Estrela_triângulo

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Desenvolvimento das equações de conversão Y-Delta ou Delta-Y (Estrela-
Triângulo) 
Para desenvolver as equações de conversão Y-Delta ou Delta-Y é preciso usar 
superposição mostrada na Figura 2. 
 
Figura 2 – Superposição das redes Y e Δ. 
 Com a sobreposição de uma rede Y sobre a rede Δ é possível determinar uma expressão 
para R1, R2 e R3 em função de Ra, Rb e Rc, ou vice-versa. Isso porque, para que dois 
circuitos sejam equivalentes, a resistência total entre dois terminais quaisquer precisa ter 
o mesmo valor. 
 Então, o valor da resistência entre dois terminais da configuração Y deve ser igual a 
resistência da configuração Δ equivalente, o contrário também é válido. Assim, é preciso 
enfatizar que: somente uma das configurações pode ser usada por vez, em posse da 
configuração Y acho a configuração Δ e vice-versa. 
A. Transformação Delta-Y (Triângulo-Estrela) 
Em um dado problema, suponha que seja mais conveniente trabalhar com uma rede Δ 
(Ra, Rb e Rc) ao invés da Y (R1, R2 e R3). Então precisamos encontrar uma expressão para 
R1, R2 e R3 em função de Ra, Rb e Rc. 
Assim, temos que a resistência entre os terminais a-c (Figura 2) deve ser igual para Y e 
Δ, logo: 
 
Para entender os valores encontrados observe a Figura 3. A resistência Ra,c em Y é o 
resistor equivalente da associação em série de R1 e R3, R2 não é incluído pois não possui 
conexão com nenhum dos dois terminais (por isso está em vermelho). 
 
Figura 3- Ra,c na configuração Y. 
 Em Δ, a resistência Ra,c é o resistor equivalente da associação em série de Ra e Rc, em 
paralelo com Rb. Para facilitar a visualização da série e paralelo o circuito foi desenhado, 
Figura 4, observe que Rc e Ra estão sob a mesma corrente por isso estão em série, mas o 
seu equivalente está em paralelo a Rb. 
 
Figura 4- Ra,c na configuração Δ. 
 Utilizando a mesma abordagem para a-b e b-c, são obtidas as seguintes expressões: 
 
Para encontrar a expressão que descreve o valor de cada um dos resistores na 
configuração Y, é preciso manipular as equações encontradas. Assim, ao subtrair Rac de 
Rab encontramos: 
 
Subtraindo a nova expressão encontrada de Rbc encontramos: 
 
Assim, encontramos que R3 é igual a: 
 
 Realizando a mesma manipulação algébrica para R1 e R2, temos: 
 
Após encontrar as expressões da conversão Δ-Y é possível perceber que: 
Cada resistor de Y é igual ao produto dos resistores nos dois ramos mais próximos 
do Δ dividido pela soma dos três resistores de Δ. 
 
B. Transformação Y-Delta (Estrela-Triângulo) 
Utilizando as expressões da conversão Δ-Y é possível deduzir as expressões da conversão 
Y-Δ. Então, para encontrar uma expressão para Ra, Rb e Rc em função de R1, R2 e R3, 
começamos dividindo a R3 por R1: 
 
 Analogamente, dividimos R3 por R2 e obtemos: 
 
 Para encontrar Rc substituímos o Ra e Rb encontrados na equação de R2: 
 
 Com ela é possível encontrar o Rc e através dele encontrar o Ra e Rb: 
 
Após encontrar as expressões da conversão Y-Δ é possível perceber que: 
O valor de cada resistor do Δ é igual à soma das combinações dos produtos das 
resistências do Y dividida pela resistência do Y mais distante do resistor a ser 
determinado. 
Particularidades 
 É possível ainda considerar que as redes Y e Δ estão em equilíbrio. Isso ocorre quando: 
 
Em tal condição a conversão funciona da seguinte forma: 
 
Exemplo Delta-Y 
Para fixar a transformação delta-Y resolveremos o exemplo da Figura 5. 
 
Figura 5 – Exemplo de conversão Delta-Y. 
 Para encontrar os equivalentes na configuração Y, basta substituir os valores das 
resistências nas equações de R1, R2 e R3. 
 
 
 
O circuito equivalente pode ser observado na Figura 6. 
 
Figura 6 – Circuito convertido para Y. 
Referências 
ALEXANDER, Charles K.. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: Amgh, 
2013. 
BOYLESTAD, Robert L.. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2012.