Lista-MMA-eq_da_onda

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MMA - Lista - Equação da Onda
1. Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas
fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição
inicial u(x, 0) = f(x). Encontre o deslocamento u(x, t).
(a) f(x) = 8x(L− x)2/L3.
(b) f(x) =
{
1, L/2 − 1 < x < L/2 + 1 (L > 2),
0, caso contário.
.
2. Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas.
A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equiĺıbrio, com velocidade
inicial ut(x, 0) = g(x). Encontre o deslocamento u(x, t).
(a) g(x) = 8x(L− x)2/L3.
(b) g(x) =
{
1, L/2 − 1 < x < L/2 + 1 (L > 2),
0, caso contário.
.
3. Sejam v(x, t) e w(x, t) soluções dos problemas
vtt = a
2vxx, 0 < x < L, t > 0,
v(0, t) = 0, v(L, t) = 0, t > 0,
v(x, 0) = f(x), vt(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L,

wtt = a
2wxx, 0 < x < L, t > 0,
w(0, t) = 0, w(L, t) = 0, t > 0,
w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L.
Prove que u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) satisfaz
a) a equação da onda
utt = a
2uxx,
b) as condições de contorno
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0,
c) as condições de valores iniciais
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L.
4. Determine o deslocamento de uma corda de 40 cm, presa nas extremidados, com coe-
ficiente a = 2, nos seguintes casos:
(a) com deslocamento inicial dado por f(x) =

x, 0 ≤ x ≤ 10,
10, 10 ≤ x < 30,
40 − x, 30 ≤ x ≤ 40,
e velocidade
inicial dada por g(x) = sin(πx/20).
1
(b) com deslocamento inicial dado por f(x) = sin(πx/20) e velocidade inicial dada
por g(x) =

x, 0 ≤ x ≤ 10,
10, 10 ≤ x < 30,
40 − x, 30 ≤ x ≤ 40,
.
5. Suponha que g é diferenciável em [0, L] com g(0) = g(L) = 0, e f é duas vezes
diferenciável em [0, L] com f(0) = f(L) = 0 e f ′′+(0) = f
′′
−(L) = 0. Assuma que hg é
diferenciável e hf é duas vezes diferenciável. Prove que
u(x, t) =
1
2
[hf (x+ at) + hf (x− at)] +
1
2a
∫ x+at
x−at
hg(y)dy,
satisfaz
(a) a equação da onda
utt = a
2uxx,
(b) as condições de contorno
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0,
(c) as condições de valores iniciais
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L.
6. Resolva os problemas
a)

utt = 4uxx, 0 < x < π, t > 0,
ux(0, t) = 0, ux(π, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = x
3(3x− 4π), 0 ≤ x ≤ π.
b)

utt = 4uxx, 0 < x < π, t > 0,
ux(0, t) = 0, ux(π, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = x2(3x− 4π), ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π.
c)

utt = 9uxx, 0 < x < 2, t > 0,
ux(0, t) = 0, u(2, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 4 − x2, ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2.
d)

utt = 9uxx, 0 < x < 2, t > 0,
ux(0, t) = 0, u(2, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 4 − x2, 0 ≤ x ≤ 2.
e)

utt = a
2uxx, 0 < x < L, t > 0,
u(0, t) = 0, ux(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) =
{
1, L/2 − 1 < x < L/2 + 1 (L > 2),
0, caso contário.
, ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L,
2