MARKOWITZ

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GESTÃO DE RISCOS FINANCEIROS
SELEÇÃO DE CARTEIRAS – TEORIA DE 
MARKOWITZ
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Olá!
Nesta aula você saberá escolher ativos para compor uma carteira na melhor relação risco x retorno.
Ao fim desta aula, você será capaz de:
1- Identificar os ativos que melhor compõem uma carteira.
1 Risco de uma carteira
Todo ativo tem certo nível de risco que podemos avaliar. Alguns ativos têm comportamento parecido, ou seja,
quando um apresenta ganho, o outro também apresenta. Outros ativos se comportam de forma independente ou
pouco relacionada com os demais, ou seja, quando o mercado ou um determinado ativo altera seu retorno para
cima ou para baixo, o outro não se movimenta ou se movimenta de forma independente, não sofrendo influência.
As métricas estatísticas que avaliam essa correlação entre os ativos são a covariância e a correlação, já estudadas
no tópico sobre estatística.
Recordando os conceitos dessas duas medidas, temos:
Covariância é uma medida estatística que identifica como duas variáveis (no nosso caso, os retornos dos ativos)
se comportam conjuntamente, ou seja, indica como as variações em uma podem induzir variações na outra
variável.
A correlação nos dá a medida de intensidade de força da interferência de uma variável sobre a outra. Enquanto a
covariância tem valores que envolvem as dimensões das duas variáveis analisadas, a correlação é adimensional e
seu valor situa-se entre –1 e +1.
Quanto mais próximo de 1, mais forte é a correlação entre as variáveis. Quanto mais perto de zero, mais fraca é
essa correlação.
Quando o valor da correlação é -1, significada que as variáveis têm correlação perfeita negativa, isto é, quando
uma varia para cima, a outra varia para baixo. No caso de ativos financeiros, sendo as variáveis os retornos
desses ativos, podemos dizer que, se a correlação é -1, o risco da carteira formada por esses dois ativos poderá
ser anulado.
Apenas a título de revisão, seguem as fórmulas de cálculo dessas duas medidas estatísticas:
• Covariância•
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Onde:
Para a população, a fórmula matemática é:
Onde:
Coeficiente de correlação
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Onde:
Para a população, a fórmula matemática é:
Onde:
As duas fórmulas alternativas abaixo são individualmente equivalentes à fórmula anterior para estimar o valor
do coeficiente de correlação e permitem o cálculo direto, sem a necessidade de se obter previamente a variância:
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Onde:
2 Desvio padrão da carteira e o benefício da diversificação
A variância e o desvio padrão são medidos de dispersão e quando tomados em relação aos retornos de um ativo
ou de uma carteira podem ser entendidos como uma medida de risco desse ativo ou carteira.
Diferentemente dos retornos, a variância de uma carteira não é a média ponderada das variâncias de seus ativos,
pois como vimos no tópico sobre risco sistêmico e não sistêmico, ao juntarmos dois ou mais ativos obtemos o
benefício da diversificação na redução do risco total, até o limite do risco sistemático. Isso se deve à definição
estatística dessas medidas, cuja combinação em carteira leva em consideração a correlação existente entre os
ativos. Isso está em linha com o processo intuitivo no qual percebemos que os resultados adversos de um ativo
são parcialmente anulados por resultados positivos de outros ativos da mesma carteira, reduzindo parte dos
riscos. A formulação da variância de uma carteira e, consequentemente, a formulação do seu desvio padrão
mostram esse efeito:
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Como a variância entre dois ativos também pode ser expressa como:
Então:
E a fórmula do desvio padrão é dada pela raiz quadrada da variância, como segue:
Para melhor entendimento dessa formulação, vamos tomar um exemplo numérico, do livro de Ross, Stephen A.
Administração Financeira. Corporate Finance, páginas 208 a 211.
Dadas duas ações: Supertech (A) e Slowpoke (B), com os seguintes valores estatísticos:
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Vamos agora construir uma tabela para calcular os pares retorno médio e desvio padrão para diversas carteiras
compostas desses dois ativos.
O formato convexo é característico do efeito de diversificação, devido à redução do risco causado pelo fato da
correlação entre os ativos ser menor que 1. A carteira 2 é a de menor risco, com 20% do ativo A e 80% do ativo
B, que resulta no retorno esperado de 7,90% a.a.
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A tabela e o gráfico mostram os pares retorno e risco para diversos valores de correlação, desde 1 até -1.
Observe que quando a correlação é igual a -1 haverá uma carteira com risco zero. Essa é uma carteira hipotética
cuja aplicação prática levaria à anulação do retorno, pois na prática só poderia ser obtida se o investidor
vendesse o risco através de um derivativo, por exemplo.
Na linha para ρ = -1, pode-se observar que há uma carteira, com 31% de ações da Supertech e 69% de ações da
Slowpoke, cujo risco é nulo e o retorno médio é de 9,2%. Para ρ = +1, a linha que representa a relação risco X
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retorno para as diversas carteiras possíveis forma uma linha reta, indicando que risco pode ser obtido pela
média ponderada dos desvios padrões dos ativos (relação linear). Todas as demais linhas para valores de ρ entre
-1 e 1 situam-se entre essas duas.
3 Fronteira eficiente
Entendida a influência da correlação (ρ) na formação do risco da carteira e seu efeito na redução do risco,
podemos passar agora para a montagem de carteiras utilizando diversos ativos disponíveis no mercado. Da
mesma forma que construímos a linha risco X retorno para dois ativos, a combinação de todos os pontos desta
linha (todas as carteiras possíveis) com outro ativo do mercado formará outra linha.
As combinações dos pontos dessa última linha com outro ativo formarão outras linhas e assim sucessivamente,
até que infinitas linhas sejam formadas. Conforme ilustramos na sequência de gráficos a seguir.
Suponhamos que existam vários ativos que podemos adquirir no mercado, todos os pares possíveis com
correlações diferentes de 1. Haverá para cada par de ativos uma linha risco X retorno, como a que foi traçada
para as ações da Supertech e Slowpoke.
Traçando mais e mais linhas...
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Até obter-se uma região limitada na parte superior por uma linha que representa as melhores combinações
entre todos os ativos. Muitos ativos não participariam da carteira sobre a linha extrema superior, por não
otimizarem os resultados (aumentando o retorno ou reduzindo o risco).
A essa linha com as melhores combinações chamamos fronteira eficiente. Sobre ela encontraremos as melhores
carteiras que podemos formar com esses ativos. A construção desse tipo de resultado numérico é feita por
programas em computador e podem demorar alguns minutos ou até horas, dependendo da complexidade da
carteira e do número total de ativos.
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A generalização da fórmula matemática da variância de uma carteira para um número qualquer de ativos pode
ser escrita como abaixo:
Para cálculo dessa variância, utiliza-se o método de multiplicação de matrizes, da seguinte forma:
Na notação matemática-matricial:
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Com a finalidade de se construir uma carteira de títulos que satisfaça ao investidor com relação à combinação do
binômio retorno x risco, Markowitz, no início da década de 50, publicou um trabalho que representa um marco
no assunto.
Este trabalho de Markowitz, intitulado Portfolio Selection, fundamentou-se em algumas premissas racionais e
estabeleceu um modelo matemático para determinação das denominadas carteiras eficientes.
A seguir apresentamos algumas premissas que fundamentaram todo o processo de análise de carteiras
desenvolvido por Markowitz:
a)a análise é efetuada considerando sempre as expectativas geradas para um período adiante – 1 mês, 1
semestre, 1 ano ou qualquer outro período definido inicialmente;
b)todos os investidores elaboram suas projeções de rentabilidade para os ativos a partir da distribuição de
probabilidades para as várias taxas de retorno que podem ser alcançadas no período do investimento;
c)os investidores associamrisco à variabilidade das taxas de retorno dos ativos em análise. Quanto mais
variáveis (voláteis) essas taxas de retorno ao longo do tempo, maior o risco do investimento.
A partir dessas premissas, Markowitz desenvolveu sua teoria, cuja fundamentação é exposta a seguir. Analisando
títulos individuais, a aplicação da metodologia de Markowitz exige que se construa a distribuição de
probabilidades do retorno esperado de cada título para o período programado do investimento – um período
adiante – e a partir desta distribuição de probabilidade subjetiva é possível extrair os dois elementos
indispensáveis para aplicação na teoria de seleção de carteiras, a saber:
• o retorno esperado do investimento no título;
• o risco desse investimento.
A expressão desses dois elementos é a seguinte:
A teoria de Markowitz objetiva determinar o conjunto de carteiras que vão compor a chamada fronteira
eficiente. Para isso é preciso estudar como se comportam o retorno esperado e o risco de uma combinação de
títulos.
•
•
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Vamos iniciar com uma carteira constituída somente por dois títulos e determinar a expressão do retorno
esperado e do risco dessa carteira. Com relação ao retorno esperado da carteira, a fórmula que permite o seu
cálculo é simplesmente a média ponderada do retorno esperado de cada título:
O que vem na próxima aula
• Mercado de derivativos.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu o que é fronteira eficiente;
• Analisou a relação risco x retorno de uma carteira pela ótica da teoria de Markowitz.
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	Olá!
	1 Risco de uma carteira
	2 Desvio padrão da carteira e o benefício da diversificação
	3 Fronteira eficiente
	O que vem na próxima aula
	CONCLUSÃO