AD1 Metodos Determinsticos I - Q2-2023-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 2 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2023-2
Questão 2 (2,5 pontos) Para produzir qualquer quantidade de um determinado item, uma indústria
tem um custo fixo de R$ 12.000,00. Cada unidade produzida representa um custo adicional de R$
20,00.
Por conta de um acordo de contrapartida, o governo local tem o direito de adquirir pelo valor de R$
22,00 um terço da produção que exceder 9.000 unidades, e nesta cota não há incidência de impostos.
Os produtos que não estão nesta cota do governo são vendidos pela indústria ao preço de R$ 30,00,
dos quais R$ 7,00 são recolhidos como impostos.
O governo já informou que, independentemente da quantidade produzida, exercerá integralmente seu
direito de comprar sua cota de unidades do produto pelo preço diferenciado.
(a) Represente, em função da quantidade n de produtos vendidos, o lucro da empresa, supondo que
n ≤ 9.000.
(b) Qual quantidade deve ser vendida para não resultar em lucro ou prejúızo?
(c) Represente, em função da quantidade n de produtos vendidos, o lucro da empresa.
(d) Qual quantidade deve ser vendida para resultar em um lucro de R$ 17.992,00?
Solução:
(a) O custo da empresa para fabricar n unidades do produto será de
C = 12.000︸ ︷︷ ︸
Custo fixo
+ 20 n︸︷︷︸
Custo variável
.
Sobre estas n unidades, incidirá como imposto o valor de
I = 7 n,
já que sobre cada unidade incidem R$ 7,00 de imposto.
Por outro lado, a receita com a venda destas n unidades é de
R = 30 n,
logo, o lucro com a venda será de
L = R− C − I = 30n− 7n− (12.000 + 20n) = 30n− 7n− 12.000− 20n = 3n− 12.000.
Lembre-se de que estamos supondo n ≤ 9.000.
(b) Para que não haja lucro ou prejúızo, devemos ter
L = 0⇔ 3n− 12.000 = 0⇔ 3n = 12.000⇔ n = 4.000.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2023-2 2
(c) Neste item, temos que pensar na possibilidade de termos n > 9.000.
Quando n ≤ 9.000, já vimos que L = 3n− 12.000.
Quando n > 9000, temos que dividir a produção em duas partes:
• Parte comprada pelo governo local:
O governo local tem o direito de comprar um terço do que exceder 9.000 unidades pro-
duzidas, ou seja,
1
3
· (n − 9.000), cada uma por R$22,00. Para esta cota, a receita será
de
Rg = 22 ·
1
3
· (n− 9.000) = 22n− 198.0000
3
.
O imposto Ig sobre esta cota será 0, como disse o enunciado.
• Parte não comprada pelo governo local:
As demais unidades não serão compradas pelo governo local, ou seja,
n− 1
3
· (n− 9.000) = 3n− (n− 9.000)
3
=
2n+ 9000
3
.
Cada uma delas será vendida por R$ 30,00, com R$ 7,00 de impostos, logo teremos receita
Rn e impostos In dados por
Rn = 30 ·
2n+ 9000
3
=
60n+ 270.000
3
.
In = 7 ·
2n+ 9.000
3
=
14n+ 63.000
3
Com isso, a receita total será de
R = Rg −Rn =
22n− 198.0000
3
+
60n+ 270.000
3
=
82n+ 72.000
3
,
o imposto será de
I = Ig + In = 0 +
14n+ 63.000
3
=
14n+ 63.000
3
.
Já o custo de produção não faz distinção entre cota do governo ou não, e será
C = 12.000 + 20n.
Com isso, para n > 9.000, o lucro será de
L = R− C − I =
=
82n+ 72.000
3
− (12.000 + 20n)− 14n+ 63.000
3
=
82n+ 72.000− 3(12.000 + 20n)− (14n+ 63.000)
3
=
82n+ 72.000− 36.000− 60n− 14n− 63.000
3
=
8n− 27.000
3
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Com isso, o lucro será de
L =

3n− 12.000, se n ≤ 9.000
8n− 27.000
3
, se n > 9.000.
(d) Não sabemos se esta quantidade é ou não superior a 9.000, então temos que trabalhar com as
duas possibilidades:
• Supondo n ≤ 9.000:
O lucro é dado por L = 3n− 12.000, logo
L = 17.992⇔ 3n− 12.000 = 17.992⇔ 3n = 17.992 + 12.000⇔ 3n = 29.992,
que equivale a
n =
29.992
3
= 9.997,3333...
que não é válido pois estamos supondo n ≤ 9.000.
• Supondo n > 9.000:
O lucro é dado por L =
8n− 27.000
3
, logo
L = 17.992⇔ 8n− 27.000
3
= 17.992⇔ 8n+ 27.000 = 53.976⇔ 8n = 80.976,
que equivale a
n =
80.976
8
= 10.122.
Portanto, devem ser produzidas 10.122 unidades.
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