MAT - AULA 06 - EQUAÇÃO LOGARITMICA

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Professor(a) Dra Deiby Gouveia
Matemática 
Aula 06 – Equação Logarítmica 
Logaritmo
Equação Logarítmica
Aplicação
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
Qual a diferença entre 
Equação de 1º grau
Equação de 2º grau
Equação Exponencial
Equação Logarítmica
▪ Definição matemática:
Logaritmo – Definição
logab = x  a
x = b a > 0, a  1 e b > 0
▪ Definição matemática:
Exemplos: log28 = 
log232 =
▪ Sistema de Logaritmo:
▪ Decimal –
▪ Neperiano (de Neper) – Sistema de base e
(e = 2,71828...), também chamado de sistema de logaritmos naturais. 
Logaritmo – Definição
log10x = log x
logex = ln x
logab = x  a
x = b a > 0, a  1 e b > 0
Exemplo:
a) log2 4
b) log3 27
c) log10 0,01
d) log 3 27
Logaritmo – Definição
Logaritmo – Consequências da definição
Exemplo:
a) log7 1
b) log0,8 0,8
c) log10 10
−4
d)2log2 5
C1 log𝑎 1 = 0
C2 log𝑎 𝑎 = 1
C3 log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛
C4 𝑎
log𝑎 𝑛 = 𝑛
C5 𝑆𝑒 𝑥 = 𝑦 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦
Propriedades
Logaritmo – Consequências da definição
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
Exemplo:
1. Calcular log2 16 sabendo que log2 4 = 2
Propriedades
Logaritmo – Consequências da definição
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
Exemplo:
2. Calcular log2 4 sabendo que log2 8 = 3 e
log2 2 = 1
Propriedades
Logaritmo – Consequências da definição
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
Exemplo:
2. Calcular log2 4 sabendo que log2 8 = 3 e
log2 2 = 1
Propriedades
Logaritmo – Consequências da definição
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
Exemplo:
3. Calcular log2 16 sabendo que log2 2 = 1
Propriedades
Logaritmo – Consequências da definição
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
Exemplo:
4. Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcule log2 6
Equação Logarítmica
São aquelas em que a incógnita está no logaritmo
Para resolver uma equação logarítmica, usamos as propriedades estudadas, procurando
reduzir a equação dada a uma das formas:
I - log𝑎 𝑏 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
II - log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐
Equação Logarítmica
Exemplo: Determinar o valor do x da equação logarítmica: log2(𝑥 + 1) + log2 𝑥 − 1 = 3
R: x = 3
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
Equação Logarítmica
Exemplo: Determinar o valor do x da equação logarítmica: log2 3𝑥
2 − 𝑥 = 2
R:
Equação Logarítmica
Exemplo: Determinar o valor do x da equação logarítmica: log𝑥 3𝑥
2 − 𝑥 = 2
R:
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
Equação Logarítmica
Exemplo: Determinar o valor do x da equação logarítmica: log𝑥 3𝑥
2 − 𝑥 = 2
R:
Equação Logarítmica
Exemplo: Determinar o valor do x da equação logarítmica: log𝑥 3𝑥
2 − 𝑥 = 2
R:
Vamos praticar!
1. Determinar os logaritmos a seguir:
a) log0,0001 0,0001
b) log0,0001 10
c) log 3 27
d) log5 5
e) log8 256
f) 2log2 5
g) 31+log3 4
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎 𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎 𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:
a) 𝒍𝒐𝒈𝟓𝑵 = 𝟑
b) 𝒍𝒐𝒈𝟐𝑵 = 𝟖
c) 𝒍𝒐𝒈 𝟑𝑵 = 𝟐
3. Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎, 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑏, então 𝑙𝑜𝑔12 vale: 
4. Determine o valor da expressão: 𝑙𝑜𝑔77
3 + 𝑙𝑜𝑔91
6 + 2𝑙𝑜𝑔2
5
5. Se 𝑥𝑦 = 4𝑥 e 𝑙𝑜𝑔𝑥16 = 𝑦 calcule o valor de x+ y 
6. Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos:
a) 𝑙𝑜𝑔5
5𝑎
𝑏𝑐
b) 𝑙𝑜𝑔2
𝑏2 𝑎
𝑐
7. Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎 e 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑏, calcule em função de a e b os seguintes logaritmos:
a) log6
b) log15 
8. Qual o conjunto verdade da equação log3 𝑥
2 − log3 𝑥 − 6 = 0?
1. Determinar os logaritmos a seguir:
a) log0,0001 0,0001
b) log0,0001 10
c) log 3 27
d) log5 5
e) log8 256
f) 2log2 5
g) 31+log3 4
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎 𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎 𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
C1 log𝑎 1 = 0
C2 log𝑎 𝑎 = 1
C3 log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛
C4 𝑎
log𝑎 𝑛 = 𝑛
C5 𝑆𝑒 𝑥 = 𝑦 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦
1. Determinar os logaritmos a seguir:
a) log0,0001 0,0001
b) log0,0001 10
c) log 3 27
d) log5 5
e) log8 256
f) 2log2 5
g) 31+log3 4
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎 𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎 𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
C1 log𝑎 1 = 0
C2 log𝑎 𝑎 = 1
C3 log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛
C4 𝑎
log𝑎 𝑛 = 𝑛
C5 𝑆𝑒 𝑥 = 𝑦 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦
1. Determinar os logaritmos a seguir:
a) log0,0001 0,0001
b) log0,0001 10
c) log 3 27
d) log5 5
e) log8 256
f) 2log2 5
g) 31+log3 4
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎 𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎 𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
C1 log𝑎 1 = 0
C2 log𝑎 𝑎 = 1
C3 log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛
C4 𝑎
log𝑎 𝑛 = 𝑛
C5 𝑆𝑒 𝑥 = 𝑦 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦
1. Determinar os logaritmos a seguir:
a) log0,0001 0,0001
b) log0,0001 10
c) log 3 27
d) log5 5
e) log8 256
f) 2log2 5
g) 31+log3 4
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎 𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎 𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
C1 log𝑎 1 = 0
C2 log𝑎 𝑎 = 1
C3 log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛
C4 𝑎
log𝑎 𝑛 = 𝑛
C5 𝑆𝑒 𝑥 = 𝑦 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦
2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:
a) 𝒍𝒐𝒈𝟓𝑵 = 𝟑
b) 𝒍𝒐𝒈𝟐𝑵 = 𝟖
c) 𝒍𝒐𝒈 𝟑𝑵 = 𝟐
3. Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎, 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑏, então 𝑙𝑜𝑔12 vale: 
4. Determine o valor da expressão: 𝑙𝑜𝑔77
3 + 𝑙𝑜𝑔91
6 + 2𝑙𝑜𝑔2
5
5. Se 𝑥𝑦 = 4𝑥 e 𝑙𝑜𝑔𝑥16 = 𝑦 calcule o valor de x+ y 
6. Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos:
a) 𝑙𝑜𝑔5
5𝑎
𝑏𝑐
b) 𝑙𝑜𝑔2
𝑏2 𝑎
𝑐
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎 𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎 𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
6. Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos:
a) 𝑙𝑜𝑔5
5𝑎
𝑏𝑐
b) 𝑙𝑜𝑔2
𝑏2 𝑎
𝑐
Produto
log𝑎 𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 +log𝑎 𝑁
Quociente
log𝑎 ൗ
𝑀
𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎 𝑁
Potência
log𝑎𝑀
𝑁 = 𝑁. log𝑎𝑀
Mudança de Base
log𝑁𝑀 =
log𝑎𝑀
log𝑎𝑁
7. Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎 e 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑏, calcule em função de a e b os seguintes logaritmos:
a) log6
b) log15 
8. Qual o conjunto verdade da equação log3 𝑥
2 − log3 𝑥 − 6 = 0?
1. Determinar os logaritmos a seguir:
a) log0,0001 0,0001 R = 1
b) log0,0001 10 R = -1/4
c) log 3 27 R = 6
d) log5 5 R = ½
e) log8 256 R = 8/3
f) 2log2 5 R = 5
g) 31+log3 4 R = 12
2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:
a) 𝒍𝒐𝒈𝟓𝑵 = 𝟑 R. N = 125
b) 𝒍𝒐𝒈𝟐𝑵 = 𝟖 R. N = 256
c) 𝒍𝒐𝒈 𝟑𝑵 = 𝟐 R. N = 3
3. Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎, 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑏, então 𝑙𝑜𝑔12 vale: R. 2a + b
4. Determine o valor da expressão: 𝑙𝑜𝑔77
3 + 𝑙𝑜𝑔91
6 + 2𝑙𝑜𝑔2
5
R. 8
5. Se 𝑥𝑦 = 4𝑥 e 𝑙𝑜𝑔𝑥16 = 𝑦 calcule o valor de x+ y R. 6
6. Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos:
a) 𝑙𝑜𝑔5
5𝑎
𝑏𝑐
R. 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒂 − 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒄
b) 𝑙𝑜𝑔2
𝑏2 𝑎
𝑐
R. 𝟐. 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒃 +
𝟏
𝟐
𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒂 − 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒄
7. Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎 e 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑏, calcule em função de a e b os seguintes logaritmos:
a) log6 R. a + b
b) log15 R. -a + b + 1
8. Qual o conjunto verdade da equação log3 𝑥
2 − log3 𝑥 − 6 = 0? R: S ={1/9 ; 27}
REFERÊNCIAS
Bibliografia
BONORA Jr., D. et al. Matemática – complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, 
Administração e Economia. 4ª ed. São Paulo: Ícone, 2006.
SILVA, F. c. m.; ABRÃO, M. Matemática básica para decisões administrativas. 2ª ed. São Paulo: ATLAS, 
2008.
SILVA, S. M. et al. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2001.
Material elaborado por:
Prof.ª Dra. Deiby Santos Gouveia 
Profº Raul Messias Neto
Até a próxima Aula!