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Lista Exercícios – Variáveis Aleatórias Bidimensionais 
MAT02214 – Estatística Geral I 
1) Considere a distribuição conjunta de X e Y. 
Y\X 1 2 3 
0 0,1 0,1 0,1 
1 0,2 0 0,3 
2 0 0,1 0,1 
a) Determine as distribuições marginais de X e Y. 
b) Obtenha as esperanças e variâncias de X e Y. 
c) Verifique se X e Y são independentes. 
d) Calcule P(X=1|Y=0) e P(Y=2|X=3) 
2) A distribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ) é a seguinte: 
X\Y 1 2 3 4 
1 0,03 0,06 0,09 0,12 
2 0,01 0,08 0,11 0,20 
3 0,06 0,06 0,10 0,08 
a) Calcule as distribuições de probabilidades marginais de X e Y. 
b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique. 
c) Calcule P(X = 3, Y = 2) e P(X = 3|Y = 2) 
 
3) Um cliente de uma livraria pode fazer encomendas de livros estrangeiros em inglês e 
francês que não existam em estoque. O número de livros em inglês e francês 
encomendados semanalmente é o par aleatório (X, Y), respectivamente, com a 
seguinte distribuição de probabilidades: 
 
X\Y 1 2 3 4 
0 0,01 0,02 0,04 0,03 
1 0,05 0,10 0,20 0,15 
2 0,04 0,08 0,16 0,12 
a) Qual a probabilidade de numa semana serem encomendados no máximo dois 
livros? 
b) Qual a percentagem de semanas em que existe igualdade de livros ingleses e 
franceses encomendados? 
c) Determine as funções distribuição cumulativa marginais das variáveis X e Y. 
d) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y e interprete o seu 
resultado. 
e) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória “Número total de livros 
em inglês e francês encomendados semanalmente”? 
f) Qual a probabilidade de numa semana se encomendar pelo menos um livro em 
inglês sabendo que foram encomendados dois livros em francês? 
4) Considere a distribuição conjunta de X e Y descrita abaixo. 
Y\X 1 2 3 
0 0,1 0,1 0,1 
1 0,2 0 0,3 
2 0 0,1 0,1 
a) Obtenha as distribuições de X+Y e de XY. 
b) P 
c) Calcule E(X+Y), E(XY), Var(X+Y) e Var(XY). 
d) Calcule COV(X,Y) e ρ(X,Y). 
5) Dois tetraedros (dados com quatro faces) com as faces numeradas de um a quatro são 
lançados e os números das faces voltadas para baixo são anotados. Sejam as variáveis 
aleatórias: X (maior dos números observados), Y (menor dos números observados) e 
Z=X+Y, 
a) Construa a tabela da distribuição conjunta de X e Y; 
b) Determine as médias e as variâncias de X, Y e Z. 
c) Calcule COV(X,Y) e ρ(X,Y). 
 
6) Numa urna têm-se 5 tiras de papel numeradas: 1,3,5,5,7. Uma tira é sorteada e 
recolocada na urna; então, uma segunda tira é sorteada. Sejam X1 e X2 o primeiro e o 
segundo número sorteados. 
a) Determine a distribuição conjunta de X1 e X2. 
b) Obtenha as distribuições marginais de X1 e X2. Elas são independentes? Justifique. 
c) Calcule COV(X1, X2) e ρ(X1, X2). 
7) Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: 
Y\X 1 2 3 
1 0,1 0,1 0,0 
2 0,1 0,2 0,3 
3 0,1 0,1 0,0 
a) Determine a distribuição de X+Y e XY. 
b) Calcule E(X+Y). Pode-se obter a mesma resposta de outra maneira? 
c) Mostre que, embora E(XY)=E(X)E(Y), X e Y não são independentes. 
d) Calcule COV(X,Y) e ρ(X,Y). 
e) Calcule Var(X+Y).