos)
( B ) ( D )
questão 3 (2,0 pontos)
a. (Atribuir 0,5 ponto se o aluno obteve o preço correto 
e mais 0,5 ponto da questão se obteve a quantidade 
correta):
QD = QS
150 – 3P = P – 30
Portanto, P = 45
Substituindo esse preço em qualquer uma das 
equações anteriores, temos que:
Q = 15
b. (Atribuir 0,5 ponto se o aluno obteve as novas quan-
tidades ofertadas e demandadas e mais 0,5 ponto 
da questão se respondeu corretamente à pergunta 
se haveria excesso de oferta ou de demanda):
Se P = 40 e QD = 150 – 3P, QD = 30
Se P = 40 e QS = P – 30, QS = 10
Neste caso, haveria excesso de oferta.
questão 4 (3,0 pontos)
a. (Atribuir 0,5 ponto ao valor do poder de mercado e 
0,5 ponto ao significado; a resposta deve transmitir 
de modo semelhante a ideia abaixo):
O valor do poder de mercado das empresas é nulo 
(ou zero). Isso significa que as empresas não pos-
suem capacidade de influenciar (ou determinar) 
o preço de mercado. Elas são tomadoras de preço.
b. (Atribuir o ponto da questão aos alunos que obti-
verem o nível de produção q* correto; caso o aluno 
erre o cálculo, mas mostre o raciocínio que levaria à 
resposta correta, atribuir 0,5 ponto).
Uma empresa competitiva maximiza seus lucros ao 
nível de produção em que CMg = RMg = P. Neste 
caso, igualando o CMg da empresa ao preço de mer-
cado, CMg(q) = 30 + 2q = 80, obtém-se o nível de 
produção q* = 25.
c. (Atribuir 0,5 ponto à resposta sobre a diferenciação 
de produtos e 0,5 ponto à resposta sobre barreiras 
à entrada/saída do mercado; as respostas devem 
transmitir de modo semelhante a ideia abaixo):
1. As empresas podem ou não ofertar no mercado 
produtos diferenciados (há mercados oligopo-
lizados com forte diferenciação de produto, 
como o automobilístico, mas há também mer-
cados oligopolizados com baixa ou nenhuma 
diferenciação de produto, como o siderúrgico).
2. Há, em geral, barreiras à entrada/saída eleva-
das (significativas).
disciplina Modelagem e Simulação nOTa (0-10):
Na correção das provas, atentar para o seguinte:
1. As respostas podem ser expressas em termos de 
fração ou casas decimais. Calculadoras podem ser 
utilizadas. 
2. As questões 1, 2 e 4 valem 2,0 pontos e a questão 3 
vale 4,0, somando 10 pontos no total.
3. A seção “Pontuação” indica precisamente qual a 
pontuação para cada resultado obtido ou proprie-
dade e/ou ideia escrita.
questão 1
A resolução desta questão é dada por:
a. Embora os valores numéricos deste item sejam di-
ferentes para cada uma das 9 provas, os elementos 
não-nulos são os mesmos. Deste modo, a topolo-
gia do grafo é a mesma, variando apenas os valores 
que devem ser inseridos em cada um dos arcos. De 
modo geral, o grafo é dado por:
5
Pontuação 
 → Cada arco correto: 0,1 (total 0,7)
 → Desenhar cada um dos 3 estados: 0,1 (total 0,3)
b. Como observado no item (a), a topologia do grafo é a 
mesma para todas as 9 provas de modo que as afir-
mativas abaixos são válidas para todas as 9 provas:
I. Todos os estados são comunicáveis, pois para 
quaisquer estados i e j é acessível a partir de i, e 
vice-versa. 
II. Como existem estados cujo período k = 1 e de 
acordo com (i) todos os estados são aperiódicos.
III. Em função de (i) todos os estados são recorren-
tes, pois, em função de (i) para quaisquer estados 
i e j, se existe um caminho de i para j também 
existe o caminho de j para i.
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica.
Pontuação
 → Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 
estados x 3 propriedades = 9 verificações, total 0,9).
 → Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Er-
gódica: 0,1.
questão 2
Embora para cada uma das 9 provas a matriz de tran-
sição em uma passo tem valores diferentes, o sistema 
linear a ser resolvido é dado de forma geral por:
 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho dei para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 →
→ 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((111211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 → 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
 
(i)Todos os estados são comunicáveis, pois para quaisquer estados i e j é acessível a partir de 
i, e vice-versa. 
(ii) Como existem estados cujo período k = 1 e de acordo com (i) todos os estados são 
aperiódicos. 
(iii) Em função de (i) todos os estados são recorrentes, pois, em função de (i) para quaisquer 
estados i e j, se existe um caminho de i para j também existe o caminho de j para i. 
Logo, de acordo com (i), (ii) e (iii) a Cadeia é Ergódica. 
 
 
Pontuação: 
- Verificar para cada estado as três propriedades: 0,1 (3 estados x 3 propriedades = 9 
verificações, total 0,9). 
- Concluir corretamente que a cadeia de Markov é Ergódica: 0,1. 
 
 
2) Embora para cada uma das 9 provas a matriz de transição em uma passo tem 
valores diferentes, o sistema linear a ser resolvido é dado de forma geral por: 
 
 
[ ] [ ] 





=
11
1 2111211
aa
πππ
 →


−=
=+
21
1221111
1 ππ
πππ aa
→


−=
=+−
12
221111
1
0)1(
ππ
ππ aa
→ 0)1()1( 121111 =−+− ππ aa → 2112111 )1( aaa −=−− π → )1/( 2111211 aaa −−−=π 
→ )1/( 1121211 aaa −+=π 
→ )1/()1()1/())1(())1/((1 11211111212111211121212 aaaaaaaaaaa −+−=−+−−+=−+−=π 
Para a11= 0,9 e a21 = 0,15, têm-se: π1 = 0,6 e π2 = 0,4. 
 
Pontuação: 
- Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5. 
- Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5. 
- Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 e π2: 0,5 por valor correto. 
 
 
3) Nesta questão é necessário considerar: 
Para a11= 0,89 e a21 = 0,2, têm-se: π1 = 0,65 e π2 = 0,35.
Pontuação 
 → Encontrar uma das equações do sistema π = πP: 0,5.
 → Utilizar a equação: π1 + π2 = 1: 0,5.
 → Resolver o sistema e encontrar o valor correto de π1 
e π2: 0,5 por valor correto.
questão 3
Nesta questão é necessário considerar:
a. Como apenas o estágio 1 é considerado, basta apli-
car o modelo M/M/1. Nesse caso, deseja-se calcular:
p(fila ≥ 2) = 1 - p(fila ≤ 1) = 1 - (π0 + π1) 
= 1 - ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2
Para esta prova: ρ = 4/7 e ρ2 = 16/49 = 0,33
Pontuação
 → Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5.
 → Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5.
b. Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é 
necessário empregar o modelo M/M/s com s = 2 e ρ 
= 4/8 = 0,50:
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 4/7 e ρ2 = 16/49 = 0,33 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 4/8 = 0,50: 
 
 33,03
1
111
1
)5,01(!2
)5,0*2(
!1
)5,0*2(
!0
)5,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
33,033,0*1
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
04,0
8)8(2
33,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 4/7 e ρ2 = 16/49 = 0,33 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 4/8 = 0,50: 
 
 33,03
1
111
1
)5,01(!2
)5,0*2(
!1
)5,0*2(
!0
)5,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
33,033,0*1
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
04,0
8)8(2
33,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 4/7 e ρ2 = 16/49 = 0,33Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 4/8 = 0,50: 
 
 33,03
1
111
1
)5,01(!2
)5,0*2(
!1
)5,0*2(
!0
)5,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
33,033,0*1
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
04,0
8)8(2
33,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 4/7 e ρ2 = 16/49 = 0,33 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 4/8 = 0,50: 
 
 33,03
1
111
1
)5,01(!2
)5,0*2(
!1
)5,0*2(
!0
)5,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
33,033,0*1
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
04,0
8)8(2
33,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
= 0,04 horas
Pontuação
 → Calcular corretamente π0: 0,5
 → Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25
 → Calcular corretamente Wq: 0,25
c. Considerando que o modelo é de redes de filas:
c1. O cálculo da fração de tempo que cada servidor 
está ocupado é obtido com a resolução de um siste-
ma linear derivado da seguinte equação:
 , j = 1, ..., K.
Para o caso de dois estágios, têm-se:
l1 = r1 + p21l2 (1)
l2 = r2 + p12l1 (2)
Aplicando equação (2) em (1): 
l1 = r1 + p21(r2 + p12l1) → l1 - p21p12l1 = r1 + p21r2 
→ l1 - p21p12l1 = r1 + p21r2
 
Item (a): Como apenas o estágio 1 é considerado, basta aplicar o modelo M/M/1. 
Nesse caso, deseja-se calcular: 
p(fila ≥ 2) = 1 – p(fila ≤ 1) = 1 – (π0 + π1) = 1 – ((1 - ρ) + ρ(1 - ρ)) = ρ2 
 
Para esta prova: ρ = 5/10 e ρ2 = 25/100 = 0,25 
 
Pontuação: 
- Encontrar a expressão correta de p(fila ≥ 2): 0,5. 
- Calcular corretamente o valor de p(fila ≥ 2): 0,5. 
 
 
Item (B): Para calcular o tempo médio de fila no estágio 2 é necessário empregar 
o modelo M/M/s com s = 2 e ρ = 5/12 = 0,42: 
 
 41,045,2
1
61,084,01
1
)42,01(!2
)42,0*2(
!1
)42,0*2(
!0
)42,0*2(
1
2100 ==++
=
−
++
=π
 
25,041,0*61,0
)1(!
)()( 0 ==−
=≥ π
ρ
ρ
s
ssjP
s
 
13,0
5)6(2
25,0)(
=
−
=
−
≥
=
λµs
sjPWq
horas 
 
Pontuação: 
- Calcular corretamente π0: 0,5 
- Calcular corretamente P(j ≥ s): 0,25 
- Calcular corretamente Wq: 0,25 
 
Item (C):Considerando que o modelo é de redes de filas: 
 
Item (c.1): O cálculo da fração de tempo que cada servidor está ocupado é obtido 
com a resolução de um sistema linear derivado da seguinte equação: 
 
∑
≠=
+=
K
jii
iijjj pr
,1
λλ
, j = 1, ..., K. 
Para o caso de dois estágios, têm-se: 
6
(1 - p21p12) l1 = r1 + p21r2 → 
l1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3)
Para o caso em que r1 = 5, r2 = 15, p21 = 1/4 e p12 = 1/2, 
então:
λ1 = (5 + 1/4*17) / (1 - 1/2*1/4) = 8/7*(5 + 17/4) 
= 10,57 serviços/hora
λ2 = 15 +1/2*10,57 = 20,29 serviços/hora
Como para os dois estágios existe um servidor, então, 
a ociosidade será dada por: 
π0 = 1 - r = 1 - l/u
Para o estágio 1: 
π0 = 1 - λ1/u1 = 1 - 10,57/20 = 0,47
Para o estágio 2: 
π0 = 1 - λ2/u2 = 1 - 20,29/30 = 0,32
Pontuação
 → Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto 
cada, 0,5 no total.
 → Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto 
cada, 0,5 no total.
c2. Para calcular o tempo médio que uma peça gasta 
no sistema é necessário, antes, calcular o número 
médio de pessoas em cada estágio:
 
λ1 = r1 + p21λ2 (1) 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
 
Aplicando equação (2) em (1): 
λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 
(1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) 
 
Para o caso em que r1 = 10, r2 = 15, p21 = 1/2 e p12 = 1/4, então: 
 
λ1 = (10 +1/2*15) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(10 + 15/2) = 20 serviços/hora 
λ2 = 15 +1/4*20 = 20 serviços/hora 
 
Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada 
por: 
π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u 
 
Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 20/25 = 0,20 
Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 20/30 = 0,33 
Pontuação: 
- Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
- Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
 
Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é 
necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: 
 
)1( i
i
iL ρ
ρ
−
=
 
Do item anterior: 
 
Estágio 1: 
00,4
2,0
8,0
)8,01(
8,0
)1( 1
1
1 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
 
Estágio 2: 
00,2
3/1
3/2
)3/21(
3/2
)1( 2
2
2 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
 
O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 6,00 
 
Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: 
λ = r1 + r2 = 10 + 15 = 25 
Do item anterior:
Estágio 1: 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
 
Aplicando equação (2) em (1): 
λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 
(1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) 
 
Para o caso em que r1 = 5, r2 = 15, p21 = 1/4 e p12 = 1/2, então: 
 
λ1 = (5 +1/4*17) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(5 + 17/4) = 10,57 serviços/hora 
λ2 = 15 +1/2*10,57 = 20,29 serviços/hora 
 
Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada 
por: 
π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u 
 
Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 10,57/20 = 0,47 
Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 20,29/30 = 0,32 
Pontuação: 
- Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
- Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
 
Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é 
necessário, antes, calcular o número médio de pessoas em cada estágio: 
 
)1( i
i
iL ρ
ρ
−
=
 
Do item anterior: 
 
Estágio 1: 
13,1
47,0
53,0
)53,01(
53,0
)1( 1
1
1 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
Estágio 2: 
13,2
32,0
68,0
)68,01(
68,0
)1( 2
2
2 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
 
O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 3,26 
 
Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: 
λ = r1 + r2 = 5 + 15 = 20 
 
Então: 
Estágio 2: 
λ2 = r2 + p12λ1 (2) 
 
Aplicando equação (2) em (1): 
λ1 = r1 + p21(r2 + p12λ1) → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 → λ1 - p21p12λ1 = r1 + p21r2 
(1 - p21p12) λ1 = r1 + p21r2 → λ1 = (r1 + p21r2) / (1 - p21p12) (3) 
 
Para o caso em que r1 = 5, r2 = 15, p21 = 1/4 e p12 = 1/2, então: 
 
λ1 = (5 +1/4*17) / (1 –1/2*1/4) = 8/7*(5 + 17/4) = 10,57 serviços/hora 
λ2 = 15 +1/2*10,57 = 20,29 serviços/hora 
 
Como para os dois estágios existe um servidor, então, a ociosidade será dada 
por: 
π0 = 1 - ρ = 1 - λ/u 
 
Para o estágio 1: π0 =1 - λ1/u1 = 1 – 10,57/20 = 0,47 
Para o estágio 2: π0 =1 - λ2/u2 = 1 – 20,29/30 = 0,32 
Pontuação: 
- Encontrar os valores corretos de λ1 e λ2: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
- Encontrar ociosidade π0 de cada estágio: 0,25 ponto cada, 0,5 no total. 
 
Item (c.2): Para calcular o tempo médio que uma peça gasta no sistema é 
necessário, antes, calcular onúmero médio de pessoas em cada estágio: 
 
)1( i
i
iL ρ
ρ
−
=
 
Do item anterior: 
 
Estágio 1: 
13,1
47,0
53,0
)53,01(
53,0
)1( 1
1
1 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
Estágio 2: 
13,2
32,0
68,0
)68,01(
68,0
)1( 2
2
2 ==−
=
−
=
ρ
ρL
 
 
O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 3,26 
 
Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se: 
λ = r1 + r2 = 5 + 15 = 20 
 
Então: 
O L do sistema é dado por: L = L1 + L2 = 3,26
Para encontrar o tempo médio no sistema calcula-se:
λ = r1 + r2 = 5 + 15 = 20
Então:
W = L / λ = 3,26/20 = 0,16 horas
Pontuação
 → Encontrar os valores corretos de Li de cada estágio: 
0,25 por cada, 0,5 no total.
 → Encontrar o valor de λ do sistema: 0,25 ponto.
 → Calcular corretamente o valor de W: 0,25 ponto.
questão 4
A resolução desta questão depende da aplicação da 
equação de Lote Econômico.
a. O tamanho do lote (ou da compra) é dado por:
 
Então: 
W = L / λ = 6/25 = 0,24 horas 
 
Pontuação: 
- Encontrar os valores corretos de Li de cada estágio: 0,25 por cada, 0,5 no total. 
- Encontrar o valor de λ do sistema: 0,25 ponto. 
- Calcular corretamente o valor de W: 0,25 ponto. 
 
 
4) A resolução desta questão depende da aplicação da equação de Lote 
Econômico. 
 
Item (a): O tamanho do lote (ou da compra) é dado por: 
 1/2
h
2KD
q* 




=
 
Para esta questão: K = 50, D = 8000 e h = 0,5. Assim, q* = 1264,91. 
 
Pontuação: 
- Identificar corretamente os valores K, D e h: 0,25 cada. 
- Calcular corretamente o valor de q*: 0,25. 
 
Item (b): O tempo entre duas ordens é dado por: q*/D. 
Para esta questão q*/D = 1265/8000 = 0,16 ano ≈ 1,9 meses. 
 
Pontuação: 
- Identificar que a razão q*/D fornece o intervalo entre duas ordens: 0,5. 
- Calcular corretamente a razão e achar o valor próximo de 3 meses: 0,5. 
 
 
Para esta questão: K = 50, D = 12 x 1000 e h = 0,2. 
Assim, q* = 2449,49.
Pontuação
 → Identificar corretamente os valores K, D e h: 0,25 
cada. 
 → Calcular corretamente o valor de q*: 0,25.
b. O tempo entre duas ordens é dado por: q*/D.
Para esta questão q*/D = 2450/(12 x 1000) = 0,20 
ano ≈ 2,45 meses = 74,5 dias.
Pontuação
 → Identificar que a razão q*/D fornece o intervalo en-
tre duas ordens: 0,5.
 → Calcular corretamente a razão e achar o valor próxi-
mo de ano, meses ou dia: 0,5.