concreto3_Sapatas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
SAPATAS DE FUNDAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Agosto/2012 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru. 
O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os 
procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento”. 
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao 
aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto. 
Esta é a primeira versão da apostila, e críticas e sugestões serão muito bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1 
1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................1 
1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO ...............................................................................................1 
1.3 TIPOS DE SAPATAS........................................................................................................1 
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS ........................................................................................3 
2. SAPATAS ISOLADAS............................................................................................................3 
2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ ......................................................................4 
2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL.............................................................................5 
2.2.1 Sapatas Rígidas ...........................................................................................................5 
2.2.2 Sapatas Flexíveis .........................................................................................................6 
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.....................................................................6 
2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA 
CENTRADA .................................................................................................................................7 
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções ..............................................7 
2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB).......................................................8 
2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70..................................................................................9 
2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior ....................................................................9 
2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................................10 
2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão..........................................................................13 
2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................14 
2.5.5 Força Cortante Limite ...............................................................................................16 
2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO..........................................................................................16 
2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante .........................................................................18 
2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na 
Superfície Crítica C..................................................................................................................19 
2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos 
sem Armadura de Punção ........................................................................................................20 
2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...............................................................21 
2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS...........................................................................................29 
2.9 MÉTODO DAS BIELAS .................................................................................................29 
2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida ...........................................................................33 
2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS.............................................34 
2.10.1 Excentricidade em Uma Direção...............................................................................34 
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções ............................................................................36 
2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor....................40 
2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA ..............................48 
2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA..................................54 
2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥ 
5d 56 
2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível ....................................................................................57 
3. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................62 
3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME...........................................64 
3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME ......................65 
3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA...............................................................67 
3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................69 
3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL..........................................................69 
3.6 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................73 
4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................74 
5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM 
SAPATAS.......................................................................................................................................75 
6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................76 
6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...............................................................................................78 
6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO.........................................78 
6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO..........................................81 
6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA......................................................81 
6.5 EXEMPLO 8 ....................................................................................................................83 
6.6 TAREFA...........................................................................................................................90 
6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA ..........................................................90 
6.8 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................91 
7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ................................................................................92 
8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................95 
8.1 SAPATA RETANGULAR...............................................................................................95 
8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..................................................................98 
8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL.......................................................................1008.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ ....................................................101 
8.5 EXEMPLO 9 ..................................................................................................................102 
9. QUESTIONÁRIO................................................................................................................111 
10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................112 
 
 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 1
1. DEFINIÇÕES 
 
 As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/2010. 
 
1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL 
 
 A fundação superficial é também chamada fundação rasa ou direta. É definida como: 
“elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a 
base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à 
fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.” 
 Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de 
dimensionamento geométrico e de calculo estrutural. 
 
1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO 
 
 Sapata de fundação é um “elemento de fundação superficial, de concreto armado, 
dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego 
de armadura especialmente disposta para esse fim.” 
 
1.3 TIPOS DE SAPATAS 
 
 Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou 
excêntrico; pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1). 
 
h=cte h = var
 
 
Figura 1 – Sapata isolada. 
 
 
 Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de 
pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, (Figura 2). 
parede
sapata OU
 
Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 2
 Sapata associada: é a sapata comum a mais de um pilar, sendo também chamada sapata 
combinada ou conjunta (Figura 3). Transmitem ações de dois ou mais pilares e é utilizada como 
alternativa quando a distância entre duas ou mais sapatas é pequena. 
 
PLANTA
VR
A
A
P1 P2
ELEVAÇÃO CORTE AA
Viga de
rigidez
 
 
Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação). 
 
 
 Viga alavanca ou viga de equilíbrio: “elemento estrutural que recebe as cargas de um 
ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às 
fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das 
cargas dos pilares nelas atuantes.” É comum em pilar de divisa onde o momento fletor 
resultante da excentricidade da ação com a reação da base deve ser resistido pela “viga de 
equilíbrio” (VE), Figura 4. 
 
sapata 2
VA
Viga alavanca (VA)
sapata 1
 
Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 3
 A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conforme 
alguns casos indicados na Figura 5. 
 
VB
VB
Viga
baldrame
(VB)
 
Figura 5 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata. 
 
 
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS 
 
 “A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que o 
solo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas com 
terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve 
ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 6 mostra alguns detalhes construtivos 
sugeridos para as sapatas. 
 



≥
cm20
3/h
h 0 
> 3
1
Lastro de concreto simples
( ≥ 5cm, fck ≥ )σsolo, rocha
h
h 0
3 a 10 cm
α
 
Figura 6 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata. 
 
 
 α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório). 
 
 
2. SAPATAS ISOLADAS 
 
Nas sapatas isoladas, o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de 
aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR 6122/96, 6.4.1); a relação 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 4
entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os lados A e B devem ser escolhidos de modo 
que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7. 
 
 Se cA = cB : 
 
 A – ap = B – bp 
 
 A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB) 
 
 
B
A
b p
ap
C
B
CACA
C
B
 
Figura 7 – Notação para a sapata isolada. 
 
 
2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ 
 
 Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é: 
 Sapata rígida: 
3
 )a -(A 
h p≥ 
 
 Sapata flexível: 
3
 )a -(A 
h p< 
 
h
A
ap Pilar
 
Figura 8 – Altura h da sapata. 
 
 
com: h = altura da sapata (Figura 8); 
 A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção; 
 ap = dimensão do pilar na direção do lado A. 
 
Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja, 
segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares. 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 5
 Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando: 
 
0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º) 
 
tg β = h / c 
 
h
ap Pilar
β
C
Balanço
 
Figura 9 – Ângulo β e balanço c. 
 
 
 A sapata será considerada flexível se: 
 
 tg β < 0,5 
 
tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concreto 
resiste a σt . 
 
 
2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL 
(NBR 6118/03, 22.4.2) 
 
2.2.1 Sapatas Rígidas 
 
 São aquelas com alturas “grandes” e tem a preferência no projeto de fundações. 
 
a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuída 
na largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente nas 
larguras A e B da sapata (Figura 10). 
 
Sapata
rígida
As B
As AA
 
Figura 10 – Armadura positiva de flexão de sapata isolada. 
 
 
b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por tração 
diagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11). 
Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 6
Seção a ter compressão
verificada (item 19.5.3.1
da NBR6118)
σI
σII
 
Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada. 
 
 
2.2.2 Sapatas Flexíveis 
 
 São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis são 
utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03). 
 
a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12); 
b) há a necessidade da verificação à punção. 
N
p
M
(variável)
 
Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível. 
 
 
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO 
 
 As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características das 
cargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas. 
(ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos). 
 A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se 
a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). A 
NBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobre 
rocha. 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 7
Rígida
distribuiçao
admitida
distribuição
real
Areia
Flexível
Areia
 
Figura 13 – Distribuição de tensões no solo. 
 
 
 A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana a 
distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações 
mais detalhadas a respeito.” 
 
2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA 
CENTRADA 
 
A area de apoio da sapata pode ser estimada como: 
 
solo
sap
N05,1
S
σ
= ou 
solo
sap
N1,1
S
σ
= 
 
onde os fatores 1,05 e 1,1 estimam o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. 
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções 
 
 Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se:A = 2cA + ap 
 
 B = 2cB + bp 
 
 Com cA = cB , fica: 
 
 A – B = ap – bp 
 
 
B
S
ABAS sapsap =→⋅= 
 
 pp
sap baB
B
S
−=− 
 
 Multiplicando por B: 
 
 ( )BbaBS pp2sap −=− 
 
 ( ) ( ) sap2pppp Sab4
1
ab
2
1
B +−+−= 
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 A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm no 
caso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos 
(sobrado). 
B
A
b p
ap
C
B
CA
C
B
CA
 
Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções. 
 
 
2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠≠≠≠ cB) 
 
 Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação: 
 0,3
B
A
≤ 
 
 Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se: 
 
 RBAR
B
A
⋅=→= 
 
 Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B
2 
 
 
R
S
B sap= , com A e B múltiplos de 5 cm. 
B
A
b p
ap
C
B
CA CA
C
B
 
Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 9
2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70 
 
 O método proposto pelo CEB-70 pode ser aplicado a sapatas com: 
 
 c ≤ 2h e 
2
h
c ≥ 
ou seja: h2c
2
h
≤≤ 
 Se 
2
h
c < → bloco de fundação. 
h
CC
 
Figura 16 – Balanço c na sapata isolada. 
 
 
 Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a 
superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17). 
 
N
M("pequeno")
(LN fora da
seção)
Superfície
plana
N
M("grande")
x
Distribuição admitida para
quando existirem tensões de
tração na base da sapata
 
Figura 17 – Reação do solo na base da sapata. 
 
2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior 
 
 Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção de 
referência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e se 
encontra internamente ao pilar (Figura 18). 
 
 d1 = d ≤ 1,5cA ap
0,15ap
CA
d 1
S1AA 
 
Figura 18 – Seção de referência S1 . 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 10
 O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre a 
seção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19. 
S1
σ1
σ2
 
Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 . 
 
 
 No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se as 
características geométricas da seção de referência S1. 
 O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a 
relação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5. 
 
2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada 
 
 Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na 
Figura 20. Supondo balanços iguais, cA = cb : 
 
2
aA
c pA
−
= =
2
bB
c pB
−
= 
p
0,
15
ap
0,15ap
b p
S1A
S1B
C
B
x B
B
CA xA
A 
b p
N
S1A
 
Figura 20 – Notações e seção de referência S1 . 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 11
 Pressão da sapata no solo: 
 
 
B.A
N05,1
p = 
 
onde o fator 1,05 considera o peso próprio e do solo sobre a sapata. Outros valores podem ser 
adotados. 
 
 As distâncias xA e xB são: 
 
 xA = cA + 0,15ap 
 
 xB = cB + 0,15bp 
 
 Áreas de referência nas duas direções (Figura 21): 
 A1A = xA B 
 
 A1B = xB A 
B
A
x B
xA
A1A
A1B
 
Figura 21 – Áreas de referência. 
 
 Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22): 
 
 R1A = p . xA . B 
 
 R1B = p . xB . A 
 
xA
S1A
R1A
p
 
Figura 22 – Resultante da pressão no solo. 
 
 
 Momento fletor em cada direção: 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 12
 
2
x
RM AA1A1 = ⇒ 2
x
B.pM
2
A
A1 = 
 
 
2
x
RM BB1B1 = ⇒ 2
x
A.pM
2
B
B1 = 
 
 No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o 
cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Se 
considerar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 fcd . 
As
A'c
LN
 
Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c). 
 
 
 Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados: 
 
 
d
2
1w
c M
db
K = ⇒ na tabela de valores de Kc e Ks encontra-se βx , o domínio e Ks 
 
com bw = A ou B. 
 
 
1
d
ss d
M
KA = ≥ As,mín 
 
 Simplificadamente também pode-se fazer: 
 
 
yd1
d
s f.d85,0
M
A = ≥ As,mín 
 
 Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída 
na largura da sapata. 
 A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas 
extremidades. 
 
 Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer: 
 
a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24): 
 
 A armadura é calculada como sendo: 
BA
B2
As
+
 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 13
B Armadura
B
A 
ap
b p
 
 
Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ ap + 2h. 
 
 
b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25): 
 
 A armadura é calculada como sendo: 
( )
h2aA
h2a2
A
p
p
s
++
+
 
Armadura
B
A 
ap
b p
 + 2hap
 
Figura 25 – Distribuição de As quando B < ap + 2h. 
 
 
2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão 
 
1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir da 
seção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é o 
comprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho. 
C > h 
h
h
lb
 
Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h. 
 
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2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada na 
vizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir da 
extremidade retilínea da barra (Figura 27). 
 
C < h
hlb
 
Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h. 
 
 
2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada 
 
 No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção de 
referencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2 
da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28. 
ap
B
C2A
b p
N
d
2
C2A
A
dh
C
2B
d
2
45°
S2B
S2A
A 
h 0
p
d 2
A
 
 
Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 15
com: 
 A2
p
0
A2 c5,1aA
hh
1dd <








−
−
−= 
 
 B2
p
0
B2 c5,1bB
hh
1dd <








−
−
−= 
 
 No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura 
29). 
C
B
S na face do pilar2A
 
Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B). 
 
 
 A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30. 
 
ap
S2A
C2A
N
d
2
d
A 
d 2
A
 1
,5
 C
2A
≤
b p
45°
 
 +
 db 2
A
b 
 p
B
 
 
Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A . 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 16
 Com relação às dimensões A e B da sapata: 
 
b2A = bp + d 
 
 b2B = ap + d 
 
2.5.5 Força Cortante Limite 
 
 Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valores 
seguintes: 
 
 ck22
C
lim,d fdb
5,1
V ⋅ρ⋅
γ
= , para fck em kN/cm
2; 
 
 ck22
C
,limd fdb
474,0
V ⋅ρ⋅
γ
= , para fck em MPa. 
 
com: Vd,lim em kN; 
 γc = coeficiente de segurança do concreto; 
 b2 e d2 em cm; 
ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 : 
 
 01,0
db
A
22
S ≤
⋅
=ρ (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %); 
 
 As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 . 
 
Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal. 
 
 Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição não 
ocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal. 
 
NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade para 
resolvero problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que: 
 
 
lim,d
d
novo V
V
dd = 
 
2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO 
 
 A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03 - 
“Dimensionamento de lajes à punção”. 
 A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 31. 
 
 
x
d
tg =α , fazendo α = 27° 
 
 d2
51,0
d
x
x
d
º27tg ≅=→= 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 17
superfície de ruptura de
uma laje por efeito de
punção
α = 25º a 30º
d
As
x
pilar
-
laje
 
Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção. 
 
 
 
 “O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais 
superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica 
(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de 
compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra as 
superfícies críticas C e C’. 
C
C'
C
C'
C
C
C'
C'
2d 2d 2d
B
or
da
 li
vr
e
B
. l
iv
re 2
d
B. livre
 
 
Figura 32 – Superfícies críticas C e C’. 
 
 
 
 “Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga 
concentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à 
tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, no 
entorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A 
terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário 
colocar armadura transversal.” 
 No estudo aqui apresentado de punção aplicado às sapatas serão apresentados somente os 
itens relacionados à dispensa da armadura transversal. 
 A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies 
críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cada 
superfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 . 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 18
2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante 
 
2.6.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico 
 
 A tensão de cisalhamento solicitante é: 
 
 
du
FSd
Sd
⋅
=τ 
 
onde: 
( )
2
dd
d yx
+
= = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’; 
 
dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais; 
 u = perímetro do contorno crítico C’; 
 u . d = área da superfície crítica; 
 FSd = força ou reação concentrada, valor de cálculo. 
 
No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). A 
força de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro 
do contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5). 
 
2.6.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado 
 
 Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamento 
solicitante é: 
 
 
dW
MK
du
F
p
SdSd
Sd
⋅
⋅
+
⋅
=τ 
 
sendo: 
 K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar 
por cisalhamento, dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1); 
 C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33; 
 C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força. 
 
Tabela 1 - Valores de K em função de C1 e C2 . 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 
K 0,45 0,60 0,70 0,80 
 
Notas: - é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1; 
 - quando C1/C2 > 3,0 considera-se K = 0,8. 
 
 Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando a 
curvatura dos cantos do perímetro crítico por: 
 ldeW
u
0
p ∫= 
 dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u; 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 19
e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento 
fletor MSd . 
 
 1
2
221
2
1
p Cd2d16dC4CC2
C
W π++++= (pilar retangular) 
 
 22p d16dr16r4W ++= (pilar circular; r = raio) 
ou 
 ( )2p d4DW += (D = diâmetro) 
 
Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5). 
C'
e
e1
2dc1
c 2
dl
Msd
Fsd
≡
Msd
Fsd
e1
Fsd
 
Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor. 
 
 
2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na 
Superfície Crítica C 
(NBR 6118, 19.5.3.1) 
 
 “Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou 
sem armadura”. 
 
 τSd ≤ τRd2 
 
 τRd2 = 0,27αv fcd 
 
onde 





−=α
250
f
1 ckv , com fck em MPa. 
 
 A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deve 
ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão de 
cisalhamento (Figura 34). 
 A tensão de cisalhamento solicitante é: 
 
du
F
o
Sd
Sd =τ 
 
com: FSd = força solicitante de cálculo; 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 20
 uo = perímetro de contorno crítico C; 
 uo = 2 (ap + bp) 
 uo d = área da superfície crítica C; 
 d = altura útil ao longo do contorno crítico C. 
 
C
d
Fsd
τsd
ap
b p
 
Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata. 
 
 
2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos 
sem Armadura de Punção 
(NBR 6118, 19.5.3.2) 
 
 A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por: 
 
 ( )3
1
ck1Rd f100d
20
113,0 ⋅ρ







+=τ 
onde: 
 yx . ρρ=ρ ; 
 
 
( )
2
dd
d yx
+
= = altura útil em C’(cm); 
 ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente; 
 ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais; 
 
 fck em MPa. 
 
 No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é: 
 
 2cd3 ck1Rd f5,0*a
d2
f100
d
20
113,0 ≤ρ







+=τ 
 
 fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas. 
 
 a* ≤ 2d 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 21
 )MPa(f
250
f
16,0f cd
ck
2cd 





−= 
 
 u* = 2ap + 2bp + 2πa* 
Superfície C' 
(perímetro = u*)
d
ap
a*
A
 
Figura 35 – Distância a*. 
 
 
 Para pilares com momento fletor solicitante, τSd é: 
 
 







+=τ
Sdp
SdSd
Sd FW
*uMK
1
d*u
F
 
 
 
2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA 
(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988, 
p.11-31 – Escola Politécnica da USP) 
 
 Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20 x 75cm, sendo a 
taxa admissível do solo ( soloσ ) de 2,5 kgf/cm
2 (0,25 MPa), sendo também conhecidos: 
 
 Nk = 1.303 kN momentos fletores Mx = My = 0 
 materiais: concreto C25 , aço CA-50 
 φl,pil = 20 mm (pilar interno) γc = 1,4 
 
 
Resolução 
 
 Dimensões da sapata (Figura 36), considerando um fator de 1,1 para considerar o peso 
próprio da sapata e o solo sobre a sapata: 
 
 7332,5cm332.57
025,0
13031,1N1,1
S 2
solo
k
sap ==
⋅
=
σ
= m2 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 22
 Fazendo a sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata 
em planta é: 
 
 sap
2
pppp S)ab(4
1
)ab(
2
1
B +−+−= 
 
 5,21357332)7520(
4
1
)7520(
2
1
B 2 =+−+−= cm 
 
como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se B como o 
múltiplo superior, B = 215 cm. O lado maior da sapata é: 
 
 7,266
215
57332
B
S
A sap === cm (adota-se A = 270 cm), e 
 
 2sap cm050.58215.270S == 
 
 Os balanços resultam: 
 
 5,97
2
75270
2
aA
ccc pBA =
−
=
−
=== cm 
 
 A altura da sapata, fazendo como sapata rígida, é: 
 
 NBR 6118 → 65
3
75270
3
aA
h p ≥
−
≥




 −
≥ cm 
 
 Pelo CEB-70: 5,1tg5,0 ≤β≤ com 
5,97
h
c
h
tg ==β 
 
 3,146h8,485,1
5,97
h
5,0 ≤≤→≤≤ cm 
 
 Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da 
sapata, a altura deve ser superior ao comprimento de ancoragem da armadura do pilar: 
 
 h pil,,b φ≥ l 
 
 pil,,b φl = 53 cm (com gancho,região de boa aderência, C25, 20pil, =φl mm) 
 
 Adotando h = 90 cm pil,bφ≥ l = 53 cm, a sapata é rígida. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 23
 
75
 20B
21
5c
m
A
270cm
p
 
97,5
 
97,5
 
97
,5
97
,5
b p
ap
h 
=
 9
0
d 
=
 8
5
0,15 = 11,25ap
C
B
C
B
CACA
 
108,75
xA
≥
 3
0
 
 
Figura 36 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1 . 
 
 
 Para a altura útil pode-se considerar: 
 
 d = h – 5 cm → d = 85 cm 
 
 Pressão no solo: 
 
 0247,0
215270
13031,1
BA
N1,1
p k =
⋅
⋅
=
⋅
= kN/cm2 
 
 Para aplicar o processo do CEB-70 deve-se verificar: 
 
 902c
2
90
h2c
2
h
⋅≤≤→≤≤ 
 
 45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok! 
 
 Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B : 
 
 
2
x
ApM;
2
x
BpM
2
B
B1
2
A
A1 ⋅=⋅= 
 cm75,1087515,05,97a15,0cx pAA =⋅+=+= 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 24
 cm5,1002015,05,97b15,0cx pBB =⋅+=+= 
 
 402.31
2
75,108
215.0247,0M
2
A1 == kN.cm 
 
 679.33
2
5,100
270.0247,0M
2
B1 == kN.cm 
 
 O menor momento fletor deve ser ao menos 20 % do maior: 
 
 
5
1
93,0
33679
31402
M
M
B1
A1 >== → ok! 
 
 A Figura 37 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata. 
M
A 33679
31
40
2
MB
M = 31402A
A = 270
B
 =
 2
15
S1A M = 33679
B
 
 
Figura 37 – Momentos fletores atuantes na sapata. 
 
 
 Armadura segundo a dimensão A da sapata: 
 
 M1A,d = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm 
 
 
3,35
43963
85.215
M
db
k
2
d
2
c ===
 
 
observe que M1A,d atua segundo a dimensão menor da sapata (lado B). 
 
 Na tabela de kc e ks resulta: βx = 0,03 (domínio 2) e ks = 0,023. 
 
 
85
43963
023,0
d
M
kA d,A1ssA ==
 
 
 AsA = 11,90 cm
2 
 
 Armadura segundo a dimensão B da sapata: 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 25
 M1B,d = 1,4 . 33679 = 47.151 kN.cm 
 
 
85
47151
023,0
d
M
kA
023,0k,2.dom,02,04,41
47151
85.270
k
d,B1
ssB
sx
2
c
=
==β⇒==
 
 
 AsB = 12,76 cm
2 
 
 Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada: 
 
 
2
yd
d,B1
sB
2
yd
d,A1
sA
cm00,15
48,43.85.85,0
47151
f.d85,0
M
A
cm00,14
48,43.85.085
43963
f.d85,0
M
A
===
===
 
 
A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio de uma tabela de armadura em laje 
(cm2/m). É necessário tranformar a armadura em cm2/m: 
 
Na dimensão A: 51,6
15,2
00,14
= cm2/m (φ 10 mm c/12 cm – 6,67 cm2/m) 
 
Na dimensão B: 56,5
70,2
00,15
= cm2/m (φ 10 mm c/14 cm – 5,71 cm2/m) 
 
 O detalhamento das armaduras está mostrado adiante. 
 
 
 Verificação das forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B, conforme as 
dimensões indicadas na Figura 38. 
 As forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B são: 
 
 VA = p B c2A VB = p A c2B 
 
 cm55
2
8575270
2
daA
c pA2 =
−−
=
−−
= 
 cm55
2
8520215
2
dbB
c pB2 =
−−
=
−−
= 
 
kN1,29255.215.0247,0VA ==
 
 
 VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN 
 
 As forças cortantes de cálculo, com γf = 1,4 são: 
 
 VA,d = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN 
 
 VB,d = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 26
75
20
B
21
5c
m
A
270cm
d
2
42,5
p = 0,0247
5
5
b p
ap
h 90 d 8
5
S2A
55
d
2
42
,5
C
2
B
C2A
S
2
A
S2B
d 2
A
30h
0 5
8,
8
 
 
 
75
20
d
2
42,5
b p
ap
d
2
42
,5
S
2A
S2B
10
5
b 2
A
160
b2B
d2A
b 2
A
 
Figura 38 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B . 
 
 
 Dimensões d2Ae d2B : 
 
 30hadotado
cm20
cm30
3
90
3
h
h 00 =→




==
≥ cm 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 27
 A2
p
0
A2 c5,1aA
hh
1dd ≤








−
−
−= 
 
cm5,82555,1c5,1c5,1 B2A2 =⋅== 
 
8,58
75270
3090
185d A2 =



−
−
−= cm ≤ 82,5 cm → ok! 
 
B2
p
0
B2 c5,1bB
hh
1dd ≤








−
−
−= 
 
8,58
20215
3090
185d B2 =



−
−
−= cm ≤ 82,5 cm → ok! 
 
!okcm8,93cm3,44dd A2B2 →≤== 
 
 Larguras das seções S2: 
 
cm1058520dbb pA2 =+=+= 
 
cm1608575dab pB2 =+=+= 
 
 Forças cortantes limites conforme o CEB-70: 
 
ck22
c
,limd fdb
474,0
V ⋅ρ⋅⋅
γ
= 
 
 Cálculo das taxas de armadura à flexão (ρ): 
 
A2
sA
A d100
A
=ρ 00113,0
8,58100
67,6
=
⋅
= = 0,113 % ≤ 1 % 
B2
sB
B d100
A
=ρ 000971,0
8,58100
71,5
=
⋅
= = 0,0971 % ≤ 1 % 
 
0,3522500113,08,58105
4,1
474,0
V ,limd,A =⋅⋅⋅= kN 
 
kN0,352V9,408V lim,d,Ad,A =>= 
 
kN3,49625000971,08,58160
4,1
474,0
V lim,d,B =⋅⋅⋅= 
 
kN3,496V5,513V ,limd,Bd,B =>= 
 
 A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, para 
sapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas: 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 28
 22
c
ck
lim,d db
f
63,0V
γ
= 
 
 Aplicando ao exemplo: 
 
 389.18,58105
4,110
25
63,0V lim,d,A =⋅
⋅
= kN >> VA,d = 408,9 kN 
 
 Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o fck , as 
dimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc. 
 
Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118 
recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado a 
seguir. 
 
Verificação da Diagonal Comprimida: 
 
 uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 39). 
 
 uo = 2 (20 + 75) = 190 cm 
 
 kN824.113034,1NNF fSdSd =⋅=⋅γ== 
 (sem redução da força pela reação contrária da base da sapata) 
C
ap
b p
75
20
 
Figura 39 – Superfície crítica C – contorno do pilar. 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
 
113,0
85190
1824
du
F
o
Sd
Sd =
⋅
==τ kN/cm2 = 1,13 MPa 
 
 Tensão de cisalhamento resistente: 
 
43,0
4,1
5,2
250
25
127,0f27,0 cdV2,Rd =





−=⋅α=τ kN/cm2 = 4,3 MPa 
 
MPa3,4MPa13,1 2,RdSd =τ<=τ 
 
 Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas. 
 
Detalhamento (Figura 40) 
 
 Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB será 
distribuída uniformemente no comprimento A. 
 Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 29
 c = 97,5 cm > h = 90 cm 
 
 φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm. 
 
 cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm). 
 
 lgancho,incl ≥ 38 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 14,5 cm 
 
30
N
1 
- 
17
 c
/1
2
(2
15
 -
 8
)/
12
 =
 1
7,
2N2 - 19 c/14
(270 - 8)/14 = 18,7
97,5
83
≥
 
 
, p
ila
r
l b
Ø
l
Øl,pil
h = 90
20
N1 - 17 Ø12,5 C = 340
20 20260
N
2 
- 
19
 Ø
12
,5
 C
 =
 2
85
20
5
20
20
AsB
A
sA
≥ 14,5 
AsA
A
sB
20
20
20 20
lanc ≥ ≥ 38 cmlb
 
 
Figura 40 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata. 
 
 
2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1o) Ver Alonso (1983), pg. 14 (sapata isolada). Dimensionar e detalhar as armaduras de uma 
sapata para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga de 3000 kN, com: 
soloσ = 0,3 MPa Mx = My = 0 
C25 θl,pilar = 22,5 mm 
 
2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de 
base circular. 
 
2.9 MÉTODO DAS BIELAS 
 
 O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle 
(1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas ou isoladas. A carga é transferida do pilar para a 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 30
base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na 
base da sapata (Figura 41), que devem ser resistidas por armadura. 
 
Biela de compressão
Armadura necessária para
resistir à força de tração
 
Figura 41 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata. 
 
 
 Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das 
bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada. 
 A Figura 42 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas. 
 
P
0
y
x
AB
d 0
dT x
d x
d
y
dT
dN
dT y
p d
 dx y
 
Figura 42 – Esquema de forças segundo o método das bielas. 
 
 
 Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 43), tem-se 
as equações: 
UNESP– Bauru/SP – Sapatas de Fundação 31
p
P
d 
 =
 
A
 . 
d
(A
 -
 
 
)
p
d 
0
β
 ≥
 45°
A
2
A
2
dxAs
a p
α
d s
2dP
d 
α
dT
x
p d x = dP
d 0
A
0
α
dN
dT
dP
 
Figura 43 – Forças na direção x da sapata. 
 
 








−
⋅
−
=








−=⋅=
⋅=
α
=α
α
=
α⋅=
α⋅=
∫
2
2
p
x
2
2
0
2
A
x
0
x
0
x
4
A
dA
)aA(p
2
1
T
x
4
A
d
p
2
1
dxx
d
p
T
d
x
dxp
tg
dP
cos
sen
dP
dT
sendNdP
cosdNdT
 
 
 Para x = 0, Tx = Tmáx : 
 
 
d
)aA(
8
P
T
4
A
dA
)aA(
A
P
2
1
T px
2
p
x
−
=→
⋅
−
= 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 32
 De forma análoga para a direção da sapata isolada: 
 
 
d
)bB(
8
P
T py
−
= 
 
 A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações: 
 
 
s
c d
dN
=σ onde 
α
=
sen
dx
ds 
 
 A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máxima 
ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta: 
 
 
( )








−
−
+=σ
2
0
2
p
p
c
d4
aA
1
a
P
 
 
 
 A Figura 44 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas. 
B
A
x
y
P
h
d 
≥
 1 2
 (
A
 -
 
 )
a p
Asx ou AsA
P
Asy ou AsB
d ≥ 12 (B - )bp
ap
b p
 
Figura 44 – Armaduras de flexão da sapata. 
 
 
 As armaduras são: 
 
 
yd
xd
sAsx f
T
AA == ; 
yd
yd
sBsy f
T
AA == 
 
 Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é: 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 33
 
( ) ( )




















λ−
−+−
+
⋅⋅λ
=σ
2
0
2
2
p
2
p
pp
máx,c
d
1
1
4
bBaA
1
ba
p
 
 
 Onde 
B
b
A
a
Pp ==λ (áreas hometéticas). 
 
 No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas: 
 
 
























λ−
−
+
⋅⋅λ
=σ
2
0
p
p
máx,c
d
1
1
aA
2
1
1
aA
p
 
 
 
2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida 
 
 Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pela “Teoria ou Método das 
Bielas”. 
 
Resolução 
 
 Verificação do ângulo β: 
 
 º45º1,418718,0
5,97
85
)75270(
2
1
85
)aA(
2
1
d
tg
p
<=β→==
−
=
−
=β → não ok! 
 
portanto, a altura útil da sapata deve ser aumentada para um valor igual ou superior a 97,5 cm, de 
modo a resultar um ângulo β igual ou superior a 45°. Considerando h = 105 cm e d = 100 cm 
tem-se: 
 
 º45º7,450256,1
5,97
100
tg ≥=β→==β → ok! 
 
 Forças de tração: 
 
 4,349
100
)75270(
8
13031,1
d
)aA(
8
P
T px =
−
⋅
⋅
=
−
= kN 
 
 4,349
100
)75270(
8
13031,1
d
)bB(
8
P
T py =
−
⋅
⋅
=
−
= kN 
 
 25,11
15,1
50
4,3494,1
AA sAsx =
⋅
== cm2 = Asy = AsB 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 34
 A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), como 
feito no Exemplo 1, porém, para as sapatas rígidas com ângulo β igual ou superior a 45°, não 
deve ocorrer esmagamento da diagonal comprimida. 
 
2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS 
 
 Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou 
força horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de 
gravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 45). 
 
N
e
di
vi
sa
 
N
H
M
 
N
MA
HA
A
BN
M
B
H
B
 
 
Figura 45 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas. 
 
 
2.10.1 Excentricidade em Uma Direção 
 
a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 46) 
 
 Ocorre quando 
6
A
e < . Tem-se: 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 35
A
B
A
6
B
6
e
N
σmáx
σmín
Nnúcleo
 
Figura 46 – Ponto de aplicação da força dentro do 
núcleo central de inércia. 
 
I
yM
BA
N ⋅
±
⋅
=σ 
 
)
A
e6
1(
BA
N
máx +
⋅
=σ 
 
)
A
e6
1(
BA
N
máx −
⋅
=σ 
 
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central )
6
A
e( = (Figura 47) 
 
A
A
6
σmáx
N
 
Figura 47 – Ponto de aplicação da força no 
limite do núcleo central. 
 
BA
N
2máx
⋅
=σ 
 
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central )
6
A
e( > (Figura 48) 
 
 Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novo 
diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo 
coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para: 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 36
A
A
6
σmáx, 1
N
e
B
LNσmín
 
6
A0
σmáx
LN
3(A/2 - e)
A0
 
Figura 48 – Ponto de aplicação da força fora 
do núcleo central. 
 






−
=σ
e
2
A
B3
N2
máx 
 
 
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções 
 
A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas 
direções. 
y
xe
B
eA
A
B
N
 
Figura 49 – Sapata com excentricidade nas duas direções. 
 
 O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da 
sapata, e: 
 
I
xM
I
yM
BA
N AB ⋅±
⋅
±
⋅
=σ 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 37
N
MB
HB
B
N
MA
HA
A
 
Figura 50 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata. 
 
 
 hHMM AAbase'A ⋅+= , hHMM BBbase'B ⋅+= 
 
 
N
M
e AA = , N
M
e BB = 
 
a) Quando 
6
1
B
e
A
e BA ≤+ (Figura 51) 
 
y
xe
B
eA
A
B
N
CG
σ má
x
σ mí
n
 
Figura 51 – Tensões na sapata para 
6
1
B
e
A
e BA ≤+ . 
 
 





++
⋅
=σ
B
e6
A
e6
1
BA
N BA
máx 
 





−−
⋅
=σ
B
e6
A
e6
1
BA
N BA
min 
 (toda seção seta comprimida) 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 38
b) Quando 
6
1
B
e
A
e BA >+ (Figura 52) 
 
y
x
e B
eA
A
B
N
2
1
4
3
σ má
x
σ mí
n
α
seção
comprimida
 
Figura 52 – Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
e BA >+ . 
 
 
BAK
N
1
1máx
⋅⋅
=σ=σ 
 
 σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado) 
 
 σmín = σ4 < 0 
 
 K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53. 
 Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é: 
 
( )
α+




α+
σ−σ+σ=σ
tg
A
B
1
tg
A
B
B
y
A
x
414mín 
 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 39
 
 
Figura 53 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas 
para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973). 
 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 40
Notas: 
- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais 
desfavorável, solomáx 3,1 σ=σ ; 
- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente 
comprimida, isto é: 
 
 
6
1
B
e
A
e g,Bg,A
≤+ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54). 
 
Gs2
Gb2
Gs1
Gb1
 
Figura 54 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. 
 
 
- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo 
menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo: 
 
 
9
1
B
e
A
e
2
B
2
A ≤





+





 
 
2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor 
(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil, 
UNESP – Bauru/SP) 
 
 Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e um 
momento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm, 
dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos: 
 
concreto C25, aço CA-50, =σsolo 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 φ 12,5 mm. 
 
Resolução 
 
1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor. 
 
 Área do apoio da sapata: 
 
 000.41
022,0
8201,1N1,1
S
solo
sap =
⋅
=
σ
= cm2 
 
 Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções: 
 
 ( ) ( )sap2pppp Sab4
1
ab
2
1
B +−+−= = ( ) ( ) 5,183410006020
4
1
6020
2
1 2
=+−+− cm 
 
adotando um valor múltiplo de 5 cm: B = 185 cm. 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 41
 A – ap = B – bp 
 
 A = ap – bp + B = 60 – 20 + 185 = 225 cm 
 
 Tensões na base da sapata (Figura 55): 
 
 
I
yM
BA
N ⋅
±
⋅
=σ 
 
 
2
A
y = ; 
12
AB
I
3⋅
= 
 
 9,6
8201,1
6200
N1,1
M
e =
⋅
== cm 
 
 5,37
6
225
6
A
== cm 
 
 5,37
6
A
9,6e =<= cm → a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia. 
 
 0257,0
225
9,66
1
185225
8201,1
máx =




 ⋅
+
⋅
⋅
=σ kN/cm2 022,0solo =σ> ∴ não ok! 
 
 Aumentando a seção da base da sapata para: 
 
 A = 240 cm ; B = 200 cm 
 
 Obedecendo: 
 
 pp baBA −=− → 240 – 200 = 60 – 20 
 
 A tensão máxima passa a ser : σmáx = 0,022 kN/cm
2
soloσ= → ok! 
 
 0156,0)
240
9,66
1(
200240
8201,1
mín =
⋅
−
⋅
⋅
=σ kN/cm2 > 0 (como esperado!) 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 42
60
2
0
18
5
225
N
M
1,1N
A B
M
 M 
 I 
My
0,0220
0,0156
 
Figura 55 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo. 
 
 
2) Altura da sapata 
 
 Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70: 
 
 90
2
60240
2
aA
c5,1tg5,0 p =
−
=
−
=→≤β≤ cm 
 
 135h455,1
90
h
5,0 ≤≤→≤≤ cm 
 
 Pelo critério da NBR 6118/03: 
 
 60
3
60240
3
aA
h p ≥
−
≥
−
≥ cm 
 
 É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem 
da armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, com 
gacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm. 
 
 Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida) 
 
3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 43
 Verificação: ⋅≤≤→≤≤ 2c
2
60
h2c
2
h
60 
 
 30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok! 
 
 Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 56): 
 
a
60
b 20B
20
0c
m
A
240cm
0,022
0,0156
C 
90
C 
90
C
 
90
C
 
90
b p
ap
h 60 d 5
5
x
99
xa
0,15 a = 9ap
S1A
P1A
KNcm²
C
B
C
B
CACA
 
0,022
0,01936
P1A
99
49,5
66 33
49,5
0,
13
1
1,
91
7
 
Figura 56 – Seção de referência S1A . 
 
 
 Dimensão A: 
 
 
( )
01936,099
240
0156,0022,0
022,0p A1 =
−
−= kN/cm2 (ver Figura 56) 
 
 ( ) 708.2020066132,05,49917,1M A1 =⋅+⋅= kN.cm 
 
 Dimensão B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 57): 
 
 0188,0
2
0156,0022,0
pméd =
+
= kN/cm2 
 
 512.19
2
)2015,090(
2400188,0
2
x
ApM
22
B
B1 =
⋅+
⋅=⋅= kN.cm 
 
 Armaduras de flexão: 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 44
26,14
5,435585,0
207084,1
AsA =
⋅⋅
⋅
= cm2 
 
13,7100
200
26,14
= cm2/m → φ 10 mm c/11 cm (7,27 cm2/m) 
43,13
5,435585,0
195124,1
AsB =
⋅⋅
⋅
= cm2 
 
60,5100
240
43,13
= cm2/m → φ 10 mm c/14 cm (5,71 cm2/m) 
 
 Nota-se que: !ok
5
1
94,0
26,14
43,13
→≥= 
 
S 2A
S
2B
p
2A = 0,0203
0,022
0,022
0,0188
(valor médio)
0,0156
0,0156
 
Figura 57 – Esquema de reações do solo na base da sapata. 
 
 
 Forças cortantes nas seções de referência S2 (Figura 58): 
 
 5,62
2
5560240
2
daA
c pA2 =
−−
=
−−
= cm 
 
 5,62
2
5520200
2
dbB
c pB2 =
−−
=
−−
= cm 
 
 cm25hadotado
cm20
cm20
3
60
3
h
h 00 =→




==
≥ 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 45
a
60
b 20
B
20
0c
m
A
240cm
0,022 KNcm²
0,0156
d
2 
27,5
b 
 
C
 
62
,5
b p
ap
h 60 d 5
5
S2A
P2A
d
2
27
,5
C
2B
b 2
A
C 
62,5
C2A
S
2A
S2B
h 25h
0
d 
 
d 2
A
= 0,0203
 
 
Figura 58 – Seção de referência S2A . 
 
 
 A2
p
0
A2 c5,1aA
hh
1dd ≤








−
−
−= 
 
cm8,935,625,1c5,1c5,1 B2A2 =⋅== 
 
3,44
60240
2560
155d A2 =



−
−
−= cm 
 
!okcm8,93cm3,44d A2 →≤= 
 
B2
p
0
B2 c5,1bB
hh
1dd ≤








−
−
−= 
 
B2B2 c5,120200
2560
155d ≤



−
−
−= 
 
!okcm8,93cm3,44dd A2B2 →≤== 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 46
 Larguras b2A e b2B : 
 
cm755520dbb pA2 =+=+= 
 
cm1155560dab pB2 =+=+= 
 
A2médA cBpV = 4,2645,622002
0203,00220,0
=⋅




 +
= kN 
 
1,3704,2644,1VdA =⋅= kN 
 
VB na seção S2B : 
 
B2médB cApV = 0,2825,622402
0156,0022,0
=⋅




 +
= kN 
 
8,3940,2824,1VdB =⋅= kN 
 
 Força cortante limite (CEB-70): 
 
ck22
c
,limd fdb
474,0
V ⋅ρ⋅⋅
γ
= 
 
A2
sA
A d100
A
=ρ 00164,0
3,44100
27,7
=
⋅
= 
 
B2
sB
B d100
A
=ρ 00129,0
3,44100
71,5
=
⋅
= 
 
9,2272500164,03,4475
4,1
474,0
V lim,dA =⋅⋅⋅= kN 
 
kN9,227V1,370V lim,dAdA =>= 
 
kN6,3092500129,03,44115
4,1
474,0
V lim,dB =⋅⋅⋅= 
 
kN6,309V1,394V lim,dBdB =>= 
 
 Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessário 
colocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limites 
sugeridos por Machado (1988) para sapata rígida: 
 
 22
c
ck
lim,d db
f
63,0V
γ
= 
 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 47
kN6,7473,4475
10
25
4,1
63,0
V lim,dA =⋅⋅= 
 
!okkN6,747V1,370V ,limdAdA →=<= 
 
kN3,146.13,44115
10
25
4,1
63,0
V lim,dB =⋅⋅= 
 
!okkN3,146.1V8,394V ,limdBdB →=<= 
 
com esses limites não é necessário colocar armadura transversal. 
 
 Verificação da diagonal comprimida: 
 
 cm160)6020(2uo =+= (Figura 59) 
60
ap
20bp
 
Figura 59 – Perímetro do pilar – superfície crítica C. 
 
 
kN148.18204,1NNF fSdSd =⋅=⋅γ== 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
1305,0
55160
1148
du
F
o
Sd
Sd =
⋅
==τ kN/cm2 = 1,305 MPa 
 
 Tensão de cisalhamento resistente: 
 
43,0
4,1
5,2
250
25
127,0f27,0 cdv2,Rd =





−=α=τ kN/cm2 = 4,3 MPa 
 
MPa3,4MPa305,1 2,RdSd =τ<=τ 
 
 Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas. 
 
Detalhamento (Figura 60) 
 
 As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A ≅ B. Para a 
armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm. 
 Comprimento dos ganchos das armaduras de flexão, considerando: φ 10 mm, C25, boa 
aderência, sem gancho: lb = 38 cm. 
 
 Comprimento de ancoragem existente na horizontal e na extremidade da barra (ver Figura 
60): 
 2660490 =−− cm 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 48
 Portanto, o comprimento do gancho na vertical deve ser: 
 
 ℓgancho = 38 – 26 = 12 cm ≈ 15 cm 
 
 Tem-se também os valores: cnom = 4,0 cm, lφ,pilar = 33 cm. 
 
60
25
N
1 
- 
17
 c
/1
1
N2 - 16 c/14
90
54
≥
l 
Ø
 , 
pi
la
r
l b
Ø
l
ØlØ , pilar
16 Ø10
17 Ø10
c/ 11
h
60
90 - 4 - 60 = 26cm} }
c h
12
N1 - 17 Ø10 C = 260
15 15230
N
2 
- 
16
 Ø
10
 C
 =
 2
20
19
0
15
15
 
Figura 60 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata. 
 
 
2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA 
(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP) 
 
 Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando: 
 
 - seção do pilar: 40 x 60 cm ; φl,pilar = 22 φ 20 mm, sendo parte tracionada; 
 - N = 1.040 kN; 
 - concreto C20; aço CA-50; cnom = 4,5 cm 
 - 500solo =σ kN/m2; 
 - momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m 
 
Resolução 
 
a) Estimativa das dimensões da sapata 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 49
 2
solo
sap m288,2500
10401,1N1,1
S =
⋅
=
σ
= 
 
 Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c: 
 
 ( ) ( ) sap2pppp Sab4
1
ab
2
1
B +−+−= 
 
 ( ) ( ) m42,1288,26,04,0
4
1
6,04,0
2
1
B 2 =+−+−= 
 
 adotado B = 1,40 m 
 
m60,1Aadotadom63,1
40,1
288,2
B
S
A sap =→=== 
 
b) Verificação das tensões na base da sapata 
 
 Excentricidades da força vertical (Figura 61): 
 
B
14
0c
m
A
160cm
x
y
60
40
N
N
Mx
N
My
 
Figura 61 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata. 
 
 
 N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m 
 
 cm27m270,0
1040
280
ex === 
 
cm3,18m183,0
1040
190
ey === 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 50
 Cálculo da tensão máxima σ1 com auxílio do ábaco (ver Figura 53): 
 
 
13,0
140
3,18
B
e
17,0
160
0,27
A
e
y
y
x
x
===η
===η
 → ábaco (Figura 53) → λ1 = 0,34, zona C 
 
 6505003,13,1
BA
F
solo
1
V
1 =⋅≤σ≤
⋅⋅λ=σ kN/m2 
 
 502.1
4,16,134,0
10401,1
1 =
⋅⋅
⋅
=σ kN/m2 >> solo3,1 σ = 650 kN/m
2 → não ok! 
 
 As dimensões da sapata devem ser aumentadas! 
 
 Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm): 
 
 12,0
220
0,27
x ==η 
 
09,0
200
3,18
y ==η 
 
 Verifica-se que: 
 
)basenatraçãohá(
6
1
21,0
B
e
A
e
yx
yx >=η+η=+ 
 
no ábaco (Figura 53): λ1 = 0,44, α = 36°, λ4 = 0,10 e zona C. 
 
 Tensões nos vértices da sapata (Figura 62): 
 
 591
0.2.2,2.44,0
1040.1,1
1 ==σ kN/m2 < solo3,1 σ = 650 kN/m
2 → ok! 
 
 1,59591.10,014 4 −=−=σλ−=σ kN/m
2 (fictícia) 
 
 
°+°
°
+−=
α+α
α
σ−σ−σ=σ
36cos36sen
36sen
)1,59591(591
sensen
sen
)( 4112 
 
 σ2 = 317,4 kN/m
2 
 
 
°+°
°
+−=
α+α
α
σ−σ−σ=σ
36cos36sen
36sen
)1,59591(591
sensen
sen
)( 4113 
 
 σ3 = 214,5 kN/m
2 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 51
215
591
-59
317
LN
 
Figura 62 – Tensões nos vértices da sapata. 
 
 
c) Verificação do tombamento da sapata 
 
 111,0
9
1
9
1
B
e
A
e 2
y
2
x
2
y
2
x
≤≤η+η⇒≤





+




 
 
!ok111,0023,009,012,0 22 →<=+ 
 
 Deve ainda ser verificada a equação: 
 
6
1
B
e
A
e g,yg,x
≤+ 
 
d) Determinação da altura (sapata rígida) 
 
 Pelo critério do CEB-70: 
 
cm120h405,1
80
h
5,05,1tg5,0 ≤≤→≤≤→≤β≤ 
 
 Pela NBR 6118/03: 
 
3,53
3
)60220(
3
)aA(
h
p
≥
−
≥
−
≥ cm 
 
 Para a armadura do pilar (22 φ 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o 
comprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para φ 20, C20, boa aderência, 
com gancho, resulta lb = 61 cm, e, considerando a distância do gancho à base da sapata = 7 cm: 
 
 h ≥ 61 + 7 cm ≥ 68 cm 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 52
 Será adotado h = 75 cm, d = 75 – 5 = 70 cm. 
 
 cm35hadotado
cm20
cm25
3
75
3
h
h oo =→




==
≥ 
 
e) Determinação dos esforços solicitantes conforme o CEB-70 
 
 Verificação: 75280
2
75
h2c
2
h
⋅≤≤→≤≤ 
 
 !okcm15080c5,37 →≤=≤ 
 
e1) Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 63) 
 
 Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como: 
 
 




σ
σ
≥σ
méd
máx
ref 3
2
 
215
591
-59
317
403 439
E
FG
H
D
B
C
A
454
x B
86
B =
 20
0
165
xA
89
A = 220
473
97
S
1B
S 1A
302
 
 
Figura 63 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 . 
 
 
 Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas 
na metade dos lados A e B. 
 
 Dimensão A (S1A): 
2
89,0
0,20,454
2
x
BpM
22
A
A ⋅=⋅⋅= 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 53
 0,454
2
317591
p =
+
= kN/m2 
 
 MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm 
 
 MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm 
 
 Dimensão B (S1B): 
2
86,0
2,20,403
2
x
ApM
22
B
B ⋅⋅=⋅= 
 
 0,403
2
215591
p =
+
= kN/m2 
 
 MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm 
 
 MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm 
 
e2) Forças cortantes na seção S 2 (Figura 64) 
215
591
-59
317
514
H
D
BC
C
45
B =
 20
0
C
45
A = 220
240
S
2B
S 2A
A
C 2B
C
2A
153
F
G
E
529
 
Figura 64 – Seções de referência S2 . 
 
 
 cm45
2
7060220
2
daA
c pA2 =
−−
=
−−
= 
 
 cm45
2
7040200
2
dbB
c pB =
−−
=
−−
= 
 
 As forças cortantes nas direções A e B da sapata são os volumes mostrados na figura. A 
força VA por exemplo é o volume da figura compreendida entre as áreas ABCD e EFGH. 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 54
 0,3740,245,0
4
591514317240
VA =⋅
+++
= kN 
 
 3,3682,245,0
4
591529215153
VB =⋅
+++
= kN 
 
 Valores de cálculo: 
 
 VA,d = 1,4 . 374,0 = 523,6 kN 
 
 VB,d = 1,4 . 368,3 = 515,6 kN 
 
Tarefa: Fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras. 
 
2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA 
 
 Sapatas flexíveis são aquelas onde: 
 
 
3
)a -(A 
 <h p − segundo o critério da NBR 6118/03; 
 
 tg β < 0,5 – segundo o critério do CEB-70. 
 
 São menos utilizadas que as sapatas rígidas, sendo indicadas para cargas baixas e solos 
relativamente fracos (NBR 6118, item 22.4 2.3). A verificação da punção é obrigatória. 
 Os momentos fletores podem ser calculados em cada direção segundo quinhões de carga, 
determinados geometricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”. O 
mesmo critério é adotado para cálculo das forças cortantes. As áreas podem ser retangulares, 
triangulares ou trapezoidais (Figura 65): 
 
2 2
1
1
N
2
N
2
A2
A1 A1
A4
A3
A2
N
4
A1
A4
A3
A2
N
4
2 2
1
1
Figura 65 – Áreas relativas aos quinhões de carga: retangular, triangular e trapezoidal. 
 
 
 Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente 
idênticos, e com área retangular são exagerados. 
 
a) Área triangular 
 
 
3
a
 
4
N
- 
3
A
4
N
 = M pA 











 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 55
 )a -(A 
12
N
 = M pA 
N
4
aap
bb pB
A
A
3
 
Figura 66 – Quinhões de carga por área triangular. 
 
 )a -(A 
2
1
 )b + (B 
2
1
 p = V ppA 
 
 





−





−
A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V ppA 
 
onde: N = força vertical aplicada pelo pilar na sapata; 
 p = reação do solo na base da sapata. 
 
 Na outra direção: 
 
 )b - (B 
12
N
 = M pB 
 
 





−





−
A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V ppB 
 
b) Área de trapézio 
2 2
1
1
aap
bb
p
xxCG
B
A
2
ap
N
4
 
 
Figura 67 – Quinhões de carga por área trapezoidal. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 56
 A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com: 
 
 














p
pp
CG b + B
b + 2B
 
6
a -A 
 = x 
 
 Os momentos fletores no centro da sapata são: 
 
 








+








+
+−
6
a
bB
bB2
6
aA
4
N
 = M p
p
pp
A 
 
 








+








+
+−
6
b
aA
aA2
6
bB
4
N
 = M p
p
pp
B 
 
 As forças cortantes nas seções 1 e 2 são: 
 
 





−





−
A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V ppA 
 
 





−





−
A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V ppB 
 
 
2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO 
 bW ≥≥≥≥ 5d 
 
 A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw ≥ 5d (NBR 
6118, item 19.4). As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortante quando: 
 
 VSd ≤ VRd1 
 
 (bw = largura da sapata na direção considerada) 
 
com: 
 db] 0,15 + ) 40 + (1,2k [ = V wcp1RdRd1 σρτ 
 
onde: τRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento; 
k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o 
apoio; para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros; 
 
 0,02 
db
A
 = 
w
s1
1 ≤ρ 
 
 
c
Sd
cp A
N
 = σ 
 
NSd = força longitudinal na seção derivada à protenção ou carregamento (compressão 
positiva); 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 57
As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + lb,nec além da seção 
considerada. 
 
 
2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível 
 
 Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexível. 
 
Resolução 
 
 A sapata foi resolvida como rígida, com h = 60 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata 
será flexível se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb = 33 cm, deve-se atender 
esse valor. A sapata será flexível adotando: 
 
 h = 55 cm e d = 50 cm > lb = 33 cm 
 
a) Momentos fletores e forças cortantes 
 
a.1) Área por triângulos (Figura 68) 
 As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste 
exemplo, onde ocorre momento fletor e a pressão na base não é unifforme, é necessário adotar 
um critério para uniformizar a pressão. Um critério é: 
 
 




=
+
=
σ+σ
=⋅=σ
≥σ=
0188,0
2
0156,0022,0
2
0176,0022,08,08,0
p
mínmáx
máx
base 
 
 p = σbase = 0,0188 kN/cm
2 
N
4a
60
ap
b 20b
p
B 20
0
A
240
A
3
0,022 KNcm²
0,0156
p = 0,0188
 
Figura 68 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo. 
 
 
UNESP – Bauru/SP– Sapatas de Fundação 58
 Com p pode-se determinar N: 
 
 2002400,0188 = BAp =N 
BA
N
 = p ⋅⋅⋅⋅→
⋅
 
 
 N = 902,4 kN (já majorado em 1,1) 
 
 13.536 = 60) (240
12
902,4
 = )aA (
12
N
 =M pA −− kN.cm 
 
 Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70. 
 
 536.13)20200(
12
4,902
)bB(
12
N
M pB =−=−= kN.cm 
 
Tarefa: se para o cálculo de M1B (CEB-70) também foi utilizada a pressão média, por que os 
momentos fletores tem uma diferença de 30 %? 
 
 Forças cortantes: 
 
 





−⋅





−=





−⋅





−=
240
60
1
200
20
1
4
4,902
A
a
1
B
b
1
4
N
V ppA 
 
 VA = VB = 152,3 kN 
 
a.2) Área por trapézios (Figura 69) 
 
a
60
ap
b 20b
p
B 20
0
A
240
= 0,0188 KNcm²pméd
 
B 
Figura 69 – Área de um trapézio e reação do solo. 
 
 
 kN3,152
A
a
1
B
b
1
4
N
VV ppBA =





−⋅





−== (igual à área por triângulos) 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 59
 








+








+
+
⋅




 −
=
6
a
bB
bB2
6
aA
4
N
M p
p
pp
A 
 
 





+





+
+⋅
⋅




 −
=
6
60
20200
202002
6
60240
4
4,902
MA 
 
 MA = 15.177 kN.cm 
 
 








+








+
+
⋅




 −
=
6
b
aA
aA2
6
bB
4
N
M p
p
pp
A 
 
 





+





+
+⋅
⋅




 −
=
6
20
60240
602402
6
20200
4
4,902
MA 
 
 MB = 12.934 kN.cm 
MB
MA
B
A 
Figura 70 – Indicação dos momentos fletores solicitantes. 
 
 
b) Armadura de flexão 
 
 Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se: 
 
 2
yd
d
sA cm49,115,435085,0
151174,1
fd85,0
M
A =
⋅⋅
⋅
=
⋅
= → contra 14,26 cm2 do Exemplo 3 
 
 2sB cm79,95,435085,0
129344,1
A =
⋅⋅
⋅
= → contra 13,43 cm2 do Exemplo 3 
 
 A NBR 6118/03 não prescreve armadura mínima para sapata, porém, para as sapatas 
flexíveis pode-se considerar: 
 
 db%10,0A mín,s ⋅⋅= 
 
 2mín,sA cm00,10502000010,0A =⋅⋅= 
 
 2mín,sB cm00,12502400010,0A =⋅⋅= 
 
 Portanto: 
 
 2sA cm49,11A = (5,75 cm
2/m → φ 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2/m) 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 60
 2sB cm00,12A = (5,00 cm
2/m → φ 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2/m) 
 
 00114,0
50100
71,5
A =
⋅
=ρ 
 
 00100,0
50100
00,5
B =
⋅
=ρ 
 
c) Verificação da punção 
 
c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 71) 
 
B 20
0
A
240
a*
a*
C
C'
 
Figura 71 – Superfície critica C’ e distância a*. 
 
 
 cB = cA = 90 cm 
 
 2d = 2 . 50 = 100 cm > cB e cA 
 
 Portanto a* = cB = cA = 90 cm 
 
 Adotar 2d para a*; se 2d > cA ou cB , adotar para a* o menor entre cA e cB . 
 
 Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo 
solicitante: 
 
dW
M
K
d*u
F
p
SdSd
Sd +=τ 
 
 Área limitada pelo contorno C’: 
 
 ( )
2
pppp'C,cont *ab*a2a*a2baA π+++⋅= 
 
 ( )
2
'C,cont 9020902609022060A π+⋅⋅+⋅⋅+⋅= 
 
 Acont, C’ = 41.046 cm
2 
 
 Pressão média na base da sapata: 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 61
 0188,0
2
022,00156,0
pméd =
+
= kN/cm2 
 
 Força na área Acont, C’ devido à reação do solo: 
 
 





=⋅γ=∆ 41046
1,1
0188,0
4,1)Ap(F 'C,contmédiofSd 
 
 1,1 é para não considerar o solo sobre a sapata. 
 
 ∆FSd = 982,0 kN 
 
 Força sobre a sapata reduzida da reação do solo: 
 
 FSd,red = FSd - ∆FSd 
 
 kN9,1659828204,1F red,Sd =−⋅= 
 
 Perímetro u* do contorno C’: 
 
 
cm5,725*u
902202602*u
*a2b2a2*u bp
=
⋅π+⋅+⋅=
π++=
 
 
 Parâmetro K: 
C
a
C1
ap
C bC
1
b p
e
N
e1 Msd
 
Figura 72 – Parâmetros C1 e C2 . 
 
 
 C1 = ap = 60 cm 3
C
C
2
1 = → na Tabela 1, K = 0,80 
 C2 = bp = 20 cm 
 
 1
2
221
2
1
p Cd2 + 16d d4C CC 2
C
 W ⋅⋅π+⋅+⋅+= (sapata retangular) 
 
 com d = a*: 
 
 06092 + 0916 09024 0260 
2
06
 W 2
2
p ⋅⋅π⋅+⋅⋅+⋅+= 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 62
 Wp = 173.728 cm
2 
 
 
20173728
)62004,1(8,0
205,725
9,165
Sd
⋅
⋅
+
⋅
=τ 
 
onde d = h0 – 5 = 25 – 5 = 20 cm (d é a altura útil em C’) 
 
 τSd = 0,0134 kN/cm
2 = 0,134 MPa 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’: 
 
 2cd3 ck1Rd f5,0*a
d2
f100
d
20
113,0 ≤ρ







+=τ 
 
 
90
202
25001,0100
20
20
113,0 31Rd
⋅
⋅⋅







+=τ (utiliza-se o menor ρ1) 
 
 τRd1 = 0,157 MPa = 0,0157 kN/cm
2 
 
 
cd
ck
2cd f250
f
16,05,0f5,0 











−= 
 
 
4,1
5,2
250
25
16,05,0f5,0 2cd 











−= 
 
 0,5 fcd2 = 0,482 kN/cm
2 = 4,82 MPa 
 
 τRd1 = 0,187 MPa < 0,5 fcd2 = 4,82 MPa → ok! 
 
 Não é necessário colocar armadura para punção, pois: 
 
 τSd = 0,134 MPa < τRd1 = 0,157 MPa 
 
 Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal 
necessidade a fim de simplificar a execução da sapata. 
 
c2) Verificação da superfície crítica C 
 
 Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na 
superfície C. 
 
 
3. SAPATA CORRIDA 
 
 Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por 
isso uma dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as 
sapatas corridas são classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118/03 já 
apresentado. 
 Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na 
armadura principal As , que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 63
cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e 
espaçamentos menores. 
 Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser 
obrigatoriamente verificada. 
 
 
45
°
fissura
A
(principal)
Asbiela
comprida
armadura
secundária
 
Figura 73 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida. 
 
 
Recomenda-se adotar para a altura: 
 
 h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares) 
 
 ho ≥ 10 / 15 cm 
h
h
h 0
 
Figura 74 – Altura h da sapata corrida. 
 
 
 A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo 
de solo. No cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura 
75: 
N N NA) B) C)
 
 
Figura 75 – Distribuição de pressão no solo. 
 
 
 A indicação de Guerrin (1967) é: 
 
a) solos rochosos 
 - sapata rígida: diagrama bi triangular (a); 
 - sapata flexível: diagrama retangular (b); 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 64
b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos; 
 
c) solos arenosos 
 - sapata rígida: diagrama retangular (b); 
- sapata flexível: diagrama triangular (c). 
 
3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME 
 
 As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas 
relativamente altas e sobre solos com boa capacidade de suporte. 
 As sapatas corridas rígidas, quando 
3
)a -(A 
 h p≥ e β < 45°, podem ter os esforços 
solicitantes (M e V) calculados nas seções de referência S1 e S2, conforme o CEB-70. As 
verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhante 
às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m. 
 Quando β ≥ 45°, o “Método das bielas” pode ser utilizado, em opção ao CEB-70. 
 
aap
A
h
β
≥45º
 
 
Figura 76 – Sapata rígida de acordo com o Método das Bielas. 
 
 
 O fenômeno da punção não ocorre, mas conforme a NBR 6118, a tensão de compressão 
na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1), já estudado. 
 Segundo o “Método das bielas”, a armadura principal deve ser dimensionada para a força 
Tx (Figura 77): 
aap
A
d
β
≥45º Tx
N
dd 0
ρ
 
Figura 77 – Força Tx conforme o Método das bielas. 
 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 65
 
p
0 aA
d.A
d
−
= 
 
 
yd
xd
sAsx
xfxd
p
x
f
T
AA
TT
d
aA
8
N
T
==
γ=





 −
=
 
 
3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME 
 
 O momento fletorprincipal, atuante na direção da largura da sapata, é considerado 
máximo no centro da sapata. A força cortante é calculada na seção 1 (Figura 78), junto à face da 
área carregada. Os esforços são calculados sobre faixas unitárias ao longo do comprimento da 
sapata (B = 1 m). 
hd
ØlØ , pilar
aap
N
50,00
AsA , princ.I
hh0
I
AsA , sec
ρ
M
V
 
Figura 78 – Sapata corrida flexível. 
 
 
 Pressão no solo: 
A
N
p = 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 66
 Pressão sob a parede: 
p
par a
N
p = 
 
 Força cortante na seção 1: 
 
( )






−=
−=
A
a
1
2
N
V
paA
2
1
V
p
p
 
 
 Momento fletor máximo no centro da sapata: 
 
 
( )p
2
ppar
22
p
par
2
aA
8
N
M
8
a.p
8
pA
2
a
p
2
1
2
A
p
2
1
M
−=
−=





−





=
 
 
 A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área: 
 
 





≥
m/cm9,0
A
5
1
A
2
princ,s
sec,s 
 
 As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como 
indicado na Figura 79. 
 
Øl
 
Figura 79 – Reforço das bordas com barras adicionais. 
 
 
 A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis 
(Figura 80). 
45
°45°
superfície de ruptura por
punção, segundo Leonhardt
 
Figura 80 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível. 
 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 67
3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA 
 
 Dimensionar a sapata rígida sob uma parede de concreto de 20 cm de largura com carga 
vertical N = 20 tf/m = 200 kN/m. Dados: 
 
 C20; soloσ = 1,1 kgf /cm
2 = 1,1 tf /m2 = 0,011 kN /cm2 = 0,11 MPa 
 
 d = h – 5 cm ; CA-50 ; cnom = 4,5 cm 
a = 20ap
A
d
β
≥45º N
h
ρ
hh0
C
90
 
Figura 81 – Sapata rígida conforme o Método das bielas. 
 
 
Resolução 
 
 Cálculo da largura da sapata, considerando que B = 1 m = 100 cm: 
 
 
011,0
0,21,1N1,1
A
solo
⋅
=
σ
= 
 
 A = 200 cm 
 
 Os balanços terão o valor: 
 
 90
2
20200
2
aA
c p =
−
=
−
= cm 
 
 Cálculo da altura h: 
 
- pela NBR 6118: cm60
3
20)-(200
3
)a-(A
h p ≥≥≥ 
 
- para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter β ≥ 45º: 
 
 
c
d
tg =β , com β = 45º ⇒ d = c = 90 cm → h = 95 cm 
- pelo CEB-70: cm135h45905,1h905,05,1
c
h
5,0 ≤≤→⋅≤≤⋅→≤≤ 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 68
 Considerando o “Método das bielas”, h = 95 cm. 
 
 Força de tração na armadura principal: 
 
 55
90
20200
8
2001,1
d
aA
8
N
T px =




 −⋅
=




 −
= kN/m 
 
 77,1
48,43
554,1
f
T
AA
yd
xd
ss AX
=
⋅
=== cm2/m 
 
 para φ 8 mm (1 φ 8 = 0,50 cm2): 
 
 2,28
77,1
5,0100
s =
⋅
= cm ≤ 20 ou 25 cm 
 
 O espaçamento deve ser diminuído. Adotando φ 6,3 mm (0,31 cm2): 
 
 5,17
77,1
31,0100
s =
⋅
= cm ≤ 20 cm (ok!) 
 
 Portanto: 
 
 AsA = As,princ = φ 6,3 mm c/17 cm (1,82 cm
2/m) 
 
 Para a armadura de distribuição pode-se considerar: 
 
 m/cm9,0A
35,0
5
77,1
m/cm9,0
A
5
1
m/cm9,0
A 2distr,s
2
princ,s
2
distr,s =∴





=
≥





≥ 
 
 φ 5 mm c/22 cm ou φ 5 mm c/20 cm (1,00 cm2/m) 
 
 sdistr ≤ 33 cm, mas na prática sdistr ≤ 20 ou 25 cm. 
 
Notas: 
 
a) o cálculo pelo Método das Bielas dispensa a verificação da força cortante, isto é, segundo 
Montoya, no caso de sapata rígida a força cortante não precisa ser verificada; 
 
b) conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal 
verificada (item 19.5.3.1); 
 
c) Guerrin (1967) aplica o Método das Bielas fazendo: 
 
 )cm50h(cm45
4
20200
4
aA
d p ==
−
=
−
= 
 
Detalhamento: 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 69
 cm30h
cm20
cm7,31
3
95
3
h
h 00 =→




==
≥ 
 
d 
=
 9
0
h 
=
 9
5
h = 30h0
Ø6, 3 c/ 17 Ø5 c/ 20
 
Figura 82 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras. 
 
 
 A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da 
sapata, fazendo o gancho vertical com ho – 10 cm. 
 Considere: 
 
1º) Resolver a sapata com h = 60 cm, pelo método do CEB-70; 
2º) Comparar as armaduras e o volume de concreto das sapatas. 
 
3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
 Dimensionar a sapata corrida para uma parede de largura 20 cm, com: 
 
 cnom = 4,0 cm; N = 30 tf/m = 300 kN/m; 0,2solo =σ kgf/cm
2 ; C20; CA-50. 
 
 Fazer sapata rígida e como sapata flexível. Comparar os resultados. 
 
3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL 
 
 Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível. 
 Dados: 
 ap = 20 cm ; N = 200 kN/m; C20; soloσ = 0,011 kN/cm
2 
 
Resolução 
 
 Para a sapata flexível, que tem peso próprio menor, tem-se: 
 
 cm191
011,0
0,205,1N05,1
A
solo
=
⋅
=
σ
= 
 
adotado A = 190 cm. 
 
 Balanço da sapata: 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 70
 cm 85 =
2
20190
2
aA
c p
−
=
−
= 
 
 Cálculo da altura da sapata (h): 
 
- NBR 6118 – sapata rígida: cm7,56
3
)20190(
3
)aA(
h p ≥
−
≥
−
≥ ; 
 
- CEB-70: 0,5·85 ≤ h ≤ 1,5·85 → 42,5 ≤ h ≤ 127,5 cm → sapata rígida 
 
 Seguindo o critério da NBR 6118, para sapata flexível (h < 56,7 cm) será adotado h = 50 
cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura do pilar. 
 Esforços solicitantes: 
 
 9,93
190
20
1
2
20005,1
A
a
1
2
N
V p =





−
⋅
=





−= kN/m (V na face da parede) 
 
 463.4)20190(
8
20005,1
)aA(
8
N
M p =−
⋅
=−= kN.cm/m (M no centro da parede) 
 
 Os esforços V e M ocorrem em 1 m de de comprimento da sapata corrida: 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 71
h 
=
 5
0
d 
=
 4
5
 a = 20ap
N
A = 190
h = 20h0
ρ
M
V
C
85
V
+
10
0
20
C
 
Figura 83 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata. 
 
 





≥
princ,s
2
distr,s
A
5
1
m/cm9,0
A 
 
64,0
5
19,3
A princ,s == cm
2/m 
 
9,0A distr,s = cm
2/m 
 
 φ 5 c/20 cm (1,00 cm2/m) 
 
Dimensionamento à flexão, tomando bw = 1 m = 100 cm: 
 
 4,32
44634,1
45100
M
db
K
2
d
2
w
c =
⋅
⋅
== 
 
 Ks = 0,023 (dom. 2) 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 72
 19,3
45
44634,1
023,0As =
⋅
= cm2/m 
 
 φ 6,3 mm c/9 cm (3,50 cm2/m) 
 
 φ 8 mm c/15 cm (3,33 cm2/m) 
 
 s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática) 
 
Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C, considerando 1 m de 
comprimento da sapata: 
 
 uo = 2 (20 + 100) = 240 cm 
 
 2802004,1NF SdSd =⋅== kN/m 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
 
 0259,0
45240
280
du
F
o
Sd
Sd =
⋅
=
⋅
=τ kN/cm2/m 
 
Nota: não foi considerada a redução de FSd proporcionada pela reação do solo. 
 
 Tensão de cisalhamento resistente: 
 
 τRd2 = 0,27αv fcd = 355,0
4,1
0,2
250
20
127,0 =





− kN/cm2 
 
 τSd = 0,259 MPa < τRd2 = 3,55 MPa → ok! 
 
 A força cortante pode ser verificada como laje, com bw ≥ 5d, onde bw é o comprimento da 
sapata paralelo à parede. Deve-se ter VSd ≤ VRd1 para se dispensar a armadura transversal. 
 
 VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d 
 
 00074,0
45100
33,3
1 =
⋅
=ρ 
 k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1 
 
 τRd = 0,25 fctd = 276,0
4,1
203,07,0
25,0
3 2
=
⋅
MPa 
 
 VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,00074)] 100 . 45 
 
 VRd1 = 175,6 kN/m 
 
 VSd = 1,4 . 93,9 = 131,5 kN/m < VRd1 = 175,6 kN/m 
 
 → ok! não é necessário colocar armadura transversal. 
 
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 73
 Comparação: 
 
 Sapata rígida Sapata flexível 
As 1,77 3,19 
h 95 50 
 
 
Detalhamento 
Ø8 c/ 15 Ø5 c/ 20
h 
=
 5
0
d 
=
 4
5
h = 20h0
 
Figura 84 – Detalhamento indicativo das armaduras. 
 
 
 
3.6 EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
 Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos: 
 
- C20 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; soloσ = 2,0 kgf/cm
2 
- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de 
argamassa); 
- muro em alvenaria de blocos de concreto; 
- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro; 
- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo; 
- fazer verificações da estabilidade da sapata;