Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CÁLCULO NUMÉRICO Roberto Carlos Lourenço dos Santos 2 SUMÁRIO 1 MATRIZES E DETERMINANTES ................................................................. 3 2 SISTEMAS LINEARES I............................................................................. 14 3 SISTEMAS LINEARES II............................................................................ 22 4 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES ....................................... 35 5 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ................................................................ 47 6 RESOLUÇÕES NUMÉRICAS ..................................................................... 56 3 1 MATRIZES E DETERMINANTES Neste bloco, estudaremos as definições de Matrizes e Determinantes, passando pelas operações que envolvem Matrizes e propriedades dos Determinantes. No curso de Cálculo Numérico é fundamental conhecer e dominar esse conteúdo para resolver diversos problemas de equações lineares e sistemas lineares, assim como outros tópicos que estudaremos. Desejo um ótimo período de estudos! 1.1 Matrizes Nesse tópico temos como objetivo compreender a definição e operações com matrizes. Por definição: Sendo m e n números naturais não nulos, chama-se matriz retangular m x n uma tabela formada por m x n números dispostos em m linhas e n colunas. mxnij aA Igualdade entre Matrizes Para duas matrizes serem iguais: *mesma quantidade de linhas e colunas; *todos os elementos correspondentes iguais. 34 24 14 33 23 13 32 22 12 31 21 11 34 24 14 33 23 13 32 22 12 31 21 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 4 Determine os valores de x e y, sendo A e B matrizes iguais. 3 13 39 1 y B x A x = 3 e y = 9 Exemplo de matriz transposta: Sendo 9 5 7 1 4 2 A , apresente a matriz transposta de A 9 7 4 5 1 2 tA Matrizes quadradas Sendo m= n, número de linhas igual ao número de colunas, temos uma matriz quadrada. nnnn n n aaa a a a a a a a a ... ...... ... ... ......... 21 2 1 23 13 22 12 21 11 Matrizes Identidade É uma matriz quadrada diagonal, onde os elementos da diagonal principal assumem o valor 1 e os demais elementos da matriz são nulos. 5 1...00 ... 0 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 0 ... 0 1 nI Dada a matriz 9 8 2 7 5 1 4 3 2 A , apresente: a) diagonal principal; Resposta: 9 5 2 b) diagonal secundária; Resposta: 2 5 4 c) tr(A) (traço da matriz A); Resposta: 9 5 2 tr(A) = 2 + 5 + 9 = 16 6 Adição e Subtração de Matrizes Para ocorrer adição ou subtração é obrigatório: Am x n e Bm x n m = m (linhas) e n = n (colunas) Exemplos: Sendo A = 8 3 5 2 0 1 e B = 9 0 4 7 0 3 , calcule: a) A + B Resolução: b) A – B Resolução 7 Multiplicação de matriz por um escalar fk ck ek bk dk ak f c e b d a k. Multiplicação de matriz por matriz Para ocorrer uma multiplicação de: Am x n por Br x s, onde n = r Número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Caso contrário não é possível a operação. Exemplos: a) 8 b) 6 4 2 5 3 1 . 0 8 9 7 Não é possível, pois o número de colunas da primeira (2) matriz é diferente do número de linhas da segunda matriz (3). 1.2 – Determinantes I Nesse momento vamos compreender e desenvolver cálculo de determinantes de ordem 1, 2 e 3. Propriedades dos determinantes: 9 Determinante de ordem 1 Dada uma matriz quadrada de ordem 1, seu determinante é igual ao único elemento da matriz. Determinante de ordem 2 Dada uma matriz quadrada de ordem 2, seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. cbdaA dc ba A ..det Exemplo: 212143.47.2det 73 42 AA Determinante de ordem 3 Dada uma matriz quadrada de ordem 3, calculamos seu determinante da seguinte maneira: 10 Exemplo: Calcule o determinante da matriz A: 1.3 – Determinantes II Agora será possível compreender como calcular determinantes de ordem superior trabalhando com Teorema de Laplace e Regra de Chiò. 11 7)125).(1( 54 31 .)1( 2222 A 7)81).(1( 14 21 .)1( 3223 A 12 Regra de Chiò Sendo D, determinante de uma matriz A de ordem n que possui pelo menos um elemento igual a 1. Observamos a linha e a coluna em que se encontra o elemento igual a 1. Seja 1ija . Suprimimos a linha e a coluna de: ij a . De cada elemento restante k, subtraímos o produto daqueles dois elementos que se encontram nos pés das perpendiculares baixadas de k sobre a linha e a coluna suprimidas, obtendo um determinante D’. E por fim, '.)1( DD ji 13 Conclusão Neste bloco, estudamos a definição das Matrizes, as operações envolvendo matrizes e ainda os cálculos de Determinantes. Espero que você tenha compreendido os tópicos apresentados. Como dica, recomendo refazer cada exemplo sem observar as resoluções para, posteriormente, conseguir fazer a devida comparação. Tudo de bom! Referências BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 14 2 SISTEMAS LINEARES I Neste bloco, estudaremos os Sistemas Lineares, onde conheceremos as equações lineares para ser possível compreender sua definição. Ainda teremos a oportunidade de estudar as caraterísticas dos sistemas lineares como sistema possível e determinado, ou ainda, sistema possível, indeterminado e sistema impossível. Para concluir, conheceremos o sistema homogêneo. Conhecer os sistemas lineares é fundamental para dar sequência aos estudos em Cálculo Numérico, sendo necessário para resolver diversos problemas e situações. Bons estudos! 2.1 Equação Linear Estudar a teoria das equações lineares é fundamental no campo da Álgebra Linear. Onde, muitos dos problemas dessa área são solucionados quando resolvemos um sistema de equações lineares. Definição de Equação Linear Por uma equação linear sobre o corpo real R, entendemos uma expressão da seguinte forma: bxaxaxaxaxa nn ........ 54332211 onde ia assume o papel de coeficiente da incógnitas, sendo naaaaa ,...,,, 43,21 números reais que acompanham nxxxxx ,...,,, 43,21 . Os ix são as incógnitas ou variáveis que possuem valores desconhecidos e b é o termo independente, chamado de termo constante, sendo também um número real. Para um conjunto de valores dados as incógnitas: 15 nn kx kx kx kx kx 44 33 22 11 Podemos afirmar que esse conjunto definido por nkkkkk ,...,,, 43,21 é a solução para a equação linear: bxaxaxaxaxa nn ........ 54332211, onde é possível obter: bkakakakaka nn ........ 54332211 Dessa forma, está correto afirmar que S = nkkkkk ,...,,, 43,21 é o conjunto solução ou conjunto verdade para a equação linear. Exemplos de Equações Lineares: Conforme definição de equação linear, uma equação só pode ser classificada como equação linear se o expoente da incógnita for exatamente o valor 1. Caso contrário, a equação não é uma equação linear. bxaxaxaxaxa nn ........ 54332211 Veja os exemplos a seguir: a) 09427 zyx Nesse exemplo, temos os coeficientes das incógnitas sendo 7, 2 e 4. As incógnitas são x, y e z, onde todas estão elevadas ao expoente 1. Dessa forma é possível classificar essa equação como equação linear. b) 123542 5432 xxxxx Neste outro exemplo, temos os coeficientes das incógnitas sendo 1, 2, 4 , 5 e (-3). 16 As incógnitas são 543,21 ,, xexxxx , onde todas estão elevadas ao expoente 1. Dessa forma é possível classificá-la como equação linear. c) 63² yxx Nesse caso não temos uma equação linear, pois a incógnita x está elevada ao expoente 2 no segundo termo. d) 34 tyx Nesse outro caso, a equação não é linear porque a incógnita x é radicando de uma raiz quadrada, onde x está elevado ao expoente ½ . e) x.y + 3z + 4 t + 7w = 13 Neste novo exemplo a equação não é linear, pois existe a multiplicação das incógnitas x e y, e assim, a equação apresentada não é linear. 2.2 Sistemas Lineares I Nesse tópico os objetivos são compreender a definição de sistemas lineares e tornar possível classificar cada sistema como sistema possível determinado, sistema possível indeterminado ou sistema impossível. 17 Equação Linear Sistema de Equação Linear Denomina-se sistema de equações lineares ou sistema linear um conjunto de duas ou mais equações lineares: nnnnnnn nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa S 332211 33333232131 22323222121 11313212111 Se uma ênupla ordenada de números reais n ,,,, 321 tornarem verdadeira todas as equações do sistema linear de n incógnitas, ela é uma solução do sistema linear. Resolver um sistema linear significa determinar o conjunto de todas as soluções desse sistema. Classificação dos sistemas lineares quanto ao número de soluções Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções em compatível (ou possível) e incompatível (ou impossível). 18 Forma Matricial de um sistema linear 19 nnmnmmm nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa S 332211 33333232131 22323222121 11313212111 tesindependen termospelos aconstituíd colunamatriz n incógnitaspelas aconstituíd colunamatriz n incógnitasdasescoeficient pelosaconstituídmatriz mnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa 2 1 2 1 21 22221 11211 2.3 – Sistemas Lineares II Nesse momento será possível compreender a definição de sistema linear homogêneo. Sistema homogêneo nnnnnnn nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa S 332211 33333232131 22323222121 11313212111 Denomina-se sistema linear homogêneo quando .0ib 0 0 0 0 332211 3333232131 2323222121 1313212111 nnnnnn nn nn nn xaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa S 20 Qualquer sistema linear homogêneo possui a solução (0, 0, 0, 0, ..., 0), porém nem sempre será a única solução. O sistema será sempre possível, mas pode ser determinado ou indeterminado. 0 0 0 0 332211 3333232131 2323222121 1313212111 nnnnnn nn nn nn xaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa S Teorema: Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas do que equações tem alguma solução não nula. Exemplo: Resolva o sistema a seguir 043 0532 0542 wzyx wzyx wzyx S Demonstração 043 0532 0542 wzyx wzyx wzyx S 014132 0555 0542 wzy wzy wzyx S 014132 0 0542 wzy wzy wzyx S 01211 0 0542 wz wzy wzyx S 01211 0 0542 wz wzy wzyx S 11 12 01211 w zwz Nesse caso, o w pode assumir um valor real qualquer! 21 Conclusão Neste bloco, estudamos as equações lineares. Sistema linear e suas classificações como sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado, sistema impossível e, para concluir, sistema homogêneo, estudando um teorema que colabora na resolução de sistema homogêneo. Tudo de bom! Referências BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 22 3 SISTEMAS LINEARES II Neste bloco, estudaremos três métodos para solucionar um sistema linear. Teremos a oportunidade de estudar a Regra de Cramer, uma ferramenta que trabalha com o cálculo de determinantes, depois o Método de Gauss e, para finalizar, o Método de Jordan. Bons estudos. 3.1 Regra de Cramer Nesse momento vamos estudar um método para solucionar um sistema linear quando o mesmo for um sistema possível e determinado. Para um sistema denominado como S, onde existem n equações lineares e n quantidade de incógnitas indicadas por nxxxx ,...,,, 321 , definimos da seguinte maneira a Regra de Cramer: B é a matriz incompleta do sistema S, onde os elementos de B são os coeficientes das incógnitas do sistema S. iB é uma matriz obtida de B, onde a coluna dos coeficientes de ix é substituída pelos termos independentes do sistema S. Sendo o det B ≠ 0, logo o sistema é spd e com isso será possível encontrar o valor de cada incógnita desenvolvendo o seguinte cálculo: B B x ii det det . Exemplo 1 Resolva o sistema linear a seguir usando a Regra de Cramer: 223 52 13 zyx zyx zyx Resolução: 23 No primeiro momento montamos a matriz B, sendo uma matriz incompleta formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema dado. 231 112 113 B det B = -11 Como det B ≠ 0, temos um sistema linear possível e determinado. Agora, vamos calcular os determinantes das outras matrizes substituindo a coluna de cada coeficiente da seguinte forma: Temos a matriz 232 115 111 xB , onde a coluna dos coeficientes de x foi substituída pelos termos independentes do sistema. 22det xB Nesse caso, temos a matriz 221 152 113 yB , sendo a coluna dos coeficientes de y substituída pelos termos independentes do sistema. 22det yB Agora, vamos trabalhar com a matriz 231 512 113 zB , onde a coluna dos coeficientes de z foi substituída pelos termos independentes do sistema. 33det yB 24 Para concluir, vamos determinar o valor de cada incógnita: 2 11 22 det det B B x x 2 11 22 det det B B y y 3 11 33 det det B B z z Portanto, o conjunto solução para o sistema dado é V = {(2, -2, 3)}. Exemplo 2 Apresente o valor de m para que o sistema a seguir seja possível e determinado. 95 632 1 zymx zyx zyx Resolução: Com a Regra de Cramer podemos resolver um sistema possível e determinado. Sendo assim, o determinante da matriz incompleta formada pelos coeficientes das incógnitas precisa resultar em um valor diferente de zero. A seguir, matriz incompleta: 51 312 111 m B Agora, considerando que o sistema é possível e determinado, temos det B ≠ 0. 25 1 1 1 2 1 51 312 111 mm B det B = 5 – 3m – 2 + 10 – 3 + m ≠ 0 - 2m + 10 ≠ 0 m ≠ 5 Dessa forma, temos que m pode assumir qualquer valor real, exceto o 5, para que o sistema linear apresentado seja possível e determinado. 3.2 Método de Gauss Como objetivos desse tópico, vamos compreender e aplicar o Método de Gauss para solucionar sistemas lineares. Trabalhar com o Método de Gauss, consiste em transformar o sistema linear original em um sistema linear triangular, com matriz dos coeficientes triangulares superiores que seja equivalente ao sistema dado, isto é, que tenha a mesma solução, mediante permutações e combinações lineares de linha. Onde, após referida transformação, encontramos a solução do sistema através da substituição. Exemplo: Resolva, pelo método de Gauss, o sistema linear a seguir 26 Essa é a tabela para trabalhar com o Método de Gauss Onde preenchemos com os dados do sistema: 27 28 Após operações envolvendo os coeficientes das incógnitas e os termos independentes, voltamos para o sistema: Por substituição encontramos os valores das incógnitas: 29 4 y – 10 z = - 25 4 y – 10 . 0,5 = - 25 4 y – 5 = - 25 4 y = - 25 + 5 y = - 20 / 4 y = - 5 x – y + 4z = 7 x –(-5) + 4.0,5 = 7 x + 5 + 2 = 7 x + 7 = 7 x = 7 – 7 x = 0 Portanto, o conjunto solução para o sistema é: tS 5,050 3.3 Método de Jordan Trabalhar com o Método de Jordan, consiste em operar transformações elementares sobre as equações do sistema linear dado até que se obtenha um sistema diagonal equivalente. Exemplo: Resolva o sistema linear a seguir trabalhando com o método de Jordan. 30 Preenchemos a tabela com os valores dados no sistema: 31 32 33 Voltamos para o sistema: 34 Conclusão Neste bloco, estudamos a Regra de Cramer, Método de Gauss e Método de Jordan, ferramentas importantes e fundamentais para solucionar problemas envolvendo sistemas lineares. Referências BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 35 4 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES Neste bloco, estudaremos as Equações Algébricas e Transcendentes. Será possível conhecer métodos para solucionar Equações Algébricas, como Algoritmo de Briot- Ruffini, as Relações de Girard e o Método de Newton-Raphson. Aproveite esse momento para complementar seus estudos realizando uma breve pesquisa sobre os nomes desses grandes ícones da Matemática. Bons estudos! 4.1 Equações Algébricas Nesse momento, conheceremos a definição e exemplos de equações algébricas. Em muitos problemas da Engenharia há necessidade de se determinar um número λ para o qual uma função f(x) seja zero, ou seja, f(λ) = 0. Chamamos esse valor λ de zero da função f(x) ou raiz da equação f(x) = 0. Definição de Equação Algébrica Seja uma equação algébrica de grau n, sendo n ϵ N*: Temos que: 0......)( 0 2 2 1 1 axaxaxaxP n n n n n n Onde os coeficientes ia são números reais e .0na O grau da equação algébrica P(x) = 0 é justamente o grau do polinômio P(x). Exemplos de equações algébricas que também são chamadas de equações polinomiais: 36 a) 3x + 5 = 0 (grau 1) b) 5x² - 9x + 1 = 0 (grau 2) c) x³ + 12 x² - 5x + 2 = 0 (grau 3) d) 0952 37 xxx (grau 7) Toda equação algébrica de grau n (n ≥ 1) admite n raízes, distintas ou iguais. Isolamento de Raízes Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas: I) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0. II) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido. Teorema: Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto é f(a) . f(b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0, ou seja, λ ϵ [a, b] onde f(λ) = 0. Ilustração do teorema: 37 f(a) . f(b) < 0 Forma fatorada de um polinômio Como toda equação algébrica e grau n (n ≥ 1) admite pelo menos uma raiz complexa, temos que: Para a equação algébrica: 0......)( 0 2 2 1 1 axaxaxaxP n n n n n n Temos 1 tal que 0)( 1 P , ou seja: 0)().()( 1 xQxxP Realizando fatoração sucessivamente obtemos: 0).(...)).().(()( 321 nn QxxxxxP Como o coeficiente de nx em P(x) é na , concluímos por identidade de polinômios que a constante nQ é na e, então: )(...)).().(()( 321 nn xxxxaxP Sendo essa a forma fatorada do polinômio. 38 Exemplo: Apresente o polinômio P(x) na forma fatorada: P(x) = 2x³ - 5x² + 3x Resolução: P(x) = 2x³ - 5x² + 3x 2 3 .1.2)( 2 3 .1.2.)( 3) +5x - (2x² x.= P(x) xxxxP xxxxP Relações de Girard Em 1629 o matemático Albert Girard (1590 – 1633) obteve informações gerais sobre as raízes de uma equação algébrica ao relacioná-las com os seus coeficientes. Para estabelecer essas relações, consideremos a identidade entre um polinômio de grau n e sua forma fatorada, onde comparecem as raízes .,...,,, 321 n A seguir temos as Relações de Girard: Equação do 2° grau a c a b eraízes acbxax 21 21 21 )2 )1 00² Equação do 3° grau 39 a d a c a b eraízes adcxbxax 321 323121 321 321 )3 )2 )1 , 00²³ Equação do 4° grau a e a d a c a b eraízes aedxcxbxax 4321 432431421321 4314232413121 4321 4321 234 )4 )3 )2 )1 ,, 00 E dessa forma é possível construir as Relações de Girard para as demais equações de grau superior. É importante destacar que equações de grau n, onde n ≥ 3, somente as relações de Girard não é o suficiente para encontrar as raízes. Dessa forma, é necessário conhecer alguma informação sobre as raízes para ser possível determinar a solução da equação. 40 4.2 Equações Transcendentes A leitura indicada apresenta a definição das Equações Transcendentes (Equações Não Lineares) onde será possível rever os gráficos de funções importantes para a compreensão desse conteúdo. Ótima leitura. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. p. 62-76. 4.3 Métodos para resolver Equações Algébricas Nesse tópico temos como objetivos compreender e aplicar métodospara resolver equações algébricas. Algoritmo de Briot-Ruffini Exemplo: Resolva a equação P(x) = 2x³ - x² - 7x + 6 = 0, sabendo que o número 1 é raiz. 41 Raízes Racionais Nesse momento vamos estudar que nas equações algébricas com coeficientes inteiros é possível descobrir as raízes racionais se elas existirem. Exemplo: Resolva a equação 2x³ - 11x² + 13x – 4 = 0. 42 Método de Newton-Raphson Para resolver uma equação com o Método de Newton-Raphson seguimos os passos: 1. Separar f(x) em g(x) e h(x); 2. Gráfico das funções no mesmo plano; 3. Determinar o intervalo da raiz; 4. Aplicar a equação para determinar o valor de 1nx ; 5. Verifique a tolerância determinada. Exemplo: Ache a raiz positiva de f(x) = x³ - 6, com є ≤ 0,001. Resolução 1° Passo: Separar f(x) em g(x) e h(x) f(x) = g(x) – h(x) g(x) = x³ h(x) = 6 43 44 5. Verifique a tolerância determinada. є ≤ 0,001 Encontramos: 0,001 ≤ 0,166667 Como a tolerância não foi atendida ainda, é necessário calcular novamente. 45 Novamente realizamos os cálculos: 46 Conclusão Neste bloco, estudamos as Equações Algébricas e Transcendentes, onde foi possível conhecer métodos para solucionar Equações Algébricas, trabalhando com o Algoritmo de Briot-Ruffini, as Relações de Girard e o Método de Newton-Raphson. Referências BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 47 5 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Neste bloco, estudaremos a Interpolação Polinomial, estudando sua definição e passando pela Interpolação Linear, Interpolação Quadrática e Outras Formas de Polinômio de Interpolação. Nesse momento será obrigatório a utilização de ferramentas estudadas anteriormente para solucionar sistemas lineares. Caso exista alguma dificuldade em resolver é necessário retomar os estudos anteriores para dar continuidade no tema a seguir. Bons estudos! 5.1 Interpolação Linear Nesse momento temos como objetivo compreender e desenvolver a interpolação linear. Realizar a interpolação polinomial é uma ferramenta para determinar uma função aproximada de outra função desconhecida. Sendo assim, tal estudo é fundamental: I. Quando não conhecemos a expressão analítica de f(x), isto é, sabemos apenas seu valor em alguns pontos distintos: n xxxx ,...,,, 210 II. Sendo f(x) uma função extremamente complicada e de difícil manejo. Trocando dessa forma a precisão pela simplificação dos cálculos. Definição: Polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos distintos n xxxx ,...,,, 210 ao polinômio de grau máximo n que coincide com f(x) em n xxxx ,...,,, 210 . Tal polinômio será designado por: )();( xPouxfP nn 48 Exemplo: Conhecendo a seguinte tabela: Determine o polinômio de interpolação para a função definida por esse conjunto de pares. 49 Interpolação Linear Dados dois pontos distintos de uma função ),(),(:)( 1100 yxeyxxfy geramos uma reta que passa pelos dois pontos, ),(),( 1100 yxeyx onde P1 é uma reta que está se aproximando da função original f(x). 011 )( axaxP Exemplo: Seja a função y = f(x) definida pelos pontos (0,00; 1,35) e (1; 2,94). Determine o valor aproximado para f(0,73). 50 Resolução: Erro de Truncamento Erro de truncamento (ET) é cometido quando a fórmula de interpolação a ser utilizada é escolhida, pois a aproximação de uma função conhecida apenas através de dois pontos dados é feita por um polinômio de primeiro grau. Fórmula: 10 10 , 2 )('' )..()( xx f xxxxxET 51 Exemplo: Seja a função f(x) = x² - 3x + 1, usando os valores de para x (x1 = 1,0 e x2 = 1,5) e os valores correspondentes f(x1) e f(x2), calcule: a) o valor aproximado para f(1,2); b) o erro de truncamento cometido no cálculo do item anterior. Resolução: a) O valor aproximado para f(1,2); i. f(1,0) = - 1 e f(1,5) = -1,25 b) o erro de truncamento cometido no cálculo do item anterior. 52 5.2 Interpolação Quadrática Vamos conhecer a Interpolação Quadrática, sendo uma maneira de encontrar uma função aproximada quando conhecemos apenas três pontos distintos de uma determinada função. Sendo assim, se de uma função, são conhecidos três pontos distintos, então o polinômio interpolador será: 01 2 22 )( axaxaxP O polinômio )(2 xP é conhecido como função quadrática, cuja imagem geométrica é uma parábola. Resolvendo o sistema gerado pela substituição das coordenadas dos pontos distintos );(),;(),;( 221100 yxyxyx na função, encontramos os valores de ., 210 aeaa 2021 2 22 1011 2 12 0001 2 02 yaxaxa yaxaxa yaxaxa Exemplo 1: Utilizando os três pontos da tabela abaixo, determine a função quadrática que se aproxima da função 1 ².2 )( x xsen xf . 53 x y = f(x) 0 0 π/6 0,328 π/4 0,560 Resolução: Substituindo as coordenadas dos três pontos no polinômio 01 2 22 )( axaxaxP formamos o sistema a seguir: 333,0 452,0 0 560,0 6 . 4 . 328,0 6 . 6 . 0 560,0 6 . 4 . 328,0 6 . 6 . 00.0. 2 1 0 1 2 2 1 2 2 0 01 2 2 01 2 2 01 2 2 a a a aa aa a aaa aaa aaa Após encontrar os valores de 210 , aeaa , determinamos o polinômio xxxP .452,0.333,0)( 22 Exemplo 2: Determinar o valor aproximado de f (0, 2) trabalhando com a interpolação quadrática, usando os valores tabelados da função f(x) = x² - 2x + 1. Usando apenas 2 casas decimais. 54 x y = f(x) 0,5 0,25 0,3 0,49 0,1 0,81 Resolução: Para o polinômio interpolador 01 2 22 )( axaxaxP , substituímos os pontos dados e geramos o sistema: 00,1 00,2 00,1 81,01,0..01,0 49,03,0.09,0 25,05,0.25,0 81,01,0.1,0. 49,03,0.3,0. 25,05,0.5,0. 2 1 0 012 012 012 01 2 2 01 2 2 01 2 2 a a a aaa aaa aaa aaa aaa aaa Logo, 64,0)2,0(12)( 2 2 2 PxxxP Portanto, o valor aproximado para f (0,2) definido pela interpolação quadrática é 0,64. 5.3 Outras Formas de Polinômio de Interpolação Nesse momento será possível conhecer Outras Formas do Polinômio de Interpolação, estudando a Diferença Dividida, o Cálculo Sistemático das Diferenças Divididas e a Fórmula de Newton do Polinômio de Interpolação. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. p. 304 – 312. Ótima leitura. Conclusão Neste bloco, estudamos a Interpolação Polinomial, sua definição, Interpolação Linear, Interpolação Quadrática e Outras Formas de Polinômio de Interpolação. 55 Referências BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; MACHADO, A. S. Matemática.São Paulo: Atual, 1995. LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 56 6 RESOLUÇÕES NUMÉRICAS Chegamos ao último bloco, no qual estudaremos as Resoluções Numéricas, passando pelo Método dos Mínimos Quadrados, depois Resolução Numérica de Integrais e Resolução Numérica com Equações Diferenciais. Desejo um ótimo estudo. 6.1 Método dos Mínimos Quadrados Vamos compreender e desenvolver o Método dos Mínimos Quadrados para determinar uma função aproximada. O Método dos Mínimos Quadrados trabalha com aproximação de funções tendo como base a projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço. Dessa forma, esse método consiste em aproximar uma função f(x) de E por uma função F(x) de E’ tal que a distância de f(x) a E’ seja mínima. Para aproximar f(x) ϵ C [a, b] por um polinômio Pm(x) de grau no máximo m, basta determinar a projeção ortogonal de f(x) sobre Km(x), o qual é gerado por },...,,,,1{ 32 mxxxx Onde os coeficientes de Pm(x) serão vetor solução do sistema linear: 57 ),( ... ),( )1,( ... . ),(...),(),1( ...... ),(...),(),1( )1,(...)1,()1,1( 1 0 m m mmmm m m xf xf f a a a xxxxx xxxxx xx Usando dessa forma o produto escalar usual de C[a, b], isto é, para f, g Є C[a, b]: b a dxxgxfgf ).().(),( Exemplo: Dada a função ]1,1[,5)( 4 xxxxf , aproxime f(x) por um polinômio do 2º grau usando o método dos mínimos quadrados. 58 59 6.2 Resolução Numérica de Integrais Estudando o cálculo de integral definida em Cálculo Diferencial e Integral de uma função f (x), sendo contínua em um intervalo [a, b] e sua primitiva F (x) é conhecida, da seguinte forma: b a aFbFdxxf )()()( , onde F’(x) = f(x). Porém, existem casos onde não é possível determinar a função ou até mesmo sua primitiva para calcular a integral definida. Dessa forma, para se calcular o valor da integral definida de f(x) quando não conhecemos a função torna-se necessário trabalhar com métodos numéricos. Para aproximar a integral usaremos Fórmulas de Quadratura. Tais fórmulas são também chamadas de Fórmulas de Integração Numérica. As fórmulas de quadratura são aquelas que aproximam a integral usando combinação linear dos valores da função. 60 Regra dos Trapézios A Fórmula de Newton-Cotes é conhecida como a Regra dos Trapézios, é dada da seguinte forma: .,. 2 )( )( 1010 01 bxeaxondeyy xx IdxxfI b a Exemplo: Calcule, pela Regra dos Trapézios, o valor de 6,3 3 x dx . Resolução: Para integrar utilizando a Regra dos Trapézios b a yy xx IdxxfI 10 01 . 2 )( )( : Observando o enunciado, temos; 6,3 11 3 11 1 )( 1 1 1 0 0 0 y x y y x y x xf Sendo assim, desenvolvemos: 18333,0 6,3 1 3 1 . 2 )36,3( . 1 6,3 3 IIdxx I 61 Agora resolvendo o cálculo de 6,3 3 x dx , sem utilizar a Regra dos Trapézios, temos: 18232,0)3ln()6,3ln()ln( 6,3 3 6,3 3 IxIx dx I Fórmula Composta Uma forma que se tem de melhorar o resultado obtido utilizando-se a Regra dos Trapézios é substituindo o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude h e a cada subintervalo aplicar a Regra dos Trapézios. Dessa forma, temos as aplicações sucessivas da Regra dos Trapézios determinando: n ab hsendoyyyyyy h I yny h yy h yy h yy h IdxxfI nn n b a ,22...222. 2 . 2 .... 2 . 2 . 2 )( 13210 1322110 62 Exemplo: Calcule a integral 6,3 3 x dx , utilizando a Regra dos Trapézios composta e subdividindo o intervalo em 6 subintervalos. Resolução Primeiro passo calculamos o valor de h: 1,0 6 6,0 6 36,3 h Em seguida determinamos os valores da tabela: i xi yi 0 3,0 0,333333 1 3,1 0,322581 2 3,2 0,312500 3 3,3 0,303030 4 3,4 0,294118 5 3,5 0,285714 6 3,6 0,277778 Terceiro e último passo será resolver: 63 182350,0 )277778,0.2285714,0.2294118,0.2303030,0.2312500,0.2322581,0.2333333,0.( 2 1,0 ,22...222. 2 13210 I I n ab hsendoyyyyyy h I nn Portanto, o valor aproximado para 6,3 3 x dx utilizando a Rega dos Trapézios Compostos é 0,182350. 6.3 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Para uma melhor compreensão do conteúdo é recomendado realizar essa leitura, que irá explicar a Solução Numérica de Equações Diferenciais, apresentando o Método de Taylor d Ordem q, o Erro de Truncamento Local e Métodos Lineares de Passo Múltiplo. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. Ótima leitura. Conclusão Estudamos as Resoluções Numéricas, envolvendo o Método dos Mínimos Quadrados, Resolução Numérica de Integrais e finalizamos com a Resolução Numérica com Equações Diferenciais. Desejo sucesso e uma ótima jornada para todos! 64 Referências BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018. LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994.
Compartilhar