Eletricidade básica

Prévia do material em texto

Presidente da Mantenedora
Ricardo Benedito Oliveira
Reitor: 
Dr. Roberto Cezar de Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Gisele Colombari Gomes
Diretora de Ensino
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Edson Dias Vieira
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Camila Cristiane Moreschi
Danielly de Oliveira Nascimento
Fernando Sachetti Bomfim
Luana Luciano de Oliveira
Patrícia Garcia Costa
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Cristiane Alves© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
UNIDADE
3WWW.UNINGA.BR
ENSINO A DISTÂNCIA
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................. 5
UNIDADES DE MEDIDA ............................................................................................................................................. 6
SISTEMAS DE UNIDADES ......................................................................................................................................... 6
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ................................................................................................................................ 7
TENSÃO ELÉTRICA .................................................................................................................................................... 8
CORRENTE ELÉTRICA .............................................................................................................................................. 9
POTÊNCIA E ENERGIA ............................................................................................................................................. 11
CONCEITOS E
COMPONENTES BÁSICOS
PROF.A NÁGILA RIBEIRO DE MENEZES
01
4WWW.UNINGA.BR
RESISTÊNCIA ELÉTRICA ......................................................................................................................................... 12
CONDUTÂNCIA ......................................................................................................................................................... 15
COMPONENTES DE UM CIRCUITO ........................................................................................................................ 16
LEI DE OHM ............................................................................................................................................................... 17
RESUMO DA UNIDADE ............................................................................................................................................ 20
5WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
O entendimento conceitual de grandezas e componentes é fundamental nas teorias de 
circuitos elétricos, bem como na vida profissional do engenheiro eletricista, visto que lidamos 
frequentemente com grandezas mensuráveis. Esta unidade apresenta o sistema internacional de 
unidades (SI) e prefixos utilizados na engenharia. Aborda a fundamentação teórica dos principais 
conceitos da eletricidade: tensão, corrente, resistência, energia e potência, com objetivo de formar 
um embasamento sólido para auxiliar no bom desenvolvimento dos estudos em todos os campos 
de aplicação da eletricidade.
6WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
UNIDADES DE MEDIDA
Trabalhar no campo das ciências exatas requer compreendimento da importância de 
uma correta aplicação das unidades, pois uma simples troca de unidades pode comprometer o 
resultado de uma equação, de um trabalho ou projeto. Ao realizar a medição de uma grandeza, 
está-se realizando a comparação desta com um valor unitário precisamente definido desta mesma 
grandeza, uma unidade-padrão. Por exemplo, ao dizer que o comprimento de uma mesa é de 2 
metros, significa que esta mesa possui duas vezes o comprimento da unidade-padrão, que é o 
metro. Dizer que o comprimento é 2, não faz sentido, é importante, portanto, incluir a unidade, 
que para este exemplo é o metro. Portanto é importante lembrar que:
A magnitude de uma grandeza deve ser composta de um número e uma unidade.
Expressar uma grandeza na unidade correta é fundamental para que os cálculos e as 
manipulações matemáticas não deem errado, é importante estar atento e sempre conferir as 
unidades utilizadas nos cálculos, principalmente ao realizar conversão de unidades.
SISTEMAS DE UNIDADES
As grandezas existentes podem ser expressas em um reduzido número de unidades 
fundamentais. A exemplo disso temos velocidade, força, trabalho, energia e potência, que podem 
ser expressas em apenas três unidades de medida: massa, tempo e comprimento. O conjunto das 
unidades-padrão dessas grandezas fundamentais, compõem o sistema de unidades, denominado 
como Sistema Internacional (SI), representado na tabela 1, com a grandeza e suas respectivas 
unidades e símbolos.
O sistema internacional (SI) foi desenvolvido para facilitar estudos científicos, visto que 
antes de sua criação haviam vários sistemas de unidades diferentes, sendo que era comum que os 
países criassem seu próprio sistema de unidades. O SI foi ratificado na 11ª Conferência Geral de 
Pesos e Medidas e, a partir de então, foi oficializado internacionalmente. A tabela 2 apresenta os 
prefixos do sistema internacional (SI) e seus respectivos símbolos.
Analisando a tabela de prefixos é possível ver que existem algumas equivalências que 
permitem conversões entre unidades. Por exemplo, 10000 metros e 10 km são valores equivalentes.
Tabela 1 - Sistema Internacional (SI)
7WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
Tabela 2 - Prefixos
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Em se tratando de grandezas mensuráveis, podemos citar alguns instrumentos digitais 
que realizam estas medidas e apresentam como resultado da medição números com uma casa 
após a vírgula, outros apesentam duas casas, três, entre outras variações. Como exemplo disto 
temos as balanças, os multímetros, trenas digitais e etc.
Nestas quantidades de casas após a vírgula pode-se verificar o grau de precisão desta 
medida. Por exemplo, analisando as medidas 12,5 cm e 12,52 cm verifica-se que a primeira 
medida foi realizada por um instrumento com grau de precisão na casa dos décimos, de zero a 
nove e, a segunda medida por um instrumento com grau de precisão na casa dos centésimos, de 
zero a 100. Note que o segundo instrumento foi capaz de medir o comprimento em centímetros 
mais fiel a realidade que o primeiro instrumento.
A precisão das medidas realizadas pode ser determinada pelo número de algarismos 
significativos presentes no resultado, que são números inteiros de 0 a 9 que quantificam uma 
medida. Vale ressaltar que nem sempre o zero é um algarismo significativo. Por exemplo: os zeros 
de 4002 são significativos, diferente do zero à esquerda da vírgula de 0,150 que não é significativo.
Existem algumas regras para fazer operações com números cujo os graus de precisão são 
diferentes:
8WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
• Adição ou subtração: a precisão do resultado é determinada pelo número de menor 
precisão.
 
• Multiplicação e divisão: a quantidade de algarismos significativos do resultado é igual 
ao número com menos algarismos significativos.
Frequentemente surge a necessidade de realizar arredondamentos dos resultados e, para 
isso, deve-se apenas observar o algarismo após ao que se deseja manter na forma arredondada, 
caso ele seja igual ou maior que 5, soma-se 1 ao algarismo que será mantido, caso seja menor que 
5, o algarismo que será mantido fica inalterado. Por exemplo: 
8,9287 ≡ 8,929 ≡ 8,93 ≡ 8,9.
Exemplo 1: Arredonde o número 52,1456 até a casa dos:a) Décimos
b)Centésimos
c)Milésimos
Solução: 
a) 52,1
b) 52,14
c)52,146
Com o conceito de sistemas de unidades definido e compreendido podemos iniciar o 
estudo das grandezas fundamentais para o estudo da eletricidade.
TENSÃO ELÉTRICA
Comumente escutamos ou falamos que determinado eletrodoméstico é 220 Volts ou 
120 Volts. Quando nos referimos aos equipamentos desta forma, estamos na verdade, citando 
qual a tensão elétrica necessária para que este equipamento entre em funcionamento. Mas 
conceitualmente, do que se trata realmente a tensão elétrica? Para melhor compreensão do que 
este termo significa, relembraremos brevemente a estrutura atômica. 
O átomo é a estrutura básica da matéria, formado por elétrons, prótons e nêutrons. Os 
elétrons encontram-se em órbita em torno do núcleo, que é formado por prótons e nêutrons. 
Pode-se dizer que a quantidade mais elementar dos circuitos elétricos é a carga elétrica e sabe-
se, a partir dos estudos de física, que os elétrons em órbita possuem carga negativa, os prótons 
possuem carga positiva e os nêutrons não possuem carga. Para este estudo, o que nos interessa é 
o movimento destas cargas.
No sistema métrico, a carga é medida em Coulombs (C), sendo representada 
pela letra q ou Q em algumas bibliografias.
Um elétron possui carga negativa q = 1,602x10-19 C, enquanto que o próton possui 
carga positiva com magnitude igual à do elétron.
9WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
Para movimentar cargas de um lugar para outro gasta-se uma quantidade de energia 
ou trabalho, essa quantidade de energia pode variar conforme a quantidade de carga que será 
movimentada. Este trabalho gasto para movimentar a carga é realizado por uma força, chamada 
de força eletromotriz (FEM), também conhecida como tensão ou diferença de potencial. Pode ser 
descrita, matematicamente, por:
 (1.1)
onde W é a energia expressa em Joules (J), Q é a carga expressa em Coulombs (C) e V a 
tensão medida em Volts (V), este em homenagem ao físico Alessandro Antonio Volta, inventor da 
primeira pilha voltaica que desenvolveu estudos que deram início à teoria dos circuitos elétricos.
Portanto, tensão ou diferença de potencial é a quantidade de energia necessária para 
deslocar uma carga e é medida em Volts (V).
Exemplo 1: São necessários 25 J (Joules) de energia para movimentar uma carga de 10 C 
(Coulombs) entre dois pontos, qual a tensão entre estes dois pontos?
Resolução:
A partir da Equação 1.1, temos:
CORRENTE ELÉTRICA
Ainda pensando no movimento das cargas elétricas, vamos analisar a seguinte situação, 
ilustrada na figura 1-1, que mostra um circuito elétrico simples, no qual uma bateria está ligada 
nas extremidades de um fio condutor, conectado a uma lâmpada. Ainda dos estudos de física, 
sabemos que os materiais condutores possuem elétrons voláteis que podem se movimentar a 
partir de um pequeno estímulo, são os chamados elétrons livres. 
 Ao aplicarmos uma força eletromotriz, neste exemplo uma bateria, nas extremidades 
deste um fio condutor, as cargas negativas (elétrons livres) presentes neste fio irão se movimentar 
em apenas um sentido, do polo negativo da bateria para o polo positivo da bateria. Este sentido 
no qual os elétrons livres percorrem se dá pela força de tração entre as cargas, determinada pela 
lei de Coulomb:
 (1.2)
onde F é a força expressa em Newtons (N), k uma constante de valor 9,0 x109 N.m2/C², Q1 
e Q2 são cargas expressas em coulombs e r é a distância entre as cargas Q1 e Q2 em metros.
As cargas de mesmo sinal se repelem e as cargas de sinais opostos se atraem, por este 
motivo, o fluxo de elétrons ocorre do polo negativo para o polo positivo da bateria, visto que as 
cargas do polo negativo são de mesmo sinal às cargas dos elétrons livres.
10WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 1 - Fluxo orientado de elétrons passando por um condutor. Fonte: Boylestad (2012).
Para esta movimentação orientada de cargas que ocorre com o estimulo de uma bateria 
ao fio condutor, como demonstrado na figura 1, dá-se o nome de corrente elétrica, representada 
pela letra I e medida em Ampères (A), este nominado em homenagem ao físico André-Marie 
Ampère, que formulou as leis do eletromagnetismo. Matematicamente, temos:
 (1.3)
onde I é a intensidade da corrente elétrica medida em Ampère (A), Q é a carga em 
Coulomb (C) e t é o tempo em segundos (s). 
Portanto, corrente elétrica conceitua-se como o fluxo de cargas por unidade de tempo, 
medida em ampères (A). 
Analisando a equação 1.3, verifica-se que a corrente pode variar com relação ao tempo: 
• Corrente contínua (CC): o valor da corrente não apresenta variações com o passar do 
tempo;
•Corrente alternada (CA): o valor da corrente varia em relação ao tempo, apresentando 
comportamento senoidal.
 
 (a) (b)
Figura 2 – (a) corrente contínua (b) corrente alternada. Fonte: Sadiku (2013)
11WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
Por convenção utilizaremos o símbolo I para corrente contínua (CC) e i para corrente 
alternada (CA). 
Ao definir a intensidade da corrente elétrica, deve-se definir o seu sentido, o qual pode 
ser representado positivamente ou negativamente.
Observando a figura 1, pode-se verificar que há o sentido de corrente deslocando-se 
do negativo para o positivo, o mesmo sentido dos elétrons, o qual é chamado de sentido real 
da corrente. O sentido da corrente, fluindo do positivo para o negativo, chama-se de sentido 
convencional da corrente. Para este estudo assumiremos somente o sentido convencional da 
corrente.
Exemplo 2: Para uma secção transversal, semelhante à demonstrada na figura 1, verificou-
se que uma carga de 0,5 C a atravessa no instante 10 ms. Calcule a corrente que passa por esta 
secção transversal.
Resolução:
 A partir da Equação 1.3, temos:
POTÊNCIA E ENERGIA
Potência é um termo bastante utilizado no nosso cotidiano. Por exemplo, ao comprar 
uma lâmpada, é comum escolhermos uma de 25 Watts em vez de uma de 9 Watts, pois a de 25 
Watts proporciona maior iluminação.
Define-se como potência a quantidade de trabalho realizado em um intervalo de tempo, 
ou como uma taxa em que a energia (tensão) é gasta. 
Sendo assim, uma lâmpada de 25 Watts realiza, em quantidade, mais trabalho que uma 
de 9 Watts no mesmo intervalo de tempo. Matematicamente, temos:
 (1.4)
onde W é a energia medida em Joules (J), t é o tempo medido em segundos (s) e P é a 
potência medida em Joules/segundo (J/s) ou Watts (W), visto que 1 Watt equivale a 1 J/s. 
A unidade de medida Watt foi adotada em homenagem a James Watt que definiu os 
padrões de medidas de potência. James Watt, definiu inclusive, a unidade conhecida como 
horsepower (hp), que representa a potência exercida por um cavalo para erguer verticalmente 
uma massa de 33 libras a uma velocidade de 1 pé/min.
1 horsepower (hp) = 746 w
Para a capacidade de realizar trabalho, dá-se o nome de energia, sendo medida em Joules 
(J). 
As concessionárias de energia elétrica medem a energia em Watts-hora (Wh). Sabemos a 
12WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
partir da equação 1.3 que W = Pt, portando para escrevermos energia em Watts-hora, fazemos:
Energia (Wh)= potência(W) x tempo(h) (1.5)
Para escrever a energia na unidade KWh, basta dividirmos o valor da energia expressa 
em Wh por 1000.
Exemplo 3: Um secador de cabelo de 1600 W deve ficar ligado quanto tempo para 
consumir 10 kWh?
Resolução:
A partir da Equação 1.5, temos:
RESISTÊNCIA ELÉTRICA
Nas seções anteriores vimos que ao aplicar uma tensão nas extremidades de um fio 
condutor é gerada a passagem de corrente elétrica por este fio.Este fio condutor é formado por um material que tende a resistir por esta passagem 
de corrente elétrica. Esta resistência à passagem de corrente elétrica é encontrada em todos os 
materiais, em diferentes níveis de intensidade, trata-se de uma propriedade física chamada de 
resistência elétrica. Representada pela letra R e medida em ohms, esta unidade utiliza a letra grega 
ômega (Ω).
Outra característica importante dessa propriedade física é o calor gerado no material, que 
é originado da resistência à passagem de corrente elétrica, ocasionando o aumento da temperatura 
no material.
Devido a esta característica, as resistências são utilizadas nos mais diversos equipamentos, 
como chuveiros elétricos, torradeiras, secadores de cabelo dentre outros equipamentos que se 
beneficiam desta capacidade de gerar calor.
A resistência (R), em Ohms (Ω), de um material de área (cm²) de secção transversal (A) 
e comprimento ℓ (cm), pode ser expressa matematicamente, por:
 
 (1.6)
onde ρ é a resistividade do material ou capacidade que material possui de resistir a 
passagem de corrente elétrica, expressa em ohms-metro. 
A tabela 1 mostra a resistividade de alguns materiais e como são empregados. Perceba 
13WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
que os materiais estão classificados, quanto a resistividade, como condutores, semicondutores e 
isolantes.
Condutores são materiais que possuem baixa resistividade e possibilitam a passagem de 
um alto fluxo de corrente elétrica. Bons condutores são os materiais que possuem apenas um 
elétron na camada de valência, sendo necessária pequena força (tensão) para estimular a sua 
movimentação, como é o caso do cobre.
Isolantes são materiais que possuem alta resistividade e poucos elétrons livres e, portanto, 
são materiais que dificultam a passagem de corrente elétrica por eles. É necessária uma elevada 
tensão para que estes poucos elétrons livres se movimentem e circule uma corrente significativa.
Os semicondutores são materiais com características elétricas intermediárias entre 
condutores e isolantes, toda a indústria eletrônica possui componentes desta classe de materiais, 
o mais empregado deles é o silício.
Tabela 2 - Resistividade de materiais. Autor: Sadiku (2013).
O resistor é um componente utilizado para modelar o comportamento de uma resistência. 
A simbologia utilizada para representá-lo pode ser visualizada na figura 3.
O resistor pode ser de valor fixo ou variável, construído em diversos formatos ou 
materiais. O resistor fixo, apresenta apenas um valor em ohms para a resistência, enquanto que 
no resistor variável pode-se escolher um valor de resistência dentro de uma faixa de valores pré-
determinada.
 (a) (b)
Figura 3 – (a) Simbologia do resistor fixo (b) Simbologia do resistor variável, ex: potenciômetro. Fonte: O 
autor.
Devido à grande diversidade de resistores fixos e variáveis, utiliza-se um sistema de código 
de cores especificado por faixas para determinar o valor em ohms da resistência. Os resistores 
mais comuns, são os resistores de filme fino, que podem ter quatro, cinco ou seis faixas coloridas.
14WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
 Vamos aplicar o sistema de código de faixas coloridas para um resistor fixo de quatro 
faixas:
Figura 4 - Sistema de código de faixas. Fonte: O autor.
 Faixa 1: primeiro dígito;
 Faixa 2: segundo dígito;
 Faixa 3: multiplicador em potência de dez;
 Faixa 4: tolerância do resistor.
O cálculo do valor da resistência em um resistor de 4 faixas ocorre da seguinte forma:
R = (1ºdígito 2º dígito) x 10(faixa 3) (1.7)
Cada cor corresponde a um número, segundo a tabela 3, caso a quarta faixa seja omitida, 
convenciona-se uma tolerância de ± 20%. Para os casos em que o resistor apresentar cinco faixas, 
haverá três dígitos antes do multiplicador:
R = (1ºdígito 2º dígito 3º dígito) x 10(faixa 4) (1.8)
Tabela 3 - Código de cores. Fonte: O autor
Exemplo 4: Para exemplificar o código de cores, calcularemos o valor da resistência da 
figura 4.
Resolução:
Faixa 1: vermelho = 2;
Faixa 2: vermelho = 2;
Faixa 3: marrom = 1;
Faixa 4: ouro = ± 5% .
A partir da equação 1.7, temos:
R = 22 x 101 = 220 Ω.
 Uma tolerância de ± 5% para o resistor de 220 Ω, significa dizer que o fabricante garante 
que o resistor pode ter uma faixa de erro de até 11 Ω, para mais ou para menos. Portanto o valor 
15WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
da resistência desse resistor pode apresentar valores entre 209 Ω a 231 Ω.
Podem haver resistores com seis faixas, para este caso a sexta faixa determinará o 
coeficiente de temperatura. Com relação aos valores dos resistores, existe uma tabela de valores 
especificando os seus valores comerciais, portanto, não existem todos os valores de resistências 
disponíveis no mercado. Para obter os resistores com valores indisponíveis comercialmente é 
possível realizar associação de resistores, veremos associação de resistores mais adiante.
 
 
Figura 5 - Tabela comercial de resistores. Fonte: Boylestad (2012).
CONDUTÂNCIA
Considerando que a resistência é o impedimento de passagem de corrente por um 
material, chama-se condutância o inverso da resistência, ou a capacidade que um material possui 
de permitir a passagem de corrente, seu símbolo é o G e, sua medida é realizada em Siemens (S). 
Matematicamente, temos:
 (1.9)
 
onde G é a condutância medida em Siemens (S), R a resistência, A é a área da secção 
transversal, ρ representa a resistividade e l o comprimento. 
Assim, um resistor de 1 kΩ, possui uma condutância de 1 mS.
16WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
COMPONENTES DE UM CIRCUITO 
Com as principais grandezas utilizadas na análise de circuitos definidas, podemos 
apresentar o conceito de circuito elétrico: 
As interconexões de componentes elétricos e/ou eletrônicos formam um circuito elétrico. 
Podemos classificar entre os componentes elétricos em duas classes: os componentes ativos 
e os componentes passivos. Os componentes ativos são os componentes que são capazes de gerar 
energia para o circuito, como pilhas, baterias, geradores ou amplificadores. Já os componentes 
passivos não são capazes de gerar energia, são eles: os resistores, capacitores e indutores, você vai 
perceber que o resistor é um componente que está presente na maioria dos circuitos elétricos.
Os principais elementos ativos que veremos são as fontes de tensão ou corrente, que 
são capazes de fornecer potência para o circuito em que estão interconectadas. Elas podem ser 
independentes ou dependentes. As fontes independentes, tanto de tensão quanto de corrente, 
fornecem energia sem depender de qualquer outro elemento do circuito.
As fontes dependentes, também chamadas de fontes controladas, de tensão ou corrente, 
são controladas por outra tensão ou corrente presente no circuito. 
 (a) (b) (c)
Figura 6 - Simbologia para fontes de tensão (a, b) e corrente (c) independentes. Fonte: Sadiku (2013).
Figura 7 - Simbologia de fonte de tensão independente. Fonte: O autor
17WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
 (a) (b)
Figura 8 - Simbologia para fontes de tensão (a) e corrente (b) dependentes. Fonte: Sadiku (2013).
Observe que as fontes de tensão apresentam em sua simbologia, sinal positivo e negativo 
e, uma seta para as fontes de corrente. Nas fontes de corrente, a seta indica o sentido que a corrente 
irá percorrer. No caso das fontes de tensão, o sinal indica a polaridade da fonte, consequentemente 
o deslocamento da corrente convencional, saindo do polo positivopara o polo negativo da fonte.
LEI DE OHM 
George Simon Ohm foi o físico alemão responsável pela descoberta de como se relacionam 
tensão e corrente em um resistor. Esta relação ficou conhecida como lei de Ohm e é sem dúvida 
uma das principais leis que fundamentam a análise dos circuitos elétricos. A lei de Ohm é aplicável 
tanto a circuitos de corrente alternada (CA), quanto a circuitos de corrente contínua (CC), em 
que se baseia este estudo, estabelece que a tensão V em um resistor R é diretamente proporcional 
à corrente que passa através dele. Portanto, temos:
 
 (1.10)
 e 
(1.11)
A figura 9 mostra um circuito básico, também conhecido como circuito resistivo, que 
é formado por uma fonte de tensão e uma resistência. Considerando que a fonte de tensão está 
ligada diretamente nos terminais 2 e 1 do resistor, a tensão do resistor é a mesma tensão da fonte.
Figura 9 - Circuito básico. Fonte: o autor
Aplicando a lei de Ohm é possível encontrar o valor da corrente que flui através do resistor:
18WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 10 - Polaridade. Fonte: Boylestad (2012).
Exemplo 5: Para o circuito da figura 11, determine a corrente que passa pelo resistor R 
utilizando a lei de ohm. 
Figura 11 - Exemplo 5. Fonte: o autor.
Resolução:
Aplicando a equação 1.0 para calcular a corrente I, que flui pelo resistor R, temos:
Agora que começamos a trabalhar com a lei de ohm, podemos estabelecer mais algumas 
relações matemáticas envolvendo a lei de Ohm e outras grandezas como potência, tempo ou 
carga. Podemos calcular, por exemplo, a potência absorvida pelo resistor R no circuito da figura 
11, aplicando a equação 1.4:
sabendo que W=QV , realizamos a substituição na equação da potência, assim:
ja que:
Então,
 (1.12)
19WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
Substituindo a lei de Ohm na equação 1.12, podemos chegar a mais duas equações para 
cálculo de potência:
 (1.13)
 
 (1.14)
Exemplo 6: Para o circuito da figura 1-11, calcule a potência absorvida pelo resistor R1.
Resolução:
A partir da equação 1.8, temos:
P=V.I = (15V).(15.10-3 A) = 0,225 W = 225 mW
Exemplo 7 (Vestibular 2010 UFJF): O gráfico mostra a potência elétrica, em kW, 
consumida na residência de um morador da cidade de Juiz de Fora ao longo do dia. A residência 
é alimentada com uma tensão de 120 V. Essa residência tem um disjuntor que desarma quando a 
corrente elétrica ultrapassa um certo valor, para evitar danos na instalação elétrica. Este disjuntor 
é dimensionado para suportar uma corrente utilizada na operação de todos os aparelhos da 
residência, que somam uma potência total de 7,20 kW.
Gráfico 1 - Potência x Tempo (Exemplo 4)
a) Qual é o valor máximo de corrente que o disjuntor pode suportar?
b) Qual é a energia em kWh consumida ao longo de um dia nessa residência?
c) Qual é o preço a pagar por um mês de consumo, se o 1 kWh custa R$ 0,50?
Resolução:
a) = 60A
b) Analisando o gráfico, temos: 
Energiadia=4 kW(8h-6h)+6 kW(20h-18h)+2 kW(22h-20h)=24 kWh
c)1 mês = 30 dias = 720 kWh
Preçomês=(720).0,5=R$ 360,00 
20WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 1
ENSINO A DISTÂNCIA
RESUMO DA UNIDADE
• A magnitude de uma grandeza deve ser composta de um número e uma unidade.
• SI ou sistema internacional de unidades estabelece o conjunto de unidades-padrão 
utilizado em todo mundo.
• Tensão é definida como quantidade de energia necessária para deslocar uma carga e é 
medida em Volts (V).
• Corrente elétrica denomina-se como o fluxo de cargas por unidade de tempo, medida 
em ampères (A). Pode apresentar duas formas: CC e CA.
• Potência define-se como a quantidade de trabalho realizado em um intervalo de tempo.
• Energia é capacidade de realizar trabalho.
• Resistência é oposição à passagem de corrente e condutância a facilidade para passagem 
de corrente pelo material.
• Existem fontes de tensão e corrente dependentes e independentes.
• A lei de ohm define que:
 V=RI 
 
• A partir da lei de ohm podemos estabelecer outras expressões:
HAYT, W. J.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de Circuitos em Engenharia.7 
ed. São Paulo:McGrawiHill. 2008.
THOMPSON, A.; TAYLOR, B. N. Guide for the Use of International System of Units 
(SI). NIST Special Publication 811. 1995 Edition. Disponível em: www.nist.gov.
BOYLESTAD, R. L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2012.
UNIDADE
21WWW.UNINGA.BR
ENSINO A DISTÂNCIA
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 23
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE ........................................................................................................... 24
ASSOCIAÇÃO DE FONTES EM SÉRIE ..................................................................................................................... 27
LEI DE KIRCHOFF PARA TENSÕES (LKT) ............................................................................................................. 28
DIVISOR DE TENSÃO ............................................................................................................................................... 30
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO .................................................................................................... 32
LEI DE KIRCHOFF PARA AS CORRENTES (LKC) .................................................................................................. 35
DIVISOR DE CORRENTE .......................................................................................................................................... 36
CIRCUITOS RESISTIVOS
PROF.A NÁGILA RIBEIRO DE MENEZES
02
22WWW.UNINGA.BR
ASSOCIAÇÃO DE FONTES EM PARALELO ............................................................................................................. 37
CURTO-CIRCUITO E CIRCUITO ABERTO ............................................................................................................... 37
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES SÉRIE-PARALELO ............................................................................................... 38
RESUMO DA UNIDADE ............................................................................................................................................ 42
23WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
Para realizar análise de circuitos é fundamental compreender como efetuar a combinação 
de resistores em série, paralelo e série-paralelo, visto que o resistor está presente na maioria dos 
circuitos elétricos. Além de realizar combinação destes componentes, a compreensão das leis de 
Kirchoff que serão abordadas nesta unidade, servirá como ferramentas para o manuseio destes 
circuitos facilitando suas análises.
Esta unidade demonstrará, portanto, técnicas de associação de resistores em série, 
paralelo e série-paralelo, bem como as leis de Kirchoff para tensões e correntes, técnicas para 
aplicar divisores de tensão e corrente e algumas definições sobre circuitos que são fundamentais 
para suas análises.
24WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE
Um resistor possui dois terminais para realizar interconexões nos circuitos e demais 
componentes. Analisando a figura 2-1, pode-se ver que o terminal 2 do resistor R1 está conectado 
ao terminal 1 do resistor R2, este, por sua vez, está com seu terminal 2 conectado ao terminal 1 de 
R3. Perceba que há apenas uma conexão entre cada dois resistores, portanto estes resistores estão 
conectados em configuração série. Quando os resistores estão conectadosnesta configuração, 
apresentam uma característica importante, a corrente que flui por todos os resistores em série é 
a mesma.
Figura 1 - Associação de resistores em série. Fonte: o autor.
Podemos determinar uma resistência total (Rt) entre os pontos A e B, formada pela soma 
dos resistores R1, R2 e R3 conectados em série. Sendo assim, para determinar a resistência total 
a partir de uma associação de um número N resistores em série, podemos utilizar a equação a 
seguir:
R(t=R1+R2+R3+⋯+RN )
 (2.1)
Exemplo 1: Calcule a resistência total entre os pontos A e B do circuito mostrado na 
figura 2.
Figura 2 – Exemplo 1: associação em série de resistores. Fonte: o autor.
Resolução: 
Rt=R1+R2+R3+R4+R5+R6
Rt=1kΩ+10kΩ+1,1kΩ+1kΩ+20kΩ+3,3kΩ
Rt=36,4 kΩ 
25WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
O valor resultante do cálculo da resistência total não se altera pela ordem com que os 
resistores são conectados em série e, quanto maior o número de resistores associados em série, 
maior será o resultado de Rt.
Para resistores de mesmo valor, o cálculo da resistência deve seguir a seguinte equação:
Rt=RN (2.2)
onde R é o valor da resistência e N o número de resistores iguais.
Faremos agora a análise do circuito mostrado na figura 2-3, com associação de resistores 
em série considerando que:
R1= 47 Ω, R2= 100 Ω e R1= 150 Ω:
Figura 3 - Circuito com associação de resistores em série. Fonte: o autor.
A corrente total do circuito (It) flui do pólo positivo para o pólo negativo da fonte. Visto 
que os resistores R1, R2 e R3 estão em série, a corrente que passa por estes resistores é a mesma, 
a corrente It. Vamos, agora, utilizar a lei de Ohm para encontrar o valor da corrente total , para 
isso devemos substituir o valor de R por Rt, da seguinte forma:
Perceba que a polaridade da tensão de cada resistor está indicada no circuito, que é 
determinada pela direção da corrente. Agora que conhecemos o valor da corrente total It, 
podemos calcular o valor da queda de tensão através de cada resistor, utilizando a lei de Ohm:
VR1=R1.I1=(47Ω).(34m)=1,6 V
VR2=R2.I2=(100Ω).(34m)=3,4 V
VR3=R3.I3=(150Ω).(34m)=5 V
Podemos calcular também a potência aplicada pela fonte V1 (PV1) e a potência dissipada 
por cada resistor do circuito. Encontrando a potência aplicada pela fonte:
PV1=V1.It
PV1=(10 V).(34 mA)=340 mW
Encontrando a potência dissipada por cada resistor:
PVR1=VR1.It=(1,6 V).(34 mA)=54,4 mW
PVR2=VR2.It=(3,4 V).(34 mA)=115,6 mW
PVR3=VR3.It=(5 V).(34 mA)=170 mW
26WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Perceba que a potência fornecida pela fonte é igual a soma das potências de cada resistor:
Pv1=PVR1+PVR2+PVR3 (2.3)
Pv1=54,4 mW+115,6 mW+170 mW=340mW
Exemplo 2: Para o circuito da figura 2-4 calcule R1, a corrente total, o valor da queda 
de tensão em R3 e, verifique se a potência fornecida pela fonte V é igual à soma das potências 
dissipadas pelos resistores.
Dados: Rt= 30 kΩ; V= 60 V; R2= 5 KΩ; R3=15 KΩ
Figura 4 - Circuito do exemplo 2
Resolução:
Calculando o valor de R1:
Rt=R1+R2+R3
30 kΩ=R1+5 kΩ+15 kΩ
R1=30 kΩ-5 kΩ-15 kΩ
R1=10 kΩ
Calculando o valor da corrente total It:
Calculando a queda de tensão no resistor R3:
V3=R3.I3=(15 kΩ).(2 mA)=30 V
Calculando a potência total fornecida pela fonte:
PV=V.It=(60 V).(2 mA)=120 mW
Calculando a potência dissipada por cada resistor:
PV1=V1.It=(R1.It ).It=R1.It
2=(10 kΩ).(2 mA)²=40 mW
PV2=V2.It=(R2.It ).It=R2.It
2=(5 kΩ).(2 mA)²=20 mW
PV3=V3.It=(30 V).(2 mA)=60 mW
Portanto, 
 PV=PV1+PV2+PV3=40 mW+20 mW+60 mW=120 mW 
27WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
ASSOCIAÇÃO DE FONTES EM SÉRIE
Podemos encontrar circuitos com mais de uma fonte de tensão conectadas em série. 
Dependendo da polaridade em que as fontes de tensão estejam conectadas a tensão resultante 
pode apresentar valores diferentes, vejamos o circuito da figura 5: 
Figura 5 - Associação de fontes de tensão com mesma polaridade em série. Fonte: o autor.
A polaridade das fontes de tensão V1 e V2 é a mesma, sendo assim, podemos associar as 
duas fontes de tensão substituindo por uma única fonte de tensão, cujo valor resultante é:
V3=V1+V2=10 V+5 V=15 V
Vejamos na figura 6 uma situação em que a polaridade das fontes V1 e V2 são diferentes:
Figura 6 - Associação de fontes de tensão, com polaridades diferentes, em série. Fonte: O autor.
Neste caso, a fonte resultante será calculada da seguinte forma:
V3=V1-V2=10 V-5 V=15 V
Note que a fonte de tensão resultante V3 é semelhante a fonte V1, logo, sempre que houver 
necessidade de realizar a associação de fontes em série com polaridades diferentes, faz-se a soma 
de todas as fontes de mesma polaridade, a soma de todas as fontes com polaridades diferentes e, 
para a fonte resultante calcula-se a diferença destas somas realizadas. 
A fonte resultante terá polaridade semelhante à polaridade daquelas fontes que somadas 
obtiveram maior valor. Analisemos agora a associação de fontes da figura 7:
28WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 7 - Associação de fontes. Fonte: O autor.
Calculando a soma das fontes de mesma polaridade:
Va=V1+V3=10 V+12 V=22 V
Vb=V2+V4=15 V+25 V=40 V 
V5=Vb-Va=40 V+22 V=18 V
LEI DE KIRCHOFF PARA TENSÕES (LKT)
Gustav Kirchoff foi um físico alemão que definiu algumas relações importantes para 
tensão e corrente, que ficaram conhecidas como leis de Kirchoff, em sua homenagem, vamos a 
primeira que é a lei de Kirchoff para tensões (LKT):
A somatória (∑) algébrica das tensões (V) em uma malha é nula, ou seja, igual a zero.
∑malha V=0 (2.4)
As malhas também podem ser chamadas de laço, e representam qualquer caminho 
fechado em um circuito. Para aplicar a lei de Kirchoff das tensões deve-se inicialmente estabelecer 
um sentido para a corrente fluir, para facilitar nossas análises adotaremos o sentido horário para 
a corrente ao realizar as análises. Aplicaremos a lei de kirchoff das tensões no circuito da figura 8.
É importante saber que as fontes de corrente com intensidades diferentes 
não podem ser associadas em série, pois contrariam a lei de Kirchoff para as 
correntes que será estudada mais adiante.
29WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 8 - Aplicando a LKT. Fonte: O autor.
Veja que o sentido da corrente I é o sentido horário, este sentido foi utilizado para definir 
a polaridade dos resistores R1 e R2, que já estão representadas nos circuitos. Para aplicar a LKT 
é necessário realizar a soma algébrica das tensões e igualá-las a zero, tratando-se de uma soma 
algébrica devemos nos atentar a sinais positivos e negativos à medida que a corrente percorre a 
malha, sendo assim adotaremos a seguinte convenção:
• Potencial negativo para positivo: adota-se sinal +;
• Potencial positivo para negativo: adota-se sinal -.
Observando o percurso da corrente por toda a malha e, somando potenciais (tensões), 
temos:
• Do ponto D para o ponto A: desloca-se de um potencial negativo para um potencial 
positivo, portanto assumiremos um valor positivo para E;
• Do ponto A para o ponto B: desloca-se de um potencial positivo para um potencial 
negativo, havendo uma queda de potencial, portanto assumiremos um valor negativo para V1;
• Do ponto B para o ponto C: há outra queda de potencial, então assumiremos na equação 
valor negativo para V2.
A soma algébrica das tensões para esta malha é:
+E-V1-V2=0, logo :
 E=V1+V2=0,
esta equação nos diz que a soma das quedas de tensões em um circuito será igual a tensão 
aplicada no circuito pela fonte de tensão CC.
Exemplo 3: Para o circuito da figura 2-9 aplique a lei de Kirchoff das tensões para a malha 
e mostre que a somatória das quedas tensão em cada resistor é igual à tensãofornecida pela fonte.
Figura 9 - Circuito do exemplo 3. Fonte: O autor.
30WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Resolução:
Calculando a corrente total do circuito:
Calculando a queda de tensão nos resistores:
Em R1: VR1=I.R1=(1,61 mA).(1 kΩ)= 1,61 V
Em R2: VR2=I.R2=(1,61 mA).(10 kΩ)= 16,1 V 
Em R3: VR3=I.R3=(1,61 mA).(20 kΩ)= 32,3 V 
Verificando se a tensão da fonte V equivale à soma das quedas de tensões, temos:
V=VR1+VR2+VR3
V=1,61 V+16,1 V+32,3 V≃50 V
DIVISOR DE TENSÃO
Vimos que a soma das quedas de tensão em um circuito, com resistores em série, é igual 
a tensão fornecida pela fonte à circuito. Podemos calcular a queda de tensão em cada resistor de 
uma maneira diferente utilizando o divisor de tensão. Vamos analisar o circuito da figura 2-10:
Figura 10 - Circuito para aplicar o divisor de tensão. Fonte: o autor.
Das análises anteriores sabemos que:
 V=V1+V2, 
onde: V1=R1.I e V2=R2.I
logo, 
V=R1.I+R2.I=I(R1+R2) 
então a corrente é:
Para calcular o valor da queda de tensão no resistor R1 e no resistor R2, fazemos:
V1=R1.I 
Substituindo o valor da corrente I na equação de V1, temos:
31WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Para calcular o valor da queda de tensão em R2, faríamos o mesmo cálculo, entretanto 
mudando a resistência do numerador, assim:
 
 
(2,5)
De modo geral, podemos dizer que:
A queda de tensão em um resistor RN é igual ao valor desta resistência, multiplicado 
pela tensão fornecida pela fonte ao circuito série, dividido pela soma das resistências em série.
Recalculando as quedas de tensão no circuito da figura 2-9 utilizando o divisor de tensão, 
temos:
Figura 11 - Circuitos equivalentes. Fonte: o autor.
Ao realizar a análise de circuitos é possível fazer movimentação de componentes 
em série para facilitar os cálculos e, consequentemente, a análise dos circuitos. 
32WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO
Dizemos que os resistores estão em paralelo quando possuem dois terminais em comum, 
ou ainda dois nós em comum, conforme demonstrado na figura 12.
Um nó é um ponto de conexão entre dois ou mais componentes. Um ramo um caminho 
entre dois nós, pode ser representado por um único componente, um resistor ou uma fonte, por 
exemplo.
Figura 12 - Resistores em paralelo. Fonte: O Autor.
Os resistores R1 e R2 estão em paralelo, havendo dois terminais em comum entre eles, 
assim como os resistores R3, R4 e R5 que possuem dois nós em comum. Para calcularmos a 
resistência equivalente Rt em uma combinação de resistores em paralelo, utilizamos a equação:
 (2,6)
Exemplo 4: Calcule a resistência equivalente do circuito a seguir:
Dados: R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω
Figura 13 - Exemplo 4. Fonte: o autor.
Utilizando a equação 2.6, temos:
Analisaremos agora um circuito com resistores em paralelo (figura 14):
33WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 14 - Circuito com resistores em paralelo. Fonte: o autor.
Calculando a resistência total do circuito:
Note que o valor da resistência total é menor que o menor resistor associado em paralelo no 
circuito, portanto o valor de Rt tende a reduzir conforme são adicionados resistores à configuração 
de resistores em paralelo. Depois de calcular a resistência total do circuito, podemos desenhar 
um circuito equivalente ao circuito inicial, para tanto substituiremos as resistências em paralelo 
por uma única resistência, a resistência total Rt (figura 15):
Figura 15 - Circuito equivalente ao da figura 14. Fonte: O autor.
A partir do circuito equivalente mostrado na figura 2-15, vamos calcular a corrente total 
do circuito fornecida pela fonte:
Para realizar o cálculo da resistência total quando os valores das resistências forem iguais, 
fazemos:
 
 (2.7)
onde R é o valor da resistência e N o número de resistores iguais.
Exemplo 5: Calcule a resistência equivalente do circuito a seguir:
Dados: R1 = 20 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 20 Ω.
34WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 16 - Exemplo 5. Fonte: o autor.
Resolução:
Quando analisamos o circuito com resistores em série, notamos que a corrente era a 
mesma para todos os resistores no circuito e que, as suas respectivas quedas de tensões eram 
diferentes. Para o circuito com resistores em paralelo, ocorre o inverso, a tensão é mesma para os 
resistores em paralelo e a corrente é diferente.
Portanto, para o circuito analisado anteriormente, na figura 17, a tensão para os resistores 
R1 e R2 é igual a tensão da fonte V1, logo:
V1=VR1=VR2=20 V
Entretanto, o valor das correntes é diferente. No exemplo 4 calculamos o valor da corrente 
It, esta corrente divide-se pelos ramos, tornando-se I1 e I2, sendo assim:
It=I1+I2 ,
considerando o sentido convencional da corrente, demonstrado na figura 17.
It
Figura 17 - Circuito com resistências em paralelo e correntes indicadas. Fonte: O autor.
35WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Calculando, então, o valor das correntes I1 e I2:
Assim, podemos dizer que a corrente fornecida pela fonte é igual à soma das correntes das 
resistências em paralelo. Utilizando as correntes encontradas para calcular a potência dissipada 
por cada resistor, temos:
PR1=V1.I1=(20 V).(3,33 A)=66,6 W
PR2=V1.I2=(20 V).(6,67 A)=133,4 W
Comparando com a potência fornecida pela fonte:
PV1=V1.It=(20 V).(10 A)=200 W
PV1=PR1+PR2=66,6 W+133,4 W=200 W
LEI DE KIRCHOFF PARA AS CORRENTES (LKC)
A lei de Kirchoff para as correntes (LKC), diz que
a soma algébrica das correntes em um nó é igual, em outras palavras diz-se que a somatória 
das correntes que entram em um nó é igual a somatória das correntes que saem deste nó.
∑Entram I=∑SaemI (2.8)
Figura 18 - Aplicando a lei de Kirchoff das correntes (LKC). Fonte: O autor.
Aplicando a LKC no nó indicado na figura 18, temos:
I1+I5=I2+I3+I4
Exemplo 6: Calcule a corrente I2 no circuito a seguir:
36WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 19 - Exemplo 6
Resolução:
Aplicando a equação 2.8, temos:
2 A=0,5 A+I2
I2=2 A-0,5 A=1,5 A
Perceba que no circuito do exemplo 6, a corrente de 2 A que entrou no nó é a mesma 
corrente de 2 A que saiu do nó.
DIVISOR DE CORRENTE
Ao analisarmos os circuitos com resistores ligados em série, aplicamos uma técnica 
chamada divisor de tensão, pois vimos que as tensões para cada resistência eram diferentes, 
enquanto que as correntes para cada resistor era a mesma. Para os circuitos com resistências 
associadas em paralelo utilizaremos uma técnica chamada divisor de corrente:
A corrente ao entrar no nó se divide entre os ramos ou resistores conectados a este nó, 
caso os resistores sejam iguais, a corrente se dividirá igualmente, caso sejam diferentes, a corrente 
se dividirá proporcionalmente. Nesta divisão da corrente a maior parte dela fluirá pela resistência 
de menor valor, por ser o caminho para a corrente que a resistência à sua passagem é menor, ou 
seja, é o caminho mais fácil para a corrente percorrer. Analisando novamente o circuito mostrado 
na figura 17, temos:
sabendo que:
Então,
Da mesma forma, podemos calcular I2:
 
 (2,9)
37WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
ASSOCIAÇÃO DE FONTES EM PARALELO
Duas ou mais fontes de tensão podem ser colocadas em paralelo, desde que suas tensões 
sejam as mesmas. Esta associação é realizada para aumentar a corrente de saída. Então, se você 
associa duas fontes de tensão iguais com corrente I para cada fonte, quando associá-las em 
paralelo obterá uma corrente 2I.
Figura 20 - Fontes associadas em paralelo. Fonte: o autor.
Fontes de correntetambém podem ser associadas em paralelo e substituídas, na análise 
do circuito, por uma única fonte com seu valor correspondente à soma algébrica das fontes 
associadas.
Figura 21 - Fontes de corrente em paralelo. Fonte: o autor.
Note que a fonte de corrente equivalente recebe o sentido da maior fonte de corrente, a 
fonte I_1 e, sua corrente é definida pela soma algébrica de I1 e I2:
I3= I1-I2=10 A-2 A=8 A
CURTO-CIRCUITO E CIRCUITO ABERTO
Curto-circuito e circuito-aberto são dois termos que serão comumente utilizados nas 
análises de circuito. O curto-circuito é representado apenas por um fio, sem a presença de 
um resistor, ou qualquer outro componente, logo a resistência neste curto-circuito é zero, não 
havendo diferença de potencial. Analisando o circuito da esquerda, na figura 22, constatamos 
que a corrente fornecida pela fonte fluirá pelo curto-circuito, pois é o caminho que não possui 
resistência à passagem de corrente elétrica. Podemos calcular a resistência total do circuito 
fazendo o paralelo do resistor R1 com a resistência 0 Ω, que é a resistência do curto-circuito:
38WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
 
Figura 22 - Curto-circuito. Fonte: o autor.
A resistência total será 0 Ω, portanto podemos eliminar o resistor R1 do circuito, 
mantendo apenas o curto-circuito. Portanto, para um curto-circuito, temos:
V=0 V
I=Imáxima
O circuito aberto trata-se de uma interrupção ou descontinuidade no circuito, em que 
não há um caminho para a corrente percorrer.
Figura 23 - Circuito aberto. Fonte: O autor
Em condições de circuito aberto, temos:
V=Vmáxima
I=0 A
Para o circuito da figura 23, a corrente é igual a zero ampères e a tensão máxima é a 
mesma fornecida pela fonte, 5 V.
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES SÉRIE-PARALELO
Podemos nos deparar com circuitos em que existem resistores em série, resistores em 
paralelo e a configuração série-paralelo ou mista. Estes circuitos requerem bastante atenção e 
cuidado, pois para analisá-los aplicaremos as técnicas e conceitos estudados para os circuitos 
tanto com resistores configurados em série quanto em paralelo. Vejamos um circuito simples 
desta configuração: 
39WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 24 - Circuito misto. Fonte: O autor.
Os resistores R3 e R4 estão conectados em série, note que possuem um nó entre eles 
que conecta apenas os dois componentes, R3 e R4, e a corrente que flui por ambos é a mesma, a 
corrente I2. Os resistores R1 e R3 não estão conectados em série e nem em paralelo, perceba que a 
corrente destes resistores é diferente e que, o nó entre eles não conecta apenas dois componentes.
A fonte V1 e o resistor R1 estão conectados em série, veja que possui uma única ligação 
para os dois componentes e que compartilham a mesma corrente, It. Para analisar este circuito 
utilizaremos duas técnicas bastante aplicadas em análise de circuitos: o redesenho e a redução do 
circuito. 
Analisaremos este circuito misto da figura 24 passo a passo, redesenhando o circuito a 
cada passo para facilitar a compreensão do mesmo.
1º Passo - Encontrar a resistência total Rt do circuito:
Para encontrar a resistência total vamos associar inicialmente os resistores que temos em 
série no circuito, que são os resistores R3 e R4. Chamaremos de RA a associação destes resistores, 
portanto:
RA=R3+R4=4 kΩ+6 kΩ=10 kΩ
Substituindo os resistores R3 e R4 por RA e, redesenhando o circuito, temos:
Figura 25 - Passo 1 (RA). Fonte: O autor.
Perceba que após realizar o primeiro redesenho do circuito, reduzimos o número de 
resistências. Se atente a este passo, pois a corrente que flui pela resistência RA é a mesma que 
antes fluía pelos resistores R3 e R4. Além disso, é possível notar no circuito, após redesenhando, 
que surgiu uma associação de resistores em paralelo, RA ||R2. Faremos, então, esta associação de 
resistores, chamaremos de RB a associação de RA em paralelo com R2:
40WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
Redesenhando o circuito, temos:
Figura 26 - Passo 1 (RB). Fonte: o autor.
A resistência total do circuito é, portanto, a soma de R1 com RB:
Rt=R1+RB=20 kΩ+5 kΩ=25 kΩ
Redesenhando novamente o circuito, figura 27, temos apenas a fonte de tensão em série 
com a resistência equivalente Rt, obtivemos, portanto, um circuito reduzido. Através deste 
circuito reduzido é possível realizar o cálculo da corrente total do circuito, a corrente It. Note que 
a corrente total se trata da corrente fornecida pela fonte V1, esta corrente é a mesma tanto para o 
circuito reduzido, quanto para o circuito inicial.
Figura 27 - Passo 1 (circuito reduzido). Fonte: O autor.
2º Passo - Calcular a corrente It:
3º Passo - Calcular a corrente It:
41WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
4º Passo - Calcular as correntes I1 e I2: 
Utilizando a regra do divisor de corrente e o circuito da figura 2-25, calcularemos as 
correntes:
Perceba que as correntes são iguais, pois os valores das resistências R2 e RA são iguais, 
portanto poderíamos ter calculado as correntes I1 e I2 da seguinte forma:
5º Passo - Calcular as quedas de tensão para cada resistor:
Analisando o circuito da figura 25, temos:
Analisando o circuito inicial, figura 2-24, temos:
Perceba que a soma de VR3 e VR4 equivale exatamente ao valor de VRA. A partir dos valores 
calculados para as quedas de tensão de cada resistor e correntes, é possível realizar os cálculos 
de potência fornecida pela fonte e potências dissipadas por cada resistor, chegando aos seguintes 
resultados:
PV1=100 mW
PVR1=80 mW
PVR2=10 mW
PVR3=4 mW
PVR4=6 mW
HAYT, W. J.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de Circuitos em Engenharia.7 
ed. São Paulo:McGrawiHill. 2008.
BOYLESTAD, R. L. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2012. 
42WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
RESUMO DA UNIDADE
• Associação de resistores em série:
Rt=R1+R2+R3+⋯+RN 
 • Na associação de resistores em série O valor resultante do cálculo da resistência total 
não se altera pela ordem com que os resistores são conectados em série e quanto maior o 
número de resistores associados em série, maior será o resultado de R_t.
• Para cálculo da resistência total, na configuração série, com resistores de mesmo valor:
Rt=RN 
• A corrente é a mesma para todos os resistores em série no circuito.
• As fontes de tensão podem ser associadas em série e serem substituídas por uma fonte 
resultante
• Fontes de corrente com intensidades diferentes não podem ser associadas em série.
Lei de Kirchoff das tensões (LKT):
 ∑malha V=0 (2.4)
• Malha ou laço define-se como qualquer caminho fechado em um circuito. 
• A soma das quedas de tensão em um circuito, com resistores em série, é igual a tensão 
fornecida pela fonte ao circuito.
• Divisor de tensão:
• Associação de resistores em paralelo:
• A tensão é mesma para os resistores associados em paralelo.
• Lei de Kirchoff das correntes (LKC), em um nó: 
• Divisor de corrente:
43WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 2
ENSINO A DISTÂNCIA
• Ao associar duas ou mais fontes de tensão em paralelo, a tensão deve ser a mesma. A 
corrente da fonte resultante será a soma das correntes individuais das fontes de tensão.
• Ao associar duas ou mais fontes de corrente em paralelo pode-se substituí-las por uma 
única fonte com seu valor correspondente à soma algébrica das fontes associadas.
• Curto-circuito:
 V=0 V
 I=Imáxima
• Circuito aberto:
 V=Vmáxima
 I=0 A
• Circuitos mistos: as configurações série e paralelo estão presentes no mesmo circuito.
• Um nó é um ponto de conexão entre dois ou mais componentes.
• Um ramo é um caminho entre dois nós, pode ser representado por um único componente, 
um resistor ou uma fonte,por exemplo.
UNIDADE
44WWW.UNINGA.BR
ENSINO A DISTÂNCIA
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 45
CONVERSÃO DE FONTES ....................................................................................................................................... 46
ANÁLISE NODAL ...................................................................................................................................................... 48
SUPERNÓ ................................................................................................................................................................. 53
ANÁLISE DE MALHAS ............................................................................................................................................. 56
SUPERMALHA ......................................................................................................................................................... 59
RESUMO DA UNIDADE ............................................................................................................................................ 63
ANÁLISE NODAL E ANÁLISE 
DE MALHAS
PROF.A NÁGILA RIBEIRO DE MENEZES
03
45WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
Os circuitos apresentados nas unidades anteriores formaram um bom embasamento 
para compreensão da lei de ohm e das leis de Kirchoff, que são leis fundamentais para análise 
de qualquer circuito elétrico. A partir de agora analisaremos alguns circuitos com um grau de 
complexidade um pouco maior que os anteriores, que exigirá algumas manipulações matemáticas, 
como a resolução de sistemas de equações, determinantes e montagem de matrizes.
Nesta unidade, aprenderemos a utilizar duas técnicas bastante utilizadas para análise de 
circuitos mais complexos, tanto em corrente contínua (CC) quanto em corrente alternada (CA): 
análise nodal que utiliza como base a lei de Kirchoff das correntes (LKC) e a análise de malhas, 
que utiliza como base a lei de Kirchoff das tensões (LKT).
46WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
CONVERSÃO DE FONTES
As fontes de tensão ou de corrente possuem uma resistência interna, que normalmente 
desprezamos para realizar os cálculos, ao fazermos isto, estamos considerando que estas fontes 
são ideais. Na figura 3 podemos visualizar a fontes de corrente e a fonte de tensão com suas 
respectivas resistências internas. Perceba que a fonte de tensão possui sua resistência interna em 
série (Rs), enquanto que a fonte de corrente possui sua resistência interna em paralelo (Rp). 
Figura 1 - Representação de fontes reais de tensão e corrente com suas respectivas resistências internas. 
Fonte: O autor.
O valor das resistências internas Rs e Rp são iguais, o que possibilita realizarmos 
conversões destas fontes. Sendo assim, é possível realizar a conversão de uma fonte de tensão, 
com resistência em série, para uma fonte de corrente, com resistência em paralelo, para isto, basta 
aplicarmos a lei de Ohm.
Exemplo 1: Para o circuito mostrado na figura 2, realize a conversão da fonte de tensão 
para uma fonte de corrente. Dados: V 50 V; R = 10 kΩ.
Figura 1 - Representação de fontes reais de tensão e corrente com suas respectivas resistências internas. 
Fonte: O autor.
O valor das resistências internas Rs e Rp são iguais, o que possibilita realizarmos 
conversões destas fontes. Sendo assim, é possível realizar a conversão de uma fonte de tensão, 
com resistência em série, para uma fonte de corrente, com resistência em paralelo, para isto, basta 
aplicarmos a lei de Ohm.
Exemplo 1: Para o circuito mostrado na figura 2, realize a conversão da fonte de tensão 
para uma fonte de corrente. Dados: V 50 V; R = 10 kΩ.
47WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 2 - Exemplo 1. Fonte: O autor.
Resolução:
Figura 3 - Resolução do exemplo 1 - Fonte de corrente equivalente. Fonte: O autor.
Perceba que o sentido da fonte de corrente é definido pela polaridade da fonte de tensão, 
que é o sentido convencional da corrente. Para realizar o processo inverso, no exemplo 1, a 
conversão de fonte de corrente para uma fonte de tensão, deve-se utilizar a lei de Ohm, os valores 
da fonte corrente e de sua resistência em paralelo (figura 3), assim:
 V=R.I=(5 mA).(10 kΩ)=50 V
Note que o valor de V é o valor da fonte de tensão que tínhamos antes de realizar a 
conversão de fontes. Estas conversões são realizadas para facilitar a análise do circuito, haverá 
momentos em que você observará o circuito e notará que realizar uma conversão de fontes pode 
facilitar e reduzir os cálculos do circuito. Vejamos agora o circuito apresentado na figura 4:
Figura 4 - Circuito com conversão de fontes. Fonte: O autor.
48WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Para calcularmos a corrente que flui pelo resistor R2 é necessário realizar a conversão 
da fonte de corrente, com resistência em paralelo, para uma fonte de tensão com resistência em 
série. Assim:
Figura 5 - Circuito equivalente com conversão de fontes. Fonte: O autor. 
onde, 
V2=R1.I1=(2 kΩ).(2 mA)=4 V
Analisando a figura 5, nota-se que a corrente que flui pelo resistor R2 é, na verdade, a corrente 
total do circuito, portanto, temos:
ANÁLISE NODAL
Na unidade anterior vimos a lei de Kirchoff para as correntes, bem como a definição de 
nó e ramo em um circuito, estes conhecimentos são utilizados como ferramentas para aplicar a 
técnica de análise nodal. A análise nodal trata-se de uma técnica, que apresenta como resultado 
da sua análise a tensão nos nós do circuito, sendo que um dos nós do circuito é adotado como nó 
de referência, o nó terra (GND).
Para realizar análise de circuitos com esta técnica, assumiremos que todos os circuitos 
contêm apenas fontes de corrente, posteriormente veremos casos especiais em que os circuitos 
também possuem fontes de tensão. Considerando que os circuitos nos quais aplicaremos esta 
técnica possuem N nós e que possuem apenas fontes de corrente, podemos seguir uma lista de 
passos para compor nossa análise:
• Passo 1: Selecionar o nó de referência. 
Passo 2: Identificar e nomear os N-1 nós do circuito, atribuindo aos nós identificações 
como: V1,V2,V3,…,VN-1
• Passo 3: Definir um sentido para as correntes no circuito e nomeá-las, atribuindo às 
correntes nomes como: I1,I2,I3,… IN 
• Passo 4: Aplicar a lei de Kirchoff para as correntes em todos os N-1 nós do circuito, 
obtendo N-1 equações.
49WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
• Passo 5: Utilizar a lei de Ohm para escrever as equações das correntes nomeadas no 
circuito em função dos nós.
• Passo 6: Montar e resolver o sistema de equações para encontrar as tensões nodais.
O nó de referência, geralmente chamado de terra (GND - ground), apresenta potencial 
0 V e, possui algumas simbologias, dentre as mais populares temos as demonstradas na figura 6.
Figura 6 - Simbologia do nó de referência. Fonte: O autor.
Para deixar claro como devem ser realizados os passos da análise nodal, faremos um 
exemplo. Vamos utilizar análise nodal no circuito da figura 7, para encontrar o valor das correntes 
que fluem por cada resistência:
• Passo 1: O circuito já está com o nó de referência identificado na figura 7.
• Passo 2: O circuito possui três nós, tirando o nó de referência, temos N-1=2 nós, 
chamaremos de nós V1 e V2 (figura 8).
Figura 7 - Aplicando análise nodal. Fonte: O autor.
 Figura 8 - Análise nodal: Passo 2. Fonte: O autor.
50WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
• Passo 3: Vamos colocar todas as correntes que não conhecemos no circuito saindo dos 
nós V1 e V2.
Figura 9 - Análise nodal:Passo 3. Fonte: O autor.
• Passo 4:
Aplicando LKC para o nó V1:
Aplicando LKC para o nó V2:
• Passo 5: Neste passo é importante lembrarmos que quando a corrente flui por uma 
resistência, ela vai de um potencial positivo para um potencial negativo, em outras palavras 
a corrente vai de um potencial maior para um potencial menor, definindo uma diferença de 
potencial. Sendo assim, através da lei de Ohm, podemos escrever:
Utilizando a lei de ohm para escrever as correntes desconhecidas, temos:
51WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Reescrevendo as equações do passo 4, temos:
Nó V1:
Nó V2:
Perceba que obtivemos N-1 equações no sistema. Para resolver este sistema de equações 
você pode escolher o método que mais tenha afinidade, seja por substituição, subtração ou forma 
matricial. Escrevendo o sistema de equações na forma matricial, temos:
Note que a forma matricial escrita acima é semelhante a
 [G].[V]=[I] , (3.1)
esta igualdade de matrizes nos faz lembrar a lei de Ohm, utilizaremos esta igualdade 
adiante para demonstrar outra maneira de aplicar análise nodal. Continuando na forma matricial 
e fazendo a substituição do valor das resistências, temos:
52WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Calculando V1:
Calculando V2:
Calculando as correntes, temos:
Perceba que a corrente IR2 teve um resultado negativo, isto quer dizer que o sentido que 
adotamos para a corrente está errado. Convencionamos que a corrente IR2 estava saindo do nó 
V1, mas na verdade ela está entrando no nó V1, constata-se isso pelo sinal negativo no resultado 
da corrente. As demais correntes calculadas que apresentaram sinal positivo no resultado, estão 
com os sentidos corretos. É possível realizar a análise nodal diretamente a partir das matrizes. 
Segundo Sadiku & Alexander (2013), denomina-se análise de circuitos por inspeção:
onde:
Gii – Soma das condutâncias (1⁄RN ) conectadas ao nó i.
Gij= Gji – (-∑condutâncias)conectadas entre o nó i e o nó j.
Vi – Tensão no nó que pretende-se descobrir.
Ii – Soma algébrica de todas as fontes de corrente conectadas ao nó i, sendo que as correntes 
que entram no nó recebem sinal positivo e, as correntes que saem do nó recebem sinal negativo.
Voltando ao circuito da figura 3-8, para as matrizes [G].[V]=[I], temos:
53WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
SUPERNÓ
Os dois métodos de análise nodal apresentados na sessão anterior, são empregados a 
circuitos que contém apenas fontes de corrente, porém, existe a possibilidade de nos depararmos 
com circuitos que possuem tanto fontes de tensão quanto fontes de corrente, para analisar 
estes circuitos formamos, dentro do circuito, um supernó – é formado por uma fonte de tensão 
localizada entre dois nós, que não são nós de referência.
Vamos analisar o circuito da figura 10 utilizando a análise nodal e o supernó. O circuito já 
está com os nós identificados e as correntes nomeadas. Sem realizar cálculos, podemos descobrir 
o valor da tensão VA, pois a fonte de tensão V1 está entre o nó VA e o nó de referência, portanto 
o valor de VA=V1=16 V.
Figura 10 – Supernó. Fonte: O autor.
Entre os nós VB e VC foi criado um supernó, devido a presença da fonte de tensão V2. 
Deve-se aplicar LKC para o supernó e para os demais nós do circuito. Para este caso, aplicaremos 
a LKC apenas para o supernó, já que o valor da tensão VA é conhecido:
 • IR2+I2=IR1+IR3
Quando há um supernó no circuito, deve-se aplicar a LKT para este supernó:
 • -VB+6+VC=0
 • VB-VC=6
Note que a tensão VB é a tensão no resistor R1 e VC é a tensão no resistor R3. Vamos 
utilizar a lei de Ohm para escrever as equações das correntes nomeadas no circuito:
 • IR2+I2=IR1+IR3
 •IR2-IR1-IR3=-I2
54WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Montando o sistema de equações, temos:
Calculando as tensões nodais VB e VB:
Para calcular as correntes desconhecidas, basta substituirmos as tensões nodais 
encontradas nas equações das correntes:
55WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Exemplo 2: Para o circuito mostrado na figura 11, utilize análise nodal para encontrar o 
valor da corrente ix. Observe que o circuito possui uma fonte de corrente dependente.
Figura -11 - Exemplo 2. Fonte: O autor.
Aplicando LKC no nó V1:
I1=IR2+ix
Aplicando LKC no nó V2:
IR2+2ix=IR3
Passo 5: Aplicando a lei de Ohm para escrever as correntes em função das tensões nodais, 
temos:
• Nó V1
• Nó V2
Passo 6:
56WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Montando a matriz:
Calculando o valor da corrente ix, temos:
ANÁLISE DE MALHAS
Vimos na sessão anterior que ao utilizarmos a análise nodal, obtemos como variáveis no 
circuito as tensões nodais. A análise de malhas, também conhecida como análise de laço, utiliza 
como ferramenta a lei de Kirchoff das tensões e, apresenta como variáveis no circuito as correntes 
para cada malha. Lembre-se de que malha é um caminho fechado no circuito. 
Para realizar análise de circuitos com esta técnica, assumiremos que todos os circuitos 
contêm apenas fontes de tensão, mais adiante veremos os casos especiais para aplicar esta técnica 
em que os circuitos também possuem fontes de corrente. Para analisar um circuito com N malhas, 
aplicando a técnica de análise de malhas, podemos seguir os seguintes passos:
• Passo 1: Identificar e nomear as N malhas do circuito, atribuindo a elas nomenclaturas 
como I1,I2,I3,… Neste passo deve-se escolher o sentido de cada corrente de malha.
• Passo 2: Indicar no circuito a polaridade das resistências de acordo com cada corrente 
de malha.
• Passo 3: Aplicar a LKT para cada malha, onde cada malha resultará em uma equação.
• Passo 4: Montar o sistema de equações e solucionar as N equações para encontrar os 
valores das correntes de malha.
Vamos realizar análise de malhas no circuito da figura 12. 
57WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 12 - Análise de malhas. Fonte: O autor.
• Passo 1: Demonstrado na figura 13. O circuito possui duas malhas. O caminho fabef 
forma a malha 1 e o caminho ebcde forma a malha 2. As correntes I1 e I2 são as correntes de 
malha, foram adotados sentidos horários para as correntes, por convenção, faremos sempre desta 
forma para padronizar a análise.
Figura 13 - Analise de malhas: passo 1. Fonte: O autor.
• Passo 2: O sentindo da corrente indica a polaridade dos resistores, a figura 14 mostra a 
polaridade indicada para o percurso da corrente I1 e a figura 15, mostra a polaridade dos resistores 
para o percurso da corrente I2. Note que o terminal da resistência em que a corrente flui primeiro 
recebe o sinal positivo e, o terminal do resistor em que a corrente flui por último recebe o sinal 
negativo.
Figura 14 - Passo 2: polaridade dos resistores na malha 1. Fonte: O autor
58WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Figura 15 - Passo 2: polaridade dos resistores na malha 2. Fonte: O autor.
•Passo 3 : Aplicando LKT para a malha 1, caminho fabef, temos:
Aplicando LKT para a malha 2, caminho ebcde, temos:
• Passo 4: Montando o sistema de equações, com as equações de malha encontradas no 
passo 3, temos:
Escrevendo o sistema de equações na forma matricial, temos:
Substituindo nas matrizes os valores de tensões e resistores conhecidos, temos:
59WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Perceba que a forma matricial escrita acima é semelhante à lei de Ohm. Assim como na 
análise nodal, podemos utilizar esta matriz para encontrar as correntes diretamente, através da 
análise do circuito por inspeção.
 (3,2)
 (3.3)
onde:
R_ii – Soma das resistênciasconectadas a malha i.
Rij= Rji – (-∑resitências) conectadas entre a malha i e a malha j.
Ii – Corrente de malha que pretende-se descobrir.
Vi – Soma algébrica de todas as fontes de tensão independentes presentes na malha i, 
sendo que as elevações de potencial recebem sinal positivo e as quedas de potencial, recebem 
sinal negativo.
SUPERMALHA
Veremos agora como aplicar análise de malhas ao circuito com fontes de corrente e fontes 
de tensão. Se o circuito em análise tiver uma malha com apenas uma fonte de corrente, como é o 
caso da malha I2 da figura 16, a corrente da malha terá o valor da fonte de corrente, I2=3 A . 
Figura 16 - Analise de malhas em circuitos com fontes de corrente. Fonte: O autor.
60WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Para a malha I1, devemos aplica-se a LKT:
-V1+R1.I1+R2.(I1-I2)=0
Sabendo que I2=3 A, temos:
-10+2.I1+5.(I1-3)=0
 I1=3,6 A
Para circuitos em que a malha não possui apenas uma fonte de corrente, deve-se formar 
no circuito uma supermalha. Vamos analisar o circuito da figura 17, utilizando análise de malhas 
e a técnica da supermalha:
• Passo 1 e passo 2: As correntes, nomenclaturas e polaridades estão representadas na 
figura 18.
Figura 17 - Análise de Malhas: supermalha. Fonte: O autor.
Figura 18 - Análise de malhas: Passos 1 e 2. Fonte: O autor. 
• Passo 3: Remover a fonte de corrente, criando uma supermalha:
Figura 19 - Análise de malhas com supermalha: passo 3. Fonte: O autor. 
 
61WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
• Passo 4: Ao retirar a fonte de corrente, o circuito ficou com apenas uma malha, agora 
deve-se aplicar LKT para esta supermalha.
• Passo 5: Aplicar LKC no nó em que as duas malhas se encontram, o nó da fonte de 
corrente I1, chamado de nó A, como mostrado na figura 20.
Figura 20 - Supermalha: Passo 5. Fonte: O autor. 
• Passo 6: Utilizar as equações obtidas nos passos 4 e 5 para montar um sistema de 
equações e, solucioná-lo para obter as correntes desconhecidas. 
Resolvendo o sistema:
62WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
Exemplo 3: O circuito mostrado na figura 21, possui uma fonte de tensão dependente 
e duas malhas, que já estão representadas. Escreva as equações para cada malha, utilizando a 
técnica de análise de malhas e, calcule a corrente que flui pelo resistor R1.
Dados:
V1=15V
V2=2.I1
R1=R2=5 Ω
R3=20 Ω
Figura 21 - Exemplo 3. Fonte: O autor.
Resolução:
Malha I1: 
-V1+I1.R1+R2.(I1-I2 )=0
-15+I1.5+5.(I1-I2 )=0
5.I1+5.I1-5.I2=15
10.I1-5.I2=15 
Malha I2: 
R2(I2-I1 )+R3.I2+V2=0
R2(I2-I1 )+R3.I2+2.I1=0
5.(I2-I1 )+20.I2+2.I1=0
5.I2-5.I1+20.I2+2.I1=0
-3.I1+25.I2=0
Calculando a corrente I1 que flui no resistor R1:
Você deve ter notado que ambas análises, nodal e de malhas, são utilizadas para circuitos 
mais extensos e complexos. Ao analisar um circuito, deve-se procurar a melhor forma de resolvê-
lo, consequentemente, deve-se pensar em quais técnicas aplicar a fim de que o circuito possua 
uma solução mais direta e simples.
Antes de iniciar a análise deve-se comparar a quantidades de nós e malhas, procurar por 
valores de correntes ou tensões que podem ser obtidas sem necessidade de cálculos, resistores 
63WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
 | U
NI
DA
DE
 3
ENSINO A DISTÂNCIA
que podem ser associados, enfim, procurar características no circuito que facilitem sua análise. 
Portanto, é necessário bom conhecimento das técnicas apresentadas anteriormente, pois 
conhecendo bem as técnicas é possível ter uma visão mais clara do circuito e, aplicá-las com 
maior eficiência.
RESUMO DA UNIDADE
• A análise nodal é uma técnica de análise de circuitos que utiliza a aplicação da LKC. 
Através dela encontra-se tensões nos nós e com estas tensões calcula-se as correntes.
• Supernó: técnica utilizada durante a aplicação da análise nodal para circuitos com 
fontes de tensão e corrente.
• A análise de malhas é uma técnica de análise de circuitos que utiliza a aplicação da LKT. 
Através dela encontra-se as correntes de malha.
• Supermalha: técnica utilizada durante a aplicação da análise de malhas para circuitos 
com fontes de corrente e tensão.
ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O.; Análise de Circuitos Elétricos 
com Aplicações. McGrawHill, 1ª Edição 2013.
HAYT, W. J.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de Circuitos em Engenharia.7 
ed. São Paulo:McGrawiHill. 2008.
UNIDADE
64WWW.UNINGA.BR
ENSINO A DISTÂNCIA
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 65
CONVERSÃO Y-Δ E Δ-Y .......................................................................................................................................... 66
CIRCUITOS EM PONTE ............................................................................................................................................ 71
RESUMO DA UNIDADE ............................................................................................................................................ 75
CIRCUITOS EM PONTE E 
CONVERSÕES Y-Δ E Δ-Y
PROF.A NÁGILA RIBEIRO DE MENEZES
04
65WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
| U
NI
DA
DE
 4
ENSINO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
Esta unidade traz circuitos em que a configuração dos resistores não está em série, 
paralelo ou em série-paralelo, são as configurações estrela ou triângulo. Demonstra como realizar 
a conversão entre estas novas configurações e mostra como realizar a análise de alguns circuitos 
que a utilizam. Além disto, esta unidade traz os circuitos em ponte, que são circuitos amplamente 
utilizados no campo da eletrônica em circuitos retificadores.
66WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
| U
NI
DA
DE
 4
ENSINO A DISTÂNCIA
CONVERSÃO Y-Δ E Δ-Y
Nas unidades anteriores vimos circuitos com configuração de resistores em série, paralelo 
e série-paralelo, porém alguns circuitos possuem uma rede de resistores que não se encaixam 
nessas configurações, é o caso da configuração de resistores vista nas figuras 1 e 2.
Os resistores R1, R2 e R3 estão associados formando uma configuração que chamamos 
de Y, estrela ou T. Os resistores Ra, Rb e Rc estão associados formando uma configuração 
denominada Δ, triângulo ou π (pi).
Figura 1 - Configuração Y e T. Fonte: Sadiku & Alexander (2013).
Figura 2 - Configuração Δ e π. Fonte: Sadiku & Alexander (2013).
Podemos realizar a conversão da configuração Y para Δ e, Δ para Y. Essas conversões 
devem ser realizadas com o intuito de moldar o circuito, de tal maneira que possibilite-o a ser 
analisado utilizando as técnicas apresentadas nas unidades anteriores. Para realizar a conversão 
da configuração Y para Δ, devemos escrever as resistências da configuração Δ (Ra, Rb e Rc) em 
função das resistências da configuração Y (R1, R2 e R3).
Figura 3 – Conversão Δ para Y. Fonte: Sadiku & Alexander (2013).
67WWW.UNINGA.BR
EL
ET
RI
CI
DA
DE
 B
ÁS
IC
A 
| U
NI
DA
DE
 4
ENSINO A DISTÂNCIA
Para que essa conversão aconteça, a resistência entre os terminais 1 e 2 (R12Δ) da 
configuração Δ, deve ser equivalente à resistência entre os terminais 1 e 2 (R12Y) da configuração 
Y. Portanto, temos:
 
 
(3,1)
 
(3,2)
Então,
 (3,3)
usando a mesma linha de raciocínio para os outros pontos das configurações, temos:
Subtraindo a equação (3.3) da equação (3.4), temos:
Subtraindo a equação (3.6) da equação (3.5), temos:
Analisando as equações (3.7), (3.8) e (3.9) notamos uma maneira fácil de memorizar as 
equações:
• O resistor da configuração Y conectado ao ponto 1 é igual ao produto dos resistores 
conectados ao ponto 1, na configuração Δ.
• O resistor da configuração Y conectado ao ponto 2 é igual ao produto dos resistores 
conectados ao ponto 2, na configuração Δ.
• O