Lista-MMA-eq_do_calor

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MMA - Lista - Equação do Calor
1. Considere uma barra uniforme de comprimento L a uma temperatura inicail dada por
u(x, 0) = sin(πx/L), 0 ≤ x ≤ L. Suponha que ambas as extremidades são isoladas.
a) Determine a temperatura u(x, t).
b) Determine a temperatura na barra no estado estacionário.
2. Considere uma barra com 40 cm de comprimento cuja temperatura inicial é dada por
u(x, 0) =
x
30
(60−x). Suponha que k = 1
4
cm2/s e que ambas as extremidades da barra
estejam isoladas.
a) Determine a temperatura u(x, t).
b) Determine a temperatura na barra no estado estacionário.
3. Considere uma barra uniforme de comprimento 30, tal que k = 1, e temperatura inicial
dada por f(x) = 30− x. Suponha que a temperatura na extremidade x = 0 é mantida
a 0◦C, enquanto que a extremidade x = 30 está isolada.
a) Determine a temperatura u(x, t).
b) Determine a temperatura na barra no estado estacionário.
4. Considere uma barra uniforme de comprimento 30, tal que k = 1, e temperatura inicial
dada por f(x) = 30− x. Suponha que a temperatura na extremidade x = 0 é mantida
a 40◦C, enquanto que a extremidade x = 30 está isolada.
a) Determine a temperatura u(x, t).
b) Determine a temperatura na barra no estado estacionário.
5. Considere o problema
ut=k
2 uxx, 0 < x < L, t > 0;
u(0, t)=0, ux(L, t) + γu(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0)=f(x) 0 6 x 6 L.
Suponha u(x, t) = X(x)T (t) e mostre que T ′ + λk2T = 0 e
X ′′ + λX = 0, X(0) = 0, X ′(L) + γX(L) = 0.
1
6. Resolva os problemas
a)

ut = 3uxx, 0 < x < 1, t > 0,
ux(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1.
b)

ut = 7uxx, 0 < x < π, t > 0,
ux(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = π2 − x2, 0 ≤ x ≤ π.
c)

ut = 3uxx, 0 < x < π, t > 0,
u(0, t) = 0, ux(π, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = x(π − x), 0 ≤ x ≤ π.
c)

ut = 3uxx, 0 < x < π, t > 0,
u(0, t) = 0, ux(π, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ π,
onde f(x) =
{
1, 0 < x < π/2, t > 0,
0, π/2 ≤ x ≤ π.
2