Integral utilizando a Regra do Trapézio Simples e Repetida

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
UVA 
 
CURSO DE SISTEMA DE INFORMAÇÃO 
 
 
 
 
 
EDSON CANTUARIA DE AZEVEDO NETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integral utilizando a Regra do Trapézio Simples e Repetida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2023
 
EDSON CANTUARIA DE AZEVEDO NETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integral utilizando a Regra do Trapézio Simples e Repetida 
 
 
 
 
Trabalho apresentado para a Disciplina 
CÁLCULO NÚMERICO, pelo Curso de 
Sistema de Informação da Universidade 
Veiga de Almeida (UVA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2023
 
SUMÁRIO 
RESUMO..................................................................................................................... 3 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 3 
DESENVOLVIMENTO ................................................................................................ 4 
1. Regra do Trapézio Simples: ........................................................................... 4 
2. Erro aproximado utilizando a Regra do Trapézio Simples .......................... 5 
3. Regra do Trapézio Repetida com 5 subdivisões .......................................... 7 
CONCLUSÃO ............................................................................................................. 8 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
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RESUMO 
Este trabalho acadêmico aborda a aplicação da Regra do Trapézio Simples e 
Repetida para estimar o valor de uma integral específica. A integral em questão é 
∫_1^4√x dx, e o objetivo é determinar o valor aproximado dessa integral, bem como 
calcular o erro associado às estimativas. 
Inicialmente, utilizamos a Regra do Trapézio Simples com uma subdivisão para 
obter uma estimativa do valor da integral. Através desse método, encontramos o valor 
estimado de 4.5. Em seguida, aplicamos a fórmula do erro para determinar a precisão 
dessa estimativa. Descobrimos que o erro é aproximadamente 0.5625, o que nos 
permite avaliar a confiabilidade da estimativa obtida. 
Posteriormente, empregamos a Regra do Trapézio Repetida com 5 subdivisões 
para refinar nossa estimativa. Dividimos o intervalo de integração [1, 4] em cinco 
partes iguais e calculamos a soma ponderada dos valores de √x nos pontos obtidos. 
Por meio desse método, obtemos uma nova estimativa do valor da integral, que é de 
aproximadamente 4.66. 
Com base nos resultados obtidos, podemos concluir que a Regra do Trapézio 
Simples e Repetida são ferramentas valiosas para estimar integrais em situações em 
que a solução analítica é difícil ou inexistente. 
 
 
INTRODUÇÃO 
A integração é uma ferramenta fundamental no cálculo, com aplicações amplas 
em diversas áreas da Engenharia e Ciências. No entanto, nem sempre é possível 
encontrar uma solução analítica para uma integral, o que torna a estimação do seu 
valor uma abordagem essencial. Neste trabalho, exploraremos a aplicação da Regra 
do Trapézio Simples e Repetida para estimar o valor de uma integral específica e 
analisar o erro associado a essas estimativas. 
 
4 
DESENVOLVIMENTO 
1. Regra do Trapézio Simples: 
A Regra do Trapézio Simples é um método numérico para estimar o valor de 
uma integral definida. Para utilizar essa técnica, consideramos a integral ∫_a^b f(x) dx, 
onde [a, b] é o intervalo de integração e f(x) é a função a ser integrada. 
 
A primeira etapa é dividir o intervalo [a, b] em duas partes iguais, determinando 
os pontos a e b. Em seguida, calculamos os valores de f(a) e f(b), que correspondem 
à avaliação da função nos pontos a e b, respectivamente. 
Aplicando a fórmula da Regra do Trapézio Simples, obtemos a seguinte 
estimativa para o valor da integral: 
 
 
 
A partir dessa regra, vamos determinar o valor da integral a seguir: 
 
 
 
 
Para a integral ∫_1^4√x dx, utilizando a Regra do Trapézio Simples com uma 
subdivisão, temos: 
 a = 1 
b = 4 
f(a) = √a = √1 = 1 
f(b) = √b = √4 = 2 
5 
 
2. Erro aproximado utilizando a Regra do Trapézio Simples 
Para avaliar a precisão da estimativa obtida pela Regra do Trapézio Simples, é 
necessário calcular o erro associado. O erro pode ser determinado pela seguinte 
fórmula: 
 
 
Nessa fórmula, (b - a) é o comprimento do intervalo, max|f''(x)| é o valor máximo da 
segunda derivada da função f(x) no intervalo [a, b], e n é o número de subdivisões. 
Aplicando em ∫_1^4√x dx, temos que: 
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Precisamos encontrar o valor máximo de |f''(x)| no intervalo [1, 4]. Vamos calcular os 
valores de f''(x) nos extremos do intervalo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor máximo de |f''(x)| ocorre em x = 1 e é igual a 1/4. Substituindo na fórmula do 
erro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Regra do Trapézio Repetida com 5 subdivisões 
A Regra do Trapézio Repetida é uma extensão da Regra do Trapézio Simples, 
onde o intervalo [a, b] é dividido em um número maior de subdivisões para obter uma 
estimativa mais precisa do valor da integral. 
Para aplicar a Regra do Trapézio Repetida com 5 subdivisões, começamos 
dividindo o intervalo [a, b] em cinco partes iguais, obtendo os pontos intermediários 
x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅. 
Em seguida, calculamos a soma ponderada dos valores de f(x) nos pontos 
obtidos, utilizando a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
Onde h é o tamanho de cada subintervalo, dado por h = (b - a) / n, em que n é o 
número de subdivisões. 
 
Logo na expressão, ∫_1^4√x dx, temos que: 
x₁ = 1 + 0.6 = 1.6 
x₂ = 1 + 2 * 0.6 = 2.2 
x₃ = 1 + 3 * 0.6 = 2.8 
x₄ = 1 + 4 * 0.6 = 3.4 
x₅ = 1 + 5 * 0.6 = 4 
 
Então, calculamos a soma ponderada dos valores de f(x) nos pontos obtidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Calculando os valores das raízes quadradas: 
√1 = 1 √1.6 ≈ 1.2649 
 √2.2 ≈ 1.4832 
 √2.8 ≈ 1.6733 
 √3.4 ≈ 1.8439 
 √4 = 2 
 
Substituindo esses valores na fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o valor da integral utilizando a Regra do Trapézio Repetida com 5 
subdivisões é aproximadamente 4.66. 
 
CONCLUSÃO 
Neste trabalho, aplicamos a Regra do Trapézio Simples e Repetida para 
estimar o valor da integral ∫_1^4√x dx. Utilizando a Regra do Trapézio Simples, 
obtivemos o valor estimado de 4.5. Além disso, calculamos o erro associado a essa 
estimativa, que foi aproximadamente 0.5625. Em seguida, utilizando a Regra do 
Trapézio Repetida com 5 subdivisões, e assim obtivemos um valor estimado de 4.66. 
Essas técnicas são ferramentas valiosas para a estimação de integrais em casos em 
que a solução analítica não é viável, proporcionando uma abordagem prática e eficaz 
para a resolução de problemas nas áreas de Engenharia e Ciências. 
9 
REFERÊNCIAS 
 
 
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. 5ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 
Disponível em: 
https://tsxvpsbr.dyndns.org/arquivos/UFFS/James%20Stewart%20-
%205%C2%AA%20Edi%C3%A7%C3%A3o%20-%20Vol.1.pdf. Acesso em 
12/06/2023.