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SEE-MG
Analista Educacional (ANE) - Analista 
Educacional - para exercer, preferencialmente, atribuições 
técnico-pedagógicas
Raciocínio Lógico e Matemático
Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e predicados.
Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: 
raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e 
temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Raciocínio lógico en-
volvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Problemas de contagem e 
noções de probabilidade. Problemas de lógica e raciocínio .......................................... 1
Conjuntos e suas operações, diagramas. Números inteiros, racionais e reais e suas 
operações ....................................................................................................................... 21
Porcentagem .................................................................................................................. 27
Juros ............................................................................................................................... 29
Proporcionalidade direta e inversa ................................................................................. 32
Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo .............................................. 33
Análise e interpretação de informações expressas em gráficos e tabelas .................... 40
Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, proporcionalidade, 
perímetro e área. Plano cartesiano: sistema de coordenadas, distância ....................... 45
Exercícios ....................................................................................................................... 53
Gabarito .......................................................................................................................... 61
Apostila gerada especialmente para: valdo santos 836.271.703-34
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Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e predica-
dos.Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelec-
tuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espa-
cial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Raciocínio lógico 
envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Problemas de contagem e 
noções de probabilidade. Problemas de lógica e raciocínio
 
Raciocínio lógico é o modo de pensamento que elenca hipóteses, a partir delas, é possível relacionar resul-
tados, obter conclusões e, por fim, chegar a um resultado final.
Mas nem todo caminho é certeiro, sendo assim, certas estruturas foram organizadas de modo a analisar a 
estrutura da lógica, para poder justamente determinar um modo, para que o caminho traçado não seja o errado. 
Veremos que há diversas estruturas para isso, que se organizam de maneira matemática.
A estrutura mais importante são as proposições.
Proposição: declaração ou sentença, que pode ser verdadeira ou falsa.
Ex.: Carlos é professor.
As proposições podem assumir dois aspectos, verdadeiro ou falso. No exemplo acima, caso Carlos seja 
professor, a proposição é verdadeira. Se fosse ao contrário, ela seria falsa.
Importante notar que a proposição deve afirmar algo, acompanhado de um verbo (é, fez, não notou e etc). 
Caso a nossa frase seja “Brasil e Argentina”, nada está sendo afirmado, logo, a frase não é uma proposição.
Há também o caso de certas frases que podem ser ou não proposições, dependendo do contexto. A frase 
“N>3” só pode ser classificada como verdadeira ou falsa caso tenhamos algumas informações sobre N, caso 
contrário, nada pode ser afirmado. Nestes casos, chamamos estas frases de sentenças abertas, devido ao seu 
caráter imperativo.
O processo matemático em volta do raciocínio lógico nos permite deduzir diversas relações entre declara-
ções, assim, iremos utilizar alguns símbolos e letras de forma a exprimir estes encadeamentos.
As proposições podem ser substituídas por letras minúsculas (p.ex.: a, b, p, q, …)
Seja a proposição p: Carlos é professor
Uma outra proposição q: A moeda do Brasil é o Real
É importante lembrar que nosso intuito aqui é ver se a proposição se classifica como verdadeira ou falsa.
Podemos obter novas proposições relacionando-as entre si. Por exemplo, podemos juntar as proposições p 
e q acima obtendo uma única proposição “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o Real”. 
Nos próximos exemplos, veremos como relacionar uma ou mais proposições através de conectivos.
Existem cinco conectivos fundamentais, são eles:
^: e (aditivo) conjunção
Posso escrever “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o Real”, posso escrever p ^ q.
v: ou (um ou outro) ou disjunção
p v q: Carlos é professor ou a moeda do Brasil é o Real
: “ou” exclusivo (este ou aquele, mas não ambos) ou disjunção exclusiva (repare o ponto acima do conec-
tivo).
p v q: Ou Carlos é professor ou a moeda do Brasil é o Real (mas nunca ambos)
¬ ou ~: negação
~p: Carlos não é professor
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->: implicação ou condicional (se… então…)
p -> q: Se Carlos é professor, então a moeda do Brasil é o Real
⇔: Se, e somente se (ou bi implicação) (bicondicional)
p ⇔ q: Carlos é professor se, e somente se, a moeda do Brasil é o Real
Vemos que, mesmo tratando de letras e símbolos, estas estruturas se baseiam totalmente na nossa lingua-
gem, o que torna mais natural decifrar esta simbologia.
Por fim, a lógica tradicional segue três princípios. Podem parecer princípios tolos, por serem óbvios, mas 
pensemos aqui, que estamos estabelecendo as regras do nosso jogo, então é primordial que tudo esteja extre-
mamente estabelecido.
1 – Princípio da Identidade
p=p
Literalmente, estamos afirmando que uma proposição é igual (ou equivalente) a ela mesma.
2 – Princípio da Não contradição
p = q v p ≠ q
Estamos estabelecendo que apenas uma coisa pode acontecer às nossas proposições. Ou elas são iguais 
ou são diferentes, ou seja, não podemos ter que uma proposição igual e diferente a outra ao mesmo tempo.
3 – Princípio do Terceiro excluído
p v ¬ p
Por fim, estabelecemos que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo mais nenhuma opção, 
ou seja, excluindo uma nova (como são duas, uma terceira) opção).
DICA: Vimos então as principais estruturas lógicas, como lidamos com elas e quais as regras para jogarmos 
este jogo. Então, escreva várias frases, julgue se são proposições ou não e depois tente traduzi-las para a lin-
guagem simbólica que aprendemos.
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Quando falamos sobre lógica de argumentação, estamos nos referindo ao processo de argumentar, ou seja, 
através de argumentos é possível convencer sobre a veracidade de certo assunto.
No entanto, a construção desta argumentação não é necessariamente correta. Veremos alguns casos de 
argumentação, e como eles podem nos levar a algumas respostas corretas e outras falsas.
Analogias: Argumentação pela semelhança (analogamente)
Todo ser humano é mortal
Sócrates é um ser humano
Logo Sócrates é mortal
Inferências: Argumentar através da dedução
Se Carlos for professor, haverá aula
Se houve aula, então significa que Carlos é professor, caso contrário, então Carlos não é professor
Deduções: Argumentar partindo do todo e indo a uma parte específica
Roraima fica no Brasil
A moeda do Brasil é o Real
Logo, a moeda de Roraima é o Real
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Indução: É a argumentação oposta a dedução, indo de uma parte específica e chegando ao todo
Todo professor usa jaleco
Todo médico usa jaleco
Então todo professor é médico
Vemos que nem todas as formas de argumentação são verdades universais, contudo, estão estruturadas 
de forma a parecerem minimamente convincentes. Para isso, devemos diferenciar uma argumentação verda-
deira de uma falsa.Quando a argumentação resultar num resultado falso, chamaremos tal argumentação de 
sofismo1.
No sofismo temos um encadeamento lógico, no entanto, esse encadeamento se baseia em algumas sutile-
zas que nos conduzem a resultados falsos. Por exemplo:
A água do mar é feita de água e sal
A bolacha de água e sal é feita de água e sal
Logo, a bolacha de água e sal é feita de mar (ou o mar é feito de bolacha)
Esta argumentação obviamente é falsa, mas está estruturada de forma a parecer verdadeira, principalmente 
se vista com pressa.
Convidamos você, caro leitor, para refletir sobre outro exemplo de sofismo:
Queijo suíço tem buraco
Quanto mais queijo, mais buraco
Quanto mais buraco, menos queijo
Então quanto mais queijo, menos queijo?
LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL)
A lógica proposicional é baseada justamente nas proposições e suas relações. Podemos ter dois tipos de 
proposições, simples ou composta.
Em geral, uma proposição simples não utiliza conectivos (e; ou; se; se, e somente se). Enquanto a proposi-
ção composta são duas ou mais proposições (simples) ligadas através destes conectivos.
Mas às vezes uma proposição composta é de difícil análise. “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o 
Real”. Se Carlos não for professor e a moeda do Brasil for o real, a proposição composta é verdadeira ou falsa? 
Temos uma proposição verdadeira e falsa? Como podemos lidar com isso?
A melhor maneira de analisar estas proposições compostas é através de tabelas-verdades.
A tabela verdade é montada com todas as possibilidades que uma proposição pode assumir e suas com-
binações. Se quiséssemos saber sobre uma proposição e sua negativa, teríamos a seguinte tabela verdade:
p ~p
V F
F V
A tabela verdade de uma conjunção (p ^ q) é a seguinte:
p q p ^ q
V V V
V F F
1 O termo sofismo vem dos Sofistas, pensadores não alinhados aos movimentos platônico e aristotélico na 
Grécia dos séculos V e IV AEC, sendo considerados muitas vezes falaciosos por essas linhas de pensamento. 
Desta forma, o termo sofismo se refere a quando a estrutura foge da lógica tradicional e se obtém uma conclu-
são falsa.
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F V F
F F F
Todas as tabelas verdades são as seguintes:
p q p ^ q p v q p -> q p ⇔q p v. q
V V V V V V F
V F F V F F V
F V F V V F V
F F F F V V F
Note que quando tínhamos uma proposição, nossa tabela verdade resultou em uma tabela com 2 linhas e 
quando tínhamos duas proposições nossa tabela era composta por 4 linhas.
A fórmula para o número de linhas se dá através de 2^n, onde n é o número de proposições.
Se tivéssemos a seguinte tabela verdade:
p q r p v q -> r
Mesmo sem preenchê-la, podemos afirmar que ela terá 2³ linhas, ou seja, 8 linhas.
Mais um exemplo:
p q p -> q ~p ~q ~q -> ~p
V V V F F V
V F F F V F
F V V V F V
F F V V V V
Note que o resultado de p->q é igual a ~q -> ~p (V-F-F-V). Quando isso acontece, diremos que as proposi-
ções compostas são logicamente equivalentes (iguais).
Outro exemplo de como a tabela verdade pode nos ajudar a resolver certas proposições mais complicadas: 
Quero saber os resultados para a proposição composta (p^q) -> pvq. O que vamos fazer primeiro é montar a 
tabela verdade para p^q e pvq. 
p q p^q p v q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Agora que sabemos como nossos elementos se comportam, vamos relacionar com p->q:
p q p->q
V V V
V F F
F V V
F F V
Desta forma, sabemos que a implicação que relaciona V com V resulta em V, e V com F resulta em F, e 
assim por diante.
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Podemos então agora montar nossa tabela completa com todas estas informações:
p q p^q pvp p->q (p^q) -> pvq
V V V V V V
V F F V F V
F V F V V V
F F F F V V
O processo pode parecer trabalhoso, mas a prática faz com que seja rápida a montagem destas tabelas, 
chegando rapidamente na análise da questão e com seu resultado prontamente obtido.
Geralmente, não é simples construir uma tabela verdade, algumas relações podem facilitar as análises. Uma 
delas são as Leis de Morgan, que negam algumas relações. São elas:
– 1ª lei de Morgan: ¬(p^q) = (¬p) v (¬q)
– 2ª lei de Morgan: ¬(p v q) = (¬p) ^ (¬q)
Vejamos o exemplo para decifrar o que dizem estas leis:
p: Carlos é professor
q: a moeda do Brasil é o Real
Então, através de Morgan, negar p ^ q (Carlos é professor E a moeda do Brasil é o Real,) equivale a dizer, 
Carlos não é professor OU a moeda do Brasil não é o real
Da mesma forma, negar p v q (Carlos é professor OU a moeda do Brasil é o Real) equivale a Carlos não é 
professor E a moeda do Brasil não é o Real.
Estas leis podem parecer abstratas mas através da prática é possível familiarizar-se com elas, já que são 
importantes aliadas para resolver diversas questões.
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA
Quando uma expressão sempre apresenta a coluna resultado na tabela verdade como verdadeira, ela é 
chamada de tautologia. Na mesma linha de pensamento, podemos denominar uma expressão como uma 
contradição quando sua tabela verdade sempre resulta em falso. Por fim, são denominadas como contingên-
cia, as expressões que não são nem tautologias nem contradições, ou seja, que apresentam tanto resultados 
verdadeiros quanto falsos.
Vejamos a seguinte tabela verdade:
p q (p^q)->(p v 
q)
~(pvq) ^ (p^q) (pvq) -> (p^q)
V V V F V
V F V F F
F V V F F
F F V F V
Nesta tabela, temos que as proposições compostas: 
(p^q)->(p v q) é uma tautologia, pois sua tabela verdade é toda verdadeira.
~(pvq)^(p^q) é uma contradição, pois sua tabela verdade é toda falsa.
(pvq)->(p^q) é uma contingência, pois sua tabela verdade não é toda verdadeira nem toda falsa.
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM (OU LÓGICA DE PREDICADOS)
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Uma certa evolução de uma lógica sentencial é a lógica de primeira ordem ou lógica de predicados, onde 
além dos conectivos, estão presente os quantificadores (com expressões como qualquer e algum, por exem-
plo)2.
Esta forma de raciocinar segue os mesmos preceitos que a lógica com conectivos (e, ou, ou exclusivo, im-
plicação, …), tendo também novos símbolos, que são:
∀: qualquer, todo
∀x(A(x) -> B(x))
Para todo elemento, se pertence a A, pertence a B.
∃: existe, algum, pelo menos um
∃x(A(x)^B(X): existe elemento que pertence a A e a B
∄: Não existe, nenhum
Nenhum A é B = Todo A é não B
A negativa de tais estruturas não são tão diretas como às apresentadas nas Leis de Morgan. A negativa de 
∃ (existe,) é ∄ (não existe), mas a negativa de ∄ pode ser ∃ ou ∀ (para todo), assim como a negativa de ∀ pode 
ser tanto ∃ e ∄, por isso, cada caso deve ser analisado atentamente.
Tendo elencado estas novas estruturas, basta construirmos tabelas verdade com elas, para resolvermos 
questões.
Repare que agora estamos trabalhando não só com o aspecto verdadeiro/falso mas com a ideia de quanti-
dade (existe um, todo, nenhum), então nosso estudo das afirmações devem levar em consideração estas novas 
peculiaridades.
RACIOCÍNIO VERBAL 
O raciocínio verbal lida com problemas de lógica quase que totalmente escritos, abordando geralmente a 
negação de certas frases que podem parecer óbvias mas que muitas vezes nos pregam peças.
Podemos nos perguntar se a lógica, em geral, não é estabelecer símbolos para traduzir estas frases. Sim! 
A diferença é que negar certas frases podem fazer sentido verbalmente, mas devemos nos ater a lógica em si 
e buscar então absorver isso ao nosso raciocínio.
Uma importante ferramenta neste momento são as Leis de Morgan:
1ª lei de Morgan
¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
2ª lei de Morgan
¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)
Exemplo:
p: João dirige
q: a capital do mundo é Itapeva.
p ∧ q: João dirige e a capital do mundo é Itapeva.
Vamos negar esta proposição. Num primeiro momento, podemos estar inclinados a responder que a negati-
va seria João não dirige e a capital do mundo não é Itapeva. Mas a 1ª Lei de Morgan nos sinaliza que está erra-
do3. Devemos, negar as proposições simples etrocar o nosso conectivo. Se estava e, agora precisa estar ou.
Assim, a negação da frase seria: João não dirige ou a capital do mundo não é Itapeva. Diferença sutil, mas 
muito importante.
2 Dizemos que a lógica de primeira ordem é uma extensão da lógica sentencial.
3 Repare que as Leis de Morgan se tratam de equivalências lógicas. Caso se interesse em ver essas igual-
dades, veja o tópico equivalências lógicas.
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p ∨ q: João dirige ou a capital do mundo é Itapeva
Vamos novamente negar esta frase. Da mesma forma da anterior, nosso senso pode nos levar a responder 
que a negação seria João não dirige ou a capital do mundo é Itapeva. Mais uma vez, pela 2ª Lei de Morgan, 
temos que a negação se trata de João não dirige e a capital do mundo não é Itapeva.
Podemos então estabelecer que para negar logicamente uma frase verbal, devemos não só negar suas 
partes, mas também inverter seu conectivo. Se antes estava e, deve se tornar ou na negação. Igualmente, se 
antes estava ou, deve se tornar e.
Outra negativa importante, não abordada diretamente pelas Leis de Morgan, é a negativa de “se…então…”.
Se João dirige, então a capital do mundo é Itapeva.
Como iremos negar esta proposição? A ideia aqui é manter a primeira proposição e negar a segunda, reti-
rando os termos “se” e “então”. Ficamos então com a negativa: João dirige e a capital do mundo não é Itapeva.
Neste exemplo, vemos que essa questão é menos intuitiva comparada àquelas que são abordadas pelas 
Leis de Morgan, mas novamente, sendo bem absorvidas, farão sentido e evitarão erros na resolução das 
questões.
RACIOCÍNIO ESPACIAL E TEMPORAL
Existem tipos de questões de lógica que envolvem situações específicas que necessitam de algo a mais 
para resolver do que somente as tabelas verdade. Um exemplo disso são questões envolvendo espaço (posi-
ção, fila e tamanho e etc.) e tempo (horas, dias, calendário e etc.).
Não há uma forma de elaborar estratégias específicas para a resolução de questões deste tipo, então iremos 
fornecer alguns exemplos para inspirar quais análises podem ser feitas.
Exemplos:
1 – Em um determinado ano, o mês de setembro teve 5 sábados e 5 domingos. Rodrigo faz aniversário no 
dia 1º de setembro. Em qual dia da semana foi o seu aniversário esse ano?
Aqui, temos um exercício lidando com tempo. Neste caso, estamos lidando com calendário, envolvendo dias 
de um mês. Numa primeira vista, esta questão pode parecer muito difícil de resolver, pois, aparentemente, há 
informações faltando. Mas vamos ver como proceder na análise:
1º) Vamos nos atentar que setembro possui 30 dias;
2º) Dessa forma, dividindo este valor por 7, descobrimos quantas semanas há nesse mês: 30 : 7 = 4 (e sobra 
2).
3º) Assim, esse mês terá 4 semanas e mais dois dias.
4º) Se o mês começasse numa quinta-feira, teríamos então:
4 domingos
4 segundas
4 terças
4 quartas
4 quintas
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5 sextas
5 sábados
5º) No exemplo acima, para dar 5 sextas e 5 sábados, o mês começou numa quinta. Assim, para termos 5 
sábados e 5 domingos, o mês deve começar numa sexta.
6º) Como o aniversário de Rodrigo é no dia 1º de setembro, então seu aniversário será numa sexta-feira
---
2 – Observando o calendário de 2021, temos que o dia 23 de outubro caiu em um sábado. Sabendo que o 
ano de 2020 foi o último ano bissexto, o dia 23 de outubro de 2024 cairá em uma:
Vamos operar de maneira semelhante à questão anterior:
1º) Vamos dividir 365 (dias por ano) por 7 (dias por semana) para vermos quantas semanas temos no ano
365 : 7 = 52 (sobra 1)
2º) A divisão acima nos diz que a cada ano, avançamos um dia. Ou seja, se o dia 1º de janeiro de 2023 foi 
num domingo, em 2024 será numa segunda.
3º) Devemos analisar também o ano bissexto, pois nestes anos, há um dia a mais, então seria para dividir-
mos 366 por 7.
366 : 7 = 52 (sobra 2)
4º) O último ano bissexto foi em 2020, então o próximo será em 2024. Nos anos bissextos, fevereiro ganha 
um dia a mais.
5º) Temos então que de 2021 para 2024:
2021 2022: +1 dia na semana
2022 2023: +1 dia na semana
2023 2024: +2 dias na semana
= +4 dias na semana
6º) Como o dia 23 de outubro de 2021 caiu num sábado, o dia 23 de outubro de 2024 cairá 4 dias da semana 
depois, ou seja, numa quarta.
– Lembrando: calendário e horas
Janeiro – 31 dias
Fevereiro – 28* dias
Março – 31 dias
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Abril – 30 dias
Maio – 31 dias
Junho – 30 dias
Julho – 31 dias
Agosto – 31 dias
Setembro – 30 dias
Outubro – 31 dias
Novembro – 30 dias
Dezembro – 31 dias
*Os anos bissextos acontecem a cada 4 anos (múltiplos de 4 como 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 
2024, 2028, …) e nestes anos fevereiro possui 29 dias.
1 dia = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
3 – Ana, Bela, Carla e Dora estão sentadas em volta de uma mesa quadrada em cadeiras numeradas de 1 
a 4, como mostra a figura a seguir:
Sabe-se que:
– Ana não está em frente a Bela.
– Bela tem Carla a sua esquerda.
– Ana e Dora estão nas cadeiras pares.
Onde cada uma está sentada?
Vamos proceder com a seguinte análise:
1º) Como Ana não está na frente a Bela, então elas estão uma do lado da outra.
2º) Bela tem Carla a sua esquerda.
Então ela tem a Ana a sua direita.
E por fim, Dora está a sua frente.
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3º) Ana e Dora estão nas cadeiras pares
Se Ana estiver na cadeira 2, temos a configuração:
1 – Carla 2 – Ana 3 – Bela 4 – Dora
Se Ana estiver na cadeira na cadeira 4, temos a configuração
1 – Dora 2 – Bela 3 – Carla 4 – Ana
Mas essa opção não é possível, pois Ana e Dora estão nas pares.
Logo, estão sentadas Carla na cadeira 1, Ana na cadeira 2, Bela na cadeira 3 e Dora na cadeira 4.
---
Vemos que cabe ao candidato uma certa criatividade aliada ao raciocínio para abordar as questões. Não há 
nada muito complexo, mas deve ser cuidadosamente vista para evitar deslizes e más interpretações.
LÓGICA SEQUENCIAL
A lógica sequencial envolve a percepção e interpretação de objetos que induzem a uma sequência, buscan-
do reconhecer essa sequência e estabelecer sucessores a este objeto.
Muitas vezes essas questões vêm atreladas com aspectos aritméticos (sequências numéricas) ou geome-
tria (construção de certas figuras).
Não há como sistematizar este assunto, então iremos ver alguns exemplos para nos inspirar para que bus-
quemos resolver demais questões.
Exemplos:
1 – A sequência de números a seguir foi construída com um padrão lógico e é uma sequência ilimitada:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 40, …
A partir dessas informações, identifique o termo da posição 74 e o termo da posição 95. Qual a soma destes 
dois termos?
Vamos analisar esta sequência dada:
1º) Vemos que a sequência vai de 6 em 6 termos e pula para a dezena seguinte
Os primeiros 6 termos vão de 0 a 5
Do 7º termo ao 12º termo: 10 a 15
13º termo ao 18º termo: 20 a 25
2º) Vemos que o padrão segue a tabuada do 6
6 x 1 = 6 (0 até 5)
6 x 2 = 12 (10 até 15)
6 x 3 = 18 (20 até 25)
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3º) O número que está multiplicando o 6 menos uma unidade representa a dezena que estamos começando 
a contar:
6 x 1 1 - 1 = 0 (0 até 5)
6 x 2 2 - 1 = 1 (10 até 15)
6 x 3 3 - 1 = 2 (20 até 25)
4º) Se dividirmos 74 por 6 e 95 por 6 descobriremos seus valores
74 : 6 = 12 (sobra 2)
95 : 6 = 15 (sobra 5)
5º) O termo 74 então está dois termos após 6 x 12
6 x 12 12 - 1 = 11 (110 até 115)
Então o termo 74 está no intervalo entre 120 até 125
O 74º termo é o número 121
6º) Da mesma forma, 95 está 5 após 6 x 15
6 x 15 15 - 1 = 14 (140 até 145)
O termo 95 está no intervalo entre 150 até 155
O 95º termo é o número 154
7º) Somando 121 + 154 = 275
2. Analise a sequência a seguir:
4; 7; 13; 25; 49
Admitindo-seque a regularidade dessa sequência permaneça a mesma para os números seguintes, é cor-
reto afirmar que o sétimo termo será igual a?
1º) Do primeiro termo para o segundo, estamos somando 3.
2º) Do segundo termo para o terceiro, estamos somando 6.
3º) Do terceiro termo para o quarto, estamos somando 12.
4º) Do quarto termo para o quinto, estamos somando 24.
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12
5º) Podemos estabelecer o padrão que estamos multiplicando a soma anterior por 2.
6º) Assim, do quinto termo para o sexto, estaríamos somando 48. E do sexto para o sétimo estaríamos so-
mando 96
7º) Dessa forma, basta somarmos 49 com 48 e 96: 49 + 48 + 96 = 193
3 – Observe a sequência:
O padrão de formação dessa sequência permanece para as figuras seguintes. Desse modo, a figura que 
deve ocupar a 131ª posição na sequência é idêntica à qual figura? 
1º) Vemos que o padrão retorna para a origem a cada 7 termos.
2º) Os termos 14, 21, 28, 35, …, irão ser os mesmos que o padrão da 7ª figura.
3º) Os termos 8, 15, 22, 29, 36, …, irão ser os mesmos que o padrão da 1ª figura.
4º) Vamos então dividir 131 por 7 para descobrir essa equivalência.
131 : 7 = 18 (sobra 5)
5º) Justamente essa sobra, 5, será a posição equivalente.
Assim, a figura da 131ª posição é idêntica a figura da 5ª posição
DIAGRAMAS LÓGICOS
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação em que esses diagra-
mas poderão ser usados, será na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada 
característica.
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Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e 
moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo 
ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os 
diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos mar-
cando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.
Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos con-
juntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.
a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.
b) Dirigem somente carros 33 motoristas.
c) Dirigem somente motos 8 motoristas.
No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apre-
sentada a seguinte tabela:
Jornais Leitores
A 300
B 250
C 200
A e B 70
A e C 65
B e C 105
A, B e C 40
Nenhum 150
Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada 
conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções 
duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses 
conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.
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Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais.
Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.
Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.
Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.
Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.
Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.
Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.
Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:
Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 
pessoas não leem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram en-
trevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.
Diagrama de Euler
Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma 
zona é definida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode 
definir um universo de discurso, isto é, ele pode definir um sistema no qual certas intersecções não são possí-
veis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas 
teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de 
Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.
Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os 
conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama está na forma 
como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, 
contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção e disjunção). Cada curva de 
Apostila gerada especialmente para: valdo santos 836.271.703-34
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Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que representa simbolicamente os elementos 
do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas 
cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam 
representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto 
de elementos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido comple-
tamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo.
Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn deve 
conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações 
de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem 
estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar 
diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer relações entre as zonas não 
apenas as que são “verdadeiras”.
Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos 
conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utili-
zados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações 
válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que 
são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão.
Diagramas de Venn
Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente pro-
priedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respetivos diagramas consistem de 
curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a represen-
tação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) 
e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas 
que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem continência; ao 
passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.
Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior 
dessas curvas representa, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Ir-
ving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com 
tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo 
diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada 
ou existente pode então ser definida indicando sealguma região em específico é vazia ou não-vazia”. Pode-
-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas 
fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma 
das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, 
se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões 
é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de 
Venn para n conjuntos.
Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As 
partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos 
são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo 
daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os 
conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo 
é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos 
representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto 
indistintamente representa sua união.
John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos ante-
riores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. 
Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se 
tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a 
outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se 
em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.
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Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os animais 
bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, 
designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem 
voar e têm apenas duas pernas motoras.
 Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do 
diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobre-
põe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis 
pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam 
representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede 
nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos.
Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, 
a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se 
sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro):
- Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição).
- Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição).
- Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição).
- Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora).
 
Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A 
para B, diferença de B para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode 
ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama:
Diferença de A para B: A\B
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Diferença de B para A: B\A
Intersecção de dois conjuntos: AB
Complementar de dois conjuntos: U \ (AB)
Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se 
perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto 
seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não 
voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são 
mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.
União de dois conjuntos: AB
Diferença Simétrica de dois conjuntos: AB
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Complementar de A em U: AC = U \ A
Complementar de B em U: BC = U \ B
Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. 
Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o 
diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas 
ilustradas nas imagens seguintes.
Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.
União de três conjuntos: ABC
Intersecção de três conjuntos: ABC
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A \ (B U C)
(B U C) \ A
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
- Todo A é B
- Nenhum A é B
- Algum A é B e
- Algum A não é B
Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está 
contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Ne-
nhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer 
que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.
Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem 
pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupo-
mos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns 
de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente 
equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo 
menos um A é B = Existe um A que é B.
Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não 
pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não 
B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações 
gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.
- Todo A é B = Todo A não é não B.
- Algum A é B = Algum A não é não B.
- Nenhum A é B = Nenhum A não é não B.
- Todo A é não B = Todo A não é B. 
- Algum A é não B = Algum A não é B.
- Nenhum A é não B = Nenhum A não é B.
- Nenhum A é B = Todo A é não B.
- Todo A é B = Nenhum A é não B.
- A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa).
- A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e vice-versa).
Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas
Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum 
A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de 
todas as outras.
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1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:
Nenhum A é B. É falsa. 
Algum A é B. É verdadeira.
Algum A não é B. É falsa. 
2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:
Todo A é B. É falsa.
Algum A é B. É falsa.
Algum A não é B. É verdadeira.
3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:Nenhum A é B. É falsa.
Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).
Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4) – é indeterminada.
4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:
Todo A é B. É falsa.
Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2 – é indeterminada).
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Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e 2 – é ideterminada).
Conjuntos e suas operações, diagramas. Números inteiros, racionais e reais e suas 
operações
— Conjuntos Numéricos
O grupo de termos ou elementos que possuem características parecidas, que são similares em sua nature-
za, são chamados de conjuntos. Quando estudamos matemática, se os elementos parecidos ou com as mes-
mas características são números, então dizemos que esses grupos são conjuntos numéricos4.
Em geral, os conjuntos numéricos são representados graficamente ou por extenso – forma mais comum em 
se tratando de operações matemáticas. Quando os representamos por extenso, escrevemos os números entre 
chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, tenha incontáveis números, os representamos com reticências 
depois de colocar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois eles são os mais usados em problemas e questões 
no estudo da Matemática. São eles: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.
Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N. Ele reúne os números que usamos para con-
tar (incluindo o zero) e é infinito. Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Além disso, o conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado pela maiúscula Z, e é formado pelos números inteiros ne-
gativos, positivos e o zero. Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Números racionais são aqueles que podem ser representados em forma de fração. O numerador e o deno-
minador da fração precisam pertencer ao conjunto dos números inteiros e, é claro, o denominador não pode ser 
zero, pois não existe divisão por zero.
O conjunto dos números racionais é representado pelo Q. Os números naturais e inteiros são subconjuntos 
dos números racionais, pois todos os números naturais e inteiros também podem ser representados por uma 
fração. Além destes, números decimais e dízimas periódicas também estão no conjunto de números racionais.
Vejamos um exemplo de um conjunto de números racionais com 4 elementos:
Qx = {-4, 1/8, 2, 10/4}
Também temos subconjuntos dos números racionais:
4 https://matematicario.com.br/
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Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não 
nulos.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conceito de números irracionais é dependente da definição de números racionais. Assim, pertencem ao 
conjunto dos números irracionais os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.
Em outras palavras, ou um número é racional ou é irracional. Não há possibilidade de pertencer aos dois 
conjuntos ao mesmo tempo. Por isso, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos nú-
meros racionais dentro do universo dos números reais.
Outra forma de saber quais números formam o conjunto dos números irreais é saber que os números irra-
cionais não podem ser escritos em forma de fração. Isso acontece, por exemplo, com decimais infinitos e raízes 
não exatas.
Os decimais infinitos são números que têm infinitas casas decimais e que não são dízimas periódicas. Como 
exemplo, temos 0,12345678910111213, π, √3 etc.
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado pelo R e é formado pela junção do conjunto dos números 
racionais com o conjunto dos números irracionais. Não esqueça que o conjunto dos racionais é a união dos 
conjuntos naturais e inteiros. Podemos dizer que entre dois números reais existem infinitos números.
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
— Múltiplos e Divisores
Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural estendem-se para o conjunto dos números in-
teiros5. Quando tratamos do assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a conjuntos numéricos que satisfazem 
algumas condições. Os múltiplos são encontrados após a multiplicação por números inteiros, e os divisores são 
números divisíveis por um certo número.
Devido a isso, encontraremos subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos dos múl-
tiplos e divisores são elementos do conjunto dos números inteiros. Para entender o que são números primos, é 
necessário compreender o conceito de divisores.
Múltiplos de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um nú-
mero inteiro k tal que a = b · k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos os 
números inteiros, os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.
Por exemplo, listemos os 12 primeiros múltiplos de 2. Para isso temos que multiplicar o número 2 pelos 12 
primeiros números inteiros, assim:
5 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
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2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem ne-
cessários, pois a lista de múltiplos é dada pela multiplicação de um número por todos os inteiros. Assim, o 
conjunto dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é ou não múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de forma que 
a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Veja os exemplos:
– O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.
49 = 7 · 7
– O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
– O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?”
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• Múltiplos de 4
Como vimos, para determinar os múltiplos do número4, devemos multiplicar o número 4 por números intei-
ros. Assim:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Divisores de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo 
de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
– 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
– 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.
– 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
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D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Observe que os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em questão e que o maior 
valor que aparece nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será divisível por ele.
Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista é o próprio 30, pois nenhum número maior que 
30 será divisível por ele. Assim:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
Propriedade dos Múltiplos e Divisores
Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múl-
tiplo de outro, é também divisível por esse outro número.
Considere o algoritmo da divisão para que possamos melhor compreender as propriedades.
N = d · q + r, em que q e r são números inteiros.
Lembre-se de que:
N: dividendo; 
d, divisor; 
q: quociente; 
r: resto.
– Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é divisor 
de (N – r).
– Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou seja, o número d é um divisor de (N – r + d).
Veja o exemplo:
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. 
Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 
+ 8) = 528 é divisível por 8 e:
528 = 8 · 66
— Números Primos
Os números primos são aqueles que apresentam apenas dois divisores: um e o próprio número6. Eles fazem 
parte do conjunto dos números naturais.
Por exemplo, 2 é um número primo, pois só é divisível por um e ele mesmo.
Quando um número apresenta mais de dois divisores eles são chamados de números compostos e podem 
ser escritos como um produto de números primos.
Por exemplo, 6 não é um número primo, é um número composto, já que tem mais de dois divisores (1, 2 e 
3) e é escrito como produto de dois números primos 2 x 3 = 6.
Algumas considerações sobre os números primos:
– O número 1 não é um número primo, pois só é divisível por ele mesmo;
– O número 2 é o menor número primo e, também, o único que é par;
– O número 5 é o único número primo terminado em 5;
– Os demais números primos são ímpares e terminam com os algarismos 1, 3, 7 e 9.
6 https://www.todamateria.com.br/o-que-sao-numeros-primos/
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Uma maneira de reconhecer um número primo é realizando divisões com o número investigado. Para faci-
litar o processo, veja alguns critérios de divisibilidade:
– Divisibilidade por 2: todo número cujo algarismo da unidade é par é divisível por 2;
– Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos é um número divisível 
por 3;
– Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5.
Se o número não for divisível por 2, 3 e 5 continuamos as divisões com os próximos números primos me-
nores que o número até que:
– Se for uma divisão exata (resto igual a zero) então o número não é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for menor que o divisor, então o nú-
mero é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for igual ao divisor, então o número 
é primo.
Exemplo: verificar se o número 113 é primo.
Sobre o número 113, temos:
– Não apresenta o último algarismo par e, por isso, não é divisível por 2;
– A soma dos seus algarismos (1+1+3 = 5) não é um número divisível por 3;
– Não termina em 0 ou 5, portanto não é divisível por 5.
Como vimos, 113 não é divisível por 2, 3 e 5. Agora, resta saber se é divisível pelos números primos meno-
res que ele utilizando a operação de divisão.
Divisão pelo número primo 7:
Divisão pelo número primo 11:
Observe que chegamos a uma divisão não exata cujo quociente é menor que o divisor. Isso comprova que 
o número 113 é primo.
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Porcentagem
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, ou seja, .
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que significa dividir por 100 e, por isso, essa razão 
também é chamada de razão centesimal ou percentual7.
Saber calcular porcentagem é importante para resolver problemas matemáticos, principalmente na matemá-
tica financeira para calcular descontos, juros, lucro, e assim por diante.
— Calculando Porcentagem de um Valor
Para saber o percentual de um valor basta multiplicar a razão centesimal correspondente à porcentagem 
pela quantidade total.
Exemplo: para descobrir quanto é 20% de 200, realizamos a seguinte operação:
Generalizando, podemos criar uma fórmula para conta de porcentagem:
Se preferir, você pode fazer o cálculo de porcentagem da seguinte forma:
1º passo: multiplicar o percentual pelo valor.
20 x 200 = 4.000
2º passo: dividir o resultado anterior por 100.
Calculando Porcentagem de Forma Rápida
Alguns cálculos podem levar muito tempo na hora de fazer uma prova. Pensando nisso, trouxemos dois 
métodos que te ajudarão a fazer porcentagem de maneira mais rápida.
Método 1: Calcular porcentagem utilizando o 1%
Você também tem como calcular porcentagem rapidamente utilizando o correspondente a 1% do valor.
Vamos continuar usando o exemplo do 20% de 200 para aprender essa técnica.
1º passo: dividir o valor por 100 e encontrar o resultado que representa 1%.
7 https://www.todamateria.com.br/calcular-porcentagem/
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2º passo: multiplicar o valor que representa 1% pela porcentagem que se quer descobrir.
2 x 20 = 40
Chegamos mais uma vez à conclusão que 20% de 200 é 40.
Método 2: Calcular porcentagem utilizando frações equivalentes
As frações equivalentes representam a mesma porção do todo e podem ser encontradas dividindo o nume-
rador e o denominador da fração pelo mesmo número natural.
Veja como encontrar a fração equivalente de .
Se a fração equivalente de é , então para calcular 20% de um valor basta dividi-lo por 5. Veja como 
fazer:
— Calcular porcentagem de aumentos e descontos
Aumentos e descontos percentuais podem ser calculados utilizando o fator de multiplicação ou fator multi-
plicativo.
Essa fórmula é diferente para acréscimo e decréscimo no preço de um produto, ou seja, o resultado será 
fatores diferentes.
Fator multiplicativo para aumento em um valor
Quando um produto recebe um aumento, o fator de multiplicação é dado por uma soma.
Fator de multiplicação = 1 + i.
Exemplo: Foi feito um aumento de 25% em uma mercadoria que custava R$ 100. O valor final da mercadoria 
pode ser calculado da seguinte forma:
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 + 0,25.
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Fator de multiplicação = 1,25.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 1,25 = 125 reais.
Um acréscimo de 25% fará com que o valor final da mercadoria seja R$ 125.
Fator multiplicativo para desconto em um valor
Para calcular um desconto de um produto, a fórmulado fator multiplicativo envolve uma subtração.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Exemplo: Ao aplicar um desconto de 25% em uma mercadoria que custa R$ 100, qual o valor final da mer-
cadoria?
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Fator de multiplicação = 0,75.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 0,75 = 75 reais.
Juros
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas 
transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante 
um período de tempo8.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará 
emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
— Diferença entre Juros Simples e Compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros com-
postos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre 
um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com 
que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
8 https://www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
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A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se 
restringem as operações de curto período.
— Fórmula de Juros Simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
J: juros.
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital.
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem).
t: período da transação.
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado 
(no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em 
função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema 
de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
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31
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual 
precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
— Fórmula de Juros Compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
M: montante.
C: capital.
i: taxa de juros.
t: período de tempo.
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma 
variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, 
no sistema de juros compostos.
Solução: Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na 
potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a 
R$ 2 339,71.
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Proporcionalidade direta e inversa
RAZÃO
Razão9 nada mais é que o quociente entre dois números (quantidades, medidas, grandezas).
Sendo a e b dois números, chama-se razão de a para b:
Onde:
Exemplo
Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão entre o 
número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós.
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma unidade.
Razões Especiais
Escala: Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então utilizamos a 
escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade).
Velocidade média: É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades utilizadas 
são km/h, m/s, entre outras.
Densidade: É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, kg/m³, 
entre outras.
PROPORÇÃO
Bem resumido, temos que proporção10 é uma igualdade entre duas razões.
Dada as razões e , à setença de igualdade chama-se proporção. 
Onde:
Propriedades da Proporção
1. Propriedade Fundamental
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a . d = b . c.
9 IEZZI, Gelson. et al. Fundamentos da Matemática: Financeira e Estatística Descritiva. São Paulo. Editora 
Atual. 2011.
10 IEZZI, Gelson. et al. Matemática Volume Único. São Paulo. Editora Atual. 2011.
www.educacao.globo.com
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Exemplo
Na proporção (lê-se: “45 está para 30 , assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade fundamental , 
temos: 45.6 = 30.9 = 270 
2. A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a soma 
dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
3. A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
4. A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para 
o seu consequente.
5. A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente 
está para o seu consequente.
Exemplo envolvendo Razão e Proporção
Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de candidatos 
aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é:
A) 2/3
B) 3/5
C) 5/10
D) 2/7
E) 6/7
Resolução:
Resposta “B”.
Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como comprimento, 
capacidade, massa, tempo e volume11.
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no sistema 
métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos 
países.
— Medidas de Comprimento
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé.
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam)12.
Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
11 https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
12 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-comprimento/
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Os múltiplos do metro são as grandes distâncias. Eles são chamados de múltiplos porque resultam de uma 
multiplicação que tem como referência o metro.
Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, resultam de uma divisão que tem igualmente 
como referência o metro. Eles aparecem do lado direitona tabela acima, cujo centro é a nossa medida base - o 
metro.
— Medidas de Capacidade
As medidas de capacidade representam as unidades usadas para definir o volume no interior de um 
recipiente13. A principal unidade de medida da capacidade é o litro (L).
O litro representa a capacidade de um cubo de aresta igual a 1 dm. Como o volume de um cubo é igual a 
medida da aresta elevada ao cubo, temos então a seguinte relação:
1 L = 1 dm³
Mudança de Unidades
O litro é a unidade fundamental de capacidade. Entretanto, também é usado o quilolitro(kL), hectolitro(hL) e 
decalitro que são seus múltiplos e o decilitro, centilitro e o mililitro que são os submúltiplos.
Como o sistema padrão de capacidade é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos são 
feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 10.
Para transformar de uma unidade de capacidade para outra, podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplo: fazendo as seguintes transformações:
a) 30 mL em L
Observando a tabela acima, identificamos que para transformar de ml para L devemos dividir o número três 
vezes por 10, que é o mesmo que dividir por 1000. Assim, temos:
30 : 1000 = 0,03 L
Note que dividir por 1000 é o mesmo que “andar” com a vírgula três casa diminuindo o número.
b) 5 daL em dL
Seguindo o mesmo raciocínio anterior, identificamos que para converter de decalitro para decilitro devemos 
multiplicar duas vezes por 10, ou seja, multiplicar por 100.
13 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-capacidade/
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35
5 . 100 = 500 dL
c) 400 cL em L
Para passar de centilitro para litro, vamos dividir o número duas vezes por 10, isto é, dividir por 100:
400 : 100 = 4 L
Medida de Volume
As medidas de volume representam o espaço ocupado por um corpo. Desta forma, podemos muitas vezes 
conhecer a capacidade de um determinado corpo conhecendo seu volume.
A unidade de medida padrão de volume é o metro cúbico (m³), sendo ainda utilizados seus múltiplos (km³, 
hm³ e dam³) e submúltiplos (dm³, cm³ e mm³).
Em algumas situações é necessário transformar a unidade de medida de volume para uma unidade de 
medida de capacidade ou vice-versa. Nestes casos, podemos utilizar as seguintes relações:
1 m³ = 1 000 L
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
Exemplo: Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo com as seguintes dimensões: 1,80 m de 
comprimento, 0,90 m de largura e 0,50 m de altura. A capacidade desse tanque, em litros, é:
A) 0,81
B) 810
C) 3,2
D) 3200
Para começar, vamos calcular o volume do tanque, e para isso, devemos multiplicar suas dimensões:
V = 1,80 . 0,90 . 0,50 = 0,81 m³
Para transformar o valor encontrado em litros, podemos fazer a seguinte regra de três:
Assim, x = 0,81 . 1000 = 810 L.
Portanto, a resposta correta é a alternativa b.
Medidas de Massa
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg)14. Um cilindro de platina e 
irídio é usado como o padrão universal do quilograma.
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), 
centigrama (cg) e miligrama (mg).
14 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
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São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada 
equivalente a 1000 kg.
• Unidades de medida de massa
As unidades do sistema métrico decimal de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama 
(dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg), miligrama (mg).
Utilizando o grama como base, os múltiplos e submúltiplos das unidades de massa estão na tabela a seguir.
Além das unidades apresentadas existem outras como a tonelada, que é um múltiplo do grama, sendo que 
1 tonelada equivale a 1 000 000 g ou 1 000 kg. Essa unidade é muito usada para indicar grandes massas.
A arroba é uma unidade de medida usada no Brasil, para determinar a massa dos rebanhos bovinos, suínos 
e de outros produtos. Uma arroba equivale a 15 kg.
O quilate é uma unidade de massa, quando se refere a pedras preciosas. Neste caso 1 quilate vale 0,2 g.
— Conversão de unidades
Como o sistema padrão de medida de massa é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos 
são feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 1015.
Para transformar as unidades de massa, podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplos: 
a) Quantas gramas tem 1 kg?
Para converter quilograma em grama basta consultar o quadro acima. Observe que é necessário multiplicar 
por 10 três vezes.
1 kg → g
1 kg x 10 x 10 x 10 = 1 x 1000 = 1.000 g
b) Quantos quilogramas tem em 3.000 g?
Para transformar grama em quilograma, vemos na tabela que devemos dividir o valor dado por 1.000. Isto 
é o mesmo que dividir por 10, depois novamente por 10 e mais uma vez por 10.
3.000 g → kg
15 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
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3.000 g : 10 : 10 : 10 = 3.000 : 1.000 = 3 kg
c) Transformando 350 g em mg.
Para transformar de grama para miligrama devemos multiplicar o valor dado por 1.000 (10 x 10 x 10).
350 g → mg
350 x 10 x 10 x 10 = 350 x 1000 = 350.000 mg
— Medidas de Tempo
Existem diversas unidades de medida de tempo, por exemplo a hora, o dia, o mês, o ano, o século. No 
sistema internacional de medidas a unidades de tempo é o segundo (s)16.
Horas, Minutos e Segundos
Muitas vezes necessitamos transformar uma informação que está, por exemplo, em minuto para segundos, 
ou em segundos para hora.
Para tal, devemos sempre lembrar que 1 hora tem 60 minutos e que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta 
forma, 1 hora corresponde a 3.600 segundos.
Assim, para mudar de hora para minuto devemos multiplicar por 60. Por exemplo, 3 horas equivalem a 180 
minutos (3 . 60 = 180).
O diagrama abaixo apresenta a operação que devemos fazer para passar de uma unidade para outra.
Em algumas áreas é necessário usar medidas com precisão maior que o segundo. Neste caso, usamos 
seus submúltiplos.
Assim, podemos indicar o tempo decorrido de um evento em décimos, centésimos ou milésimos de segundos.
Por exemplo, nas competições de natação o tempo de um atleta é medido com precisão de centésimos de 
segundo.
Instrumentos de Medidas
Para medir o tempo utilizamos relógios que são dispositivos que medem eventos que acontecem em 
intervalos regulares.
Os primeiros instrumentos usados para a medida do tempo foram os relógios de Sol, que utilizavam a 
sombra projetada de um objeto para indicar as horas.
Foram ainda utilizados relógios que empregavam escoamento de líquidos, areia, queima de fluidos e 
dispositivos mecânicos como os pêndulos para indicar intervalos de tempo.
16 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-tempo/
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Outras Unidades de Medidas de Tempo
O intervalo de tempo de uma rotação completa da terra equivale a 24h, que representa 1 dia.
O mês é o intervalo de tempo correspondente a determinado número de dias. Os meses de abril, junho, 
setembro, novembro têm 30 dias.
Já os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias. O mês de 
fevereiro normalmente têm 28 dias. Contudo, de 4 em 4 anos ele têm 29 dias.
O ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol. Normalmente, 1 ano 
corresponde a 365 dias, no entanto, de 4 em 4 anos o ano têm 366 dias (ano bissexto).
Na tabela abaixo relacionamos algumas dessas unidades:
Tabela de Conversão de Medidas
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas.
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das grandezas 
que queremos converter, por exemplo:
Capacidade: litro (l)
Comprimento: metro (m)
Massa: grama (g)
Volume: metro cúbico (m3)
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os prefixos deci, centi e mili 
correspondem respectivamenteà décima, centésima e milésima parte da unidade fundamental.
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem respectivamente a dez, 
cem e mil vezes a unidade fundamental.
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39
Exemplos:
a) Quantos mililitros correspondem 35 litros?
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de capacidade. 
Lembrando que a medida pode ser escrita como 35,0 litros. A virgula e o algarismo que está antes dela devem 
ficar na casa da unidade de medida dada, que neste caso é o litro.
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar na unidade pedida. A vírgula ficará sempre 
atrás dos algarismos que estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é o ml.
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml.
b) Transformando 700 gramas em quilogramas.
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a vírgula e o 0 antes dela na unidade dada, neste 
caso g e os demais algarismos nas casas anteriores.
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o quilograma. A 
vírgula passa então para atrás do algarismo que está na casa do quilograma.
Então 700 g corresponde a 0,7 kg.
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Análise e interpretação de informações expressas em gráficos e tabelas
— Gráficos
Os gráficos são representações que facilitam a análise de dados, os quais costumam ser dispostos em 
tabelas quando se realiza pesquisas estatísticas17. Eles trazem muito mais praticidade, principalmente quando 
os dados não são discretos, ou seja, quando são números consideravelmente grandes. Além disso, os gráficos 
também apresentam de maneira evidente os dados em seu aspecto temporal.
Elementos do Gráfico
Ao construirmos um gráfico em estatística, devemos levar em consideração alguns elementos que são 
essenciais para sua melhor compreensão. Um gráfico deve ser simples devido à necessidade de passar uma 
informação de maneira mais rápida e coesa, ou seja, em um gráfico estatístico, não deve haver muitas informa-
ções, devemos colocar nele somente o necessário.
As informações em um gráfico devem estar dispostas de maneira clara e verídica para que os resultados 
sejam dados de modo coeso com a finalidade da pesquisa.”
Tipos de Gráficos
Em estatística é muito comum a utilização de diagramas para representar dados, diagramas são gráficos 
construídos em duas dimensões, isto é, no plano. Existem vários modos de representá-los. A seguir, listamos 
alguns.
• Gráfico de Pontos
Também conhecido como Dotplot, é utilizado quando possuímos uma tabela de distribuição de frequência, 
sendo ela absoluta ou relativa. O gráfico de pontos tem por objetivo apresentar os dados das tabelas de forma 
resumida e que possibilite a análise das distribuições desses dados.
Exemplo: Suponha uma pesquisa, realizada em uma escola de educação infantil, na qual foram coletadas 
as idades das crianças. Nessa coleta foi organizado o seguinte rol:
Rol: {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6}
Podemos organizar esses dados utilizando um Dotplot.
Observe que a quantidade de pontos corresponde à frequência de cada idade e o somatório de todos os 
pontos fornece-nos a quantidade total de dados coletados.
• Gráfico de linha
17 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/graficos.htm
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É utilizado em casos que existe a necessidade de analisar dados ao longo do tempo, esse tipo de gráfico é 
muito presente em análises financeiras. O eixo das abscissas (eixo x) representa o tempo, que pode ser dado 
em anos, meses, dias, horas etc., enquanto o eixo das ordenadas (eixo y) representa o outro dado em questão.
Uma das vantagens desse tipo de gráfico é a possibilidade de realizar a análise de mais de uma tabela, por 
exemplo.
Exemplo: Uma empresa deseja verificar seu faturamento em determinado ano, os dados foram dispostos 
em uma tabela.
Veja que nesse tipo de gráfico é possível ter uma melhor noção a respeito do crescimento ou do decresci-
mento dos rendimentos da empresa.
• Gráfico de Barras
Tem como objetivo comparar os dados de determinada amostra utilizando retângulos de mesma largura e 
altura. Altura essa que deve ser proporcional ao dado envolvido, isto é, quanto maior a frequência do dado, 
maior deve ser a altura do retângulo.
Exemplo: Imagine que determinada pesquisa tem por objetivo analisar o percentual de determinada popula-
ção que acesse ou tenha: internet, energia elétrica, rede celular, aparelho celular ou tablet. Os resultados dessa 
pesquisa podem ser dispostos em um gráfico como este:
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42
• Gráfico de Colunas
Seu estilo é semelhante ao do gráfico de barras, sendo utilizado para a mesma finalidade. O gráfico de 
colunas então é usado quando as legendas forem curtas, a fim de não deixar muitos espaços em branco no 
gráfico de barra.
Exemplo: Este gráfico está, de forma genérica, quantificando e comparando determinada grandeza ao longo 
de alguns anos.
• Gráfico de Setor
É utilizado para representar dados estatísticos com um círculo dividido em setores, as áreas dos setores 
são proporcionais às frequências dos dados, ou seja, quanto maior a frequência, maior a área do setor circular.
Exemplo: Este exemplo, de forma genérica, está apresentando diferentes variáveis com frequências diver-
sas para determinada grandeza, a qual pode ser, por exemplo, a porcentagem de votação em candidatos em 
uma eleição.
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• Histograma
O Histograma é uma ferramenta de análise de dados que apresenta diversos retângulos justapostos (barras 
verticais)18.
Por esse motivo, ele se assemelha ao gráfico de colunas, entretanto, o histograma não apresenta espaço 
entre as barras.
• Infográficos
Os infográficos representam a união de uma imagem com um texto informativo. As imagens podem conter 
alguns tipos de gráficos.
18 https://www.todamateria.com.br/tipos-de-graficos/
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— Tabelas
As tabelas são usadas para organizar algumas informações ou dados. Da mesma forma que os gráficos, 
elas facilitam o entendimento, por meio de linhas e colunas que separam os dados.
Sendo assim, são usadas para melhor visualização de informações em diversas áreas do conhecimento. 
Também são muito frequentes em concursos e vestibulares.
Apostila gerada especialmente para: valdo santos 836.271.703-34
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Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, proporcionalidade, perí-
metro e área. Plano cartesiano: sistema de coordenadas, distância
A geometria é uma área da matemática que estuda as formas geométricas desde comprimento, área e 
volume19. O vocábulo geometria corresponde a união dos termos “geo” (terra) e “metron” (medir), ou seja, a 
“medida de terra”.
A Geometria é dividida em três categorias:
- Geometria Analítica; 
- Geometria Plana;
- Geometria Espacial;
Assim, a geometria analítica, também chamada de geometria cartesiana, une conceitos de álgebra e 
geometria através dos sistemas de coordenadas. Os conceitos mais utilizados são o ponto e a reta.
Enquanto a geometria plana ou euclidiana reúne os estudos sobre as figuras planas, ou seja, as que não 
apresentam volume, a geometria espacial estuda as figuras geométricas que possuem volume e mais de uma 
dimensão.
— Geometria Plana
É a área da matemática que estuda as formas que não possuem volume. Triângulos, quadriláteros, 
retângulos, circunferências são alguns exemplos de figuras de geometria plana (polígonos)20.
Para geometria plana, é importante saber calcular a área, o perímetro e o(s) lado(s) de uma figura a partir 
das relações entre os ângulos e as outras medidas da forma geométrica. 
Algumas fórmulas de geometria plana:
— Teorema de Pitágoras
Uma das fórmulas mais importantes para